五年（20172021）高考数学真题分类汇编
十四等式选讲
解答题
1．（2021·全国高考真题（理））已知函数．
（1）时求等式解集
（2）求a取值范围．
2．（2021·全国高考真题（文））已知函数．
（1）画出图
（2）求a取值范围．
3．（2020·全国高考真题（理））已知函数
（1）时求等式解集
（2）求a取值范围
4．（2020·全国高考真题（理））已知函数．
（1）画出图
（2）求等式解集．
5．（2019·江苏高考真题）设解等式
6．（2019·全国高考真题（理））设
（1）求值
（2）成立证明：
7．（2019·全国高考真题（文））已知
（1）时求等式解集
（2）时求取值范围
8．（2019·全国高考真题（文））已知abc正数满足abc1．证明：
（1）
（2）．
9．（2018·江苏高考真题）
xyz实数x+2y+2z6求值．
10．（2018·全国高考真题（理））
设函数．
（1）画出图
（2）求值．
11．（2018·全国高考真题（文））已知
（1）时求等式解集
（2）时等式成立求取值范围
12．（2018·全国高考真题（文））设函数
（1）时求等式解集
（2）恒成立求取值范围
13．（2017·全国高考真题（理））已知函数│x+1│–│x–2│
（1）求等式≥1解集
（2）等式≥x2–x +m解集非空求实数m取值范围
14．（2017·全国高考真题（文））已知函数．
（1）时求等式解集
（2）等式解集包含[–11]求取值范围．
15．（2017·全国高考真题（理））已知函数．
（1）时求等式解集
（2）等式解集包含[–11]求取值范围．
16．（2017·全国高考真题（理））已知证明：
(1)
(2)
17．（2017·江苏高考真题）已知abcd实数a2+b24c2+d216证明ac+bd8
18．（2016·全国高考真题（文））选修45：等式选讲
已知函数M等式解集
（Ⅰ）求M
（Ⅱ）证明：ab时
19．（2016·全国高考真题（文））已知函数
（1）a2时求等式解集
（2）设函数时求取值范围
五年（20172021）高考数学真题分类汇编
十四等式选讲（答案解析）
1．（1）（2）
分析
（1）利绝值意义求等式解集
（2）利绝值等式化简求取值范围
解析
（1）时表示数轴点距离
表示数轴点距离
时应数轴点应点距离等6
∴数轴应点距离等等6应坐标范围
解集
（2）题意恒成立
仅时取等号
解
取值范围
结
解绝值等式方法零点分段法意义法．解含两绝值中系数相等时考虑利数轴绝值意义求解利绝值三角等式求值常见问题注意表述取等号条件
2．（1）图见解析（2）
分析
（1）分段绝值画出图
（2）根函数图数形结需左移满足角求时值求
解析
（1）画出图：
画出函数图：
（2）
图坐标系里画出图
移单位
需左移
时解（舍）
数形结合需少左移单位
结
关键结：题考查绝值等式恒成立问题解题关键根函数图数形结合求解
3．（1）（2）
分析
（1）分三种情况解等式求结果
（2）利绝值三角等式构造等式求结果
解析
（1）时
时解：
时解
时解：
综述：解集
（2）（仅时取等号）
解：
取值范围
结
题考查绝值等式求解利绝值三角等式求解值问题属常考题型
4．（1）解析解析（2）
分析
（1）根分段讨法写出函数解析式作出图象
（2）作出函数图象根图象解出．
解析
（1）作出图象图示：
（2）函数图象左移单位函数图象图示：
解．
等式解集．
结
题考查画分段函数图象利图象解等式意考查学生数形结合力属基础题．
5．
分析
题意结合等式性质零点分段求等式解集
解析
x<0时原等式化解x<–：
0≤x≤时原等式化x+1–2x>2x<–1解
x>时原等式化x+2x–1>2解x>1
综原等式解集
结
题考查解等式等基础知识考查运算求解推理证力．
6．(1) (2)见解析
分析
(1)根条件柯西等式讨否达等号成立条件(2)恒成立问题柯西等式等号成立时构造代入原等式便参数取值范围
解析
(1) 等号成立仅解时等号成立
值
(2)
根柯西等式等号成立条件时成立
成立
结
两问考查柯西等式属柯西等式常见题型
7．（1）（2）
分析
