专题八 立体
第二十三讲 空间中点直线面间位置关系
2019 年
1（2019 全国Ⅲ理 8）图点 N 正方形 ABCD 中心△ECD 正三角形面 ECD
⊥面 ABCDM 线段 ED 中点

A．BMEN直线 BMEN 相交直线
B．BM≠EN直线 BMEN 相交直线
C．BMEN直线 BMEN 异面直线
D．BM≠EN直线 BMEN 异面直线
2（2019 全国Ⅱ理 7）设 αβ 两面 α∥β 充条件
A．α 数条直线 β 行 B．α 两条相交直线 β 行
C．αβ 行条直线 D．αβ 垂直面
3（2019 江苏 16）图直三棱柱 ABC－A1B1C1 中DE 分 BCAC 中点ABBC．
求证：（1）A1B1∥面 DEC1
（2）BE⊥C1E．
4（2019 北京理 12）已知 lm 面 a 外两条直线出列三断
①lm ② maP ③la
中两断作条件余断作结写出正确命题 ______

20102018 年
选择题
1．(2018 全国卷Ⅰ)已知正方体棱长 1条棱直线面 成角相等 截
正方体截面面积值

A． 33
4 B． 23
3 C． 32
4 D． 3
2
2．(2018 全国卷Ⅱ)长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 1AB BC 1 3AA 异面直
线 1AD 1DB 成角余弦值
A． 1
5 B． 5
6 C． 5
5 D． 2
2
3．(2018 浙江)已知面 直线 m n 满足 m  n  m ∥ n m ∥

A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
4．(2018 浙江)已知四棱锥 S ABCD 底面正方形侧棱长均相等 E 线段 AB
点（含端点）设 SE BC 成角 1 SE 面 ABCD成角 2 二面
角 S AB C面角 3
A． 1 2 3  ≤ ≤ B． 3 2 1  ≤ ≤ C． 1 3 2  ≤ ≤ D． 2 3 1  ≤ ≤
5．(2017 新课标Ⅱ)已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中 120ABC 2AB 
1 1BC CC异面直线 1AB 1BC 成角余弦值
A． 3
2 B． 15
5 C． 10
5 D． 3
3
6．（2017 浙江）图已知正四面体 D ABC （棱长均相等三棱锥） PQ
R 分 AB BC CA 点AP PB 2BQ CR
QC RA分记二面角 D PR Q
D PQ R D QR P面角  

RQ
P
A
B
C
D

A． < <  B． < < C． < < D． < <
7．（ 2016 年全国 I）面α 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 顶点 A ∥面 11CB D α I
面 ABCD m α I 面 11ABB A n m n 成角正弦值
A． 3
2 B． 2
2 C． 3
3 D． 1
3
8．（ 2015 福建） lm 两条直线m 垂直面 lm l ∥

A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
9．（ 2015 浙江）图已知 ABC D AB 中点直线CD ACD 翻折成 A CD
成二面角 A CD B面角

10．（ 2014 广东）空间中四条两两直线 1 2 3 4l l l l 满足 1 2 2 3 3 4l l l l l l  
面结定正确
A． 14ll B． 14ll C． 14ll垂直行 D． 位置关系确定
11．（ 2014 浙江）设 mn两条直线 两面

A． mn n  m  B． m   m 
C． m n n   m  D． n   m 
12．（ 2014 辽宁）已知 m n 表示两条直线 表示面列说法正确
A． mn mn B． m  n  mn
C． n  D． m  n 
13．（ 2014 浙江）图某垂直水面 ABC 墙面前点 A 处进行射击训练已
知点 墙面距离 AB 某目标点 P 墙面射击线CM 移动准确瞄
准目标点 需计算点 观察点 仰角 （仰角 直线 AP 面
成角）． 15AB m 25AC m 30BCM   tan 值
M
C
A
B
P

A． 30
5 B． 30
10 C． 43
9 D． 53
9
14．（ 2014 四川）图正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中点O 线段 BD 中点．设点 P
线段 1CC 直线OP 面 1A BD 成角 sin 取值范围
O
A1
AB
B1
C
C1
D1
D

A． 3[ 1]3 B． 6[ 1]3 C． 6 2 2[]33 D． 22[ 1]3
15．（ 2013 新课标Ⅱ）已知 mn异面直线 m  面 n 面  ．直线l 满足
l m l nll
A． ∥ ∥ B．

C．  相交交线垂直l D． 相交交线行
16．（ 2013 广东）设 m n 两条直线  两面列命题中正确

A． m  n  mn
B．  mn
C．
D． m  n 
17．（ 2012 浙江）设l 直线 两面
A． ∥ ∥   ∥  B． ∥ ⊥   ⊥ 
C． ⊥  ⊥ ⊥  D． ⊥  ∥ ⊥ 
18．（ 2012 浙江）已知矩形 ABCD 1AB  2BC  ． ABD 矩形角线 BD
直线进行翻折翻折程中
A．存某位置直线 AC 直线 BD 垂直
B．存某位置直线 AB 直线CD 垂直
C．存某位置直线 AD 直线 BC 垂直
D．意位置三直线 均垂直
19．（ 2011 浙江）列命题中错误．．
A．果面 面 面 定存直线行面 
B．果面α垂直面 面 定存直线垂直面
C．果面 面 面  面 ll  面
D．果面 面 面 直线垂直面 
20．（ 2010 山东）空间列命题正确
A．行直线行投影重合
B．行直线两面行
C．垂直面两面行
D．垂直面两条直线行
二填空题

