2019-2020学年高一上学期期末模拟(一)数学试卷—版含答案


    数学 第 1 页,共 10 页 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分) 1. 已知集合 A={1,2,3},B={x|x2<9},则 A∩B=() A. {−2, −1,0,1,2,3} B.{−2, −1,0,1,2} C.{1,2,3} D. {1,2} 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查交集的求法,是基础题,解题时注意交集定义的合理运用. 先求出集合 A 和 B,由此利用交集的定义能求出 A∩B 的值. 【解答】 解:∵集合 A={1,2,3},B={x|x2<9}={x|-3<x<3}, ∴A∩B={1,2}. 故选 D. 2. 函数푓(푥) = 1 푥2−4 − √1 − 푥 的定义域为 A. (−∞, −2) ∪ (−2,1) B.(−∞, −2) ∪ (−2,1] C.(1,2) ∪ (2,+∞) D. [1,2) ∪ (2, +∞) 【答案】B 【解析】略 3. 已知角 α 的终边上一点 P 的坐标为(sin2휋 3 ,cos2휋 3 ),则 sinα 的值为( ) A. 1 2 B. − 1 2 C. √3 2 D. − √3 2 【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查任意角的三角函数的定义,涉及诱导公式,考查了学生的分析以及计算能 力,属于基础题. 利用诱导公式求得 P 的坐标的具体值,由条件利用任意角的三角函数的定义,求得 sinα 的值. 【解答】 解:∵角 α 终边上一点 P 的坐标是(sin2휋 3 ,cos2휋 3 ), ∴ , , r=|OP|=√(√3 2 ) 2 + (− 1 2) 2 = 1,第 2 页,共 10 页 ∴sinα=푦 푟=− 1 2. 故选 B. 4. 函数푦 = 1 푥+2 , (푥 ≥ −1)的值域为 A. (0,1] B.[-1,0) C.[1, +∞) D. (−∞, 1] 【答案】A 【解析】略 5. 若 sinα>0 且 tanα<0,则훼 2的终边在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第一象限或第三象限 D. 第三象限或第四象限 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查象限角中各三角函数的符号,属于基础题. 利用象限角的各三角函数的符号,由 sinα>0 且 tanα<0 得出 α 所在的象限,进而得出훼 2 的象限. 【解答】 解:∵sinα>0 且 tanα<0, ∴α 位于第二象限, ∴휋 2+2kπ<α<2kπ+π,k∈ , ∴휋 4+kπ<훼 2<kπ+휋 2 k∈ , 当 k 为奇数时,它是第三象限角; 当 k 为偶数时,它是第一象限角, ∴角훼 2的终边在第一象限或第三象限. 故选 C. 6. 下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( ) A. 푓(푥) = 3 − 푥 B. 푓(푥) = 푥2 − 3푥 C. 푓(푥) = − 1 푥+1 D. 푓(푥) = −|푥| 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查函数的单调性与单调区间,属于基础题. 根据各选项逐一分析各函数的单调性即可得出答案. 【解答】 解:A.∵f(x)=3-x 在(0,+∞)上为减函数,故 A 不正确; B.∵f(x)=x2-3x 是开口向上,对称轴为 x=3 2的抛物线,所以它在(0,+∞)上先减后增, 故 B 不正确; C.∵f(x)=- 1 푥+1在(0,+∞)上 y 随 x 的增大而增大,所以它为增函数,故 C 正确; 第 3 页,共 10 页 D.∵f(x)=-|x|在(0,+∞)上 y 随 x 的增大而减小,所以它为减函数,故 D 不正确. 故选 C. 7. 已知 a=2 −1 3, ,c= ,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查指数函数和对数函数的性质,属于基础题. 解题的关键是借助指数函数和对数函数的单调性得出푎, 푏, 푐与 0, 1 这样的特殊值的大小 关系, 从而得出答案. 【解答】 解: ∵0 < 푎 = 2−1 3 < 20 = 1, , , ∴푐 > 푎 > 푏, 故选 C. 8. 已知偶函数푓(푥)在区间(−∞,0]上单调递减,则满足푓(2푥 − 1) < 푓(1 3)的푥的取值范 围为 A. (− 1 2 , 2 3) B. (− 1 3 , 2 3) C. (1 3 , 2 3) D. (1 2 , 2 3) 【答案】C 【解析】略 9. 