五年（20172021）高考数学真题分类汇编
九计数原理
单选题
1．（2021·全国（理））4120机排成行20相邻概率（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国（文））3120机排成行20相邻概率（ ）
A．03 B．05 C．06 D．08
3．（2021·全国（理））5名北京冬奥会志愿者分配花样滑冰短道速滑冰球冰壶4项目进行培训名志愿者分配1项目项目少分配1名志愿者分配方案（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
4．（2020·海南）安排3名学生2乡村做志愿者名学生选择村村里少名志愿者安排方法（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
5．（2020·北京）展开式中系数（ ）．
A． B．5 C． D．10
6．（2020·海南）6名学甲乙丙三场馆做志愿者名学1场馆甲场馆安排1名乙场馆安排2名丙场馆安排3名安排方法（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
7．（2020·全国（文））图钢琴12键次记a1a2…a12设1≤i
A．5 B．8 C．10 D．15
8．（2020·全国（理））展开式中x3y3系数（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
9．（2019·全国（文））两位男学两位女学机排成列两位女学相邻概率
A． B． C． D．
10．（2019·全国（理））（1+2x2 ）（1+x）4展开式中x3系数
A．12 B．16 C．20 D．24
11．（2019·全国（理））国古代典籍周易卦描述万物变化．重卦排列6爻组成爻分阳爻——阴爻— —图重卦．重卦中机取重卦该重卦恰3阳爻概率
A． B． C． D．
12．（2018·全国（理））展开式中系数
A．10 B．20 C．40 D．80
13．（2017·全国（理））(+)(2)5展开式中33系数
A．80 B．40 C．40 D．80
14．（2017·全国（理））（2017新课标全国卷Ⅰ理科）展开式中系数
A．15 B．20
C．30 D．35
15．（2017·全国（理））安排3名志愿者完成4项工作少完成1项项工作1完成安排方式
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
16．（2017·全国（理））安排3名志愿者完成4项工作少完成1项项工作1完成安排方式
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
17．（2021·浙江）已知项式______________________
18．（2020·浙江）设________________．
19．（2019·浙江）二项式展开式中常数项________系数理数项数_______
20．（2017·浙江）已知项式2________________________
二填空题
21．（2020·天津）展开式中系数_________．
22．（2020·全国（理））展开式中常数项__________（数字作答）．
23．（2020·全国（理））4名学3区参加垃圾分类宣传活动名学1区区少安排1名学安排方法__________种
24．（2019·天津（理））展开式中常数项________
25．（2019·海）二项展开式中常数项值__________
26．（2019·海）首届中国国际进口博览会海举行某高校拟派4参加连续5天志愿者活动中甲连续参加2天参加1天安排方法_____种（结果数值表示）
27．（2018·海）二项展开式中项系数 （结果数值表示）．
28．（2018·浙江）13579中取2数字0246中取2数字组成___________没重复数字四位数(数字作答)
29．（2018·浙江）二项式展开式常数项___________．
30．（2018·天津（理））二项式展开式中系数__________．
31．（2018·全国（理））位女生位男生中选参加科技赛少位女生入选选法_____________种．（数字填写答案）