21．(2018 全国卷Ⅱ)已知圆锥顶点 S母线 SA SB 成角余弦值 7
8
SA 圆
锥底面成角 45°△SAB 面积5 15 该圆锥侧面积_____．
22．（ 2016 年全国 II）  两面mn 两条线列四命题：
①果 mn m  n ∥  ．
②果 m  n ∥ mn ．
③果 a ∥ m  m ∥ ．
④果 mn∥ ∥ m  成角 n  成角相等．
中正确命题 ．(填写正确命题编号）
23．（ 2015 浙江）图三棱锥 A BCD 中 3AB AC BD CD    2AD BC
点 MN分 AD BC 中点异面直线 AN CM 成角余弦值 ．

24．（ 2015 四川）图四边形 ABCD ADPQ 均正方形面互相垂直
动点 M 线段 PQ EF分 AB BC 中点．设异面直线 EM AF 成角
 cos 值_________．

25．（ 2017 新课标Ⅲ） a b 空间中两条互相垂直直线等腰直角三角形 ABC 直角
边 AC 直线 垂直斜边 AB 直线 AC 旋转轴旋转列结：
①直线 成 60°角时 成 30°角
②直线 成 60°角时 成 60°角
③直线 成角值 45°
④直线 成角值 60°

中正确________．(填写正确结编号)
三解答题
26．（2018 江苏）行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 1AA AB 1 1 1AB B C ．
D1 C1
B1
A1
DC
BA

求证：(1) AB∥面 11ABC
(2)面 11ABB A  面 1A BC ．
27．（2018 浙江）图已知面体 1 1 1ABCA B C 1AA 1BB 1CC均垂直面 ABC
120ABC 1 4AA 1 1CC 1 2AB BC B B   ．
C1
B1
A1
C
B
A

(1)证明： 1AB ⊥面 1 1 1ABC
(2)求直线 1AC 面 1ABB 成角正弦值．
28．（ 2017 浙江）图已知四棱锥 P ABCD PAD AD 斜边等腰直角三角
形 BC AD∥ CD AD 22PC AD DC CB   E PD 中点．
（Ⅰ）证明：CE ∥面 PAB
（Ⅱ）求直线CE 面 PBC 成角正弦值．

E
D
CB
A
P

29．（ 2017 江苏）图三棱锥 A BCD 中AB⊥ADBC⊥BD面 ABD⊥面 BCD
点 EF（E AD 重合）分棱 ADBD EF⊥AD．
求证：（1）EF∥面 ABC
（2）AD⊥AC．
F
A
B
C
D
E

30．（2017 山东）图体圆柱部分矩形 ABCD（部） AB 边
直线旋转轴旋转120G DF 中点．
（Ⅰ）设 P CE 点 AP BE 求 CBP
（Ⅱ） 3AB  2AD  求二面角 E AG C．


31．（ 2017 江苏）图水放置正四棱柱形玻璃容器Ⅰ正四棱台形玻璃容器Ⅱ高均
32cm容器Ⅰ底面角线 AC 长 10 7 cm容器Ⅱ两底面角线 EG 11EG
长分 14cm 62cm． 分容器Ⅰ容器Ⅱ中注入水水深均 12cm． 现
根玻璃棒l 长度 40cm．（容器厚度玻璃棒粗细均忽略计）
（1） 放容器Ⅰ中 端置点 A 处端置侧棱 1CC 求 没入水中
部分长度
（2） 放容器Ⅱ中 端置点 E 处端置侧棱 1GG 求 没入水中
部分长度．

32．（ 2016 全国 I）图 ABCDEF 顶点五面体中面 ABEF
正方形 2AF FD 90AFD二面角 D AF E二面角C BE F
60 ．


（I）证明：面 ABEF  面 EFDC
（II）求二面角 E BC A余弦值．
33．（ 2016 全国 II）图菱形 ABCD 角线 AC BD 交点 O 5AB  6AC 
点 EF 分 ADCD 5
4AE CFEF 交 BD 点 H． ΔDEF EF
折ΔD EF 位置 10OD  ．
（I）证明： DH  面 ABCD
（II）求二面角 BDAC正弦值．

34．（ 2016 全国 III）图四棱锥 P ABCD 中 PA ⊥底面 ABCD AD BC
3AB AD AC 4PA BCM 线段 AD 点 2AM MD
N PC 中点．
（Ⅰ）证明 MN 面 PAB
（Ⅱ）求直线 AN 面 PMN 成角正弦值．

P
A
B
D
C
N
M

35．（ 2014 山东）图四棱锥 P ABCD 中 AP PCD 面 AD BC∥
1 2AB BC AD E F 分线段 AD PC 中点

（Ⅰ）求证： AP BEF∥面
（Ⅱ）求证： BE PAC 面
36．(2014 江苏)图三棱锥 ABCP  中 DEF 分棱 ABACPC 中点．已知
ACPA 6PA 58  DFBC
P
A
B
C
F
D
E

求证：（Ⅰ）直线 PA ∥面 DEF
（Ⅱ）面 BDE  面 ABC．
37．（ 2014 新课标Ⅱ）图四棱锥 P ABCD 中底面 ABCD矩形PA ⊥面
E PD 中点．

（Ⅰ）证明： PB ∥面 AEC
（Ⅱ）设二面角 D AE C 60°AP 1AD 3 求三棱锥 E ACD 体积．

38．（ 2014 天津）图四棱锥 P ABCD 底面 ABCD行四边形 2BA BD
2AD  5PA PDEF 分棱 AD PC 中点．
（Ⅰ）证明 EF ∥面 PAB
（Ⅱ）二面角 P AD B 60°
（ⅰ）证明：面 PBC ⊥面
（ⅱ）求直线 面 成角正弦值．
P
C
DA
B
E
F

39．（ 2013 浙江）图四棱锥 P ABCD 中 PA ⊥面 ABCD 2AB BC
7AD CD 3PA  120ABCG 线段 PC 点．
P
C
D
A
B
G

