第2课时 直线椭圆位置关系
基础关练
题组 直线椭圆位置关系
1直线ykxk+1椭圆x29+y241位置关系( )
A相切
B相交
C相离
D确定
2直线yx+2椭圆x2m+y231两公点实数m取值范围( )
A(1+∞)
B(13)∪(3+∞)
C(03)
D(∞3)∪(30)∪(1+∞)
3已知F1(20)F2(20)焦点椭圆直线x+3y+40仅公点椭圆长轴长( )
A32
B26
C27
D42
4直线ykxk+1(k∈R)焦点x轴椭圆x25+y2m1总公点实数m取值范围
5已知椭圆4x2+y21直线yx+m
(1)直线椭圆公点时求实数m取值范围
(2)直线椭圆相切时求直线方程
题组二 椭圆弦长中点弦问题
6(安徽安庆高二调研)已知直线l点P(32)椭圆Cx220+y2161相交AB两点点P弦AB中点直线l斜率( )
A35 B65
C65 D35
7椭圆x24+y231焦点F作垂直长轴弦弦长( )
A34 B3 C23 D833
8已知椭圆Ex2a2+y2b21(a>b>0)右焦点F(30)点F直线交EAB两点弦AB中点坐标(11)E方程( )
Ax245+y2361 Bx236+y2271
Cx227+y2181 Dx218+y291
9椭圆x2+2y24左焦点作倾斜角π3弦AB弦AB长( )
A67 B167 C716 D76
10已知椭圆mx2+ny21(m>0n>0m≠n)直线y1x交MN两点原点线段MN中点连直线斜率22mn值( )
A22 B233
C922 D2327
11椭圆x25+y241右焦点作条斜率2直线椭圆交AB两点O坐标原点△OAB面积
12已知椭圆E点A(23)称轴坐标轴离心率e12焦点F1F2x轴左焦点F1A作直线交椭圆E点B
(1)求椭圆E方程
(2)求△ABF2面积
13已知点A(11)直线l椭圆x28+y241交BC两点直线l绕点A(11)旋转时求弦BC中点M轨迹方程
题组三 椭圆关综合问题
14已知椭圆x212+y231左焦点F1点P椭圆果线段PF1中点My轴点M坐标( )
A±34 B±32
C±22 D±34
15已知椭圆Cx22+y21右焦点F直线lx2点A直线l线段AF交椭圆C点BFA3FB|AF|( )
A2 B2
C3 D3
16图面直角坐标系xOy中F椭圆x2a2+y2b21(a>b>0)右焦点直线yb2椭圆交BC两点∠BFC90°该椭圆离心率
17已知动点P面两定点A(20)B(20)连线斜率积定值12
(1)试求动点P轨迹C方程
(2)设直线lykx+1曲线C交MN两点|MN|423时求直线l方程
18(福建南芝华中学高二期中)已知中心坐标原点O椭圆C点A(23)点F(20)右焦点
(1)求椭圆C方程
(2)直线l行直线OA点(0t)直线l椭圆C公点求t取值范围
力提升练
选择题
1(江西南昌高二月考★★☆)椭圆x29+y231条弦点M(11)分条弦直线方程( )
Ax+3y40 Bx3y+20
C3xy20 D3x+y40
2(2018吉林省实验中学期末★★☆)已知椭圆x2a2+y2b21(a>b>0)左右焦点分F1F2F1x轴垂直直线交椭圆AB两点直线AF2椭圆交点CS△ABC3S△BCF2椭圆离心率 ( )
A55 B33
C105 D3310
3(2018安徽合肥期末★★☆)已知椭圆x2+y241 点A1212B121椭圆某弦中点线段AB弦直线斜率kk取值范围( )
A[42] B[21]
C[41] D112
4(★★☆)点(xy)椭圆4x2+y24yx2值( )
A1 B1
C233 D233
5(东北三校高三第二次模拟★★★)已知直线y2x+m椭圆Cx25+y21相交AB两点O坐标原点△AOB面积取值时|AB|( )
A54221 B21021
C2427 D3427
二填空题
6(河南创新发展联盟高二第三次联考★★☆)点P椭圆Ex24+y21动点点P直线lxy350距离值
三解答题
7(福建南高三第次质检★★☆)已知椭圆Cx2a2+y2b21(a>b>0)长轴长离心率2倍直线l4x4y+30交CAB两点AB中点横坐标12
(1)求椭圆C方程