32．（2017·天津（理））数字123456789组成没重复数字数字偶数四位数样四位数___________（数字作答）
33．（2017·山东（理））已知 展开式中含 项系数54n_____________
34．（2017·浙江）6男2女8名学生中选出队长1副队长1普通队员2组成4服务队求服务队中少1名女生__________种选法．（数字作答）
四解答题
35．（2019·江苏）设已知
（1）求n值
（2）设中求值
五年（20172021）高考数学真题分类汇编
九计数原理（答案解析）
1．C
分析
采插空法41产生5空分20相邻20相邻进行求解
解析
4120机排成行利插空法41产生5空
20相邻种排法20相邻种排法
20相邻概率选：C
2．C
解析
解：3120机排成行：
10种排法中20相邻排列方法：
6种方法
20相邻概率选：C
3．C
分析
先确定项目中分配2名志愿者余项目中分配1名志愿者然利组合排列法原理求
解析
根题意项目中分配2名志愿者余项目中分配1名志愿者先5名志愿者中选2组成组种选法然连余三成四元素四项目成四位置四元素四位置排列方法数4种根法原理完成件事种分配方案
选：C
4．C
分析
首先3名学生分成两组然2组学生安排2村
解析
第步3名学生分成两组种分法
第二步2组学生安排2村种安排方法
安排方法种
选：C
5．C
分析
首先写出展开式通项公式然结合通项公式确定系数
解析
展开式通项公式：
令：系数：
选：C
结
二项式定理核心通项公式求解类问题分两步完成：第步根出条件(特定项)通项公式建立方程确定指数(求解时注意二项式系数中nr隐含条件nr均非负整数n≥r常数项指数零理项指数整数等)第二步根求指数求求解项．
6．C
分析
分安排场馆志愿者利组合计数法计数原理求解
解析
首先名学中选名甲场馆方法数
然余名学中选名乙场馆方法数
剩名学丙场馆
安排方法种
选：C
结
题考查分步计数原理组合数计算属基础题
7．C
分析
根原位三弦满足原位三弦满足
开始利列举法解出．
解析
根题意知原位三弦满足：．
∴．
原位三弦满足：．
∴．
数10．
选：C．
结
题考查列举法应新定义理解应属基础题．
8．C
分析
求展开式通项公式（）求展开式积形式分赋值31求系数问题解
解析
展开式通项公式（）
项展开式通项积表示：
中令：该项中系数
中令：该项中系数
系数
选：C
结
题考查二项式定理展开式通项公式考查赋值法转化力分析力属中档题
9．D
分析
男女生数相利整体发分析出两位女生相邻概率进解
解析
两位男学两位女学排成列男生女生数相等两位女生相邻相邻排法种数相两位女生相邻相邻概率均．选D．
结
题考查常见背景中古典概型渗透数学建模数学运算素养．采取等法利等价转化思想解题．
10．A
分析
题利二项展开式通项公式求展开式指定项系数．
解析
题意x3系数选A．
结
题考查二项式定理利展开式通项公式求展开式指定项系数．
11．A
分析
题考查利两计数原理排列组合计算古典概型问题渗透传统文化数学计算等数学素养重卦中爻两种情况基事件计算住店问题该重卦恰3阳爻相元素排列问题利直接法计算．
解析
题知爻2种情况重卦6爻情况中6爻中恰3阳爻情况该重卦恰3阳爻概率选A．
结
利排列组合计算古典概型问题首先分析元素否重复次分析排列问题组合问题．题重复元素排列问题基事件计算住店问题满足条件事件计算相元素排列问题组合问题．
12．C
解析
分析：写出然结果
解析：题
令
选C
结：题考查二项式定理属基础题．
13．C
解析
展开式通项公式：
时展开式中系数
时展开式中系数
系数
选C
14．C
解析
展开式中含项展开式中含项系数选C
结两二项式积问题第二项式中项第二二项式项分析含项项进行相加类问题易错点未分析清楚构成项具体情况尤两二项展开式中
15．D
解析
4项工作分成3组：6
安排3名志愿者完成4项工作少完成1项项工作1完成
：种．
选D
16．D
解析
4项工作分成3组：6
安排3名志愿者完成4项工作少完成1项项工作1完成
：种．
选D
17．
分析
根二项展开式定理分求出展开式出结
解析
答案：
18．
分析
利二项式展开式通项公式计算
解析
通项
令
答案：
点晴
题考查利二项式定理求指定项系数问题考查学生数学运算力道基础题