（Ⅰ）证明： BD ⊥面 APC

（Ⅱ）G PC 中点求 DG APC 成角正切值
（Ⅲ） 满足 ⊥面 BGD求 PG
GC
值．
40．（ 2013 辽宁）图AB 圆O 直径PA 垂直圆O 面C 圆O
点．
（Ⅰ）求证： BC PAC 面
（Ⅱ）设Q PA 中点G AOC 重心求证：QG∥面 PBC ．

41．（2012 江苏）图直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中 1 1 1 1ABAC DE 分棱 1BC CC
点（点D 点 C） AD DE F 11BC 中点．
E
D
F
A1
A
B
C
C1
B1

求证：（Ⅰ）面 ADE  面 11BCC B
（Ⅱ）直线 1 AF 面 ADE．
42．(2012 广东)图示四棱锥 P ABCD 中AB 面 PAD AB CD PD AD
E PB 中点 F DC 点 1
2DF AB PH PAD 中 AD 边高．

P
AB
CD
H
F
E

（Ⅰ）证明： PH 面 ABCD
（Ⅱ） 1 2 1PH AD FC   求三棱锥 E BCF 体积
（Ⅲ）证明： EF  面 PAB ．
43．（2011 江苏）图四棱锥 ABCDP  中面 PAD ⊥面 ABCD AB AD
BAD 60°EF 分 AP AD 中点．
A
B
C
DF
E

求证：（Ⅰ）直线 EF ∥面 PCD
（Ⅱ）面 BEF ⊥面 PAD ．
44．（ 2011 广东）图椎体 P ABCD 中 ABCD边长 1 棱形 DAB 60
2PA PD 2PB  EF 分 BC PC 中点．
P
AB
CD
F
E

（Ⅰ）证明： AD  面 DEF
（Ⅱ）求二面角 P AD B余弦值．
45．（ 2010 天津）图五面体 ABCDEF 中四边形 ADEF 正方形FA ⊥面 ABCD
BC ∥ AD CD 1 AD 22∠ BAD ＝∠CDA＝45°．

F
B
CD
E
A

（Ⅰ）求异面直线CE AF 成角余弦值
（Ⅱ）证明CD ⊥面 ABF
（Ⅲ）求二面角 B EF A正切值．
46．（ 2010 浙江）图行四边形 ABCD中 AB 2 BC ∠ ABC 120°． E 线段
AB 中点△ ADE 直线 DE 翻折成△ A DE 面 ⊥面 BCDF
线段 AC 中点．
M
F
D
AB
C
A＇
E
（Ⅰ）求证： BF ∥面
（Ⅱ）设 M 线段 DE 中点求直线 FM 面 成角余弦值．

专题八 立体
第二十三讲 空间中点直线面间位置关系
答案部分
2019 年
1解析 图示联结 BE BD
点 N 正方形 ABCD中心 ECD△ 正三角形面 ECD 面 M
线段 ED 中点 BM  面 BDEEN  面 BM BDE△ 中 DE 边
中线 EN BDE△ 中 BD 边中线直线 BM EN 相交直
线设 DE a 2BD a 2235 244BE a a a  
6
2BM a 2231
44EN a a a  
BM EN ．选 B．
2解析： A 数条直线  行 相交 ∥ 排
B 两条相交直线 行
C 行条直线 相交 排
D 垂直面 相交 排．
选 B．
3证明：（ 1） DE 分 BCAC 中点
ED∥AB
直三棱柱 ABCA1B1C1 中AB∥A1B1
A1B1∥ED
ED⊂面 DEC1A1B1  面 DEC1
A1B1∥面 DEC1
（2） ABBCE AC 中点 BE⊥AC
三棱柱 ABCA1B1C1 直棱柱 CC1⊥面 ABC
BE⊂面 ABC CC1⊥BE
C1C⊂面 A1ACC1AC⊂面 A1ACC1C1C∩ACC
BE⊥面 A1ACC1
C1E⊂面 A1ACC1 BE⊥C1E


4解析： lm 面 α 外两条直线知：
线面行判定定理： l l m m P．
线面行垂直性质定理 l  lm

20102018 年

1．A解析记该正方体    ABCD A B C D 正方体条棱直线面 成
角相等点三条棱 AA AB AD 面 成角相等图
D＇ C＇
B＇A＇
I
H
J
G
F
E
DC
BA

连接 AB AD BD 三棱锥   A AB D 正三棱锥
面 AB D 成角相等分取 CD BC BB AB AD DD 中
点 EFGHIJ连接 EF FG ．GH IH IJ IE 易
六点面面 EFGHIJ 面 AB D 行截正方体截面
面积 2
2     EF FG GH IH IJ JE 该正六边形面积
23 2 3 36 ( )4 3 4    截正方体截面面积值 33
4
选 A．
2．C解析解法 图
F1E1
F
D1
A1 B1
C1
E
CD
AB
补相长方体 1 1 1 1CDEF C D E F 连接 1DE 11BE．
易知 11∥AD DE 11B DE 异面直线 1AD 1DB 成角．
长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 1AB BC 1 3AA
2 2 2 2
111 ( 3) 2    DE DE EE 2 2 2
1 1 1 ( 3) 5   DB
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 2 5    BEABAE
11B DE 中余弦定理
2 2 2
11
2 ( 5) ( 5) 5cos 52 2 5
  

B DE
异面直线 成角余弦值 5
5
选 C．
解法二 D 坐标原点 DA DC 1DD 直线分 x 轴 y 轴 z 轴建立
空间直角坐标系图示．
z
y
x
BA
DC
C1
B1A1
D1