(2)MN椭圆C点O坐标原点满足|OM|2+|ON|234求证OMON斜率方积定值
8(2017湖南岳阳中期末★★★)已知圆Ox2+y26P圆O动点P作PM⊥x轴MNPM点PM2NM
(1)求点N轨迹C方程
(2)A(21)B(30)B直线曲线C相交DE两点kAD+kAE定值请求出该值请说明理
答案全解全析
基础关练
1B 直线ykxk+1变形y1k(x1)直线恒定点(11)该点椭圆x29+y241部直线ykxk+1椭圆x29+y241相交选B
2B yx+2x2m+y231消y整理(3+m)x2+4mx+m0
直线椭圆两公点
3+m≠0Δ(4m)24m(3+m)>0
解m<0m>1m≠3
x2m+y231表示椭圆知m>0m≠3
综m>1m≠3选B
3C 设椭圆方程mx2+ny21(m>0n>0m≠n)
mx2+ny21x+3y+40消x
(3m+n)y2+83my+16m10
∵直线椭圆交点
∴Δ192m24(3m+n)(16m1)0
整理3m+n16mn
3n+1m16①
c2焦点x轴
∴1m1n4②
①②解m17n13
∴长轴长27
4答案 545
解析 直线ykxk+1k(x1)+1恒定点(11)直线椭圆总公点等价点(11)椭圆椭圆125+12m≤1m≥54椭圆焦点x轴05解析 (1)联立方程4x2+y21yx+m消y整理5x2+2mx+m210
∵直线椭圆公点
∴Δ4m220(m21)2016m2≥0
∴52≤m≤52
(2)令Δ4m220(m21)2016m20
解m±52∴直线方程yx±52
6C 设A(x1y1)B(x2y2)x1220+y12161x2220+y22161两式相减(x1x2)(x1+x2)20+(y1y2)(y1+y2)160
点P(32)弦AB中点
x1+x26y1+y243(x1x2)10+y1y240kABy1y2x1x265选C
7B 妨设F(10)椭圆焦点F垂直长轴弦椭圆交点坐标1±32该弦长3
8D 直线AB点F(30)点(11)直线AB方程y12(x3)代入椭圆方程x2a2+y2b21消ya24+b2x232a2x+94a2a2b20弦AB中点横坐标32a22a24+b21a22b2a2b2+c2bc3a218E方程x218+y291选D
9B 易求直线AB方程y3(x+2)y3(x+2)x2+2y24消y整理7x2+122x+80设A(x1y1)B(x2y2)
x1+x21227x1x287
弦长公式|AB|1+k2·|x1x2|1+(3)2×122724×87167
10A 联立方程y1xmx2+ny21消y(m+n)x22nx+n10
设M(x1y1)N(x2y2)MN中点P(x0y0)
x0x1+x22nm+n
y01x01nm+nmm+n
∴kOPy0x0mn22选A
11答案 53
解析 题意知椭圆右焦点坐标(10)直线方程y2(x1)x25+y241联立消y3x25x0
设A(x1y1)B(x2y2)
x1+x253x1x20
|AB|1+k2·|x1x2|1+22×5324×0553设原点直线距离dd|2|12+2225
S△OAB12|AB|·d12×553×2553
12解析 (1)设椭圆E方程x2a2+y2b21(a>b>0)根题意4a2+9b211b2a212
解a216b212椭圆E方程x216+y2121
(2)(1)知a216b212F1(20)F2(20)AF2⊥x轴
直线ABA(23)F1(20)方程y34(x+2)
y34(x+2)3x2+4y2487y212y270
∴yA+yB127yA3∴yB97
∴S△ABF212·2c·|yAyB|12×2×2×307607
13解析 设直线l椭圆交点BC坐标分(x1y1)(x2y2)弦BC中点M坐标(xy)
x128+y1241①x228+y2241②
①②x128x228+y124y2240
∴(x1+x2)(x1x2)+2(y1+y2)(y1y2)0③
x1≠x2时③式化(x1+x2)+2(y1+y2)·y2y1x2x10
∵x1+x22xy1+y22yy2y1x2x1y1x+1
∴2x+2·2y·y1x+10
化简x2+2y2+x2y0