已知扇形的半径为 2,面积为 4,则这个扇形圆心角的弧度数为( ) A. √3 B. 2√3 C. 2√2 D. 2 【答案】D 【解析】【分析】 本题在已知扇形的面积和半径的情况下,求该扇形圆心角的弧度数,着重考查了扇形的 面积公式,属于基础题. 半径为 r 的扇形圆心角的弧度数为 α,则它的面积为 S=1 2αr2,由此结合题中数据,建立 关于圆心角的弧度数 α 的方程. 【解答】 解:设扇形圆心角的弧度数为 α, 则扇形面积为 S=1 2αr2=1 2α×22=4, 解得 α=2, 故选 D. 10. 已知 ,则 cos(60°-α)的值为( ) A. 1 2 B. − 1 2 C. √3 2 D. -√3 2 【答案】C 第 4 页,共 10 页 【解析】【分析】 本题主要考查利用诱导公式求三角函数的值,属于基础题. 利用诱导公式把要求的式子化为 sin(30°+α),利用条件求得结果. 【解答】 解:cos(60°-α)=sin[90°-(60°-α)] =sin(30°+α)=√3 2 . 故选 C. 11. 函数 f(x)=푒푥 푥 的图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查函数的定义域与值域,以及函数图象的判断,属于基础题. 先求出函数的定义域,再分别讨论 x>0,x<0 时函数的范围,由此判断函数的图象即 可. 【解答】 解:函数 f(x)=푒푥 푥 的定义域为:(−∞,0) ∪ (0, +∞),排除选项 A. 当 x>0 时,函数 f(x)=푒푥 푥 >0,选项 C 不满足题意. 当 x<0 时,函数 f(x)=푒푥 푥 <0,选项 D 不正确, 故选 B. 12. 已知函数 f(x)={|푙푔푥|, 푥 > 0 −푥(푥 + 4), 푥 ≤ 0,则函数 y=f(x)-3 的零点的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】【分析】 本题主要考查函数零点的个数的判断,利用函数零点的定义可以直接求解,也可以利用 数形结合来求解.利用分段函数分别解方程 f(x)=3,即可得到函数零点的个数. 【解答】 解:由 y=f(x)-3=0,得 f(x)=3, 第 5 页,共 10 页 当 x>0 时,由 f(x)=|lgx|=3,解得 lgx=3 或-3,即 x=1000 或 x= 1 1000; 当 x≤0 时,由 f(x)=-x(x+4)=3,即 x2+4x+3=0,解得 x=-3 或-1. 综上函数 y=f(x)-3 的零点的个数为 4 个, 故选 D. 二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分) 13. 计算: 的值是______. 【答案】5 【解析】【分析】 本题考查对数式、指数式化简求值,属于基础题. 利用指数,对数的运算法则求解. 【解答】 解: =1+3×2 3+lg100 =1+2+2 =5. 故答案为 5. 14. 已知点 P(1,2)在 α 终边上,则 = ______ . 【答案】5 【解析】【分析】 本题主要考查任意角的三角函数的定义及同角三角函数基本关系式,属于基础题. 先由任意角的三角函数的定义求出正切值.再将代数式分子分母同除以余弦转化为关于 正切的代数式求解. 【解答】 解:∵点 P(1,2)在 α 终边上, ∴tanα=2, 则 . 故答案为 5. 15. 已知函数푓(푥)是定义在 R 上的奇函数,且当푥 > 0时,푓(푥) = 2푥 − 1,则 푓(푓(−1))的 值为______. 【答案】-1 【解析】【分析】 本题主要考查函数的奇偶性的应用,求函数的值,属于基础题. 利用条件求得 f(1)=1,再利用函数的奇偶性,求得 f(f(-1))的值. 【解答】 解:∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-1, ∴f(1)=1, 则 f(f(-1))=f(-f(1))=f(-1)=-f(1)=-1, 第 6 页,共 10 页 故答案为-1. 16. 已知函数푦 = sin(2푥 − 휋 3),푥 ∈ [0, 휋 2],则它的单调递增区间为______. 【答案】[0,5휋 12] 【解析】【分析】 本题考查三角函数的单调性,考查推理能力与计算能力,属于中等题.先求出函数在 R 上的单调递增区间,然后与定义域[0, 휋 2]取交集,即可求出答案. 【解答】 解:令− 휋 2 + 2푘휋 ≤ 2푥 − 휋 3 ≤ 휋 2 + 2푘휋(푘 ∈ 푍),解得− 휋 12 + 푘휋 ≤ 푥 ≤ 5휋 12 + 푘휋(푘 ∈ 푍), 令퐴 = {푥| − 휋 12 + 푘휋 ≤ 푥 ≤ 5휋 12 + 푘휋,푘 ∈ 푍},则퐴 ∩ [0, 휋 2] = [0, 5휋 12], 因此,函数푦 = 푠푖푛(2푥 − 휋 3),푥 ∈ [0, 휋 2]的单调递增区间为[0, 5휋 12]. 