五年（20172021）高考数学真题分类汇编
十立体
选题
1．（2021·全国高考真题）正三棱柱中点满足中（ ）
A．时周长定值
B．时三棱锥体积定值
C．时仅点
D．时仅点面
二单选题
2．（2021·浙江高考真题）图已知正方体MN分中点（ ）
A．直线直线垂直直线面
B．直线直线行直线面
C．直线直线相交直线面
D．直线直线异面直线面
3．（2021·浙江高考真题）某体三视图图示该体体积（ ）
A． B．3 C． D．
4．（2021·全国高考真题（理））已ABC半径1球O球面三点三棱锥体积（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国高考真题（文））正方体中顶点A三条棱中点分EFG．该正方体截三棱锥面体三视图中正视图图示相应侧视图（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国高考真题（理））正方体中P中点直线成角（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国高考真题）已知圆锥底面半径侧面展开图半圆该圆锥母线长（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·天津高考真题）棱长正方体顶点球面该球表面积（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·北京高考真题）某三棱柱底面正三角形三视图图示该三棱柱表面积（ ）．
A． B． C． D．
10．（2020·浙江高考真题）某体三视图（单位：cm）图示该体体积（单位：cm3）（ ）
A． B． C．3 D．6
11．（2020·海南高考真题）日晷中国古代测定时间仪器利晷面垂直晷针投射晷面影子测定时间．球成球(球心记O)球点A纬度指OA球赤道面成角点A处水面指点AOA垂直面点A处放置日晷晷面赤道面行点A处纬度北纬40°晷针点A处水面成角（ ）
A．20° B．40°
C．50° D．90°
12．（2020·全国高考真题（文））图某体三视图该体表面积（ ）
A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2
13．（2020·全国高考真题（理））已知球球面三点⊙外接圆⊙面积球表面积（ ）
A． B． C． D．
14．（2020·全国高考真题（理））埃胡夫金字塔古代世界建筑奇迹形状视正四棱锥该四棱锥高边长正方形面积等该四棱锥侧面三角形面积侧面三角形底边高底面正方形边长值（ ）
A． B． C． D．
15．（2020·全国高考真题（理））已知△ABC面积等边三角形顶点球O球面球O表面积16πO面ABC距离（ ）
A． B． C．1 D．
16．（2020·全国高考真题（理））图面体三视图面体某条棱端点正视图中应点俯视图中应点该端点侧视图中应点（ ）
A． B． C． D．
17．（2019·浙江高考真题）祖暅国南北时代伟科学家提出幂势积容异称祖暅原理利该原理柱体体积公式中柱体底面积 柱体高．某柱体三视图图示（单位：cm）该柱体体积（单位：cm3）
A．158 B．162
C．182 D．324
18．（2019·全国高考真题（理））图点正方形中心正三角形面面线段中点
A．直线相交直线
B．直线相交直线
C．直线异面直线
D．直线异面直线
19．（2019·浙江高考真题）祖暅国南北时代伟科学家提出幂势积容易称祖暅原理利该原理柱体体积公式中柱体底面积柱体高某柱体三视图图示该柱体体积
A．158 B．162
C．182 D．32
20．（2019·浙江高考真题）设三棱锥底面正三角形侧棱长均相等棱点（含端点）记直线直线成角直线面成角二面角面角
A． B．
C． D．
21．（2019·全国高考真题（理））已知三棱锥PABC四顶点球O球面PAPBPC△ABC边长2正三角形EF分PAAB中点∠CEF90°球O体积
A． B． C． D．
22．（2019·全国高考真题（文））设αβ两面α∥β充条件
A．α数条直线β行
B．α两条相交直线β行
C．αβ行条直线
D．αβ垂直面
23．（2019·海高考真题）已知面两两垂直直线满足：直线满足种关系
A．两两垂直 B．两两行 C．两两相交 D．两两异面
24．（2018·浙江高考真题）已知直线面（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
25．（2018·海高考真题）九章算术中称底面矩形侧棱垂直底面四棱锥阳马设正六棱柱条侧棱图阳马该正六棱柱顶点顶点底面矩形边样阳马数（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
26．（2018·浙江高考真题）已知四棱锥底面正方形侧棱长均相等线段点（含端点）设成角面成角二面角面角
A． B． C． D．
27．（2018·全国高考真题（文））长方体中面成角该长方体体积
A． B． C． D．
28．（2018·北京高考真题（理））某四棱锥三视图图示四棱锥侧面中直角三角形数
A．1 B．2
C．3 D．4
29．（2018·全国高考真题（文））某圆柱高2底面周长16三视图图示圆柱表面点正视图应点圆柱表面点左视图应点圆柱侧面路径中短路径长度
A． B． C． D．2
30．（2018·全国高考真题（理））设半径4球球面四点等边三角形面积三棱锥体积值
A． B． C． D．
31．（2018·全国高考真题（理））中国古建筑助榫卯木构件连接起构件凸出部分榫头凹进部分卯眼图中木构件右边长方体榫头．图摆放木构件某带卯眼木构件咬合成长方体咬合时带卯眼木构件俯视图
A． B． C． D．
32．（2018·浙江高考真题）某体三视图图示（单位：）该体体积（单位：）（ ）
A． B． C． D．
33．（2018·全国高考真题（文））正方体中棱中点异面直线成角正切值
A． B． C． D．
34．（2018·全国高考真题（文））已知圆柱底面中心分直线面截该圆柱截面面积8正方形该圆柱表面积
A． B． C． D．
35．（2018·全国高考真题（理））长方体中异面直线成角余弦值
A． B． C． D．
36．（2018·全国高考真题（理））已知正方体棱长1条棱直线面成角相等截正方体截面面积值
A． B． C． D．
37．（2017·全国高考真题（文））图列四正方体中正方体两顶点棱中点四正方体中直线面 行（ ）
A． B．
C． D．
未命名
未命名
三解答题
38．（2021·全国高考真题）图三棱锥中面面中点
（1）证明：
（2）边长1等边三角形点棱二面角求三棱锥体积
39．（2021·全国高考真题（文））图四棱锥底面矩形底面M中点．
（1）证明：面面
（2）求四棱锥体积．
40．（2021·浙江高考真题）图四棱锥中底面行四边形MN分中点
（1）证明：
（2）求直线面成角正弦值
41．（2021·全国高考真题（文））已知直三棱柱中侧面正方形EF分中点
（1）求三棱锥体积
（2）已知D棱点证明：
42．（2021·全国高考真题（理））已知直三棱柱中侧面正方形EF分中点D棱点．
（1）证明：
（2）值时面面成二面角正弦值
43．（2021·全国高考真题（理））图四棱锥底面矩形底面中点．
（1）求
（2）求二面角正弦值．
44．（2020·海南高考真题）图四棱锥PABCD底面正方形PD底面ABCD．设面PAD面PBC交线．
（1）证明：面PDC
（2）已知PDAD1Q点QB求PB面QCD成角正弦值．
45．（2020·天津高考真题）图三棱柱中面点分棱棱棱中点．
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求二面角正弦值
（Ⅲ）求直线面成角正弦值．
46．（2020·北京高考真题）图正方体中 E中点．
（Ⅰ）求证：面
（Ⅱ）求直线面成角正弦值．
47．（2020·浙江高考真题）图三棱台ABC—DEF中面ACFD⊥面ABC∠ACB∠ACD45°DC 2BC．
（I）证明：EF⊥DB
（II）求DF面DBC成角正弦值．
48．（2020·海南高考真题）图四棱锥PABCD底面正方形PD⊥底面ABCD．设面PAD面PBC交线l．
（1）证明：l⊥面PDC
（2）已知PDAD1Ql点求PB面QCD成角正弦值值．
49．（2020·江苏高考真题）三棱锥A—BCD中已知CBCDBD2OBD中点AO⊥面BCDAO2EAC中点．
（1）求直线ABDE成角余弦值
（2）点FBC满足BFBC设二面角F—DE—Cθ求sinθ值．
50．（2020·江苏高考真题）三棱柱ABCA1B1C1中AB⊥ACB1C⊥面ABCEF分ACB1C中点．
（1）求证：EF∥面AB1C1
（2）求证：面AB1C⊥面ABB1．
51．（2020·全国高考真题（理））图长方体中点分棱．
（1）证明：点面
（2）求二面角正弦值．
52．（2020·全国高考真题（文））图长方体中点分棱．证明：
（1）时
（2）点面．
53．（2020·全国高考真题（文））图圆锥顶点圆锥底面圆心底面接正三角形点∠APC90°．
（1）证明：面PAB⊥面PAC
（2）设DO圆锥侧面积求三棱锥P−ABC体积
54．（2020·全国高考真题（理））图圆锥顶点圆锥底面圆心底面直径．底面接正三角形点．
（1）证明：面
（2）求二面角余弦值．
55．（2020·全国高考真题（文））图已知三棱柱ABC–A1B1C1底面正三角形侧面BB1C1C矩形MN分BCB1C1中点PAM点．B1C1P面交ABE交ACF．
（1）证明：AA1MN面A1AMN⊥面EB1C1F
（2）设O△A1B1C1中心AOAB6AO面EB1C1F∠MPN求四棱锥B–EB1C1F体积．
56．（2020·全国高考真题（理））图已知三棱柱ABCA1B1C1底面正三角形侧面BB1C1C矩形MN分BCB1C1中点PAM点B1C1P面交ABE交ACF
（1）证明：AA1∥MN面A1AMN⊥EB1C1F
（2）设O△A1B1C1中心AO∥面EB1C1FAOAB求直线B1E面A1AMN成角正弦值
57．（2019·江苏高考真题）图直三棱柱ABC－A1B1C1中DE分BCAC中点ABBC．
求证：（1）A1B1∥面DEC1
（2）BE⊥C1E．
58．（2019·天津高考真题（理））图面
（Ⅰ）求证：面
（Ⅱ）求直线面成角正弦值
（Ⅲ）二面角余弦值求线段长
59．（2019·全国高考真题（理））图1矩形ADEBRt△ABC菱形BFGC组成面图形中AB1BEBF2∠FBC60°ABBC折起BEBF重合连结DG图2
（1）证明：图2中ACGD四点面面ABC⊥面BCGE
（2）求图2中二面角B−CG−A
60．（2019·全国高考真题（文））图直四棱柱ABCD–A1B1C1D1底面菱形AA14AB2∠BAD60°EMN分BCBB1A1D中点
（1）证明：MN∥面C1DE
（2）求点C面C1DE距离．
61．（2019·全国高考真题（理））
图长方体ABCD–A1B1C1D1底面ABCD正方形点E棱AA1BE⊥EC1
（1）证明：BE⊥面EB1C1
（2）AEA1E求二面角B–EC–C1正弦值
62．（2019·海高考真题）图正三棱锥中
（1）中点中点求夹角
（2）求体积
63．（2018·海高考真题）已知圆锥顶点底面圆心半径．
（1）设圆锥母线长求圆锥体积
（2）设底面半径线段中点图．求异面直线成角．
64．（2018·江苏高考真题）行六面体中．
求证：（1）
（2）．
65．（2018·江苏高考真题）图正三棱柱ABCA1B1C1中ABAA12点PQ分A1B1BC中点．
（1）求异面直线BPAC1成角余弦值
（2）求直线CC1面AQC1成角正弦值．
66．（2018·全国高考真题（文））图矩形面半圆弧面垂直异点．
（1）证明：面面
（2）线段否存点面？说明理．
67．（2018·北京高考真题（理））图三棱柱ABC−中面ABCDEFG分AC中点ABBCAC2．
（1）求证：AC⊥面BEF
（2）求二面角B−CD−C1余弦值
（3）证明：直线FG面BCD相交．
68．（2018·北京高考真题（文））图四棱锥中底面矩形面面分中点
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求证：面面
（Ⅲ）求证：面
69．（2018·全国高考真题（理））图四边形正方形分中点折痕折起点达点位置
（1）证明：面面
（2）求面成角正弦值
70．（2018·全国高考真题（理））图边长2正方形面半圆弧面垂直异点．