19．
分析
题考查二项式定理二项展开式通项公式二项式系数属常规题目写出二项展开式通项入手根求考察幂指数问题解
解析
通项
常数项
系数理数5项
结
类问题解法较明确首准确记忆通项公式特幂指数记混次计算细心确保结果正确
20．16 4
解析
二项式展开式通项公式：分取取．
结
题考查二项式定理通项系数属简单题． 二项展开式定理问题高考命题热点关二项式定理命题方较明确方面命题：（1）考查二项展开式通项公式（考查某项考查某项系数）（2）考查项系数项二项式系数（3）二项式定理应．
21．10
分析
写出二项展开式通项公式整理令指数2求出．
解析
展开式通项公式令解．
系数．
答案：．
结
题考查二项展开式通项公式应属基础题．
22．
分析
写出二项式展开通项求常数项
解析
二项式展开通项：
解
展开式中常数项：
答案：
结
题考查二项式定理利通项公式求二项展开式中指定项解题关键掌握展开通项公式考查分析力计算力属基础题
23．
分析
根题意2名学区利先选排思想结合排列组合法计数原理解
解析
4名学3区参加垃圾分类宣传活动名学1区区少安排1名学
先取2名学作组选法：
现成3组学分配3区分法：
根分步法原理安排方法种
答案：
结
题考查计数原理综合应解题关键掌握分步法原理捆绑法考查分析力计算力属中档题
24．
分析
根二项展开式通项公式出通项根方程思想出值求出常数项．
解析
常数项
结
题考查二项式定理应牢记常数项指数幂0求．
25．15
分析
写出二项展开式通项通求常数项
解析
二项展开式通项：
时
常数项：
题正确结果：
结
题考查二项式定理应属基础题
26．24
分析
首先安排甲知连续天情况种余全排列相结果
解析
天里连续天情况种
剩全排列：
：种
结
题考查基础排列组合问题解题关键排列组合问题中特殊元素优先考虑然考虑普通元素
27．21
分析
利二项式展开式通项公式求展开式中x2系数．
解析
二项式（1+x）7展开式通项公式
Tr+1•xr
令r2展开式中x2系数21．
答案21．
结
求二项展开式关问题常见类型解题策略
(1)求展开式中特定项条件写出第r＋1项特定项特点求出r值
(2)已知展开式某项求特定项系数某项出参数项通项写出第r＋1项特定项出r值求出参数
28．1260
解析
分析否取零分类讨取零先排首位根分类分步计数原理计数
解析：取零排列数取零排列数
没重复数字四位数
结：求解排列组合问题常解题方法：
(1)元素相邻排列问题——捆邦法(2)元素相间排列问题——插空法(3)元素序限制排列问题——序法(4)带含含少排列组合问题——间接法
29．7
解析
分析先根二项式展开式通项公式写出第r+1项根项次数零解r代入结果
解析：二项式展开式通项公式
令求常数项
结：求二项展开式关问题常见类型解题策略：
(1)求展开式中特定项条件写出第项特定项特点求出值
(2)已知展开式某项求特定项系数某项出参数值通项写出第项特定项出值求出特定项系数
30．
分析
题意结合二项式定理展开式通项公式值然求解系数
解析
结合二项式定理通项公式：
令：系数：
结
（1）二项式定理核心通项公式求解类问题分两步完成：第步根出条件（特定项）通项公式建立方程确定指数（求解时注意二项式系数中隐含条件均非负整数常数项指数零理项指数整数等）)第二步根求指数求求解项．
（2）求两项式积特定项先化简利分类加法计数原理讨求解．
31．
分析
首先想选中没女生少种选法者需确定中选选法种数应减法运算求结果
解析
根题意没女生入选种选法名学生中意选种选法
少位女生入选选法种答案
结
该题道关组合计数题目涉少问题时采间接法般方法出选选法种数间接法利总减没女生选法种数该题直接法分求出名女生两名女生分少种选法加法运算求解
32．1080
解析
33．
解析（1+3x）n展开式中通项公式：Tr+1（3x）r＝3rxr．
∵含x2系数54∴r＝2．
∴546∴6n∈N*．解n＝4．答案4．
34．660
解析
第类先选女男种选作队长副队种 种第二类先选女男种选作队长副队种种根分类计数原理种答案
35．（1）（2）32
解析
（1）
．
解．
（2）（1）知．
．
解法：
．
解法二：
．
．
．
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九计数原理