（1）根原等式化分讨三种情况求出结果
（2）分讨两种情况出结果
解析
（1）时原等式化
时原等式化显然成立
时解集
时原等式化解时解集空集
时原等式化显然成立时解集空集
综原等式解集
（2）时
显然恒成立满足题意
时时 显然成立满足题意
综取值范围
结
题考查含绝值等式熟记分类讨方法求解属常考题型
8．（1）见解析（2）见解析
分析
（1）利证等式变证明：利基等式证结（2）利基等式次利基等式式转化取等条件致情况结
解析
（1）
仅时取等号
：
（2）仅时取等号
（仅时等号时成立）
结
题考查利基等式进行等式证明问题考查学生基等式变形应力需注意利基等式时需注意取等条件否成立
9．4
解析
分析：根柯西等式结果
解析：证明：柯西等式．
仅时等式取等号时
值4．
结：题考查柯西等式等基础知识考查推理证力柯西等式般形式：设a1a2…anb1b2…bn实数(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2仅bi＝0存数kai＝kbi(i＝12…n)时等号成立．
10．（1）见解析
（2）
解析
分析：（1）函数写成分段函数画出定义域图．
（2）结合（1）问ab范围进a+b值
解析：（1） 图图示．
（2）（1）知图轴交点坐标部分直线斜率值仅时成立值．
结：题考查函数图画法考查等式求参数范围属中档题．
11．（1）（2）
解析
分析：(1)代入函数解析式求利零点分段解析式化然利分段函数分情况讨求等式解集
(2)根题中中绝值符号掉等式化时分情况讨求结果
解析：（1）时
等式解集．
（2）时成立等价时成立．
时
解集．
综取值范围．
结：该题考查关绝值等式解法含参绝值式子某区间恒成立求参数取值范围问题解题程中需会零点分段法化分段函数等式转化等式组解决关第二问求参数取值范围时应题中变量范围掉绝值符号进行分类讨求结果
12．(1)(2)
解析
分析：（1）先根绝值意义等式化三等式组分求解求集（2）先化简等式根绝值三角等式值解等式取值范围．
解析：（1）时
解集．
（2）等价．
时等号成立．等价．
取值范围．
结：含绝值等式解法两基方法运零点分区间讨二利绝值意义求解．法运分类讨思想法二运数形结合思想绝值等式函数等式恒成立交汇渗透解题时强化函数数形结合转化化思想方法灵活应命题新动．
13．（1）（2）
分析
（1）f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|解等式f（x）≥1分﹣1≤x≤2x＞2两类讨解等式f（x）≥1解集
（2）题意m≤[f（x）﹣x2+x]max设g（x）＝f（x）﹣x2+x分x≤1﹣1＜x＜2x≥2三类讨求g（x）maxm取值范围．
解析
解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|f（x）≥1
∴﹣1≤x≤2时2x﹣1≥1解1≤x≤2
x＞2时3≥1恒成立x＞2
综等式f（x）≥1解集{x|x≥1}．
（2）原式等价存x∈Rf（x）﹣x2+x≥m成立
m≤[f（x）﹣x2+x]max设g（x）＝f（x）﹣x2+x．
（1）知g（x）
x≤﹣1时g（x）＝﹣x2+x﹣3开口称轴方程x1
∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5
﹣1＜x＜2时g（x）＝﹣x2+3x﹣1开口称轴方程x∈（﹣12）
∴g（x）≤g（）1
x≥2时g（x）＝﹣x2+x+3开口称轴方程x2
∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1
综g（x）max
∴m取值范围（﹣∞]．
结
题考查绝值等式解法掉绝值符号解决问题关键突出考查分类讨思想等价转化思想函数方程思想综合运属难题．
14．（1）（2）．
解析
试题分析：（1）分三种情况解等式（2）解集包含等价时．
试题解析：（1）时等式等价①
时①式化解
时①式化
时①式化
解集
（2）时
解集包含等价时
值必
取值范围
结形()型等式两种解法：
(1)分段讨法：利绝值号式子应方程根数轴分 (处设)三部分部分掉绝值号分列出应等式求解然取等式解集集．