（1）证明：面面
（2）三棱锥体积时求面面成二面角正弦值．
71．（2018·浙江高考真题）图已知面体ABCA1B1C1A1AB1BC1C均垂直面ABC∠ABC120°A1A4C1C1ABBCB1B2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥面A1B1C1
（Ⅱ）求直线AC1面ABB1成角正弦值．
72．（2018·全国高考真题（文））图三棱锥中中点．
（1）证明：面
（2）点棱求点面距离．
73．（2018·全国高考真题（文））图行四边形中折痕△折起点达点位置．
（1）证明：面面
（2）线段点线段点求三棱锥体积．
74．（2017·山东高考真题（文））四棱柱ABCD−A1B1C1D1截三棱锥C1−B1CD1体图示四边形ABCD正方形OACBD交点EAD中点A1E面ABCD
（1）证明：∥面B1CD1
（2）设MOD中点证明：面A1EM面B1CD1
四填空题
75．（2021·全国高考真题（理））图①正视图图②③④⑤中选两分作侧视图俯视图组成某三棱锥三视图选侧视图俯视图编号次_________（写出符合求组答案）．
76．（2021·全国高考真题（文））已知圆锥底面半径6体积该圆锥侧面积________
77．（2020·海南高考真题）已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长2MN分BB1AB中点三棱锥ANMD1体积____________
78．（2020·海南高考真题）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1棱长均2∠BAD60°．球心半径球面侧面BCC1B1交线长________．
79．（2020·江苏高考真题）图六角螺帽毛坯正六棱柱挖圆柱构成．已知螺帽底面正六边形边长2 cm高2 cm孔半径05 cm六角螺帽毛坯体积____cm
80．（2020·全国高考真题（文））已知圆锥底面半径1母线长3该圆锥半径球体积_________．
81．（2020·全国高考真题（理））设列四命题：
p1：两两相交点三条直线必面
p2：空间中意三点仅面
p3：空间两条直线相交两条直线行
p4：直线l面α直线m⊥面αm⊥l
述命题中真命题序号__________
①②③④
82．（2019·江苏高考真题）图长方体体积120E中点三棱锥EBCD体积_____
83．（2019·北京高考真题（理））某体正方体掉四棱柱三视图图示．果网格纸正方形边长1该体体积__________．
84．（2019·北京高考真题（理））已知lm面外两条直线．出列三断：
①l⊥m②m∥③l⊥．
中两断作条件余断作结写出正确命题：__________．
85．（2019·全国高考真题（理））学生工厂劳动实践利印技术制作模型图该模型长方体挖四棱锥体中长方体中心分棱中点印原料密度考虑印损耗制作该模型需原料质量___________
86．（2019·天津高考真题（文））已知四棱锥底面边长正方形侧棱长均圆柱底面圆周四棱锥四条侧棱中点底面圆心四棱锥底面中心该圆柱体积__________
87．（2019·全国高考真题（文））已知∠ACB90°P面ABC外点PC2点P∠ACB两边ACBC距离均P面ABC距离___________．
88．（2018·江苏高考真题）图示正方体棱长2面中心顶点面体体积________．
89．（2018·全国高考真题（文））已知圆锥顶点母线互相垂直圆锥底面成角面积该圆锥体积__________．
90．（2018·全国高考真题（理））已知圆锥顶点母线成角余弦值圆锥底面成角45°面积该圆锥侧面积__________．
91．（2018·天津高考真题（理））已知正方体棱长1面外该正方体余面中心分点EFGHM(图)四棱锥体积__________
五双空题
92．（2019·全国高考真题（文））中国悠久金石文化印信金石文化代表．印信形状长方体正方体圆柱体南北时期官员独孤信印信形状半正面体（图1）半正面体两种两种正边形围成面体半正面体体现数学称美．图2棱数48半正面体顶点正方体表面正方体棱长1．该半正面体________面棱长_________．
五年（20172021）高考数学真题分类汇编
十立体（答案解析）
1．BD
分析
A等价量关系联系三角形进确定点坐标
B点运动轨迹考虑三角形确定路线进考虑体积否定值
C考虑助量移点轨迹确定进考虑建立合适直角坐标系求解点数
D考虑助量移点轨迹确定进考虑建立合适直角坐标系求解点数．
解析
易知点矩形部（含边界）．
A时时线段周长定值A错误
B时时点轨迹线段面面距离定值体积定值B正确．
C时取中点分点轨迹线段妨建系解决建立空间直角坐标系图．均满足C错误
D时取中点．点轨迹线段．设时重合D正确．
选：BD．
结
题考查量等价换关键处求点坐标放三角形．
2．A
分析
正方体间垂直行关系证面出结
解析
连正方体中
M中点中点
N中点
面面
面
垂直垂直
垂直面选项BD正确
正方体中
面
面
面
直线异面直线
选项B错误选项A正确
选：A
结
关键点结：熟练掌握正方体中垂直行关系解题关键两条棱行垂直面角线互相垂直正方体角线面角线相交垂直异面垂直关系
3．A
分析
根三视图图示体根棱柱体积公式求体积
解析
体图示四棱柱高1底面等腰梯形
该等腰梯形底底腰长1梯形高
选：A
4．A
分析
题等腰直角三角形出外接圆半径求面距离进求体积
解析
等腰直角三角形
外接圆半径球半径1
设面距离
选：A
结
关键结：题考查球体问题解题关键正确利截面圆半径球半径球心截面距离勾股关系求解
5．D
分析
根题意题目正视图原出体直观图结合直观图进行判断
解析
题意正视图体直观图图示
侧视图
选：D
6．D
分析
移直线直线成角转化成角解三角形
解析
图连接∥
补角直线成角
面
面
设正方体棱长2
选：D
7．B
分析
设圆锥母线长根圆锥底面圆周长等扇形弧长求值求
解析
设圆锥母线长圆锥底面圆周长等扇形弧长解
选：B
8．C
分析
求出正方体体角线半球半径利球表面积公式解
解析
球正方体外接球半径等正方体体角线半
球表面积
选：C
结
题考查正方体外接球表面积求法求出外接球半径题解题关键属基础题求面体外接球面积体积问题常方法：（1）三条棱两两互相垂直时恢复长方体利长方体体角线外接球直径求出球半径（2）直棱柱外接球利棱柱底面行助球称性球心底面外接圆圆心连线中点根勾股定理求球半径（3）果设计体两面相交两面外心分作两面垂线垂线交点体球心
9．D
分析
首先确定体结构特征然求解表面积
解析
题意三棱柱底面边长2等边三角形侧面三边长2正方形
表面积：
选：D
结
(1)三视图载体考查体表面积关键够出三视图进行恰分析三视图中发现体中元素间位置关系数量关系．
(2)面体表面积面面积组合体表面积应注意重合部分处理．
(3)圆柱圆锥圆台侧面曲面计算侧面积时需曲面展面图形计算表面积侧面积底面圆面积．
10．A
分析
根三视图原原图然根柱体锥体体积计算公式计算出体体积
解析
三视图知该体半部分三棱锥半部分三棱柱
三棱锥侧面垂直底面棱锥高1
棱柱底面等腰直角三角形棱柱高2
体体积：
选：A
结
题考查根三视图计算体体积属基础题
11．B
分析
画出球心晷针确定面截球晷面截面图根面面行性质定理线面垂直定义判定关截线关系根点处纬度计算出晷针点处水面成角
解析
画出截面图图示中赤道面截线点处水面截线题意知晷针直线晷面截线题意题意晷面赤道面行晷针晷面垂直
根面行性质定理知根线面垂直定义
晷针点处水面成角
选：B
结
题考查中国古代数学文化考查球体关计算涉面行线面垂直性质属中档题
12．C
分析
根三视图特征正方体中截取出符合题意立体图形求出面面积求表面积
解析
根三视图特征正方体中截取出符合题意立体图形
根立体图形：
根勾股定理：
边长等边三角形
根三角形面积公式：
该体表面积：
选：C
结
题考查根三视图求立体图形表面积问题解题关键掌握根三视图画出立体图形考查分析力空间想象力属基础题
13．A
分析
已知等边外接圆半径进求出边长出值根球截面性质求出球半径出结
解析
设圆半径球半径题意
等边三角形
正弦定理
根球截面性质面
球表面积
选：A
结
题考查球表面积应球截面性质解题关键考查计算求解力属基础题
14．C
分析
设利关方程解方程答案
解析
图设
题意化简
解（负值舍）
选：C
点晴
题考查正四棱锥概念关计算考查学生数学计算力道容易题
15．C
分析
根球表面积面积求球半径外接圆半径球性质知求距离
解析
设球半径解：
设外接圆半径边长
面积等边三角形
解：
球心面距离
选：C
结
题考查球相关问题求解涉球表面积公式三角形面积公式应解题关键明确球性质球心三角形外接圆圆心连线必垂直三角形面
16．A
分析
根三视图画出面体立体图形求点侧视图中应点
解析
根三视图画出面体立体图形
点正视图中应点M直线点俯视图中应点N
∴正视图中应俯视图中应点线段点侧试图中应∴点侧视图中应点
选：A
结
题考查根三视图判断点位置解题关键掌握三视图基础知识根三视图原立体图形方法考查分析力空间想象属基础题
17．B
分析
先三视图原出原体进行计算
解析
图示棱长6正方体中分线段三等分点
三视图应体棱柱
三视图该棱柱高6底面作两直角梯形组合成中底4底6高3底2底6高3该棱柱体积
选B
结
题首先根三视图原体——棱柱根题目定数计算体体积常规题目难度注重基础知识视图图力基计算力考查易错点二正确原体二计算体积误避免出错应注重观察细心计算
18．B
分析
利垂直关系结合勾股定理进解决问题．
解析
图示 作连接作．
连面面．
面面面
均直角三角形．设正方形边长2易知
．选B．
结
题考查空间想象力计算力 解答题关键构造直角三角性．
19．B
分析
题首先根三视图原体—棱柱根题目定数计算体体积常规题目难度注重基础知识视图图力基计算力考查
解析
三视图该棱柱高6底面作两直角梯形组合成中底4底6高3底2底6高3该棱柱体积
结
易错点二正确原体二计算体积误避免出错应注重观察细心算
20．B
分析
题三棱锥载体综合考查异面直线成角直线面成角二面角概念种角计算解答基方法通明确种角应三角函数知识求解较充分利图形特征事倍功半
解析
方法1：图中点底面投影底面投影线段作垂直易作交作交综述答案B
方法2：角定理记面角（显然）
角定理选B
方法3：（特殊位置）取正四面体中点易
选B
结
常规解法易出现错误正确作图出种角未想利特殊位置法寻求简便解法
21．D
分析
先证面求正方体部分进知正方体体角线球直径解
解析
解法边长2等边三角形正三棱锥
分中点
面面正方体部分 选D．
解法二
设分中点
边长2等边三角形
中余弦定理作
中点
两两垂直选D
结
题考查学生空间想象力补体法解决外接球问题．通线面垂直定理三棱两两互相垂直关系快速侧棱长进补体成正方体解决．
22．B
分析
题考查空间两面判定性质充条件渗透直观想象逻辑推理素养利面面行判定定理性质定理作出判断．
解析
面面行判定定理知：两条相交直线行充分条件面面行性质定理知意条直线行两条相交直线行必条件选B．
结
面面行判定问题紧扣面面行判定定理容易犯错误定理记住观臆断：类错误．
23．B
分析
通假设行交线交线相交异面存正确结果
解析
设均重合
假设：：
知
：
两两互相垂直知相交相交异面
重合理相交异面
知假设错误知三条直线两两行
题正确选项：
结
题考查空间中直线面间位置关系关键够通线面关系第三条直线前两条线间位置关系正确结果
24．D
分析
充分性必性两方面分分析判断解
解析
直线面
时显然成立充分性成立
时图示显然成立必性成立．
充分必条件
选：D
结
方法结：判定充条件常方法三种：
（1）定义法：直接利充分必条件定义分析判断解
（2）集合法：利集合包含关系分析判断解
（3）转化法：转化成逆否命题分析判断解
25．D
分析
根新定义正六边形性质答案．
解析
根正六边形性质D1﹣A1ABB1D1﹣A1AFF1满足题意
C1E1CDED1样2×48
A1ACC1底面矩形4满足题意
A1AEE1底面矩形4满足题意
8+4+416
选D．
结
题考查新定义排组合问题考查棱柱特征属中档题．
26．D
分析
分作出线线角线面角二面角构造直角三角形根边关系确定角关系
解析
设正方形中心中点作行线交作垂直连接垂直底面垂直
选D
结
线线角找行线面角找垂直面面角找垂面
27．C
分析
首先画出长方体利题中条件根求确定利长方体体积公式求出长方体体积
解析
长方体中连接
根线面角定义知
求
该长方体体积选C
结
该题考查长方体体积求解问题解题程中需明确长方体体积公式长宽高积题中条件两值利题中条件求解条边长显尤重时需明确线面角定义量间关系求结果