故答案为[0, 5휋 12]. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70.0 分) 17. 设全集 U=R,集合 A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3-a}. (1)若 a=-2,求 B∩A,B∩∁UA; (2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 【答案】解:(1)集合 A={x|1≤x<4},∁UA={x|x<1 或 x≥4}, a=-2 时,B={-4≤x<5}, 所以 B∩A=[1,4),B∩∁UA={x|-4≤x<1 或 4≤x<5}; (2)若 A∪B=A 则 B⊆A,分以下两种情形: ①B=∅时,则有 2a≥3-a, ∴a≥1, ②B≠∅时,所以{ 2푎<3 − 푎 2푎 ≥ 1 3 − 푎 ≤ 4 ,解得1 2 ≤ 푎<1, 综合上述,所求 a 的取值范围为푎 ≥ 1 2. 【解析】本题考查集合的基本运算,补集以及并集的求法,考查分类讨论思想的应用, 是基础题. (1)利用已知条件求出 A 的补集,然后直接求解即可; (2)分类讨论 B 是否是空集,列出不等式组求解即可. 18. 已知-휋 2<x<0,sinx+cosx=1 5. (1)sinx-cosx 的值. (2)求 tanx 的值. 【答案】解:(1)∵-휋 2 <푥<0, ∴푠푖푛푥 − 푐표푠푥 = −√(푠푖푛푥 − 푐표푠푥)2 = −√1 − 2푠푖푛푥푐표푠푥 第 7 页,共 10 页 =−√1 − [(푠푖푛푥 + 푐표푠푥)2 − 1] = −√1 + 24 25 = − 7 5 ; (2)∵푠푖푛푥+푐표푠푥 푠푖푛푥−푐표푠푥 = 푡푎푛푥+1 푡푎푛푥−1 = − 1 7, ∴푡푎푛푥 = − 3 4. 【解析】本题考查同角三角函数间的基本关系系,是基础题.解题时要认真审题,注意 三角函数的符号. (1)先利用同角三角函数间的关系把 sinx-cosx 等价转化为-√1 − 2푠푖푛푥푐표푠푥,由此能求 出 sinx-cosx 的值; (2)先푠푖푛푥+푐표푠푥 푠푖푛푥−푐표푠푥分子分母同时除以 cosx,得到푡푎푛푥+1 푡푎푛푥−1 = − 1 7,由此能求出 tanx 的值. 19. 已知푓(훼) = 푠푖푛(훼−휋 2)푐표푠(3휋 2 −훼)푡푎푛(휋+훼)푐표푠(휋 2+훼) 푠푖푛(2휋−훼)푡푎푛(−훼−휋)푠푖푛(−훼−휋) . (1)化简 f(α); (2)若훼 = − 31휋 3 ,求 f(α)的值. 【答案】解:(1)푓(훼) = −푐표푠훼(−푠푖푛훼)푡푎푛훼(−푠푖푛훼) −푠푖푛훼(−푡푎푛훼)푠푖푛훼 = −푐표푠훼. (2)因为− 31휋 3 = −5 × 2휋 − 휋 3, ∴푓(− 31휋 3 ) = −푐표푠(− 31휋 3 ) = −푐표푠(−5 × 2휋 − 휋 3) = −푐표푠 휋 3 = − 1 2, 即푓(훼) = − 1 2. 【解析】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,考查了学生的分析以及计算能力, 属于基础题. (1)由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式,可得结果; (2)由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式,可得 f(α)的值. 20. 已知函数푓(푥) = 푎−2푥 1+2푥 (푎 ∈ 푅),且푥 ∈ 푅时,总有푓(−푥) = −푓(푥)成立. (1)求 a 的值; (2)判断并证明函数푓(푥)的单调性; (3)求푓(푥)在[0,2]上的值域. 【答案】解:(1)∵f(-x)=-f(x), ∴푎−2−푥 1+2−푥=-푎−2푥 1+2푥, 即푎⋅2푥−1 1+2푥 =2푥−푎 1+2푥, ∴a=1, ∴f(x)=1−2푥 1+2푥; (2)函数 f(x)为 R 上的减函数,理由如下: ∵f(x)的定义域为 R, ∴任取 x1,x2∈R,且 x2>x1, 第 8 页,共 10 页 ∴f(x2)-f(x1)=1−2푥2 1+2푥2 − 1−2푥1 1+2푥1 = 2(2푥1−2푥2) (1+2푥1)(1+2푥2), ∵x2>x1, ∴2푥2 > 2푥1>0, ∴푓(푥2) − 푓(푥1) < 0,即 f(x2)<f(x1), ∴函数 f(x)为 R 上的减函数; (3)由(2)知,函数 f(x)在[0,2]上为减函数, ∴f(2)≤f(x)≤f(0), 即− 3 5≤f(x)≤0, 即函数的值域为[-3 5,0]. 