条件知 (000)D(100)A 1(00 3)D 1(11 3)B
1 ( 10 3)AD 1 (11 3)DB
量夹角公式 11
11
11
25cos 5| || | 25
   AD DBAD DB
AD DB

异面直线 1AD 1DB 成角余弦值 5
5
选 C．
3．A解析 m  n  m ∥ n 线面行判定定理知 m ∥ ． ∥
定推出 ∥ 直线 m n 异面 ∥ ∥
充分必条件．选 A．
4．D解析题意知四棱锥 S ABCD 正四棱锥图
EM
S
O
D
C
BA

连接 BD 记 AC BD O 连接 SO SO  面 ABCD取 AB 中点 M
连接 SM OM OE 易 AB SM 2 SEO  3 SMO  易知 32≥ ．
OM ∥ BC BC AB SM AB 3 OM 面 SAB 成角
BC 面 成角根角定理知 31≤ 2 3 1  ≤ ≤
选 D．
5．C解析图示三棱柱补成四棱柱异面直线 1AB 1BC 成角 11B AD
B1 A1
D1C1
DC
BA

2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 cos60 12212 32BDBCCDBCCD    
1 2AD  1 5AB 
∴
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
11
11
(5) (2) (3) 10cos 252 5 2
AB AD B DB AD AB AD
     
．选 C．
6．B解析设 O 三角形 ABC 中心底面图 2O 作 OE RP OF PQ
OG RQ 题意知 tan DO
OE  tan OD
OF  tan OD
OG 
G
F
EO
D
C
B
A
P
Q
R
x
y
A
P
B
Q
C
G
ROF
E

图 1 图 2
图 2 示 P 原点建立直角坐标系妨设 2AB  ( 10)A  (10)B
(0 3)C 3(0 )3O∵ AP PB 2BQ CR
QC RA∴ 1 2 3()33Q 23()33R 
直线 RP 方程 3
2yx 直线 PQ 方程 23yx 直线 RQ 方程
3 5 3
39yx根点直线距离公式知 2 21
21OE  39
39OF  1
3OG 
∴OF OG OE tan tan tan  
   锐角  ．选 B
7．A解析点 A 面 面 11CB D 行面 ABCD ∥面 1 1 1 1ABCD
m ∥ 11BD∥ BD 1AB∥面 n ∥ 成角
求角 成角正弦值 3
2
选 A．
8．B解析 m  lm 推出l  l ∥ m  l ∥
推出lm lm l ∥ 必充分条件选 B．
9．B解析解法 设 ADC  2AB  题意知 1AD BD A D   ．
空间图形中连结 AB 设 AB t ．
ΔA DB 中
2 2 2 2 2 2 21 1 2cos 2 2 1 1 2
A D DB A B t tA DB A D DB
          
．
A作 A N DC  B 作 BM DC 垂足分 NM．
N 作 NP MB四边形 BPNM 行四边形 NP DC
连结 A P BP A NP 二面角 A CD B面角 A NP ．
ΔRt A ND 中 cos cosDN A D A DC    sin sinA N A D A DC      ．
理 sinBM PN  cosDM  2cosBP MN  ．
显然 BP  面 A NP BP A P ．
ΔRt A BP 中 2 2 2 2 2 2(2cos ) 4cosA P A B BP t t      ．
ΔA NP 中
2 2 2
cos cos 2
A N NP A PA NP A N NP     
2 2 2 2
2
sin sin ( 4cos )
2sin
t  

  
2 2 2 2
2 2 2
2 2cos 2 cos
2sin 2sin sin
tt
  
  
2
22
1 coscossin sinA DB 

  

2
22
1 coscos cos cos cossin sinA DB A DB A DB 
        
2 2 2
2 2 2
1 sin cos coscos (1 cos ) 0sin sin sinA DB A DB  
  
       ≥
cos cos A DB ≥ （
2
 时取等号）
 [0 ]A DB  cosyx [0 ] 递减函数
A DB ≤ 选 B．
解法二 CA CB  时 A CB 排 D
0 时 0A CB 0A DB排 AC选 B．
10．D解析利正方体模型出 1l 4l 位置关系确定．选 D．
11．C解析选项 ABD 中 m 均面 行垂直斜交面 选C．
12．B解析选项 A mn m n 相交行异面A 错误
显然选项 B 正确选项 C m  mn n  n  C 错误
选项 D m  n  相交D 错误．选 B．
13．D解析作 PH BC 垂足 H设 PH x 3CH x 余弦定理
2625 3 40 3AH x  
2
11tan tan ( 0)
625 40 3 3
PHPAH AH x
xx
     


1 4 3
125x  时 tan 取值值 53
9
．
14．B解析直线OP 面 1A BD 成角 取值范围
1 1 12AOA C OA    1
6sin 3AOA
11
6 3 2 2 6sin 2 3 3 3 3C OA      sin 12
 