28．C
解析
分析：根三视图原体利勾股定理求出棱长利勾股定理逆定理判断直角三角形数
解析：三视图四棱锥四棱锥中
勾股定理知：四棱锥中直角三角形：三选C
结：题考查三视图相关知识解题时简单体放正方体长方体中进行原分析线面线线垂直关系利勾股定理求出条棱长进进行棱长表面积体积等相关问题求解
29．B
分析
首先根题中三视图点M点N圆柱处位置圆柱侧面展开图铺点MN四分矩形角线端点处根面两点间直线段短利勾股定理求结果
解析
根圆柱三视图身特征
圆柱侧面展开图铺
确定点M点N分圆柱高长方形宽圆柱底面圆周长四分长长方形角线端点处
求短路径长度选B
结：该题考查关体表面两点间短距离求解问题解题程中需明确两点体处位置利面两点间直线段短处理方法面切开铺利面图形相关特征求结果
30．B
解析
分析：作图DMO 球交点点M三角形ABC中心判断出面时三棱锥体积然进行计算．
解析：图示
点M三角形ABC中心EAC中点
面时三棱锥体积
时
点M三角形ABC中心
中
选B
结：题考查三棱锥外接球考查勾股定理三角形面积公式三棱锥体积公式判断出面时三棱锥体积关键M三角形ABC重心计算勾股定理OM进结果属较难题型．
31．A
解析
解析：题意知题干中榫头凸出体求卯眼俯视图卯眼凹进俯视图中应见长方形
俯视图应称图形
俯视图
选A
结：题考查空间体三视图考查学生空间想象力属基础题．
32．C
分析
先原体直四棱柱根柱体体积公式求结果
解析
根三视图体直四棱柱高底面直角梯形底分梯形高体体积选C
结
先体三视图原体形状具体体中求体积表面积等
33．C
分析
利正方体中问题转化求面直线成角正切值中进行计算
解析
正方体中异面直线成角
设正方体边长棱中点
选C
结
求异面直线成角两种方法：
（1）法：①移两直线中条两条面中②利边角关系找（构造）求角三角形③求出三边三边例关系余弦定理求角
（2）量法：①求两直线方量②求两量夹角余弦③直线夹角锐角②应余弦取绝值直线成角余弦值
34．B
解析
分析：首先根正方形面积求正方形边长进步确定圆柱底面圆半径圆柱高利相关公式求圆柱表面积
解析：根题意截面边长正方形
结合圆柱特征知该圆柱底面半径圆高
表面积选B
结：该题考查关圆柱表面积求解问题解题程中需利题条件确定圆柱相关量圆柱底面圆半径圆柱高求圆柱表面积时候定注意两底面圆侧面积
35．C
解析
分析：先建立空间直角坐标系设立点坐标利量数量积求量夹角根量夹角线线角相等互补关系求结果
解析：D坐标原点DADCDD1xyz轴建立空间直角坐标系
异面直线成角余弦值选C
结：利法量求解空间线面角关键四破：第破建系关构建恰空间直角坐标系第二破求坐标关准确求解相关点坐标第三破求法量关求出面法量第四破应公式关
36．A
分析
首先利正方体棱3组组互相行4条棱12条棱成角相等需顶点出发三条棱成角相等判断出面位置截正方体截面正六边形边长面角线半应面积公式求结果
解析
根相互行直线面成角相等
正方体中
面线成角相等
面正方体条棱直线成角相等
理面满足正方体条棱直线成角相等
求截面面积截面位置夹两面中间
棱中点正六边形边长
面积选A
结：该题考查关面正方体截截面边形面积问题首务需先确定截面位置需题条件中找寻相关字眼六条棱中点正六边形利六边形面积求法应相关公式求结果
37．D
分析
利线面行判定定理判断ABC选项正误利线面行性质定理判断D选项正误
解析
A选项图示连接
正方体中四边形行四边形
分中点
面面面
B选项连接图示：
正方体中四边形行四边形
分中点
面面面
C选项连接图示：
正方体中四边形行四边形
分中点
面面面
D选项图示连接交点连接连接交点
面面面面
四边形正方形角线交点中点
分中点
面行
选：D
结
判断证明线面行常方法：
（1）利线面行定义般反证法
（2）利线面行判定定理（）关键面找（作）条直线已知直线行证明时注意符号语言叙述
（3）利面面行性质定理（）
38．(1)详见解析(2)
分析
（1）根面面垂直性质定理AO⊥面BCD证结果
（2）先作出二面角面角求高根体积公式结果
解析
（1）ABADOBD中点AO⊥BD
面ABD面BCD面ABD⊥面BCD面ABD
AO⊥面BCD
面BCDAO⊥CD
(2)作EF⊥BDF 作FM⊥BCM连FM
AO⊥面BCDAO⊥BD AO⊥CD
EF⊥BD EF⊥CD EF⊥面BCDEF⊥BC
FM⊥BCBC⊥面EFMBC⊥MF
二面角EBCD面角
正三角形直角三角形
EFFM
面BCD
结
二面角求法：定义法二三垂线定理法三垂面法四投影法
39．（1）证明见解析（2）．
分析
（1）底面线面垂直判定定理面根面面垂直判定定理证出面面
（2）（1）知面知识知相似求出根四棱锥体积公式求出．
解析
（1）底面面
面
面
面面．
（2）（1）知面
设
解．
底面
四棱锥体积．
结
题第问解题关键找面面垂线结合题目条件垂线中产生稍加分析判断出面证出第二问关键底面矩形面积计算利第问结结合面知识出求出矩形边长求该四棱锥体积．
40．（1）证明见解析（2）．
分析
（1）证证题意易证面证
（2）取中点根题意知两两垂直点坐标原点建立空间直角坐标系分求出量面法量根线面角量公式求出．
解析
（1）中余弦定理
．题意面面．
（2）相交面取中点连接两两垂直点坐标原点图示建立空间直角坐标系
中点
（1）面面法量
直线面成角正弦值．
结
题第问考查线面垂直相互转化证明考虑
题中垂直关系直线较易证面问题解决第二问思路直接第问垂直关系建立空间直角坐标系根线面角量公式计算出．
41．(1)(2)证明见解析
分析
(1)首先求AC长度然利体积公式三棱锥体积
(2)体进行补形线线垂直问题转化证明线面垂直然线面垂直题中结
解析
(1)图示连结AF
题意：
AB⊥BB1BC⊥AB面
面
等腰直角三角形
(2)(1)结体补形棱长2正方体图示取棱中点连结
正方形中中点
面面
结
求三棱锥体积时注意三棱锥面作底面例三棱锥三条侧棱两两垂直选择中侧面作底面条侧棱作高求体积．空间中垂直关系（线线线面面面）证明常进行等价转化
42．（1）见解析（2）
分析
通已知条件确定三条互相垂直直线建立合适空间直角坐标系助空间量证明线线垂直求出二面角面角余弦值进确定出答案．
解析
三棱柱直三棱柱底面
面．
两两垂直．
坐标原点分直线轴建立空间直角坐标系图．
．
题设（）．
（1）
．
（2）设面法量
．
令
面法量
设面面二面角面角
．
时取值
时取值．
时．
结
题考查空间量相关计算够根题意设出（）第二问中通余弦值找正弦值关键步．
43．（1）（2）
分析
（1）点坐标原点直线分轴建立空间直角坐标系设已知条件出求出值出长
（2）求出面法量利空间量法结合角三角函数基关系求结果
解析
（1）面四边形矩形妨点坐标原点直线分轴建立图示空间直角坐标系
设
解
（2）设面法量
取
设面法量
取
二面角正弦值
结
思路结：利空间量法求解二面角步骤：
（1）建立合适空间直角坐标系写出二面角应两半面中应点坐标
（2）设出法量根法量垂直面两条直线方量求解出面法量（注：半面坐标面直接取法量）
（3）计算（2）中两法量余弦值结合立体图形中二面角实际情况判断二面角锐角钝角二面角余弦值
44．（1）证明见解析（2）
分析
（1）利线面行判定定理性质定理证利线面垂直判定定理证面面
（2）根题意建立相应空间直角坐标系相应点坐标设出点求面法量量坐标求直线面成角正弦值
解析
（1）证明：
正方形中
面面
面
面面面
四棱锥中底面正方形
面
面
（2）图建立空间直角坐标系
设
QB
设面法量
令面法量
根直线方量面法量成角余弦值绝值直线面成角正弦值直线面成角正弦值等
直线面成角正弦值
结
该题考查关立体问题涉知识点线面行判定性质线面垂直判定性质利空间量求线面角利基等式求值属中档题目
45．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）
分析
原点分方轴轴轴正方建立空间直角坐标系
（Ⅰ）计算出量坐标出证明出
（Ⅱ）知面法量计算出面法量利空间量法计算出二面角余弦值利角三角函数基关系求解结果
（Ⅲ）利空间量法求直线面成角正弦值
解析
题意原点分方轴轴轴正方建立空间直角坐标系（图）
（Ⅰ）题意
（Ⅱ）题意面法量
．
设面法量
妨设．
．
二面角正弦值
（Ⅲ）题意．
（Ⅱ）知面法量．
直线面成角正弦值
结
题考查利空间量法证明线线垂直求二面角线面角正弦值考查推理力计算力属中档题
46．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
分析
（Ⅰ）证明出四边形行四边形出然利线面行判定定理证结
（Ⅱ）点坐标原点直线分轴建立空间直角坐标系利空间量法计算出直线面成角正弦值
解析
（Ⅰ）图示：
正方体中
四边形行四边形
面面面
（Ⅱ）点坐标原点直线分轴建立图示空间直角坐标系
设正方体棱长
设面法量
令
直线面成角正弦值
结
题考查线面行证明时考查利空间量法计算直线面成角正弦值考查计算力属基础题
47．（I）证明见解析（II）
分析
（I）作交连接题意知面根勾股定理证面证
（II）面成角面成角作连接知求角解三角形求出面成角正弦值．
解析
（Ⅰ）作交连接．
∵面面面面面
∴面面．
∵
∴．
中∴．
棱台定义知
∴面面∴．
（Ⅱ）面成角面成角．
作连接（1）知面
面面面面
面∴面．
面射影求角．
中设
∴．
面成角正弦值．
结
题考查空间点线面位置关系线面垂直判定定理应直线面成角求法意考查学生直观想象力数学运算力属基础题．
48．（1）证明见解析（2）
分析
（1）利线面垂直判定定理证面利线面行判定定理性质定理证面
（2）根题意建立相应空间直角坐标系相应点坐标设出点求面法量量坐标求值直线面成角正弦值值
解析
（1）证明：
正方形中
面面
面
面面面
四棱锥中底面正方形
面
面
（2）图建立空间直角坐标系
设
设面法量
令面法量
根直线方量面法量成角余弦值绝值直线面成角正弦值直线面成角正弦值等仅时取等号
直线面成角正弦值值
结
该题考查关立体问题涉知识点线面行判定性质线面垂直判定性质利空间量求线面角利基等式求值属中档题目
49．（1）（2）
分析
（1）建立空间直角坐标系利量数量积求直线量夹角结果
（2）先求两面法量根量数量积求法量夹角根二面角量夹角关系结果
解析
（1）连
轴建立空间直角坐标系
直线成角余弦值
（2）设面法量
令
设面法量
令
结
题考查利量求线线角二面角考查基分析求解力属中档题
50．（1）证明详见解析（2）证明详见解析
分析
（1）通证明证面
（2）通证明面证面面
解析
（1）分中点
面面面
（2）面面
面
面面面
结
题考查线面行证明考查面面垂直证明属中档题
51．（1）证明见解析（2）
分析
（1）连接证明出四边形行四边形进证点面
（2）点坐标原点直线分轴建立空间直角坐标系利空间量法计算出二面角余弦值进求二面角正弦值
解析
（1）棱取点连接
长方体中
四边形行四边形
理证四边形行四边形
四边形行四边形
点面
（2）点坐标原点直线分轴建立图示空间直角坐标系
设面法量
取
设面法量
取
设二面角面角
二面角正弦值
结
题考查点面证明时考查利空间量法求解二面角角考查推理力计算力属中等题
52．（1）证明见解析（2）证明见解析
分析
（1）根正方形性质根长方体性质进证面结果
（2）需证明取点通行四边形性质进行证明
解析
（1）长方体面
长方体四边形正方形
面面
面
（2）取点连
四边形行四边形
四点面四边形行四边形 四点面
面
结
题考查线面垂直判定定理线线行判定考查基分析证力属中档题
53．（1）证明见解析（2）
分析
（1）根已知进≌
证面证结
（2）已知条件转化母线底面半径关系进求出底面半径正弦定理求出正三角形边长等腰直角三角形中求出中求出求出结
解析
（1）连接圆锥顶点底面圆心面
圆接正三角形≌
面面面面
（2）设圆锥母线底面半径圆锥侧面积
解
等腰直角三角形中
中
三棱锥体积
结
题考查空间线面位置关系证明面面垂直求锥体体积注意空间垂直间相互转化考查逻辑推理直观想象数学计算力属中档题
54．（1）证明见解析（2）
分析
（1）证明面需证明
（2）O坐标原点OAx轴ONy轴建立图示空间直角坐标系分算出面法量面法量利公式计算答案
解析
（1）题设知等边三角形设
等边三角形
理面
（2）O作∥BC交AB点N面O坐标原点OAx轴ONy轴建立图示空间直角坐标系
设面法量
令
设面法量
令
设二面角
点晴
题考查线面垂直证明利量求二面角考查学生空间想象力数学运算力道容易题
55．（1）证明见解析（2）
分析
（1）分中点根条件证证面面需证明面
（2）根已知条件求距离根椎体体积公式求
解析
（1）分中点
等边中中点
侧面矩形
面
面
面面
面
面面面
面
面
面