【解析】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性和值域的求解,利用定义法是 解决本题的关键,属于中档题. (1)根据条件建立方程关系即可求 a 的值; (2)根据函数单调性的定义判断并证明函数 f(x)的单调性; (3)结合函数的单调性即可求 f(x)在[0,2]上的值域. 21. 近年来,雾霾日趋严重,我们的工作、生活受到了严重的影响,如何改善空气质量 已成为当今的热点问题.某空气净化器制造厂,决定投入生产某型号的空气净化器, 根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产该型号空气净 化器 x(百台),其总成本为 P(x)(万元),其中固定成本为 12 万元,并且每 生产 1 百台的生产成本为 10 万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入 Q(x) (万元)满足 Q(x)={−0.5푥2 + 22푥(0 ≤ 푥 ≤ 16) 224(푥 > 16) ,假定该产品产销平衡(即生产 的产品都能卖掉),根据以述统计规律,请完成下列问题: (1)求利润函数 y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本); (2)工厂生产多少百台产品时,可使利润最多? 【答案】解:(1)由题意得 P(x)=12+10x, 则 f(x)=Q(x)-P(x) ={−0.5푥2 + 22푥 − 12 − 10푥, 0 ≤ 푥 ≤ 16 224 − 12 − 10푥, 푥 > 16 , 即 f(x)={−0.5푥2 + 12푥 − 12,0 ≤ 푥 ≤ 16 212 − 10푥, 푥 > 16 ; (2)当 x>16 时,函数 f(x)递减, 即有 f(x)<f(16)=212-160=52, 当 0≤x≤16 时,函数 f(x)=-0.5x2+12x-12=-0.5(x-12)2+60, 当 x=12 时,f(x)有最大值 f(12)=60, 综上可知,当工厂生产 12 百台时,可使利润最大为 60 万元. 【解析】本题考查函数模型在实际问题中的应用,考查函数的最值问题,正确求出分段 函数式,求出各段的最值是解题的关键,属于中档题. (1)先求得 P(x),再由 f(x)=Q(x)-P(x),由分段函数式可得所求; (2)分别求出各段的最值,注意运用一次函数和二次函数的最值求法,即可得到. 22. 已知函数 f(x)=3sin(푥 2+휋 6)+3, (1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象;指出 f(x)的周期、对称 轴;第 9 页,共 10 页 (2)求此函数的最大值、最小值及相对应自变量 x 的集合; (3)说明此函数图象可由 y=sinx 的图象经怎样的变换得到. 【答案】解:(1)列表如下: x − 휋 3 2휋 3 5휋 3 8휋 3 11휋 3 푥 2 + 휋 6 0 휋 2 π 3휋 2 2π y 3 6 3 0 3 ∴其周期 T=2휋 1 2 = 4휋,由(푥 2+휋 6)=kπ+휋 2(k∈Z),得 x=2kπ+2휋 3 (k∈Z)即为对称轴 (2)当 sin(푥 2+휋 6)=1 时函数的最大值为 3+3=6,此时(푥 2+휋 6)=2kπ+휋 2(k∈Z),解得 x 的集合为{x|x=4kπ+2휋 3 ,k∈Z}; 当 sin(푥 2+휋 6)=-1 时,函数的最小值为-3+3=0;此时(푥 2+휋 6)=2kπ-휋 2(k∈Z),解得 x 的 集合为{x|x=4kπ-4휋 3 ,k∈Z}; (3)①由 y=sinx 的图象上各点向左平移 ϕ=휋 6个长度单位,得 y=sin(x+휋 6)的图象; ②由 y=sin(x+휋 6)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),得 y=sin (푥 2+휋 6)的图象; ③由 y=3sin(푥 2+휋 6)的图象上各点的纵坐标伸长为原来的 3 倍(横坐标不变),得 y=3sin第 10 页,共 10 页 (푥 2+휋 6)的图象; ④由 y=3sin(푥 2+휋 6)的图象上各点向上平移 3 个长度单位,得 y=3sin(푥 2+휋 6)+3 的图象. 【解析】本题考查用五点法作图,着重考查正弦函数的性质与作图能力,考查三角函数 的图象与性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. (1)利用五点法,可得函数的图象; (2)利用函数解析式可知周期、振幅、初相、对称轴; (3)利用函数的图象,可得 f(x)最值及 x 的集合. (4)利用三角函数图象变换规律,可得结论

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