单选题
1．（2021·全国（理））4120机排成行20相邻概率（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国（文））3120机排成行20相邻概率（ ）
A．03 B．05 C．06 D．08
3．（2021·全国（理））5名北京冬奥会志愿者分配花样滑冰短道速滑冰球冰壶4项目进行培训名志愿者分配1项目项目少分配1名志愿者分配方案（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
4．（2020·海南）安排3名学生2乡村做志愿者名学生选择村村里少名志愿者安排方法（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
5．（2020·北京）展开式中系数（ ）．
A． B．5 C． D．10
6．（2020·海南）6名学甲乙丙三场馆做志愿者名学1场馆甲场馆安排1名乙场馆安排2名丙场馆安排3名安排方法（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
7．（2020·全国（文））图钢琴12键次记a1a2…a12设1≤i
A．5 B．8 C．10 D．15
8．（2020·全国（理））展开式中x3y3系数（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
9．（2019·全国（文））两位男学两位女学机排成列两位女学相邻概率
A． B． C． D．
10．（2019·全国（理））（1+2x2 ）（1+x）4展开式中x3系数
A．12 B．16 C．20 D．24
11．（2019·全国（理））国古代典籍周易卦描述万物变化．重卦排列6爻组成爻分阳爻——阴爻— —图重卦．重卦中机取重卦该重卦恰3阳爻概率
A． B． C． D．
12．（2018·全国（理））展开式中系数
A．10 B．20 C．40 D．80
13．（2017·全国（理））(+)(2)5展开式中33系数
A．80 B．40 C．40 D．80
14．（2017·全国（理））（2017新课标全国卷Ⅰ理科）展开式中系数
A．15 B．20
C．30 D．35
15．（2017·全国（理））安排3名志愿者完成4项工作少完成1项项工作1完成安排方式
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
16．（2017·全国（理））安排3名志愿者完成4项工作少完成1项项工作1完成安排方式
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
17．（2021·浙江）已知项式______________________
18．（2020·浙江）设________________．
19．（2019·浙江）二项式展开式中常数项________系数理数项数_______
20．（2017·浙江）已知项式2________________________
二填空题
21．（2020·天津）展开式中系数_________．
22．（2020·全国（理））展开式中常数项__________（数字作答）．
23．（2020·全国（理））4名学3区参加垃圾分类宣传活动名学1区区少安排1名学安排方法__________种
24．（2019·天津（理））展开式中常数项________
25．（2019·海）二项展开式中常数项值__________
26．（2019·海）首届中国国际进口博览会海举行某高校拟派4参加连续5天志愿者活动中甲连续参加2天参加1天安排方法_____种（结果数值表示）
27．（2018·海）二项展开式中项系数 （结果数值表示）．
28．（2018·浙江）13579中取2数字0246中取2数字组成___________没重复数字四位数(数字作答)
29．（2018·浙江）二项式展开式常数项___________．
30．（2018·天津（理））二项式展开式中系数__________．
31．（2018·全国（理））位女生位男生中选参加科技赛少位女生入选选法_____________种．（数字填写答案）