sin 取值范围 6[ 1]3
．
15．D解析作正方形模型 面  左侧面
m
n
l＇
l
β
α

知 D 正确．
16．D解析A 中 mn行垂直异面B 中 异面C 中 m
应  中两条相交直线垂直时结成立选 D．
17．B解析利排法选项 B 正确∵l ∥ ⊥   ．选项 A：
∥ ∥  时 ⊥  ∥  选项 C： ⊥  ⊥ ∥  l 
选项 D： ⊥  ⊥ ∥  ⊥  ．
18．B解析点 A 作 AE BD 存某位置 AC BD BD  面 ACE
BD CE 计算 BD CE 垂直 A 正确翻折 AC CD 时
BC CD CD  面 ABC AB CD AD BC
BC  面 ACD BC AC 12AB BC  
样位置存 C 正确理D 正确选 B．
19．D解析 D面  面  面 某直线垂直面 
面 关系斜交行面 余选项易知均正确．
20．D解析D 两行直线行投影定重合 A 错空间直线面位置
关系线面垂直行判定性质定理知 BC 均错误选 D．
21． 40 2 解析图示
S＇
S
A
B
设 S 底面射影 S 连接 AS SS ．SAB 面积
2 2 21 1 15sin 1 cos 5 152 2 16SA SB ASB SA ASB SA 
∴ 2 80SA  45SA  ．∵ SA 底面成角 45 ∴ 45SAS
2cos 45 4 5 2 102AS SA      ．
∴底面周长 2 4 10l AS  
∴圆锥侧面积 1 4 5 4 10 40 22    ．
22．②③④解析命题①运长方体举反例证明错误：
图妨设 AA直线 m CD
直线 n ABCD面 ．
ABC D面  显然
直线面满足题目条件 成立．
命题②正确证明：设直线 n 某面面 相交直线l ln∥
m  ml 知 mn 结正确．
面面行定义知命题③正确．
行传递性线面角定义知命题④正确．
23． 7
8
解析图连接 ND 取 ND 中点 E连接 ME CE ME AN ．

异面直线 AN CM 成角 EMC 题意知 1CN 22AN
∴ 2ME ． 22CM 22DN 2NE ∴ 3CE

2 2 2 8 2 3 7cos 282 2 2 2
CM EM CECME CM EM
       
．
24． 2
5
解析 AB x 轴 AD y 轴 AQ z 轴建立坐标系
设正方形边长 2 ．
2
2cos
55
m
m
 

令  2
2( ) ( 02 )
5 25
mf m m
m



2
2
2
(2 ) 105 25
2 5 25() 5 25
mmm
mfm m
  
  
 02 ( ) 0m f m  
max
2( ) (0) 5f m f max
2cos 5  ．
25．②③解析图 BDEF 底面圆接正方形设 1AC BC
2AB AD AE AF FB FE ED BD       
侧面均等边三角形∵ AC  底面
F
E
D
CB
A

假设 a FB∥ 题意b BD∥ 直线 AB a 成 60°角时图知 b 成 60°
角①错②正确假设 a EB∥ 知③正确④错．正确②③．
26． 证明(1)行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 AB ∥ 11AB ．
AB  面 11ABC  面
∥面 ．
D1 C1
B1
A1
DC
BA

(2)行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 中四边形 11ABB A 行四边形．
1AA AB 四边形 菱形
1AB ⊥ 1AB．
⊥ 11BC BC ∥
⊥ BC ．
B  面 1A BC 面
⊥面 ．
面
面 ⊥面 ．
27．解析(1) 2AB  1 4AA  1 2BB  1AA AB 1BB AB
1 1 1 22AB A B
2 2 2
1 1 1 1A B AB AA．
1 1 1AB A B ．
2BC  1 1CC  1BB BC 1CC BC 11 5BC 
2AB BC 120ABC 23AC 
1CC AC 1 13AC  2 2 2
1 1 1 1AB B C AC 1 1 1AB B C ．
1AB  面 1 1 1ABC．
(2)图点 1C 作 1 1 1CDAB 交直线 11AB 点 D连结 AD ．
D
A
B
C
A1
B1
C1

1AB  面 1 1 1ABC 面  面 1ABB
1 1 1CDAB 1CD 面
1C AD 1AC 面 成角．
11 5BC  11 22AB  11 21AC 
111
6cos
7
CAB 111
1sin
7
CAB
1 3CD 1
1
1
39sin 13
CDC AD AC   ．
直线 1AC 面 成角正弦值 39
13
．
方法二 (1)图 AC 中点O 原点分射线OB OC x y 轴正半轴
建立空间直角坐标系O xyz ．
O
z
y
x
C1
B1
A1
C
B
A

题意知点坐标：
(0 30)A  (100)B 1(0 34)A  1(102)B 1(0 31)C
1 (1 32)AB  11 (1 3 2)AB  11 (02 3 3)AC 
1 1 1 0AB A B 1 1 1AB A B ．
1 1 1 0AB AC 1 1 1AB AC ．
1AB  面 1 1 1ABC．
(2)设直线 1AC 面 1ABB 成角 ．
(1)知 1 (02 31)AC  (1 30)AB  1 (002)BB 
设面 法量 ( )xyzn ．

1
0
0
AB
BB
  
n
n
30
20
xy
z
  
取 ( 310)n ．
1
1
1
||39sin | cos | 13| | | |
ACAC
AC
     

nn
n
．
直线 面 成角正弦值 39
13
．
28．解析（Ⅰ）图设 PA 中点 F连结 EFFB．
FH
M
N
Q
E
D
CB
A
P

EF 分 PDPA 中点 EF∥AD 1
2EF AD
BC∥AD 1
2BC AD
EF∥BC EFBC
四边形 BCEF 行四边形 CE∥BF
CE∥面 PAB．
（Ⅱ）分取 BCAD 中点 MN．连结 PN 交 EF 点 Q连结 MQ．
EFN 分 PDPAAD 中点 Q EF 中点
行四边形 BCEF 中MQ∥CE．
PAD 等腰直角三角形
PN⊥AD．
DC⊥ADN AD 中点
BN⊥AD．
AD⊥面 PBN
BC∥AD BC⊥面 PBN
面 PBC⊥面 PBN．
点 Q 作 PB 垂线垂足 H连结 MH．
MH MQ 面 PBC 射影∠QMH 直线 CE 面 PBC 成角．
设 CD1．
PCD 中 PC2CD1PD 2 CE
△ PBN 中 PNBN1PB 3 1
4QH 
Rt MQH 中 1
4QH  MQ 2
2sin 8QMH
直线 CE 面 PBC 成角正弦值 2
8
．
29．解析证明：（1）面 ABD AB AD EF AD EF AB∥ ．
EF 面 ABC AB  面 EF ∥面 ．
（2）面 ABD ⊥面 BCD
面 ABD 面 BD
BC 面 BC BD
BC  面 ABD ．
AD 面 AD ．
AB AD BC AB B AB  面 BC 面
AD ⊥面
AC  面
AD AC ．
30．解析（Ⅰ） AP BE AB BE
AB AP  面 ABP AB AP A
BE 面 ABP
BP 面 ABP
BE BP 120EBC  
30CBP  
（Ⅱ）解法：