x1x2时∵点M(xy)线段BC中点
∴x1y0显然适合式
综述弦BC中点M轨迹方程x2+2y2+x2y0
14A 设椭圆右焦点F2原点O线段F1F2中点OM∥PF2OM12PF2PF2⊥F1F2易知F2(30)∴点P横坐标3x3时912+y231解y±32点M坐标±34
15A 设点A(2n)B(x0y0)
椭圆Cx22+y21知a22b21
∴c21c1∴F(10)
∴FA(1n)FB(x01y0)
FA3FB(1n)3(x01y0)
∴13(x01)n3y0
解x043y013n
x0y0代入x22+y2112×432+13n21解n21
∴|AF|12+n21+12
16答案 63
解析 yb2代入x2a2+y2b21
解x±32aB32ab2
C32ab2F(c0)∠BFC90°BF·CFc+32ab2·c32ab2c234a2+14b20结合a2b2+c2化简3c2a∴离心率eca63
17解析 (1)设动点P坐标(xy)
题意kPA·kPB12
∴yx+2·yx212
化简整理x22+y21
动点P轨迹C方程x22+y21(x≠±2)
(2)设M(x1y1)N(x2y2)
联立ykx+1x22+y21消y
整理(1+2k2)x2+4kx0
∴x1+x24k1+2k2x1·x20
∴|MN|1+k2·(x1+x2)24x1·x2423整理k4+k220
解k21k22(舍)
∴k±1检验均符合题意
∴直线l方程xy+10x+y10
18解析 (1)设椭圆C方程x2a2+y2b21(a>b>0)左焦点F＇F＇(20)
∴c22a|AF|+|AF＇|02+32+42+328
解c2a4a2b2+c2∴b212
椭圆C方程x216+y2121
(2)题意设直线l方程y32x+ty32x+tx216+y2121
消y3x2+3tx+t2120
令Δ(3t)24×3(t212)≥0
解43≤t≤43
∴t取值范围[4343]
力提升练
选择题
1A 设该直线椭圆交点A(x1y1)B(x2y2)
x129+y1231x229+y2231两式作差(x1x2)(x1+x2)9(y1y2)(y1+y2)3
∴kABy1y2x1x213·x1+x2y1+y2
∵MAB中点∴x1+x22y1+y22
∴kAB13
∴直线方程y113(x1)x+3y40
2A 设F1坐标(c0)F2坐标(c0)F1x轴垂直直线方程xc代入椭圆方程y±b2a设Acb2aC(xy)题意△ABF2面积△BCF2面积2倍AF22F2C2cb2a2(xcy)2c2x2cb2a2yx2cyb22a代入椭圆方程4c2a2+b24a214c2a2+a2c24a21
∴4e2+1414e21解e55(负值舍)选A
3A 设椭圆x2+y241某弦两端点分P(x1y1)Q(x2y2)中点M(x0y0)x1+x22x0y1+y22y0
x12+y1241①x22+y2241②
①②(x12x22)+14(y12y22)0
ky1y2x1x24(x1+x2)y1+y24x0y0
∵点M线段AB
∴x01212≤y0≤1
∴k4x0y02y02≤2y0≤44≤2y0≤2k∈[42]选A
4C 设yx2kyk(x2)
4x2+y24yk(x2)消y整理
(k2+4)x24k2x+4(k21)0
令Δ16k44×4(k21)(k2+4)≥0
解233≤k≤233
∴kmin233选C
5A y2x+mx25+y2121x2+20mx+5m250
设A(x1y1)B(x2y2)x1+x220m21x1x25m2521
|AB|1+k2×(x1+x2)24x1x25×20(21m2)211021m221
O直线AB距离d|m|5
△AOB面积S12d·|AB|5m2(21m2)21≤5×m2+21m222152
仅m221m2m2212时△AOB面积取值
时|AB|1021m22154221
二填空题
6答案 10
解析 设l行直线l1xy+m0联立x24+y21xy+m0整理5x2+8mx+4m240
令Δ64m24×5(4m24)0解m±5
∴直线l直线l1间距离|5+35|1+1210|5+35|1+110