(2)图法：作出函数图结合图求解．
15．（1）（2）．
解析
试题分析：（1）分三种情况解等式（2）解集包含等价时．
试题解析：（1）时等式等价①
时①式化解
时①式化
时①式化
解集
（2）时
解集包含等价时
值必
取值范围
结形()型等式两种解法：
(1)分段讨法：利绝值号式子应方程根数轴分 (处设)三部分部分掉绝值号分列出应等式求解然取等式解集集．
(2)图法：作出函数图结合图求解．
16．(1) 见解析(2) 见解析
分析
（1）柯西等式证明
（2）a3+b3＝2转化ab均值等式：ab≤（a+b）3≤2问题证明．
解析
证明：（1）柯西等式： 仅ab5＝ba5a＝b＝1时取等号
（2）∵a3+b3＝2
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2
∴ab
均值等式：ab≤
∴（a+b）3﹣2
∴（a+b）3≤2
∴a+b≤2仅a＝b＝1时等号成立．
结
题考查等式证明掌握柯西等式均值等式关键属中档题．
17．见解析
解析
试题分析：柯西等式代入结．
试题解析：证明：柯西等式：
18．（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析
解析
试题分析：（I）先掉绝值分三种情况解等式（II）采方作差法进行式分解进证时．
试题解析：（I）
时解
时
时解
解集
（Ⅱ）（Ⅰ）知时
考点绝值等式等式证明
名师结形（）型等式两种解法：
（1）分段讨法：利绝值号式子应方程根数轴分 （处设）三部分部分掉绝值号分列出应等式进行求解然取等式解集集．
（2）图象法：作出函数图象结合图象求解．
19．（1）（2）．
解析
试题分析：（1）时（2）
等价
解
试题解析： （1）时
解等式
解集
（2）时
时等号成立
时等价 ①
时①等价解
时①等价解
取值范围
考点：等式选讲
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十四等式选讲
解答题
1．（2021·全国高考真题（理））已知函数．
（1）时求等式解集
（2）求a取值范围．
2．（2021·全国高考真题（文））已知函数．
（1）画出图
（2）求a取值范围．
3．（2020·全国高考真题（理））已知函数
（1）时求等式解集
（2）求a取值范围
4．（2020·全国高考真题（理））已知函数．
（1）画出图
（2）求等式解集．
5．（2019·江苏高考真题）设解等式
6．（2019·全国高考真题（理））设
（1）求值
（2）成立证明：
7．（2019·全国高考真题（文））已知
（1）时求等式解集
（2）时求取值范围
8．（2019·全国高考真题（文））已知abc正数满足abc1．证明：
（1）
（2）．
9．（2018·江苏高考真题）
xyz实数x+2y+2z6求值．
10．（2018·全国高考真题（理））
设函数．
（1）画出图
（2）求值．
11．（2018·全国高考真题（文））已知
（1）时求等式解集
（2）时等式成立求取值范围
12．（2018·全国高考真题（文））设函数
（1）时求等式解集
（2）恒成立求取值范围
13．（2017·全国高考真题（理））已知函数│x+1│–│x–2│
（1）求等式≥1解集
（2）等式≥x2–x +m解集非空求实数m取值范围
14．（2017·全国高考真题（文））已知函数．
（1）时求等式解集
（2）等式解集包含[–11]求取值范围．
15．（2017·全国高考真题（理））已知函数．
（1）时求等式解集
（2）等式解集包含[–11]求取值范围．
16．（2017·全国高考真题（理））已知证明：
(1)
(2)
17．（2017·江苏高考真题）已知abcd实数a2+b24c2+d216证明ac+bd8
18．（2016·全国高考真题（文））选修45：等式选讲
已知函数M等式解集
（Ⅰ）求M
（Ⅱ）证明：ab时
19．（2016·全国高考真题（文））已知函数
（1）a2时求等式解集
（2）设函数时求取值范围