面面
（2）作垂线交点
画出图形图
面
面面面
中心
：
面面面面
面
面
等边中
（1）知四边形梯形
四边形面积：
距离
结
题考查证明线线行面面垂直求四棱锥体积解题关键掌握面面垂直转求证线面垂直证法棱锥体积公式考查分析力空间想象力属中档题
56．（1）证明见解析（2）
分析
（1）分中点根条件证证面面需证明面
（2）连接先求证四边形行四边形根关系求截取（1）面面成角求答案
解析
（1）分中点
中中点
侧面矩形
面
面
面面
面
面面面
面
面
面
面面
（2）连接
面面面
根三棱柱底面行
面面面面
：四边形行四边形
设边长()
：
中心边长
：
解：
截取
四边形行四边形
（1）面
面成角
根勾股定理：
直线面成角正弦值：
结
题考查证明线线行面面垂直线面角解题关键掌握面面垂直转求证线面垂直证法线面角定义考查分析力空间想象力属难题
57．（1）见解析（2）见解析
分析
(1)题意结合体空间结构特征线面行判定定理证题中结
(2)题意首先证线面垂直然结合线面垂直证明线线垂直
解析
（1）DE分BCAC中点
ED∥AB
直三棱柱ABCA1B1C1中AB∥A1B1
A1B1∥ED
ED⊂面DEC1A1B1面DEC1
A1B1∥面DEC1
（2）ABBCEAC中点BE⊥AC
三棱柱ABCA1B1C1直棱柱CC1⊥面ABC
BE⊂面ABCCC1⊥BE
C1C⊂面A1ACC1AC⊂面A1ACC1C1C∩ACC
BE⊥面A1ACC1
C1E⊂面A1ACC1BE⊥C1E
结
题考查直线直线直线面面面位置关系等基础知识考查空间想象力推理证力
58．（Ⅰ）见证明（Ⅱ）（Ⅲ）
分析
首先利体特征建立空间直角坐标系
(Ⅰ)利直线BF方量面ADE法量关系证明线面行
(Ⅱ)分求直线CE方量面BDE法量然求解线面角正弦值
(Ⅲ)首先确定两半面法量然利二面角余弦值计算公式关CF长度方程解方程CF长度
解析
题意建立A原点分方x轴y轴z轴正方空间直角坐标系(图)
设
(Ⅰ)题意面ADE法量
直线面面
(Ⅱ)题意
设面BDE法量
妨令z1
直线面成角正弦值
(Ⅲ)设面BDF法量
妨令y1
题意解
检验符合题意｡
线段长
结
题考查直线面行二面角直线面成角等基础知识考查空间量解决立体问题方法考查空间想象力运算求解力推理证力
59．(1)见解析(2)
分析
(1)折纸粘合改变矩形菱形部夹角然成立粘起证面垂线易证(2)图中找应面角求面角考虑关垂线发现垂足连线垂直思路证
解析
(1)证：粘起
ACGD四点面
面BCGE面ABC面ABC面BCGE证
(2)B作延长线H连结AHAB面BCGE
面二面角面角中
中二面角度数
结
新颖立体考题．首先面体粘合问题考查考生粘合程中量变．者粘合面体直棱柱建系量解法题中略显麻烦突出考查方法．求二面角转化求二面角面角问题考查考生空间想象力．
60．（1）见解析
（2）
分析
（1）利三角形中位线证证四边形行四边形进证根线面行判定定理证结
（2）根题意求三棱锥体积求出面积利求点C面距离结果
解析
（1）连接
分中点 中位线
中点
四边形行四边形
面面
面
（2）菱形中中点
根题意
棱柱直棱柱面
设点C面距离
根题意
解
点C面距离
结
该题考查关立体问题涉知识点线面行判定点面距离求解解题程中注意熟记线面行判定定理容注意行线寻找思路者利等积法求点面距离文科生常考容
61．（1）证明见解析（2）
分析
（1）利长方体性质知道侧面利线面垂直性质证明出样利线面垂直判定定理证明出面
（2）点坐标原点分轴建立空间直角坐标系设正方形边长求出相应点坐标利求出间关系分求出面面法量利空间量数量积公式求出二面角余弦值绝值利角三角函数关系求出二面角正弦值
解析
证明（1）长方体侧面面
面面
（2）点坐标原点分轴建立图示空间直角坐标系
设面法量
设面法量
二面角余弦值绝值
二面角正弦值
结
题考查利线面垂直性质定理证明线线垂直考查利空间量求二角角余弦值角三角函数关系考查数学运算力
62．（1）（2）
分析
（1）中位线知求夹角根余弦定理求余弦值（2）根正三棱锥性质求体高根棱锥体积公式求结果
解析
（1）分中点知：
夹角夹角
中余弦定理：
夹角
（2）作面连接图示：
三棱锥正三棱锥
中心落
结
题考查异面直线成角空间体体积求解问题求解异面直线成角问题关键够通行关系直线进行移转化相交直线成角问题
63．(1) (2)
分析
（1）圆锥顶点P底面圆心O半径2圆锥母线长4求出圆锥体积．
（2）O原点OAx轴OBy轴OPz轴建立空间直角坐标系利量法求出异面直线PMOB成角．
解析
（1）∵圆锥顶点底面圆心半径圆锥母线长
∴圆锥体积
．
（2）∵底面半径
线段中点
∴原点轴轴轴
建立空间直角坐标系
设异面直线成角
．
∴．
∴异面直线成角．
结
求空间两条异面直线成角立体中常见基题型类问题求解般两条途径：移中条直线两条直线转化面直线成角然构造三角形通解三角形获答案二建立空间直角坐标系助空间量数量积公式求出两量夹角获解
64．（1）见解析（2）见解析
解析
分析：（1）先根行六面体线线行根线面行判定定理结（2）先根条件菱形ABB1A1根菱形角线相互垂直已知垂直条件利线面垂直判定定理线面垂直根面面垂直判定定理结
解析：
证明：（1）行六面体ABCDA1B1C1D1中AB∥A1B1．
AB面A1B1CA1B1面A1B1C
AB∥面A1B1C．
（2）行六面体ABCDA1B1C1D1中四边形ABB1A1行四边形．
AA1AB四边形ABB1A1菱形
AB1⊥A1B．
AB1⊥B1C1BC∥B1C1
AB1⊥BC．
A1B∩BCBA1B面A1BCBC面A1BC
AB1⊥面A1BC．
AB1面ABB1A1
面ABB1A1⊥面A1BC．
结：题会出现常见体结构熟悉导致体中位置关系法运者运错误柱体概念中包含两底面全等边形应边互相行侧面行四边形菱形角线互相垂直条件条件解题中已知条件缺少条件应导致法证明
65．（1）
（2）
解析
分析：（1）先建立空间直角坐标系设立点坐标根量数量积求量夹角根量夹角异面直线成角关系结果（2）利面方量求法列方程组解面法量根量数量积量夹角根线面角求量夹角间关系结果
解析：图正三棱柱ABC−A1B1C1中设ACA1C1中点分OO1OB⊥OCOO1⊥OCOO1⊥OB基底建立空间直角坐标系O−xyz．
ABAA12
．
（1）PA1B1中点
．
异面直线BPAC1成角余弦值．
（2）QBC中点
．
设n（xyz）面AQC1法量
妨取
设直线CC1面AQC1成角
直线CC1面AQC1成角正弦值．
结：题考查空间量异面直线成角线面角等基础知识考查运空间量解决问题力利法量求解空间线面角关键四破：第破建系关构建恰空间直角坐标系第二破求坐标关准确求解相关点坐标第三破求法量关求出面法量第四破应公式关
66．（1）证明见解析
（2）存理见解析
解析
分析：（1）先证证进完成证明．
（2）判断出PAM中点证明MC∥OP然进行证明．
解析：（1）题设知面CMD⊥面ABCD交线CD．
BC⊥CDBC面ABCDBC⊥面CMDBC⊥DM．
M异CD点DC直径DM⊥CM．
BC∩CMCDM⊥面BMC．
DM面AMD面AMD⊥面BMC．
（2）PAM中点时MC∥面PBD．
证明：连结AC交BDO．ABCD矩形OAC中点．
连结OPPAM 中点MC∥OP．
MC面PBDOP面PBDMC∥面PBD．
结：题考查面面垂直证明利线线垂直线面垂直面面垂直第二问先断出PAM中点然作辅助线线线行线面行考查学生空间想象力属中档题．
67．(1)见解析（2）（3）见解析．
解析
分析：（1）等腰三角形性质线面垂直性质三棱柱性质根线面垂直判定定理结（2）根条件建立空间直角坐标系设立点坐标利方程组解面BCD法量根量数量积求两法量夹角根二面角法量夹角相等互补关系求结果（3）根面BCD法量直线FG方量数量积零结
解析：（Ⅰ）三棱柱ABCA1B1C1中
∵CC1⊥面ABC
∴四边形A1ACC1矩形．
EF分ACA1C1中点
∴AC⊥EF．
∵ABBC．
∴AC⊥BE
∴AC⊥面BEF．
（Ⅱ）（I）知AC⊥EFAC⊥BEEF∥CC1．
CC1⊥面ABC∴EF⊥面ABC．
∵BE面ABC∴EF⊥BE．
图建立空间直角坐称系Exyz．
题意B（020）C（100）D（101）F（002）G（021）．
∴
设面BCD法量
∴∴
令a2b1c4
∴面BCD法量
∵面CDC1法量
∴．
图二面角BCDC1钝角二面角BCDC1余弦值．
（Ⅲ）面BCD法量∵G（021）F（002）
∴∴∴垂直
∴GF面BCD行面BCD∴GF面BCD相交．
结：垂直行关系证明中应转化化思想常见类型
(1)证明线面面面行需转化证明线线行
(2)证明线面垂直需转化证明线线垂直
(3)证明线线垂直需转化证明线面垂直
68．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
分析
（1）欲证需证明
（2）先证面证面面
（3）取中点连接证明面
解析
（Ⅰ）∵中点∴
∵底面矩形∴∴
（Ⅱ）∵底面矩形∴
∵面面面面面
∴面面∴
面面
∵面∴面面
（Ⅲ）图取中点连接
∵分中点∴
∵四边形矩形中点∴
∴∴四边形行四边形
∴面面∴面
结
证明面面关系核心证明线面关系证明线面关系核心证明线线关系证明线线行方法：（1）线面行性质定理（2）三角形中位线法（3）行四边形法 证明线线垂直常方法：（1）等腰三角形三线合（2）勾股定理逆定理（3）线面垂直性质定理（4）菱形角线互相垂直
69．（1）证明见解析（2）
分析
（1）首先题条件中确定相应垂直关系利线面垂直判定定理出面面利面面垂直判定定理证面面
（2）结合题意建立相应空间直角坐标系正确写出相应点坐标求面法量设面成角利线面角定义求结果
解析
（1）已知面
面面面
（2）作垂足（1）面
坐标原点方轴正方单位长建立图示空间直角坐标系
（1）
面法量
设面成角
面成角正弦值
结
该题考查关立体问题涉知识点面面垂直证明线面角正弦值求解属常规题目解题程中需明确面面垂直判定定理条件里需先证明线面垂直明确线线垂直线面垂直面面垂直关系证结果线面角正弦值助面法量完成注意相应等量关系
70．（1）见解析
（2）
分析
（1）先证面CMD证进完成证明．
（2）先建立空间直角坐标系然判断出位置求出面面法量进求面面成二面角正弦值．
解析
解：（1）题设知面CMD⊥面ABCD交线CDBC⊥CDBC面ABCDBC⊥面CMDBC⊥DM
M异CD点DC直径 DM⊥CM
BCCMCDM⊥面BMC
DM面AMD面AMD⊥面BMC
（2）D坐标原点方x轴正方建立图示空间直角坐标系D−xyz
三棱锥M−ABC体积时M中点
题设
设面MAB法量
取
面MCD法量
面MAB面MCD成二面角正弦值
结
题考查面面垂直证明利线线垂直线面垂直面面垂直第二问考查建立空间直角坐标系利空间量求出二面角面角考查数形结合问题转化代数问题进行求解考查学生计算力空间想象力属中档题．
71．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
分析
分析方法：（Ⅰ）通计算根勾股定理根线面垂直判定定理结（Ⅱ）找出直线AC1面ABB1成角直角三角形中求解
方法二：（Ⅰ）根条件建立空间直角坐标系写出点坐标根量积0出根线面垂直判定定理结（Ⅱ）根方程组解出面法量然利面法量夹角余弦公式线面角量夹角互余关系求解
解析
解析：方法：
（Ⅰ）
面
（Ⅱ）图点作交直线点连结
面面面
面
面成角
直线面成角正弦值
方法二：
（Ⅰ）图AC中点O原点分射线OBOCxy轴正半轴建立空间直角坐标系Oxyz
题意知点坐标：
面
（Ⅱ）设直线面成角
（Ⅰ）知
设面法量
取
直线面成角正弦值
结：利法量求解空间线面角关键四破：第破建系关构建恰空间直角坐标系第二破求坐标关准确求解相关点坐标第三破求法量关求出面法量第四破应公式关
72．（1）详见解析（2）．
解析
分析：（1）连接欲证面需证明（2）点作垂足需证长求利面知识求解
解析：（1）APCPAC4OAC中点OP⊥ACOP．
连结OB．ABBC△ABC等腰直角三角形OB⊥ACOB2．
知OP⊥OB．
OP⊥OBOP⊥AC知PO⊥面ABC．
（2）作CH⊥OM垂足H．（1）OP⊥CHCH⊥面POM．
CH长点C面POM距离．
题设知OC2CM∠ACB45°．
OMCH．
点C面POM距离．
结：立体解答题高考中难度低解析属易分题第问线面证明解题核心问题转化线线关系证明题第二问通作出点面距离线段求解利等体积法解决
73．(1)见解析
(2)1
解析
分析：(1)首先根题条件90结合已知条件BA⊥AD利线面垂直判定定理证AB⊥面ACDAB面ABC根面面垂直判定定理证面ACD⊥面ABC