∴点P直线l距离10
三解答题
7解析 椭圆Cx2a2+y2b21(a>b>0)长轴长离心率2倍
2a2ea2c①
设A(x1y1)B(x2y2)
联立x2a2+y2b214x4y+30
整理(a2+b2)x2+32a2x+916a2a2b20
x1+x232a2a2+b2
题意32a2a2+b21a22b2②
c2a2b2③
①②③a212b214
椭圆C方程2x2+4y21
(2)证明设M(x3y3)N(x4y4)|OM|2+|ON|234x32+y32+x42+y4234④
M(x3y3)N(x4y4)椭圆C
2x32+4y321⑤2x42+4y421⑥
⑤+⑥x32+x42+2y32+2y421⑦
⑦④y32+y4214⑧
⑧代入④x32+x4212
kOM2·kON2y32y42x32x4214(12x32)·14(12x42)x32x42116[12(x32+x42)+4x32x42]x32x4214
8解析 (1)设N(xy)P(x0y0)M(x00)PM(0y0)NM(x0xy)
PM2NM
02(x0x)y02y∴x0xy02y
点P圆Ox2+y26
∴x02+y026
∴x2+(2y)26x26+y231
∴点N轨迹C方程x26+y231
(2)kAD+kAE定值设D(x1y1)E(x2y2)点B直线DE方程yk(x3)
yk(x3)x26+y231消y
(2k2+1)x212k2x+18k260
∴Δ(12k2)24(2k2+1)(18k26)2424k2令Δ>01x1+x212k22k2+1x1x218k262k2+1
∴kAD+kAEy11x12+y21x22
kx1(3k+1)x12+kx2(3k+1)x22
2kx1x2(5k+1)(x1+x2)+12k+4x1x22(x1+x2)+4
2k·18k262k2+1(5k+1)·12k22k2+1+12k+418k262k2+12·12k22k2+1+4
4k2+42k222
∴kAD+kAE定值kAD+kAE2
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基础关练
题组 直线椭圆位置关系
1直线ykxk+1椭圆x29+y241位置关系( )
A相切
B相交
C相离
D确定
2直线yx+2椭圆x2m+y231两公点实数m取值范围( )
A(1+∞)
B(13)∪(3+∞)
C(03)
D(∞3)∪(30)∪(1+∞)
3已知F1(20)F2(20)焦点椭圆直线x+3y+40仅公点椭圆长轴长( )
A32
B26
C27
D42
4直线ykxk+1(k∈R)焦点x轴椭圆x25+y2m1总公点实数m取值范围
5已知椭圆4x2+y21直线yx+m
(1)直线椭圆公点时求实数m取值范围
(2)直线椭圆相切时求直线方程
题组二 椭圆弦长中点弦问题
6(安徽安庆高二调研)已知直线l点P(32)椭圆Cx220+y2161相交AB两点点P弦AB中点直线l斜率( )
A35 B65
C65 D35
7椭圆x24+y231焦点F作垂直长轴弦弦长( )
A34 B3 C23 D833
8已知椭圆Ex2a2+y2b21(a>b>0)右焦点F(30)点F直线交EAB两点弦AB中点坐标(11)E方程( )
Ax245+y2361 Bx236+y2271
Cx227+y2181 Dx218+y291
9椭圆x2+2y24左焦点作倾斜角π3弦AB弦AB长( )
A67 B167 C716 D76
10已知椭圆mx2+ny21(m>0n>0m≠n)直线y1x交MN两点原点线段MN中点连直线斜率22mn值( )
A22 B233
C922 D2327
11椭圆x25+y241右焦点作条斜率2直线椭圆交AB两点O坐标原点△OAB面积
12已知椭圆E点A(23)称轴坐标轴离心率e12焦点F1F2x轴左焦点F1A作直线交椭圆E点B
(1)求椭圆E方程
(2)求△ABF2面积
13已知点A(11)直线l椭圆x28+y241交BC两点直线l绕点A(11)旋转时求弦BC中点M轨迹方程
题组三 椭圆关综合问题