32．（2017·天津（理））数字123456789组成没重复数字数字偶数四位数样四位数___________（数字作答）
33．（2017·山东（理））已知 展开式中含 项系数54n_____________
34．（2017·浙江）6男2女8名学生中选出队长1副队长1普通队员2组成4服务队求服务队中少1名女生__________种选法．（数字作答）
四解答题
35．（2019·江苏）设已知
（1）求n值
（2）设中求值
五年（20172021）高考数学真题分类汇编
九计数原理（答案解析）
1．C
分析
采插空法41产生5空分20相邻20相邻进行求解
解析
4120机排成行利插空法41产生5空
20相邻种排法20相邻种排法
20相邻概率选：C
2．C
解析
解：3120机排成行：
10种排法中20相邻排列方法：
6种方法
20相邻概率选：C
3．C
分析
先确定项目中分配2名志愿者余项目中分配1名志愿者然利组合排列法原理求
解析
根题意项目中分配2名志愿者余项目中分配1名志愿者先5名志愿者中选2组成组种选法然连余三成四元素四项目成四位置四元素四位置排列方法数4种根法原理完成件事种分配方案
选：C
4．C
分析
首先3名学生分成两组然2组学生安排2村
解析
第步3名学生分成两组种分法
第二步2组学生安排2村种安排方法
安排方法种
选：C
5．C
分析
首先写出展开式通项公式然结合通项公式确定系数
解析
展开式通项公式：
令：系数：
选：C
结
二项式定理核心通项公式求解类问题分两步完成：第步根出条件(特定项)通项公式建立方程确定指数(求解时注意二项式系数中nr隐含条件nr均非负整数n≥r常数项指数零理项指数整数等)第二步根求指数求求解项．
6．C
分析
分安排场馆志愿者利组合计数法计数原理求解
解析
首先名学中选名甲场馆方法数
然余名学中选名乙场馆方法数
剩名学丙场馆
安排方法种
选：C
结
题考查分步计数原理组合数计算属基础题
7．C
分析
根原位三弦满足原位三弦满足
开始利列举法解出．
解析
根题意知原位三弦满足：．
∴．
原位三弦满足：．
∴．
数10．
选：C．
结
题考查列举法应新定义理解应属基础题．
8．C
分析
求展开式通项公式（）求展开式积形式分赋值31求系数问题解
解析
展开式通项公式（）
项展开式通项积表示：
中令：该项中系数
中令：该项中系数
系数
选：C
结
题考查二项式定理展开式通项公式考查赋值法转化力分析力属中档题
9．D
分析
男女生数相利整体发分析出两位女生相邻概率进解
解析
两位男学两位女学排成列男生女生数相等两位女生相邻相邻排法种数相两位女生相邻相邻概率均．选D．
结
题考查常见背景中古典概型渗透数学建模数学运算素养．采取等法利等价转化思想解题．
10．A
分析
题利二项展开式通项公式求展开式指定项系数．
解析
题意x3系数选A．
结
题考查二项式定理利展开式通项公式求展开式指定项系数．
11．A
分析
题考查利两计数原理排列组合计算古典概型问题渗透传统文化数学计算等数学素养重卦中爻两种情况基事件计算住店问题该重卦恰3阳爻相元素排列问题利直接法计算．
解析
题知爻2种情况重卦6爻情况中6爻中恰3阳爻情况该重卦恰3阳爻概率选A．
结
利排列组合计算古典概型问题首先分析元素否重复次分析排列问题组合问题．题重复元素排列问题基事件计算住店问题满足条件事件计算相元素排列问题组合问题．
12．C
解析
分析：写出然结果
解析：题
令
选C
结：题考查二项式定理属基础题．
13．C
解析
展开式通项公式：
时展开式中系数
时展开式中系数
系数
选C
14．C
解析
展开式中含项展开式中含项系数选C
结两二项式积问题第二项式中项第二二项式项分析含项项进行相加类问题易错点未分析清楚构成项具体情况尤两二项展开式中
15．D
解析
4项工作分成3组：6
安排3名志愿者完成4项工作少完成1项项工作1完成
：种．
选D
16．D
解析
4项工作分成3组：6
安排3名志愿者完成4项工作少完成1项项工作1完成
：种．
选D
17．
分析
根二项展开式定理分求出展开式出结
解析
答案：
18．
分析
利二项式展开式通项公式计算
解析
通项
令
答案：
点晴
题考查利二项式定理求指定项系数问题考查学生数学运算力道基础题