(2)根已知条件求相关线段长度根第问相关垂直条件求三棱锥高助三棱锥体积公式求三棱锥体积
解析：（1）已知90°．
BA⊥ADAB⊥面ACD．
AB面ABC
面ACD⊥面ABC．
（2）已知DCCMAB3DA．
．
作QE⊥AC垂足E ．
已知（1）DC⊥面ABCQE⊥面ABCQE1．
三棱锥体积
．
结：该题考查关立体问题涉知识点面面垂直判定三棱锥体积求解解题程中需清楚题中关垂直直线位置结合线面垂直判定定理证线面垂直应面面垂直判定定理证面面垂直需明确线线垂直线面垂直面面垂直关系求三棱锥体积时候注意应体积公式求解
74．（1）证明见解析（2）证明见解析
分析
（1）取中点连接推导出四边形行四边形进利线面行判定定理证明面
（2）推导出利线面垂直判定定理证明出面进证明面面
解析
（1）取中点连接四棱柱
四边形行四边形
面面
面
（2）分中点
面面
面
面
面
面面
结
题考查线面行证明考查面面垂直证明涉空间中线线线面面面间位置关系等知识点考查推理证力运算求解力数处理力考查化转化思想数形结合思想中档题．
75．③④（答案唯）
分析
题意结合图形确定组三视图组合
解析
选择侧视图③俯视图④
图示长方体中
分棱中点
正视图①侧视图③俯视图④应体三棱锥
答案：③④
结
三视图问题解决关键处三视图确定直观图形状直观图中线面位置关系数量关系
76．
分析
利体积公式求出圆锥高进步求出母线长终利侧面积公式求出答案
解析
∵
∴
∴
∴
答案：
77．
分析
利计算
解析
正方体ABCDA1B1C1D1棱长2MN分BB1AB中点
答案：
结
求解三棱锥体积时注意观察图形特点成顶点计算
78．
分析
根已知条件易侧面侧面球面交线点距离侧面球面交线扇形弧根弧长公式求结果
解析
图：
取中点中点中点
60°直四棱柱棱长均2△等边三角形
四棱柱直四棱柱面
侧面
设侧面球面交线点
球半径
侧面球面交线点距离
侧面球面交线扇形弧
根弧长公式
答案：
结
题考查直棱柱结构特征考查直线面垂直判定考查立体中轨迹问题考查扇形中弧长公式属中档题
79．
分析
先求正六棱柱体积求圆柱体积相减结果
解析
正六棱柱体积
圆柱体积
求体体积
答案：
结
题考查正六棱柱体积圆柱体积考查基分析求解力属基础题
80．
分析
原问题转化求解圆锥切球问题然结合截面确定半径确定体积值
解析
易知半径球圆锥切球球圆锥切时轴截面图示
中点MBC边中点
设切圆圆心
设切圆半径：
解：体积：
答案：
结
球关组合体问题种切种外接．解题时认真分析图形明确切点接点位置确定关元素间数量关系作出合适截面图球切正方体切点正方体面中心正方体棱长等球直径球外接正方体正方体顶点均球面正方体体角线长等球直径
81．①③④
分析
利两交线直线确定面判断命题真假利三点线判断命题真假利异面直线判断命题真假利线面垂直定义判断命题真假利复合命题真假出结
解析
命题设相交两条直线确定面
相交交点面
理交点面
命题真命题
命题三点线三点面数
命题假命题
命题空间中两条直线相交行异面
命题假命题
命题直线面
垂直面直线
直线面直线直线
命题真命题
综知真命题假命题
真命题假命题
真命题真命题
答案：①③④
结
题考查复合命题真假时考查空间中线面关系关命题真假判断考查推理力属中等题
82．10
分析
题意结合体特征体性质三棱锥体积
解析
长方体体积120
中点
长方体性质知底面
三棱锥底面高
三棱锥体积
结
题蕴含整体局部立统规律体面积体积计算问题中需注意理清整体局部关系灵活利割补方法解题
83．40
分析
题首先根三视图原体根题目定数计算体体积属中等题
解析
图示棱长4正方体中三视图应体正方体掉棱柱余体
体体积
结
(1)求解三视图载体空间体体积关键三视图确定直观图形状直观图中线面位置关系数量关系利相应体积公式求解(2)体体积直接利公式出常等积法分割法补形法等方法进行求解．
84．果l⊥αm∥αl⊥m果l⊥αl⊥mm∥α
分析
断分作条件结加分析
解析
断分作条件结三命题：
（1）果l⊥αm∥αl⊥m 正确
（2）果l⊥αl⊥mm∥α正确
（3）果l⊥mm∥αl⊥α正确lα斜交l∥α
结
题考查空间线面位置关系命题逻辑推理力空间想象力
85．118．8
分析
根题意知模型体积四棱锥体积四棱锥体积差进求模型体积求出模型质量
解析
题意
四棱锥O−EFG高3cm ∴．
长方体体积
该模型体积
质量．
结
题考查体体积问题理解题中信息联系体体积质量关系利公式求解．
86．
分析
根棱锥结构特点确定求圆柱高底面半径．
解析
题意四棱锥底面边长正方形侧棱长均助勾股定理知四棱锥高圆柱底面圆周四棱锥四条侧棱中点圆柱底面半径底面圆心四棱锥底面中心圆柱高圆柱体积．
结
题考查圆柱四棱锥组合考查空间想象力属基础题
87．
分析
题考查学生空间想象力合理画图成关键准确找底面射影线面垂直定理垂直关系勾股定理解决．
解析
作分垂直面连
知
面面
．
分线
．
结
画图视角选择线面垂直定理够灵活难发现垂直关系问题难解决体摆放成正常视角立体问题解决效手段关系利观察解题事半功倍．
88．
解析
分析：先分析组合体构成确定锥体高利锥体体积公式求结果
解析：图知该面体两全等正四棱锥组合体正四棱锥高1底面正方形边长等该面体体积
结：解决类题目关键准确理解体定义真正握体结构特征根条件构建模型模型中进行判断求规体体积时常割补法转化成已知体积公式体进行解决．
89．8π
解析
分析：作出示意图根条件分求出圆锥母线高底面圆半径长代入公式计算
解析：图示
解
该圆锥体积
结：题填空题压轴题实际难关键根题意作出相应图形利面知识求解相应线段长代入圆锥体积公式
90．
解析
分析：先根三角形面积公式求出母线长根母线底面成角底面半径根圆锥侧面积公式求结果
解析：母线成角余弦值母线成角正弦值面积设母线长
圆锥底面成角45°底面半径
圆锥侧面积
91．
分析
题意首先求解底面积然结合四棱锥高求四棱锥体积
解析
题意底面四边形边长正方形面积
顶点底面四边形距离
四棱锥体积公式：
结
题考查四棱锥体积计算空间想象力等知识意考查学生转化力计算求解力
92．26面 棱长
分析
第问题目数出第二问需正方体中简单原出物体位置利称性面解决．
解析
图知第层第三层9面计18面第二层8面该半正面体面．
图设该半正面体棱长延长交点延长交正方体棱半正面体称性知等腰直角三角形
该半正面体棱长．
结
题立意新颖空间想象力求高物体位置原关键遇新题慌乱题目实简单稳中求胜关键．立体面化难怕强空间想象力快速原图形．
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十立体
选题
1．（2021·全国高考真题）正三棱柱中点满足中（ ）
A．时周长定值
B．时三棱锥体积定值
C．时仅点
D．时仅点面
二单选题
2．（2021·浙江高考真题）图已知正方体MN分中点（ ）
A．直线直线垂直直线面
B．直线直线行直线面
C．直线直线相交直线面
D．直线直线异面直线面
3．（2021·浙江高考真题）某体三视图图示该体体积（ ）
A． B．3 C． D．
4．（2021·全国高考真题（理））已ABC半径1球O球面三点三棱锥体积（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国高考真题（文））正方体中顶点A三条棱中点分EFG．该正方体截三棱锥面体三视图中正视图图示相应侧视图（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国高考真题（理））正方体中P中点直线成角（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国高考真题）已知圆锥底面半径侧面展开图半圆该圆锥母线长（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·天津高考真题）棱长正方体顶点球面该球表面积（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·北京高考真题）某三棱柱底面正三角形三视图图示该三棱柱表面积（ ）．
A． B． C． D．
10．（2020·浙江高考真题）某体三视图（单位：cm）图示该体体积（单位：cm3）（ ）
A． B． C．3 D．6
11．（2020·海南高考真题）日晷中国古代测定时间仪器利晷面垂直晷针投射晷面影子测定时间．球成球(球心记O)球点A纬度指OA球赤道面成角点A处水面指点AOA垂直面点A处放置日晷晷面赤道面行点A处纬度北纬40°晷针点A处水面成角（ ）
A．20° B．40°
C．50° D．90°
12．（2020·全国高考真题（文））图某体三视图该体表面积（ ）
A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2
13．（2020·全国高考真题（理））已知球球面三点⊙外接圆⊙面积球表面积（ ）
A． B． C． D．
14．（2020·全国高考真题（理））埃胡夫金字塔古代世界建筑奇迹形状视正四棱锥该四棱锥高边长正方形面积等该四棱锥侧面三角形面积侧面三角形底边高底面正方形边长值（ ）
A． B． C． D．
15．（2020·全国高考真题（理））已知△ABC面积等边三角形顶点球O球面球O表面积16πO面ABC距离（ ）
A． B． C．1 D．
16．（2020·全国高考真题（理））图面体三视图面体某条棱端点正视图中应点俯视图中应点该端点侧视图中应点（ ）
A． B． C． D．
17．（2019·浙江高考真题）祖暅国南北时代伟科学家提出幂势积容异称祖暅原理利该原理柱体体积公式中柱体底面积 柱体高．某柱体三视图图示（单位：cm）该柱体体积（单位：cm3）
A．158 B．162
C．182 D．324
18．（2019·全国高考真题（理））图点正方形中心正三角形面面线段中点
A．直线相交直线
B．直线相交直线
C．直线异面直线
D．直线异面直线
19．（2019·浙江高考真题）祖暅国南北时代伟科学家提出幂势积容易称祖暅原理利该原理柱体体积公式中柱体底面积柱体高某柱体三视图图示该柱体体积
A．158 B．162
C．182 D．32
20．（2019·浙江高考真题）设三棱锥底面正三角形侧棱长均相等棱点（含端点）记直线直线成角直线面成角二面角面角
A． B．
C． D．
21．（2019·全国高考真题（理））已知三棱锥PABC四顶点球O球面PAPBPC△ABC边长2正三角形EF分PAAB中点∠CEF90°球O体积
A． B． C． D．
22．（2019·全国高考真题（文））设αβ两面α∥β充条件
A．α数条直线β行
B．α两条相交直线β行
C．αβ行条直线
D．αβ垂直面
23．（2019·海高考真题）已知面两两垂直直线满足：直线满足种关系
A．两两垂直 B．两两行 C．两两相交 D．两两异面
24．（2018·浙江高考真题）已知直线面（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
25．（2018·海高考真题）九章算术中称底面矩形侧棱垂直底面四棱锥阳马设正六棱柱条侧棱图阳马该正六棱柱顶点顶点底面矩形边样阳马数（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
26．（2018·浙江高考真题）已知四棱锥底面正方形侧棱长均相等线段点（含端点）设成角面成角二面角面角
A． B． C． D．
27．（2018·全国高考真题（文））长方体中面成角该长方体体积
A． B． C． D．
28．（2018·北京高考真题（理））某四棱锥三视图图示四棱锥侧面中直角三角形数
A．1 B．2
C．3 D．4
29．（2018·全国高考真题（文））某圆柱高2底面周长16三视图图示圆柱表面点正视图应点圆柱表面点左视图应点圆柱侧面路径中短路径长度
A． B． C． D．2
30．（2018·全国高考真题（理））设半径4球球面四点等边三角形面积三棱锥体积值
A． B． C． D．
31．（2018·全国高考真题（理））中国古建筑助榫卯木构件连接起构件凸出部分榫头凹进部分卯眼图中木构件右边长方体榫头．图摆放木构件某带卯眼木构件咬合成长方体咬合时带卯眼木构件俯视图
A． B． C． D．
32．（2018·浙江高考真题）某体三视图图示（单位：）该体体积（单位：）（ ）
A． B． C． D．
33．（2018·全国高考真题（文））正方体中棱中点异面直线成角正切值
A． B． C． D．
34．（2018·全国高考真题（文））已知圆柱底面中心分直线面截该圆柱截面面积8正方形该圆柱表面积