五年（20172021）高考数学真题分类汇编
十四等式选讲（答案解析）
1．（1）（2）
分析
（1）利绝值意义求等式解集
（2）利绝值等式化简求取值范围
解析
（1）时表示数轴点距离
表示数轴点距离
时应数轴点应点距离等6
∴数轴应点距离等等6应坐标范围
解集
（2）题意恒成立
仅时取等号
解
取值范围
结
解绝值等式方法零点分段法意义法．解含两绝值中系数相等时考虑利数轴绝值意义求解利绝值三角等式求值常见问题注意表述取等号条件
2．（1）图见解析（2）
分析
（1）分段绝值画出图
（2）根函数图数形结需左移满足角求时值求
解析
（1）画出图：
画出函数图：
（2）
图坐标系里画出图
移单位
需左移
时解（舍）
数形结合需少左移单位
结
关键结：题考查绝值等式恒成立问题解题关键根函数图数形结合求解
3．（1）（2）
分析
（1）分三种情况解等式求结果
（2）利绝值三角等式构造等式求结果
解析
（1）时
时解：
时解
时解：
综述：解集
（2）（仅时取等号）
解：
取值范围
结
题考查绝值等式求解利绝值三角等式求解值问题属常考题型
4．（1）解析解析（2）
分析
（1）根分段讨法写出函数解析式作出图象
（2）作出函数图象根图象解出．
解析
（1）作出图象图示：
（2）函数图象左移单位函数图象图示：
解．
等式解集．
结
题考查画分段函数图象利图象解等式意考查学生数形结合力属基础题．
5．
分析
题意结合等式性质零点分段求等式解集
解析
x<0时原等式化解x<–：
0≤x≤时原等式化x+1–2x>2x<–1解
x>时原等式化x+2x–1>2解x>1
综原等式解集
结
题考查解等式等基础知识考查运算求解推理证力．
6．(1) (2)见解析
分析
(1)根条件柯西等式讨否达等号成立条件(2)恒成立问题柯西等式等号成立时构造代入原等式便参数取值范围
解析
(1) 等号成立仅解时等号成立
值
(2)
根柯西等式等号成立条件时成立
成立
结
两问考查柯西等式属柯西等式常见题型
7．（1）（2）
分析
（1）根原等式化分讨三种情况求出结果
（2）分讨两种情况出结果
解析
（1）时原等式化
时原等式化显然成立
时解集
时原等式化解时解集空集
时原等式化显然成立时解集空集
综原等式解集
（2）时
显然恒成立满足题意
时时 显然成立满足题意
综取值范围
结
题考查含绝值等式熟记分类讨方法求解属常考题型
8．（1）见解析（2）见解析
分析
（1）利证等式变证明：利基等式证结（2）利基等式次利基等式式转化取等条件致情况结
解析
（1）
仅时取等号
：
（2）仅时取等号
（仅时等号时成立）
结
题考查利基等式进行等式证明问题考查学生基等式变形应力需注意利基等式时需注意取等条件否成立
9．4
解析
分析：根柯西等式结果
解析：证明：柯西等式．
仅时等式取等号时
值4．
结：题考查柯西等式等基础知识考查推理证力柯西等式般形式：设a1a2…anb1b2…bn实数(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2仅bi＝0存数kai＝kbi(i＝12…n)时等号成立．
10．（1）见解析
（2）
解析
分析：（1）函数写成分段函数画出定义域图．
（2）结合（1）问ab范围进a+b值
解析：（1） 图图示．
（2）（1）知图轴交点坐标部分直线斜率值仅时成立值．
结：题考查函数图画法考查等式求参数范围属中档题．
11．（1）（2）
解析
分析：(1)代入函数解析式求利零点分段解析式化然利分段函数分情况讨求等式解集
(2)根题中中绝值符号掉等式化时分情况讨求结果
解析：（1）时
等式解集．
（2）时成立等价时成立．
时
解集．
综取值范围．
结：该题考查关绝值等式解法含参绝值式子某区间恒成立求参数取值范围问题解题程中需会零点分段法化分段函数等式转化等式组解决关第二问求参数取值范围时应题中变量范围掉绝值符号进行分类讨求结果
12．(1)(2)
解析
分析：（1）先根绝值意义等式化三等式组分求解求集（2）先化简等式根绝值三角等式值解等式取值范围．
解析：（1）时
解集．
（2）等价．
时等号成立．等价．
取值范围．