14已知椭圆x212+y231左焦点F1点P椭圆果线段PF1中点My轴点M坐标( )
A±34 B±32
C±22 D±34
15已知椭圆Cx22+y21右焦点F直线lx2点A直线l线段AF交椭圆C点BFA3FB|AF|( )
A2 B2
C3 D3
16图面直角坐标系xOy中F椭圆x2a2+y2b21(a>b>0)右焦点直线yb2椭圆交BC两点∠BFC90°该椭圆离心率
17已知动点P面两定点A(20)B(20)连线斜率积定值12
(1)试求动点P轨迹C方程
(2)设直线lykx+1曲线C交MN两点|MN|423时求直线l方程
18(福建南芝华中学高二期中)已知中心坐标原点O椭圆C点A(23)点F(20)右焦点
(1)求椭圆C方程
(2)直线l行直线OA点(0t)直线l椭圆C公点求t取值范围
力提升练
选择题
1(江西南昌高二月考★★☆)椭圆x29+y231条弦点M(11)分条弦直线方程( )
Ax+3y40 Bx3y+20
C3xy20 D3x+y40
2(2018吉林省实验中学期末★★☆)已知椭圆x2a2+y2b21(a>b>0)左右焦点分F1F2F1x轴垂直直线交椭圆AB两点直线AF2椭圆交点CS△ABC3S△BCF2椭圆离心率 ( )
A55 B33
C105 D3310
3(2018安徽合肥期末★★☆)已知椭圆x2+y241 点A1212B121椭圆某弦中点线段AB弦直线斜率kk取值范围( )
A[42] B[21]
C[41] D112
4(★★☆)点(xy)椭圆4x2+y24yx2值( )
A1 B1
C233 D233
5(东北三校高三第二次模拟★★★)已知直线y2x+m椭圆Cx25+y21相交AB两点O坐标原点△AOB面积取值时|AB|( )
A54221 B21021
C2427 D3427
二填空题
6(河南创新发展联盟高二第三次联考★★☆)点P椭圆Ex24+y21动点点P直线lxy350距离值
三解答题
7(福建南高三第次质检★★☆)已知椭圆Cx2a2+y2b21(a>b>0)长轴长离心率2倍直线l4x4y+30交CAB两点AB中点横坐标12
(1)求椭圆C方程
(2)MN椭圆C点O坐标原点满足|OM|2+|ON|234求证OMON斜率方积定值
8(2017湖南岳阳中期末★★★)已知圆Ox2+y26P圆O动点P作PM⊥x轴MNPM点PM2NM
(1)求点N轨迹C方程
(2)A(21)B(30)B直线曲线C相交DE两点kAD+kAE定值请求出该值请说明理
答案全解全析
基础关练
1B 直线ykxk+1变形y1k(x1)直线恒定点(11)该点椭圆x29+y241部直线ykxk+1椭圆x29+y241相交选B
2B yx+2x2m+y231消y整理(3+m)x2+4mx+m0
直线椭圆两公点
3+m≠0Δ(4m)24m(3+m)>0
解m<0m>1m≠3
x2m+y231表示椭圆知m>0m≠3
综m>1m≠3选B
3C 设椭圆方程mx2+ny21(m>0n>0m≠n)
mx2+ny21x+3y+40消x
(3m+n)y2+83my+16m10
∵直线椭圆交点
∴Δ192m24(3m+n)(16m1)0
整理3m+n16mn
3n+1m16①
c2焦点x轴
∴1m1n4②
①②解m17n13
∴长轴长27
4答案 545
解析 直线ykxk+1k(x1)+1恒定点(11)直线椭圆总公点等价点(11)椭圆椭圆125+12m≤1m≥54椭圆焦点x轴0
∵直线椭圆公点
∴Δ4m220(m21)2016m2≥0
∴52≤m≤52
(2)令Δ4m220(m21)2016m20
解m±52∴直线方程yx±52
6C 设A(x1y1)B(x2y2)x1220+y12161x2220+y22161两式相减(x1x2)(x1+x2)20+(y1y2)(y1+y2)160
点P(32)弦AB中点
x1+x26y1+y243(x1x2)10+y1y240kABy1y2x1x265选C
7B 妨设F(10)椭圆焦点F垂直长轴弦椭圆交点坐标1±32该弦长3
8D 直线AB点F(30)点(11)直线AB方程y12(x3)代入椭圆方程x2a2+y2b21消ya24+b2x232a2x+94a2a2b20弦AB中点横坐标32a22a24+b21a22b2a2b2+c2bc3a218E方程x218+y291选D