A． B． C． D．
35．（2018·全国高考真题（理））长方体中异面直线成角余弦值
A． B． C． D．
36．（2018·全国高考真题（理））已知正方体棱长1条棱直线面成角相等截正方体截面面积值
A． B． C． D．
37．（2017·全国高考真题（文））图列四正方体中正方体两顶点棱中点四正方体中直线面 行（ ）
A． B．
C． D．
未命名
未命名
三解答题
38．（2021·全国高考真题）图三棱锥中面面中点
（1）证明：
（2）边长1等边三角形点棱二面角求三棱锥体积
39．（2021·全国高考真题（文））图四棱锥底面矩形底面M中点．
（1）证明：面面
（2）求四棱锥体积．
40．（2021·浙江高考真题）图四棱锥中底面行四边形MN分中点
（1）证明：
（2）求直线面成角正弦值
41．（2021·全国高考真题（文））已知直三棱柱中侧面正方形EF分中点
（1）求三棱锥体积
（2）已知D棱点证明：
42．（2021·全国高考真题（理））已知直三棱柱中侧面正方形EF分中点D棱点．
（1）证明：
（2）值时面面成二面角正弦值
43．（2021·全国高考真题（理））图四棱锥底面矩形底面中点．
（1）求
（2）求二面角正弦值．
44．（2020·海南高考真题）图四棱锥PABCD底面正方形PD底面ABCD．设面PAD面PBC交线．
（1）证明：面PDC
（2）已知PDAD1Q点QB求PB面QCD成角正弦值．
45．（2020·天津高考真题）图三棱柱中面点分棱棱棱中点．
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求二面角正弦值
（Ⅲ）求直线面成角正弦值．
46．（2020·北京高考真题）图正方体中 E中点．
（Ⅰ）求证：面
（Ⅱ）求直线面成角正弦值．
47．（2020·浙江高考真题）图三棱台ABC—DEF中面ACFD⊥面ABC∠ACB∠ACD45°DC 2BC．
（I）证明：EF⊥DB
（II）求DF面DBC成角正弦值．
48．（2020·海南高考真题）图四棱锥PABCD底面正方形PD⊥底面ABCD．设面PAD面PBC交线l．
（1）证明：l⊥面PDC
（2）已知PDAD1Ql点求PB面QCD成角正弦值值．
49．（2020·江苏高考真题）三棱锥A—BCD中已知CBCDBD2OBD中点AO⊥面BCDAO2EAC中点．
（1）求直线ABDE成角余弦值
（2）点FBC满足BFBC设二面角F—DE—Cθ求sinθ值．
50．（2020·江苏高考真题）三棱柱ABCA1B1C1中AB⊥ACB1C⊥面ABCEF分ACB1C中点．
（1）求证：EF∥面AB1C1
（2）求证：面AB1C⊥面ABB1．
51．（2020·全国高考真题（理））图长方体中点分棱．
（1）证明：点面
（2）求二面角正弦值．
52．（2020·全国高考真题（文））图长方体中点分棱．证明：
（1）时
（2）点面．
53．（2020·全国高考真题（文））图圆锥顶点圆锥底面圆心底面接正三角形点∠APC90°．
（1）证明：面PAB⊥面PAC
（2）设DO圆锥侧面积求三棱锥P−ABC体积
54．（2020·全国高考真题（理））图圆锥顶点圆锥底面圆心底面直径．底面接正三角形点．
（1）证明：面
（2）求二面角余弦值．
55．（2020·全国高考真题（文））图已知三棱柱ABC–A1B1C1底面正三角形侧面BB1C1C矩形MN分BCB1C1中点PAM点．B1C1P面交ABE交ACF．
（1）证明：AA1MN面A1AMN⊥面EB1C1F
（2）设O△A1B1C1中心AOAB6AO面EB1C1F∠MPN求四棱锥B–EB1C1F体积．
56．（2020·全国高考真题（理））图已知三棱柱ABCA1B1C1底面正三角形侧面BB1C1C矩形MN分BCB1C1中点PAM点B1C1P面交ABE交ACF
（1）证明：AA1∥MN面A1AMN⊥EB1C1F
（2）设O△A1B1C1中心AO∥面EB1C1FAOAB求直线B1E面A1AMN成角正弦值
57．（2019·江苏高考真题）图直三棱柱ABC－A1B1C1中DE分BCAC中点ABBC．
求证：（1）A1B1∥面DEC1
（2）BE⊥C1E．
58．（2019·天津高考真题（理））图面
（Ⅰ）求证：面
（Ⅱ）求直线面成角正弦值
（Ⅲ）二面角余弦值求线段长
59．（2019·全国高考真题（理））图1矩形ADEBRt△ABC菱形BFGC组成面图形中AB1BEBF2∠FBC60°ABBC折起BEBF重合连结DG图2
（1）证明：图2中ACGD四点面面ABC⊥面BCGE
（2）求图2中二面角B−CG−A
60．（2019·全国高考真题（文））图直四棱柱ABCD–A1B1C1D1底面菱形AA14AB2∠BAD60°EMN分BCBB1A1D中点
（1）证明：MN∥面C1DE
（2）求点C面C1DE距离．
61．（2019·全国高考真题（理））
图长方体ABCD–A1B1C1D1底面ABCD正方形点E棱AA1BE⊥EC1
（1）证明：BE⊥面EB1C1
（2）AEA1E求二面角B–EC–C1正弦值
62．（2019·海高考真题）图正三棱锥中
（1）中点中点求夹角
（2）求体积
63．（2018·海高考真题）已知圆锥顶点底面圆心半径．
（1）设圆锥母线长求圆锥体积
（2）设底面半径线段中点图．求异面直线成角．
64．（2018·江苏高考真题）行六面体中．
求证：（1）
（2）．
65．（2018·江苏高考真题）图正三棱柱ABCA1B1C1中ABAA12点PQ分A1B1BC中点．
（1）求异面直线BPAC1成角余弦值
（2）求直线CC1面AQC1成角正弦值．
66．（2018·全国高考真题（文））图矩形面半圆弧面垂直异点．
（1）证明：面面
（2）线段否存点面？说明理．
67．（2018·北京高考真题（理））图三棱柱ABC−中面ABCDEFG分AC中点ABBCAC2．
（1）求证：AC⊥面BEF
（2）求二面角B−CD−C1余弦值
（3）证明：直线FG面BCD相交．
68．（2018·北京高考真题（文））图四棱锥中底面矩形面面分中点
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求证：面面
（Ⅲ）求证：面
69．（2018·全国高考真题（理））图四边形正方形分中点折痕折起点达点位置
（1）证明：面面
（2）求面成角正弦值
70．（2018·全国高考真题（理））图边长2正方形面半圆弧面垂直异点．
（1）证明：面面
（2）三棱锥体积时求面面成二面角正弦值．
71．（2018·浙江高考真题）图已知面体ABCA1B1C1A1AB1BC1C均垂直面ABC∠ABC120°A1A4C1C1ABBCB1B2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥面A1B1C1
（Ⅱ）求直线AC1面ABB1成角正弦值．
72．（2018·全国高考真题（文））图三棱锥中中点．
（1）证明：面
（2）点棱求点面距离．
73．（2018·全国高考真题（文））图行四边形中折痕△折起点达点位置．
（1）证明：面面
（2）线段点线段点求三棱锥体积．
74．（2017·山东高考真题（文））四棱柱ABCD−A1B1C1D1截三棱锥C1−B1CD1体图示四边形ABCD正方形OACBD交点EAD中点A1E面ABCD
（1）证明：∥面B1CD1
（2）设MOD中点证明：面A1EM面B1CD1
四填空题
75．（2021·全国高考真题（理））图①正视图图②③④⑤中选两分作侧视图俯视图组成某三棱锥三视图选侧视图俯视图编号次_________（写出符合求组答案）．
76．（2021·全国高考真题（文））已知圆锥底面半径6体积该圆锥侧面积________
77．（2020·海南高考真题）已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长2MN分BB1AB中点三棱锥ANMD1体积____________
78．（2020·海南高考真题）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1棱长均2∠BAD60°．球心半径球面侧面BCC1B1交线长________．
79．（2020·江苏高考真题）图六角螺帽毛坯正六棱柱挖圆柱构成．已知螺帽底面正六边形边长2 cm高2 cm孔半径05 cm六角螺帽毛坯体积____cm
80．（2020·全国高考真题（文））已知圆锥底面半径1母线长3该圆锥半径球体积_________．
81．（2020·全国高考真题（理））设列四命题：
p1：两两相交点三条直线必面
p2：空间中意三点仅面
p3：空间两条直线相交两条直线行
p4：直线l面α直线m⊥面αm⊥l
述命题中真命题序号__________
①②③④
82．（2019·江苏高考真题）图长方体体积120E中点三棱锥EBCD体积_____
83．（2019·北京高考真题（理））某体正方体掉四棱柱三视图图示．果网格纸正方形边长1该体体积__________．
84．（2019·北京高考真题（理））已知lm面外两条直线．出列三断：
①l⊥m②m∥③l⊥．
中两断作条件余断作结写出正确命题：__________．
85．（2019·全国高考真题（理））学生工厂劳动实践利印技术制作模型图该模型长方体挖四棱锥体中长方体中心分棱中点印原料密度考虑印损耗制作该模型需原料质量___________
86．（2019·天津高考真题（文））已知四棱锥底面边长正方形侧棱长均圆柱底面圆周四棱锥四条侧棱中点底面圆心四棱锥底面中心该圆柱体积__________
87．（2019·全国高考真题（文））已知∠ACB90°P面ABC外点PC2点P∠ACB两边ACBC距离均P面ABC距离___________．
88．（2018·江苏高考真题）图示正方体棱长2面中心顶点面体体积________．
89．（2018·全国高考真题（文））已知圆锥顶点母线互相垂直圆锥底面成角面积该圆锥体积__________．
90．（2018·全国高考真题（理））已知圆锥顶点母线成角余弦值圆锥底面成角45°面积该圆锥侧面积__________．
91．（2018·天津高考真题（理））已知正方体棱长1面外该正方体余面中心分点EFGHM(图)四棱锥体积__________
五双空题
92．（2019·全国高考真题（文））中国悠久金石文化印信金石文化代表．印信形状长方体正方体圆柱体南北时期官员独孤信印信形状半正面体（图1）半正面体两种两种正边形围成面体半正面体体现数学称美．图2棱数48半正面体顶点正方体表面正方体棱长1．该半正面体________面棱长_________．
五年（20172021）高考数学真题分类汇编
十立体（答案解析）
1．BD
分析
A等价量关系联系三角形进确定点坐标
B点运动轨迹考虑三角形确定路线进考虑体积否定值
C考虑助量移点轨迹确定进考虑建立合适直角坐标系求解点数
D考虑助量移点轨迹确定进考虑建立合适直角坐标系求解点数．
解析
易知点矩形部（含边界）．
A时时线段周长定值A错误
B时时点轨迹线段面面距离定值体积定值B正确．
C时取中点分点轨迹线段妨建系解决建立空间直角坐标系图．均满足C错误
D时取中点．点轨迹线段．设时重合D正确．
选：BD．
结
题考查量等价换关键处求点坐标放三角形．
2．A
分析
正方体间垂直行关系证面出结
解析
连正方体中
M中点中点
N中点
面面
面
垂直垂直
垂直面选项BD正确
正方体中
面
面
面
直线异面直线
选项B错误选项A正确
选：A
结
关键点结：熟练掌握正方体中垂直行关系解题关键两条棱行垂直面角线互相垂直正方体角线面角线相交垂直异面垂直关系
3．A
分析
根三视图图示体根棱柱体积公式求体积
解析
体图示四棱柱高1底面等腰梯形
该等腰梯形底底腰长1梯形高
选：A
4．A
分析
题等腰直角三角形出外接圆半径求面距离进求体积
解析
等腰直角三角形
外接圆半径球半径1
设面距离
选：A
结
关键结：题考查球体问题解题关键正确利截面圆半径球半径球心截面距离勾股关系求解
5．D
分析
根题意题目正视图原出体直观图结合直观图进行判断
解析
题意正视图体直观图图示
侧视图
选：D
6．D
分析
移直线直线成角转化成角解三角形
解析
图连接∥
补角直线成角
面
面
设正方体棱长2
选：D
7．B
分析
设圆锥母线长根圆锥底面圆周长等扇形弧长求值求
解析
设圆锥母线长圆锥底面圆周长等扇形弧长解
选：B
8．C
分析
求出正方体体角线半球半径利球表面积公式解
解析
球正方体外接球半径等正方体体角线半