取 EC 中点 H连接 EH GH CH ．
120EBC  
四边形 BEHC 菱形
223 2 13AE GE AC GC      ．
取 AG 中点 M连接 EM CM EC ．
EM AG CM AG
EMC 求二面角面角．
1AM  13 1 2 3EM CM    ．
BEC 中 120EBC  
余弦定理 2 2 22 2 2 2 2 cos120 12EC        
23EC  EMC 等边三角形
求角60．
解法二：

B 坐标原点分 BE BP BA 直线 x y z 轴建立图示
空间直角坐标系．
题意 (003)A(200)E(1 33)G( 1 30)C 
(20 3)AE (1 30)AG  (203)CG 
设 1 1 1()m x y z 面 AEG 法量．
0
0
m AE
m AG
  
11
11
2 3 0
3 0
xz
xy
 

取 1 2z  面 AEG 法量 (3 32)m ．
设 2 2 2()n x y z 面 ACG 法量．
0
0
n AG
n CG
  
22
22
3 0
2 3 0
xy
xz
  

取 2 2z  面 ACG 法量 (3 3 2)n    ．
1cos | | | | 2
mnmn mn
  
．
求角60．
31．解析（1）正棱柱定义 1CC  面 ABCD
面 11A ACC 面 1CC AC ．
记玻璃棒端落 1CC 点 M 处．
10 7AC  40AM  ．
2240 (10 7) 30MN    3sin 4MAC．
记 AM 水交点 1P 作 11PQ AC 1Q 垂足
11PQ 面 11 12PQ 
11
1 16sin
PQAP MAC
．
答：玻璃棒l 没入水中部分长度 16cm．
( 果没入水中部分理解水面部分结果 24cm)


（2）图O 1O 正棱台两底面中心．
正棱台定义 1OO ⊥面 EFGH
面 11E EGG ⊥面 ⊥ EG ．
理面 ⊥面 1 1 1 1EFGH ⊥ 11EG ．
记玻璃棒端落 1GG 点 N 处．
G 作GK ⊥ K 垂足 GK 32．
EG 14 62
1KG 62 14 242
  2 2 2 2
11 24 32 40GG KG GK     ．
设 1 EGG ENG∠ ∠ 11
4sin sin( ) cos25KGG KGG    ∠ ∠ ．

2     3cos 5  ．
ENG△ 中正弦定理 40 14
sin sin 解 7sin 25  ．
0 2  24cos 25  ．
sin sin( ) sin( ) sin cos cos sinNEG              ∠
4 24 7 3( 3
5)5 25 25 5      ．
记 EN 水面交点 2P 作 22PQ EG 2Q 垂足 22PQ ⊥面 EFGH
12 2EP 22 20sin
P
NEG
Q ∠ ．
答玻璃棒l 没入水中部分长度 20cm．
(果没入水中部分理解水面部分结果 20cm)
32．解析（Ⅰ）已知 AF DF AF FE AF 面 EFDC．
AF  面 ABEF 面 ABEF  面 ．
（Ⅱ） D 作 DG EF 垂足G（Ⅰ）知 DG  面 ．
坐标原点GF 方 x 轴正方||GF 单位长度建立图示空
间直角坐标系G xyz ．
（Ⅰ）知 DFE 二面角 D AF E面角 60DFE 2DF 
3DG  (140)A( 340)B  ( 300)E  (00 3)D．
已知 AB EF∥ AB∥面 ．
面 ABCD 面 EFDC DC AB CD∥ CD EF∥ ．
BE AF∥ BE 面 CEF 二面角C BE F面角
60CEF． ( 20 3)C  ．
(10 3)EC  (040)EB  ( 3 4 3)AC    ( 400)AB  ．
设  n x y z 面 BCE 法量
C0
0
n
n
    
30
40
xz
y
  

取  30 3n ．
设 m 面 CD 法量 C0
0
m
m
      

理取  0 34m  ． 2 19cos 19
nmnm nm
   ．
二面角 C   余弦值 2 19
19 ．

33．解析（I）证明：∵ 5
4AE CF
∴ AE CF
AD CD ∴ EF AC∥ ．
∵四边形 ABCD菱形
∴ AC BD ∴ EF BD
∴ EF DH ∴ EF D H ．
∵ 6AC  ∴ 3AO 
5AB  AO OB ∴ 4OB 
∴ 1AEOH ODAO   ∴ 3DH D H
∴ 2 2 2＇OD OH D H  ∴ ＇D H OH ．
∵OH EF HI∴ ＇DH 面 ABCD．
（Ⅱ）建立图坐标系 H xyz ．

 5 0 0B  1 3 0C  ＇ 0 0 3D  1 3 0A 
 4 3 0AB 
uuur
 ＇ 1 3 3AD 
uuur
 060AC 
uuur

设面 ＇ABD 法量  1n x y z
ur

1
1
0
0
n AB
n AD
  
4 3 0
3 3 0
xy
x y z

   
取
3
4
5
x
y
z

 
 