9B 易求直线AB方程y3(x+2)y3(x+2)x2+2y24消y整理7x2+122x+80设A(x1y1)B(x2y2)
x1+x21227x1x287
弦长公式|AB|1+k2·|x1x2|1+(3)2×122724×87167
10A 联立方程y1xmx2+ny21消y(m+n)x22nx+n10
设M(x1y1)N(x2y2)MN中点P(x0y0)
x0x1+x22nm+n
y01x01nm+nmm+n
∴kOPy0x0mn22选A
11答案 53
解析 题意知椭圆右焦点坐标(10)直线方程y2(x1)x25+y241联立消y3x25x0
设A(x1y1)B(x2y2)
x1+x253x1x20
|AB|1+k2·|x1x2|1+22×5324×0553设原点直线距离dd|2|12+2225
S△OAB12|AB|·d12×553×2553
12解析 (1)设椭圆E方程x2a2+y2b21(a>b>0)根题意4a2+9b211b2a212
解a216b212椭圆E方程x216+y2121
(2)(1)知a216b212F1(20)F2(20)AF2⊥x轴
直线ABA(23)F1(20)方程y34(x+2)
y34(x+2)3x2+4y2487y212y270
∴yA+yB127yA3∴yB97
∴S△ABF212·2c·|yAyB|12×2×2×307607
13解析 设直线l椭圆交点BC坐标分(x1y1)(x2y2)弦BC中点M坐标(xy)
x128+y1241①x228+y2241②
①②x128x228+y124y2240
∴(x1+x2)(x1x2)+2(y1+y2)(y1y2)0③
x1≠x2时③式化(x1+x2)+2(y1+y2)·y2y1x2x10
∵x1+x22xy1+y22yy2y1x2x1y1x+1
∴2x+2·2y·y1x+10
化简x2+2y2+x2y0
x1x2时∵点M(xy)线段BC中点
∴x1y0显然适合式
综述弦BC中点M轨迹方程x2+2y2+x2y0
14A 设椭圆右焦点F2原点O线段F1F2中点OM∥PF2OM12PF2PF2⊥F1F2易知F2(30)∴点P横坐标3x3时912+y231解y±32点M坐标±34
15A 设点A(2n)B(x0y0)
椭圆Cx22+y21知a22b21
∴c21c1∴F(10)
∴FA(1n)FB(x01y0)
FA3FB(1n)3(x01y0)
∴13(x01)n3y0
解x043y013n
x0y0代入x22+y2112×432+13n21解n21
∴|AF|12+n21+12
16答案 63
解析 yb2代入x2a2+y2b21
解x±32aB32ab2
C32ab2F(c0)∠BFC90°BF·CFc+32ab2·c32ab2c234a2+14b20结合a2b2+c2化简3c2a∴离心率eca63
17解析 (1)设动点P坐标(xy)
题意kPA·kPB12
∴yx+2·yx212
化简整理x22+y21
动点P轨迹C方程x22+y21(x≠±2)
(2)设M(x1y1)N(x2y2)
联立ykx+1x22+y21消y
整理(1+2k2)x2+4kx0
∴x1+x24k1+2k2x1·x20
∴|MN|1+k2·(x1+x2)24x1·x2423整理k4+k220
解k21k22(舍)
∴k±1检验均符合题意
∴直线l方程xy+10x+y10
18解析 (1)设椭圆C方程x2a2+y2b21(a>b>0)左焦点F＇F＇(20)
∴c22a|AF|+|AF＇|02+32+42+328
解c2a4a2b2+c2∴b212
椭圆C方程x216+y2121
(2)题意设直线l方程y32x+ty32x+tx216+y2121
消y3x2+3tx+t2120
令Δ(3t)24×3(t212)≥0
解43≤t≤43
∴t取值范围[4343]
力提升练
选择题
1A 设该直线椭圆交点A(x1y1)B(x2y2)