球表面积
选：C
结
题考查正方体外接球表面积求法求出外接球半径题解题关键属基础题求面体外接球面积体积问题常方法：（1）三条棱两两互相垂直时恢复长方体利长方体体角线外接球直径求出球半径（2）直棱柱外接球利棱柱底面行助球称性球心底面外接圆圆心连线中点根勾股定理求球半径（3）果设计体两面相交两面外心分作两面垂线垂线交点体球心
9．D
分析
首先确定体结构特征然求解表面积
解析
题意三棱柱底面边长2等边三角形侧面三边长2正方形
表面积：
选：D
结
(1)三视图载体考查体表面积关键够出三视图进行恰分析三视图中发现体中元素间位置关系数量关系．
(2)面体表面积面面积组合体表面积应注意重合部分处理．
(3)圆柱圆锥圆台侧面曲面计算侧面积时需曲面展面图形计算表面积侧面积底面圆面积．
10．A
分析
根三视图原原图然根柱体锥体体积计算公式计算出体体积
解析
三视图知该体半部分三棱锥半部分三棱柱
三棱锥侧面垂直底面棱锥高1
棱柱底面等腰直角三角形棱柱高2
体体积：
选：A
结
题考查根三视图计算体体积属基础题
11．B
分析
画出球心晷针确定面截球晷面截面图根面面行性质定理线面垂直定义判定关截线关系根点处纬度计算出晷针点处水面成角
解析
画出截面图图示中赤道面截线点处水面截线题意知晷针直线晷面截线题意题意晷面赤道面行晷针晷面垂直
根面行性质定理知根线面垂直定义
晷针点处水面成角
选：B
结
题考查中国古代数学文化考查球体关计算涉面行线面垂直性质属中档题
12．C
分析
根三视图特征正方体中截取出符合题意立体图形求出面面积求表面积
解析
根三视图特征正方体中截取出符合题意立体图形
根立体图形：
根勾股定理：
边长等边三角形
根三角形面积公式：
该体表面积：
选：C
结
题考查根三视图求立体图形表面积问题解题关键掌握根三视图画出立体图形考查分析力空间想象力属基础题
13．A
分析
已知等边外接圆半径进求出边长出值根球截面性质求出球半径出结
解析
设圆半径球半径题意
等边三角形
正弦定理
根球截面性质面
球表面积
选：A
结
题考查球表面积应球截面性质解题关键考查计算求解力属基础题
14．C
分析
设利关方程解方程答案
解析
图设
题意化简
解（负值舍）
选：C
点晴
题考查正四棱锥概念关计算考查学生数学计算力道容易题
15．C
分析
根球表面积面积求球半径外接圆半径球性质知求距离
解析
设球半径解：
设外接圆半径边长
面积等边三角形
解：
球心面距离
选：C
结
题考查球相关问题求解涉球表面积公式三角形面积公式应解题关键明确球性质球心三角形外接圆圆心连线必垂直三角形面
16．A
分析
根三视图画出面体立体图形求点侧视图中应点
解析
根三视图画出面体立体图形
点正视图中应点M直线点俯视图中应点N
∴正视图中应俯视图中应点线段点侧试图中应∴点侧视图中应点
选：A
结
题考查根三视图判断点位置解题关键掌握三视图基础知识根三视图原立体图形方法考查分析力空间想象属基础题
17．B
分析
先三视图原出原体进行计算
解析
图示棱长6正方体中分线段三等分点
三视图应体棱柱
三视图该棱柱高6底面作两直角梯形组合成中底4底6高3底2底6高3该棱柱体积
选B
结
题首先根三视图原体——棱柱根题目定数计算体体积常规题目难度注重基础知识视图图力基计算力考查易错点二正确原体二计算体积误避免出错应注重观察细心计算
18．B
分析
利垂直关系结合勾股定理进解决问题．
解析
图示 作连接作．
连面面．
面面面
均直角三角形．设正方形边长2易知
．选B．
结
题考查空间想象力计算力 解答题关键构造直角三角性．
19．B
分析
题首先根三视图原体—棱柱根题目定数计算体体积常规题目难度注重基础知识视图图力基计算力考查
解析
三视图该棱柱高6底面作两直角梯形组合成中底4底6高3底2底6高3该棱柱体积
结
易错点二正确原体二计算体积误避免出错应注重观察细心算
20．B
分析
题三棱锥载体综合考查异面直线成角直线面成角二面角概念种角计算解答基方法通明确种角应三角函数知识求解较充分利图形特征事倍功半
解析
方法1：图中点底面投影底面投影线段作垂直易作交作交综述答案B
方法2：角定理记面角（显然）
角定理选B
方法3：（特殊位置）取正四面体中点易
选B
结
常规解法易出现错误正确作图出种角未想利特殊位置法寻求简便解法
21．D
分析
先证面求正方体部分进知正方体体角线球直径解
解析
解法边长2等边三角形正三棱锥
分中点
面面正方体部分 选D．
解法二
设分中点
边长2等边三角形
中余弦定理作
中点
两两垂直选D
结
题考查学生空间想象力补体法解决外接球问题．通线面垂直定理三棱两两互相垂直关系快速侧棱长进补体成正方体解决．
22．B
分析
题考查空间两面判定性质充条件渗透直观想象逻辑推理素养利面面行判定定理性质定理作出判断．
解析
面面行判定定理知：两条相交直线行充分条件面面行性质定理知意条直线行两条相交直线行必条件选B．
结
面面行判定问题紧扣面面行判定定理容易犯错误定理记住观臆断：类错误．
23．B
分析
通假设行交线交线相交异面存正确结果
解析
设均重合
假设：：
知
：
两两互相垂直知相交相交异面
重合理相交异面
知假设错误知三条直线两两行
题正确选项：
结
题考查空间中直线面间位置关系关键够通线面关系第三条直线前两条线间位置关系正确结果
24．D
分析
充分性必性两方面分分析判断解
解析
直线面
时显然成立充分性成立
时图示显然成立必性成立．
充分必条件
选：D
结
方法结：判定充条件常方法三种：
（1）定义法：直接利充分必条件定义分析判断解
（2）集合法：利集合包含关系分析判断解
（3）转化法：转化成逆否命题分析判断解
25．D
分析
根新定义正六边形性质答案．
解析
根正六边形性质D1﹣A1ABB1D1﹣A1AFF1满足题意
C1E1CDED1样2×48
A1ACC1底面矩形4满足题意
A1AEE1底面矩形4满足题意
8+4+416
选D．
结
题考查新定义排组合问题考查棱柱特征属中档题．
26．D
分析
分作出线线角线面角二面角构造直角三角形根边关系确定角关系
解析
设正方形中心中点作行线交作垂直连接垂直底面垂直
选D
结
线线角找行线面角找垂直面面角找垂面
27．C
分析
首先画出长方体利题中条件根求确定利长方体体积公式求出长方体体积
解析
长方体中连接
根线面角定义知
求
该长方体体积选C
结
该题考查长方体体积求解问题解题程中需明确长方体体积公式长宽高积题中条件两值利题中条件求解条边长显尤重时需明确线面角定义量间关系求结果
28．C
解析
分析：根三视图原体利勾股定理求出棱长利勾股定理逆定理判断直角三角形数
解析：三视图四棱锥四棱锥中
勾股定理知：四棱锥中直角三角形：三选C
结：题考查三视图相关知识解题时简单体放正方体长方体中进行原分析线面线线垂直关系利勾股定理求出条棱长进进行棱长表面积体积等相关问题求解
29．B
分析
首先根题中三视图点M点N圆柱处位置圆柱侧面展开图铺点MN四分矩形角线端点处根面两点间直线段短利勾股定理求结果
解析
根圆柱三视图身特征
圆柱侧面展开图铺
确定点M点N分圆柱高长方形宽圆柱底面圆周长四分长长方形角线端点处
求短路径长度选B
结：该题考查关体表面两点间短距离求解问题解题程中需明确两点体处位置利面两点间直线段短处理方法面切开铺利面图形相关特征求结果
30．B
解析
分析：作图DMO 球交点点M三角形ABC中心判断出面时三棱锥体积然进行计算．
解析：图示
点M三角形ABC中心EAC中点
面时三棱锥体积
时
点M三角形ABC中心
中
选B
结：题考查三棱锥外接球考查勾股定理三角形面积公式三棱锥体积公式判断出面时三棱锥体积关键M三角形ABC重心计算勾股定理OM进结果属较难题型．
31．A
解析
解析：题意知题干中榫头凸出体求卯眼俯视图卯眼凹进俯视图中应见长方形
俯视图应称图形
俯视图
选A
结：题考查空间体三视图考查学生空间想象力属基础题．
32．C
分析
先原体直四棱柱根柱体体积公式求结果
解析
根三视图体直四棱柱高底面直角梯形底分梯形高体体积选C
结
先体三视图原体形状具体体中求体积表面积等
33．C
分析
利正方体中问题转化求面直线成角正切值中进行计算
解析
正方体中异面直线成角
设正方体边长棱中点
选C
结
求异面直线成角两种方法：
（1）法：①移两直线中条两条面中②利边角关系找（构造）求角三角形③求出三边三边例关系余弦定理求角
（2）量法：①求两直线方量②求两量夹角余弦③直线夹角锐角②应余弦取绝值直线成角余弦值
34．B
解析
分析：首先根正方形面积求正方形边长进步确定圆柱底面圆半径圆柱高利相关公式求圆柱表面积
解析：根题意截面边长正方形
结合圆柱特征知该圆柱底面半径圆高
表面积选B
结：该题考查关圆柱表面积求解问题解题程中需利题条件确定圆柱相关量圆柱底面圆半径圆柱高求圆柱表面积时候定注意两底面圆侧面积
35．C
解析
分析：先建立空间直角坐标系设立点坐标利量数量积求量夹角根量夹角线线角相等互补关系求结果
解析：D坐标原点DADCDD1xyz轴建立空间直角坐标系
异面直线成角余弦值选C
结：利法量求解空间线面角关键四破：第破建系关构建恰空间直角坐标系第二破求坐标关准确求解相关点坐标第三破求法量关求出面法量第四破应公式关
36．A
分析
首先利正方体棱3组组互相行4条棱12条棱成角相等需顶点出发三条棱成角相等判断出面位置截正方体截面正六边形边长面角线半应面积公式求结果
解析
根相互行直线面成角相等
正方体中
面线成角相等
面正方体条棱直线成角相等
理面满足正方体条棱直线成角相等
求截面面积截面位置夹两面中间
棱中点正六边形边长
面积选A
结：该题考查关面正方体截截面边形面积问题首务需先确定截面位置需题条件中找寻相关字眼六条棱中点正六边形利六边形面积求法应相关公式求结果
37．D
分析
利线面行判定定理判断ABC选项正误利线面行性质定理判断D选项正误
解析
A选项图示连接
正方体中四边形行四边形
分中点
面面面
B选项连接图示：
正方体中四边形行四边形
分中点
面面面
C选项连接图示：
正方体中四边形行四边形
分中点
面面面
D选项图示连接交点连接连接交点
面面面面
四边形正方形角线交点中点
分中点
面行
选：D
结
判断证明线面行常方法：
（1）利线面行定义般反证法
（2）利线面行判定定理（）关键面找（作）条直线已知直线行证明时注意符号语言叙述
（3）利面面行性质定理（）
38．(1)详见解析(2)
分析
（1）根面面垂直性质定理AO⊥面BCD证结果
（2）先作出二面角面角求高根体积公式结果
解析
（1）ABADOBD中点AO⊥BD
面ABD面BCD面ABD⊥面BCD面ABD
AO⊥面BCD
面BCDAO⊥CD
(2)作EF⊥BDF 作FM⊥BCM连FM
AO⊥面BCDAO⊥BD AO⊥CD
EF⊥BD EF⊥CD EF⊥面BCDEF⊥BC
FM⊥BCBC⊥面EFMBC⊥MF
二面角EBCD面角
正三角形直角三角形
EFFM
面BCD
结
二面角求法：定义法二三垂线定理法三垂面法四投影法
39．（1）证明见解析（2）．
分析
（1）底面线面垂直判定定理面根面面垂直判定定理证出面面
（2）（1）知面知识知相似求出根四棱锥体积公式求出．
解析
（1）底面面
面
面
面面．
（2）（1）知面
设
解．
底面
四棱锥体积．
结
题第问解题关键找面面垂线结合题目条件垂线中产生稍加分析判断出面证出第二问关键底面矩形面积计算利第问结结合面知识出求出矩形边长求该四棱锥体积．
40．（1）证明见解析（2）．
分析
（1）证证题意易证面证
（2）取中点根题意知两两垂直点坐标原点建立空间直角坐标系分求出量面法量根线面角量公式求出．
解析
（1）中余弦定理
．题意面面．
（2）相交面取中点连接两两垂直点坐标原点图示建立空间直角坐标系
中点
（1）面面法量
直线面成角正弦值．
结
题第问考查线面垂直相互转化证明考虑
题中垂直关系直线较易证面问题解决第二问思路直接第问垂直关系建立空间直角坐标系根线面角量公式计算出．
41．(1)(2)证明见解析
分析
(1)首先求AC长度然利体积公式三棱锥体积
(2)体进行补形线线垂直问题转化证明线面垂直然线面垂直题中结
解析
(1)图示连结AF
题意：
AB⊥BB1BC⊥AB面
面
等腰直角三角形
(2)(1)结体补形棱长2正方体图示取棱中点连结
正方形中中点
面面
结
求三棱锥体积时注意三棱锥面作底面例三棱锥三条侧棱两两垂直选择中侧面作底面条侧棱作高求体积．空间中垂直关系（线线线面面面）证明常进行等价转化
42．（1）见解析（2）
分析
通已知条件确定三条互相垂直直线建立合适空间直角坐标系助空间量证明线线垂直求出二面角面角余弦值进确定出答案．