∴  1 3 4 5n 
ur
．
理面 ＇AD C 法量  2 3 0 1n 
uur

∴ 12
12
95 75cos 255 2 10
nn
nn

   

ur uur
ur uur ∴ 2 95sin 25  ．
34．解析（Ⅰ）已知 23
2  ADAM
取 BP 中点T连接 TNAT ．
N PC 中点知 BCTN 22
1  BCTN ．
BCAD TN 行等 AM 四边形 AMNT行四边形
ATMN ．
AT 面 PAB MN 面 MN 面 ．
（Ⅱ）取 BC 中点 E连结 AE ACAB  BCAE  ADAE 
5)2( 2222  BCABBEABAE ．
A 坐标原点 AE 方 x 轴正方建立图示空间直角坐标系
xyzA 题意知

)400(P)020(M)025(C)212
5(N
(02 4)PM )212
5( PN
)212
5(AN ．
设 ()x y zn 面 PMN 法量 0
0
PM
PN
  
n
n






022
5
042
zyx
zx

取 (021)n 
| | 8 5| cos | 25| || |
n ANn AN
n AN
    ．
35．解析（Ⅰ）设 AC BE O 连结 OFEC

E AD 中点 1 2AB BC AD AD BC
AE BC AE AB BC
四边形 ABCE 菱形 O AC 中点 F PC 中点
PAC 中 AP OF ．
OF  面 BEF AP  面 AP ∥面 ．
（Ⅱ）题意知 ED BC ED BC 四边形 BCDE 行四边形
BE CD． AP 面 PCD AP CD AP BE ．
四边形 ABCE 菱形 BE AC ．
AP AC A APAC  面 PAC BE  面 PAC ．
36．解析（Ⅰ）∵ DE PC AC 中点∴DE∥PA
∵ PA  面 DEFDE 面 DEF∴PA∥面 DEF
（Ⅱ）∵ 中点∴ 1 32DE PA
∵ EF AC AB 中点∴ 1 42EF BC
∴ 2 2 2DE EF DF∴ 90DEF°∴DE⊥EF
∵ DE PA PA AC∴ DE AC
∵ AC EF E ∴DE⊥面 ABC
∵DE  面 BDE∴面 BDE⊥面 ABC．
37．解析（Ⅰ）连接 BD 交 AC 点 O连结 EO．
ABCD 矩形 O BD 中点．
E PD 中点 EO∥PB．
EO 面 AECPB 面 AEC PB∥面 AEC．
（Ⅱ） PA  面 ABCDABCD 矩形 ABADAP 两两垂直．
图 A 坐标原点 AB 方 x 轴正方 AP 单位长建立空间直角
坐标系 A xyz
x
y
z
O
A
BC
D
P
E

(0 30)D 31(0 )22E 31(0 )22AE  ．
设 ( 00)( 0)b m m ( 30)cm ( 30)AC m ．
设 1 ()n x y z 面 ACE 法量
1
1
0
0
n AC
n AE
  

3 0
31022
mx y
yz
 

取 1
3( 1 3)n m．
2 (100)n  面 DAE 法量
题设 12
1cos 2nn  2
31
3 4 2m 
解 3
2m  ．
E PD 中点三棱锥 E ACD 高 1
2
．
三棱锥 体积 1 1 3 1 333 2 2 2 8V       ．
38．解析（Ⅰ）证明：图取 PB 中点 M连接 MFAM． F PC 中点
MFBC MF 1
2 BC．已知 BCADBCAD． E AD 中点
MFAE MFAE四边形 AMFE 行四边形
EFAM AM 面 PAB EF 面 PAB
EF面 PAB．
（Ⅱ）（i）证明：连接 PEBE． PAPDBABD E AD 中点
PE  ADBE AD  PEB 二面角 PADB 面角．三角形 PAD 中
2 5AD PA PD   解 PE2．
三角形 ABD 中 2BA BD解 BE1．
三角形 PEB 中PE2BE1 60PEB
余弦定理解 PB 3 90PBE BE  PB
BCADBE AD BE BC BE 面 PBC． BE 面 ABCD
面 PBC 面 ABCD．
（ii）连接 BF（i）知 BE 面 PBC． EFB 直线 EF 面 PBC 成角
PB 3 PA 5 AB 2 ABP 直角 MB 1
2 PB 3
2
AM 11
2

EF 11
2
BE1直角三角形 EBF 中 2 11sin 11
BEEFB EF  
直线 EF 面 PBC 成角正弦值 2 11
11
39．解析（Ⅰ）设点 O ACBD 交点
AB＝BCAD＝CD BD 线段 AC 中垂线．
O AC 中点BD⊥AC．
PA⊥面 ABCDBD 面 ABCD
PA⊥BD． BD⊥面 APC．

（Ⅱ）连结 OG．(1)知 OD⊥面 APC DG 面 APC 射影 OG
∠OGD DG 面 APC 成角．
题意 OG＝ 1
2 PA＝ 3
2
．
△ABC 中AC＝ 222 cosAB BC AB BC ABC     ＝ 23
OC＝ AC＝ 3 ．
直角△OCD 中OD＝ 22CD OC ＝2．
直角△OGD 中tan∠OGD＝ 43
3
OD
OG  ．
DG 面 APC 成角正切值 43
3
．
（Ⅲ）连结 OG． PC⊥面 BGDOG  面 BGD PC⊥OG．
直角△PAC 中 PC＝ 15 ．
GC＝ 2 15
5
AC OC
PC
  ．
PG＝ 3 15
5

3
2
PG
GC  ．
40．解析（Ⅰ） AB 圆 O 直径 AC⊥BC．
PA⊥面 ABCBC 面 ABC PA⊥BC
PA∩ACAPA 面 PACAC 面 PAC
BC⊥面 PAC．
（Ⅱ）连 OG 延长交 AC M链接 QMQO．
M
Q
O
P
AB
C
G