x129+y1231x229+y2231两式作差(x1x2)(x1+x2)9(y1y2)(y1+y2)3
∴kABy1y2x1x213·x1+x2y1+y2
∵MAB中点∴x1+x22y1+y22
∴kAB13
∴直线方程y113(x1)x+3y40
2A 设F1坐标(c0)F2坐标(c0)F1x轴垂直直线方程xc代入椭圆方程y±b2a设Acb2aC(xy)题意△ABF2面积△BCF2面积2倍AF22F2C2cb2a2(xcy)2c2x2cb2a2yx2cyb22a代入椭圆方程4c2a2+b24a214c2a2+a2c24a21
∴4e2+1414e21解e55(负值舍)选A
3A 设椭圆x2+y241某弦两端点分P(x1y1)Q(x2y2)中点M(x0y0)x1+x22x0y1+y22y0
x12+y1241①x22+y2241②
①②(x12x22)+14(y12y22)0
ky1y2x1x24(x1+x2)y1+y24x0y0
∵点M线段AB
∴x01212≤y0≤1
∴k4x0y02y02≤2y0≤44≤2y0≤2k∈[42]选A
4C 设yx2kyk(x2)
4x2+y24yk(x2)消y整理
(k2+4)x24k2x+4(k21)0
令Δ16k44×4(k21)(k2+4)≥0
解233≤k≤233
∴kmin233选C
5A y2x+mx25+y2121x2+20mx+5m250
设A(x1y1)B(x2y2)x1+x220m21x1x25m2521
|AB|1+k2×(x1+x2)24x1x25×20(21m2)211021m221
O直线AB距离d|m|5
△AOB面积S12d·|AB|5m2(21m2)21≤5×m2+21m222152
仅m221m2m2212时△AOB面积取值
时|AB|1021m22154221
二填空题
6答案 10
解析 设l行直线l1xy+m0联立x24+y21xy+m0整理5x2+8mx+4m240
令Δ64m24×5(4m24)0解m±5
∴直线l直线l1间距离|5+35|1+1210|5+35|1+110
∴点P直线l距离10
三解答题
7解析 椭圆Cx2a2+y2b21(a>b>0)长轴长离心率2倍
2a2ea2c①
设A(x1y1)B(x2y2)
联立x2a2+y2b214x4y+30
整理(a2+b2)x2+32a2x+916a2a2b20
x1+x232a2a2+b2
题意32a2a2+b21a22b2②
c2a2b2③
①②③a212b214
椭圆C方程2x2+4y21
(2)证明设M(x3y3)N(x4y4)|OM|2+|ON|234x32+y32+x42+y4234④
M(x3y3)N(x4y4)椭圆C
2x32+4y321⑤2x42+4y421⑥
⑤+⑥x32+x42+2y32+2y421⑦
⑦④y32+y4214⑧
⑧代入④x32+x4212
kOM2·kON2y32y42x32x4214(12x32)·14(12x42)x32x42116[12(x32+x42)+4x32x42]x32x4214
8解析 (1)设N(xy)P(x0y0)M(x00)PM(0y0)NM(x0xy)
PM2NM
02(x0x)y02y∴x0xy02y
点P圆Ox2+y26
∴x02+y026
∴x2+(2y)26x26+y231
∴点N轨迹C方程x26+y231
(2)kAD+kAE定值设D(x1y1)E(x2y2)点B直线DE方程yk(x3)
yk(x3)x26+y231消y
(2k2+1)x212k2x+18k260
∴Δ(12k2)24(2k2+1)(18k26)2424k2令Δ>01
∴kAD+kAEy11x12+y21x22
kx1(3k+1)x12+kx2(3k+1)x22
2kx1x2(5k+1)(x1+x2)+12k+4x1x22(x1+x2)+4
2k·18k262k2+1(5k+1)·12k22k2+1+12k+418k262k2+12·12k22k2+1+4
4k2+42k222
∴kAD+kAE定值kAD+kAE2
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