19．
分析
题考查二项式定理二项展开式通项公式二项式系数属常规题目写出二项展开式通项入手根求考察幂指数问题解
解析
通项
常数项
系数理数5项
结
类问题解法较明确首准确记忆通项公式特幂指数记混次计算细心确保结果正确
20．16 4
解析
二项式展开式通项公式：分取取．
结
题考查二项式定理通项系数属简单题． 二项展开式定理问题高考命题热点关二项式定理命题方较明确方面命题：（1）考查二项展开式通项公式（考查某项考查某项系数）（2）考查项系数项二项式系数（3）二项式定理应．
21．10
分析
写出二项展开式通项公式整理令指数2求出．
解析
展开式通项公式令解．
系数．
答案：．
结
题考查二项展开式通项公式应属基础题．
22．
分析
写出二项式展开通项求常数项
解析
二项式展开通项：
解
展开式中常数项：
答案：
结
题考查二项式定理利通项公式求二项展开式中指定项解题关键掌握展开通项公式考查分析力计算力属基础题
23．
分析
根题意2名学区利先选排思想结合排列组合法计数原理解
解析
4名学3区参加垃圾分类宣传活动名学1区区少安排1名学
先取2名学作组选法：
现成3组学分配3区分法：
根分步法原理安排方法种
答案：
结
题考查计数原理综合应解题关键掌握分步法原理捆绑法考查分析力计算力属中档题
24．
分析
根二项展开式通项公式出通项根方程思想出值求出常数项．
解析
常数项
结
题考查二项式定理应牢记常数项指数幂0求．
25．15
分析
写出二项展开式通项通求常数项
解析
二项展开式通项：
时
常数项：
题正确结果：
结
题考查二项式定理应属基础题
26．24
分析
首先安排甲知连续天情况种余全排列相结果
解析
天里连续天情况种
剩全排列：
：种
结
题考查基础排列组合问题解题关键排列组合问题中特殊元素优先考虑然考虑普通元素
27．21
分析
利二项式展开式通项公式求展开式中x2系数．
解析
二项式（1+x）7展开式通项公式
Tr+1•xr
令r2展开式中x2系数21．
答案21．
结
求二项展开式关问题常见类型解题策略
(1)求展开式中特定项条件写出第r＋1项特定项特点求出r值
(2)已知展开式某项求特定项系数某项出参数项通项写出第r＋1项特定项出r值求出参数
28．1260
解析
分析否取零分类讨取零先排首位根分类分步计数原理计数
解析：取零排列数取零排列数
没重复数字四位数
结：求解排列组合问题常解题方法：
(1)元素相邻排列问题——捆邦法(2)元素相间排列问题——插空法(3)元素序限制排列问题——序法(4)带含含少排列组合问题——间接法
29．7
解析
分析先根二项式展开式通项公式写出第r+1项根项次数零解r代入结果
解析：二项式展开式通项公式
令求常数项
结：求二项展开式关问题常见类型解题策略：
(1)求展开式中特定项条件写出第项特定项特点求出值
(2)已知展开式某项求特定项系数某项出参数值通项写出第项特定项出值求出特定项系数
30．
分析
题意结合二项式定理展开式通项公式值然求解系数
解析
结合二项式定理通项公式：
令：系数：
结
（1）二项式定理核心通项公式求解类问题分两步完成：第步根出条件（特定项）通项公式建立方程确定指数（求解时注意二项式系数中隐含条件均非负整数常数项指数零理项指数整数等）)第二步根求指数求求解项．
（2）求两项式积特定项先化简利分类加法计数原理讨求解．
31．
分析
首先想选中没女生少种选法者需确定中选选法种数应减法运算求结果
解析
根题意没女生入选种选法名学生中意选种选法
少位女生入选选法种答案
结
该题道关组合计数题目涉少问题时采间接法般方法出选选法种数间接法利总减没女生选法种数该题直接法分求出名女生两名女生分少种选法加法运算求解
32．1080
解析
33．
解析（1+3x）n展开式中通项公式：Tr+1（3x）r＝3rxr．
∵含x2系数54∴r＝2．
∴546∴6n∈N*．解n＝4．答案4．
34．660
解析
第类先选女男种选作队长副队种 种第二类先选女男种选作队长副队种种根分类计数原理种答案
35．（1）（2）32
解析
（1）
．
解．
（2）（1）知．
．
解法：
．
解法二：
．
．
．
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