结：含绝值等式解法两基方法运零点分区间讨二利绝值意义求解．法运分类讨思想法二运数形结合思想绝值等式函数等式恒成立交汇渗透解题时强化函数数形结合转化化思想方法灵活应命题新动．
13．（1）（2）
分析
（1）f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|解等式f（x）≥1分﹣1≤x≤2x＞2两类讨解等式f（x）≥1解集
（2）题意m≤[f（x）﹣x2+x]max设g（x）＝f（x）﹣x2+x分x≤1﹣1＜x＜2x≥2三类讨求g（x）maxm取值范围．
解析
解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|f（x）≥1
∴﹣1≤x≤2时2x﹣1≥1解1≤x≤2
x＞2时3≥1恒成立x＞2
综等式f（x）≥1解集{x|x≥1}．
（2）原式等价存x∈Rf（x）﹣x2+x≥m成立
m≤[f（x）﹣x2+x]max设g（x）＝f（x）﹣x2+x．
（1）知g（x）
x≤﹣1时g（x）＝﹣x2+x﹣3开口称轴方程x1
∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5
﹣1＜x＜2时g（x）＝﹣x2+3x﹣1开口称轴方程x∈（﹣12）
∴g（x）≤g（）1
x≥2时g（x）＝﹣x2+x+3开口称轴方程x2
∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1
综g（x）max
∴m取值范围（﹣∞]．
结
题考查绝值等式解法掉绝值符号解决问题关键突出考查分类讨思想等价转化思想函数方程思想综合运属难题．
14．（1）（2）．
解析
试题分析：（1）分三种情况解等式（2）解集包含等价时．
试题解析：（1）时等式等价①
时①式化解
时①式化
时①式化
解集
（2）时
解集包含等价时
值必
取值范围
结形()型等式两种解法：
(1)分段讨法：利绝值号式子应方程根数轴分 (处设)三部分部分掉绝值号分列出应等式求解然取等式解集集．
(2)图法：作出函数图结合图求解．
15．（1）（2）．
解析
试题分析：（1）分三种情况解等式（2）解集包含等价时．
试题解析：（1）时等式等价①
时①式化解
时①式化
时①式化
解集
（2）时
解集包含等价时
值必
取值范围
结形()型等式两种解法：
(1)分段讨法：利绝值号式子应方程根数轴分 (处设)三部分部分掉绝值号分列出应等式求解然取等式解集集．
(2)图法：作出函数图结合图求解．
16．(1) 见解析(2) 见解析
分析
（1）柯西等式证明
（2）a3+b3＝2转化ab均值等式：ab≤（a+b）3≤2问题证明．
解析
证明：（1）柯西等式： 仅ab5＝ba5a＝b＝1时取等号
（2）∵a3+b3＝2
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2
∴ab
均值等式：ab≤
∴（a+b）3﹣2
∴（a+b）3≤2
∴a+b≤2仅a＝b＝1时等号成立．
结
题考查等式证明掌握柯西等式均值等式关键属中档题．
17．见解析
解析
试题分析：柯西等式代入结．
试题解析：证明：柯西等式：
18．（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析
解析
试题分析：（I）先掉绝值分三种情况解等式（II）采方作差法进行式分解进证时．
试题解析：（I）
时解
时
时解
解集
（Ⅱ）（Ⅰ）知时
考点绝值等式等式证明
名师结形（）型等式两种解法：
（1）分段讨法：利绝值号式子应方程根数轴分 （处设）三部分部分掉绝值号分列出应等式进行求解然取等式解集集．
（2）图象法：作出函数图象结合图象求解．
19．（1）（2）．
解析
试题分析：（1）时（2）
等价
解
试题解析： （1）时
解等式
解集
（2）时
时等号成立
时等价 ①
时①等价解
时①等价解
取值范围
考点：等式选讲
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