G ∆AOC 重心 M AC 中点
G PA 中点 QMPC．
O AB 中点 OMBC．
QM∩MOMQM 面 QMO．
QG面 PBC．
41．解析（Ⅰ） 1 1 1ABC A B C 直三棱柱 1CC  面 ABC
AD  面 ABC AD AD 1DE CC
DE  面 11BCC B DE E  面
AD 面 ADE面ADE  面 ．
（Ⅱ） 1 1 1 1ABAC F 11CB 中点 1 1 1AFBC ．  面 1 1 1ABC
1AF  面 1 1 1ABC 1 AF 11BC  面
 1 1 1BCC 1AF 面 1 AF AD．
AD  面 ADE 1AF 面 面 ．
42．解析（Ⅰ） AB 面 PAD PH  面 PH AB
PH AD AD AB A PH   面 ABCD
（Ⅱ） E PB 中点点 E 面 BCF 距离 11
22h PH
三棱锥 E BCF 体积 1 1 1 1 1 2123 3 2 6 2 12BCFV S h FC AD h   
（Ⅲ）取 PA 中点G连接 DG EG PD AD DG PA  
面 面 PAD 面 PAB DG面
点 EG棱 PB PA中点 1122EG AB DF AB EG DF DG EF  
： EF  面 PAB ．
43． 证明：（Ⅰ）△ PAD 中 EF 分 APAD 中点 EFPD．
EF 面 PCDPD 面 PCD直线 EF面 PCD．
P
A
B
C
DF
E

（Ⅱ）连结 DB ABAD∠BAD60°△ ABD 正三角形 F AD
中点 BF⊥AD．面 PAD⊥面 ABCDBF 面 ABCD面 PAD
面 ABCDAD BF⊥面 PAD． BF 面 BEF面 BEF⊥面
PAD．
44．解析法：（Ⅰ）证明：取 AD 中点 G连接 PGBGBD． PAPD
PG AD ABD 中 1 60AB AD DAB     ABD 等边
三角形 BG AD BG PG G  
AD  面 PBG AD PB AD GB  
PBEF AD EF DEGB AD  DE FE DE E
AD  面 DEF．
DC
BA
P
F
EG

（Ⅱ） PG AD BG ADPGB 二面角 P—AD—B 面角
2 2 2 7 4Rt PAG PG PA AG   中
3sin 60 2Rt ABG BG AB中
2 2 2
734 2144cos 27732 22
PG BG PBPGB PG BG
      

法二：（Ⅰ）取 AD 中点 G PA PD PG AD
60 AB AD DAB ABD     等边三角形 BG AD
AD  面 PBG．
延长 BG O PO  OB PO  面 PBGPO  AD
AD OB G PO  面 ABCD．
O 坐标原点菱形边长单位长度直线 OBOP 分 x 轴z 轴行
AD 直线 y 轴建立图示空间直角坐标系．
设 11(00 ) ( 00) ( 0) ( 0)22P m G n A n D n
y
z
x
P
AB
CD
O
F
EG

3| | | | sin 60 2GB AB  
3 3 3 1 3 1( 00) ( 10) ( 0) ( )2 2 2 2 2 4 2 2
nmB n C n E n F    
33(010) ( 00) ( 0 )2 2 4 2
nmAD DE FE    
0 0 AD DE AD FE AD DE AD FE DE FE E       
AD面 DEF．
（Ⅱ） 13( ) ( 0 )22PA n m PB n m     
2 2 2 21 3 32 ( ) 2 1 4 2 2m n n m m n        解
取面 ABD 法量 1 (00 1)n 
设面 PAD 法量 2 ()n a b c
22
330 0 0 02 2 2 2
bbPA n a c PD n a c         
取 2
3(10 )2n 
12
3
212cos 771 4
nn

    


45．解析（Ⅰ）四边形 ADEF 正方形 FA ED ． CED 异面直线CE
AF 成角．  面 ABCD  CD ．  ．
Rt △CDE 中 1 22CE 22CD ED 3
cos ED
CE 22
3
．
异面直线 成角余弦值 22
3
．
（Ⅱ）证明：点 B 作 BG 交 AD 点G 45BGA CDA    ．
45BAD  AB    A
 面 ABF ．
(Ⅲ)解：（Ⅱ）已知 AG 2 G AD 中点．取 EF 中点 N连接GN
 BC AD ．点 N 作 NM  交 M
GNM 二面角 BA 面角．
连接GM AD  面GNM AD  ． BC  ．已知
2
2
． NG FA FA  NG  ．
△ NGM 中 tan GM 1
NG 4GNM  
二面角 正切值 1
4
．
46．解析 (Ⅰ)取 AD 中点G连结GF CE 条件易知
N
G
M
F
D
AB
C
A＇
E

FG CD∥ 1
2FG CD ． BE CD∥ 1
2BE CD ． FG BE∥ FG BE ．
四边形 BEGF 行四边形 BF EG∥
EG  面 ＇A DE BF  面 面
（Ⅱ）行四边形 ABCD中设 BC a 2AB CD a
AD AE EB a   连CE 0120ABC
△ BCE 中CE 3 a
△ ADE 中 DE
△CDE 中 222CD CE DECE DE
正三角形 中M DE 中点 AM ⊥ ．
面 ⊥面 BCD
知 ⊥面 ⊥CE ．
取 AE 中点 N连线 NM NF
⊥ DE ⊥ ．
交 M
⊥面
∠ FMN 直线 FM 面 成角．
Rt△ 中 3
2 MN 1
2
FM
cos FMN 1
2
．
直线 FM 面 成角余弦值 ．


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