解析
三棱柱直三棱柱底面
面．
两两垂直．
坐标原点分直线轴建立空间直角坐标系图．
．
题设（）．
（1）
．
（2）设面法量
．
令
面法量
设面面二面角面角
．
时取值
时取值．
时．
结
题考查空间量相关计算够根题意设出（）第二问中通余弦值找正弦值关键步．
43．（1）（2）
分析
（1）点坐标原点直线分轴建立空间直角坐标系设已知条件出求出值出长
（2）求出面法量利空间量法结合角三角函数基关系求结果
解析
（1）面四边形矩形妨点坐标原点直线分轴建立图示空间直角坐标系
设
解
（2）设面法量
取
设面法量
取
二面角正弦值
结
思路结：利空间量法求解二面角步骤：
（1）建立合适空间直角坐标系写出二面角应两半面中应点坐标
（2）设出法量根法量垂直面两条直线方量求解出面法量（注：半面坐标面直接取法量）
（3）计算（2）中两法量余弦值结合立体图形中二面角实际情况判断二面角锐角钝角二面角余弦值
44．（1）证明见解析（2）
分析
（1）利线面行判定定理性质定理证利线面垂直判定定理证面面
（2）根题意建立相应空间直角坐标系相应点坐标设出点求面法量量坐标求直线面成角正弦值
解析
（1）证明：
正方形中
面面
面
面面面
四棱锥中底面正方形
面
面
（2）图建立空间直角坐标系
设
QB
设面法量
令面法量
根直线方量面法量成角余弦值绝值直线面成角正弦值直线面成角正弦值等
直线面成角正弦值
结
该题考查关立体问题涉知识点线面行判定性质线面垂直判定性质利空间量求线面角利基等式求值属中档题目
45．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）
分析
原点分方轴轴轴正方建立空间直角坐标系
（Ⅰ）计算出量坐标出证明出
（Ⅱ）知面法量计算出面法量利空间量法计算出二面角余弦值利角三角函数基关系求解结果
（Ⅲ）利空间量法求直线面成角正弦值
解析
题意原点分方轴轴轴正方建立空间直角坐标系（图）
（Ⅰ）题意
（Ⅱ）题意面法量
．
设面法量
妨设．
．
二面角正弦值
（Ⅲ）题意．
（Ⅱ）知面法量．
直线面成角正弦值
结
题考查利空间量法证明线线垂直求二面角线面角正弦值考查推理力计算力属中档题
46．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
分析
（Ⅰ）证明出四边形行四边形出然利线面行判定定理证结
（Ⅱ）点坐标原点直线分轴建立空间直角坐标系利空间量法计算出直线面成角正弦值
解析
（Ⅰ）图示：
正方体中
四边形行四边形
面面面
（Ⅱ）点坐标原点直线分轴建立图示空间直角坐标系
设正方体棱长
设面法量
令
直线面成角正弦值
结
题考查线面行证明时考查利空间量法计算直线面成角正弦值考查计算力属基础题
47．（I）证明见解析（II）
分析
（I）作交连接题意知面根勾股定理证面证
（II）面成角面成角作连接知求角解三角形求出面成角正弦值．
解析
（Ⅰ）作交连接．
∵面面面面面
∴面面．
∵
∴．
中∴．
棱台定义知
∴面面∴．
（Ⅱ）面成角面成角．
作连接（1）知面
面面面面
面∴面．
面射影求角．
中设
∴．
面成角正弦值．
结
题考查空间点线面位置关系线面垂直判定定理应直线面成角求法意考查学生直观想象力数学运算力属基础题．
48．（1）证明见解析（2）
分析
（1）利线面垂直判定定理证面利线面行判定定理性质定理证面
（2）根题意建立相应空间直角坐标系相应点坐标设出点求面法量量坐标求值直线面成角正弦值值
解析
（1）证明：
正方形中
面面
面
面面面
四棱锥中底面正方形
面
面
（2）图建立空间直角坐标系
设
设面法量
令面法量
根直线方量面法量成角余弦值绝值直线面成角正弦值直线面成角正弦值等仅时取等号
直线面成角正弦值值
结
该题考查关立体问题涉知识点线面行判定性质线面垂直判定性质利空间量求线面角利基等式求值属中档题目
49．（1）（2）
分析
（1）建立空间直角坐标系利量数量积求直线量夹角结果
（2）先求两面法量根量数量积求法量夹角根二面角量夹角关系结果
解析
（1）连
轴建立空间直角坐标系
直线成角余弦值
（2）设面法量
令
设面法量
令
结
题考查利量求线线角二面角考查基分析求解力属中档题
50．（1）证明详见解析（2）证明详见解析
分析
（1）通证明证面
（2）通证明面证面面
解析
（1）分中点
面面面
（2）面面
面
面面面
结
题考查线面行证明考查面面垂直证明属中档题
51．（1）证明见解析（2）
分析
（1）连接证明出四边形行四边形进证点面
（2）点坐标原点直线分轴建立空间直角坐标系利空间量法计算出二面角余弦值进求二面角正弦值
解析
（1）棱取点连接
长方体中
四边形行四边形
理证四边形行四边形
四边形行四边形
点面
（2）点坐标原点直线分轴建立图示空间直角坐标系
设面法量
取
设面法量
取
设二面角面角
二面角正弦值
结
题考查点面证明时考查利空间量法求解二面角角考查推理力计算力属中等题
52．（1）证明见解析（2）证明见解析
分析
（1）根正方形性质根长方体性质进证面结果
（2）需证明取点通行四边形性质进行证明
解析
（1）长方体面
长方体四边形正方形
面面
面
（2）取点连
四边形行四边形
四点面四边形行四边形 四点面
面
结
题考查线面垂直判定定理线线行判定考查基分析证力属中档题
53．（1）证明见解析（2）
分析
（1）根已知进≌
证面证结
（2）已知条件转化母线底面半径关系进求出底面半径正弦定理求出正三角形边长等腰直角三角形中求出中求出求出结
解析
（1）连接圆锥顶点底面圆心面
圆接正三角形≌
面面面面
（2）设圆锥母线底面半径圆锥侧面积
解
等腰直角三角形中
中
三棱锥体积
结
题考查空间线面位置关系证明面面垂直求锥体体积注意空间垂直间相互转化考查逻辑推理直观想象数学计算力属中档题
54．（1）证明见解析（2）
分析
（1）证明面需证明
（2）O坐标原点OAx轴ONy轴建立图示空间直角坐标系分算出面法量面法量利公式计算答案
解析
（1）题设知等边三角形设
等边三角形
理面
（2）O作∥BC交AB点N面O坐标原点OAx轴ONy轴建立图示空间直角坐标系
设面法量
令
设面法量
令
设二面角
点晴
题考查线面垂直证明利量求二面角考查学生空间想象力数学运算力道容易题
55．（1）证明见解析（2）
分析
（1）分中点根条件证证面面需证明面
（2）根已知条件求距离根椎体体积公式求
解析
（1）分中点
等边中中点
侧面矩形
面
面
面面
面
面面面
面
面
面
面面
（2）作垂线交点
画出图形图
面
面面面
中心
：
面面面面
面
面
等边中
（1）知四边形梯形
四边形面积：
距离
结
题考查证明线线行面面垂直求四棱锥体积解题关键掌握面面垂直转求证线面垂直证法棱锥体积公式考查分析力空间想象力属中档题
56．（1）证明见解析（2）
分析
（1）分中点根条件证证面面需证明面
（2）连接先求证四边形行四边形根关系求截取（1）面面成角求答案
解析
（1）分中点
中中点
侧面矩形
面
面
面面
面
面面面
面
面
面
面面
（2）连接
面面面
根三棱柱底面行
面面面面
：四边形行四边形
设边长()
：
中心边长
：
解：
截取
四边形行四边形
（1）面
面成角
根勾股定理：
直线面成角正弦值：
结
题考查证明线线行面面垂直线面角解题关键掌握面面垂直转求证线面垂直证法线面角定义考查分析力空间想象力属难题
57．（1）见解析（2）见解析
分析
(1)题意结合体空间结构特征线面行判定定理证题中结
(2)题意首先证线面垂直然结合线面垂直证明线线垂直
解析
（1）DE分BCAC中点
ED∥AB
直三棱柱ABCA1B1C1中AB∥A1B1
A1B1∥ED
ED⊂面DEC1A1B1面DEC1
A1B1∥面DEC1
（2）ABBCEAC中点BE⊥AC
三棱柱ABCA1B1C1直棱柱CC1⊥面ABC
BE⊂面ABCCC1⊥BE
C1C⊂面A1ACC1AC⊂面A1ACC1C1C∩ACC
BE⊥面A1ACC1
C1E⊂面A1ACC1BE⊥C1E
结
题考查直线直线直线面面面位置关系等基础知识考查空间想象力推理证力
58．（Ⅰ）见证明（Ⅱ）（Ⅲ）
分析
首先利体特征建立空间直角坐标系
(Ⅰ)利直线BF方量面ADE法量关系证明线面行
(Ⅱ)分求直线CE方量面BDE法量然求解线面角正弦值
(Ⅲ)首先确定两半面法量然利二面角余弦值计算公式关CF长度方程解方程CF长度
解析
题意建立A原点分方x轴y轴z轴正方空间直角坐标系(图)
设
(Ⅰ)题意面ADE法量
直线面面
(Ⅱ)题意
设面BDE法量
妨令z1
直线面成角正弦值
(Ⅲ)设面BDF法量
妨令y1
题意解
检验符合题意｡
线段长
结
题考查直线面行二面角直线面成角等基础知识考查空间量解决立体问题方法考查空间想象力运算求解力推理证力
59．(1)见解析(2)
分析
(1)折纸粘合改变矩形菱形部夹角然成立粘起证面垂线易证(2)图中找应面角求面角考虑关垂线发现垂足连线垂直思路证
解析
(1)证：粘起
ACGD四点面
面BCGE面ABC面ABC面BCGE证
(2)B作延长线H连结AHAB面BCGE
面二面角面角中
中二面角度数
结
新颖立体考题．首先面体粘合问题考查考生粘合程中量变．者粘合面体直棱柱建系量解法题中略显麻烦突出考查方法．求二面角转化求二面角面角问题考查考生空间想象力．
60．（1）见解析
（2）
分析
（1）利三角形中位线证证四边形行四边形进证根线面行判定定理证结
（2）根题意求三棱锥体积求出面积利求点C面距离结果
解析
（1）连接
分中点 中位线
中点
四边形行四边形
面面
面
（2）菱形中中点
根题意
棱柱直棱柱面
设点C面距离
根题意
解
点C面距离
结
该题考查关立体问题涉知识点线面行判定点面距离求解解题程中注意熟记线面行判定定理容注意行线寻找思路者利等积法求点面距离文科生常考容
61．（1）证明见解析（2）
分析
（1）利长方体性质知道侧面利线面垂直性质证明出样利线面垂直判定定理证明出面
（2）点坐标原点分轴建立空间直角坐标系设正方形边长求出相应点坐标利求出间关系分求出面面法量利空间量数量积公式求出二面角余弦值绝值利角三角函数关系求出二面角正弦值
解析
证明（1）长方体侧面面
面面
（2）点坐标原点分轴建立图示空间直角坐标系
设面法量
设面法量
二面角余弦值绝值
二面角正弦值
结
题考查利线面垂直性质定理证明线线垂直考查利空间量求二角角余弦值角三角函数关系考查数学运算力
62．（1）（2）
分析
（1）中位线知求夹角根余弦定理求余弦值（2）根正三棱锥性质求体高根棱锥体积公式求结果
解析
（1）分中点知：
夹角夹角
中余弦定理：
夹角
（2）作面连接图示：
三棱锥正三棱锥
中心落
结
题考查异面直线成角空间体体积求解问题求解异面直线成角问题关键够通行关系直线进行移转化相交直线成角问题
63．(1) (2)
分析
（1）圆锥顶点P底面圆心O半径2圆锥母线长4求出圆锥体积．
（2）O原点OAx轴OBy轴OPz轴建立空间直角坐标系利量法求出异面直线PMOB成角．
解析
（1）∵圆锥顶点底面圆心半径圆锥母线长
∴圆锥体积
．
（2）∵底面半径
线段中点
∴原点轴轴轴
建立空间直角坐标系
设异面直线成角
．
∴．
∴异面直线成角．
结
求空间两条异面直线成角立体中常见基题型类问题求解般两条途径：移中条直线两条直线转化面直线成角然构造三角形通解三角形获答案二建立空间直角坐标系助空间量数量积公式求出两量夹角获解
64．（1）见解析（2）见解析
解析
分析：（1）先根行六面体线线行根线面行判定定理结（2）先根条件菱形ABB1A1根菱形角线相互垂直已知垂直条件利线面垂直判定定理线面垂直根面面垂直判定定理结
解析：
证明：（1）行六面体ABCDA1B1C1D1中AB∥A1B1．
AB面A1B1CA1B1面A1B1C
AB∥面A1B1C．
（2）行六面体ABCDA1B1C1D1中四边形ABB1A1行四边形．
AA1AB四边形ABB1A1菱形
AB1⊥A1B．
AB1⊥B1C1BC∥B1C1
AB1⊥BC．
A1B∩BCBA1B面A1BCBC面A1BC
AB1⊥面A1BC．
AB1面ABB1A1
面ABB1A1⊥面A1BC．
结：题会出现常见体结构熟悉导致体中位置关系法运者运错误柱体概念中包含两底面全等边形应边互相行侧面行四边形菱形角线互相垂直条件条件解题中已知条件缺少条件应导致法证明
65．（1）
（2）
解析
分析：（1）先建立空间直角坐标系设立点坐标根量数量积求量夹角根量夹角异面直线成角关系结果（2）利面方量求法列方程组解面法量根量数量积量夹角根线面角求量夹角间关系结果
解析：图正三棱柱ABC−A1B1C1中设ACA1C1中点分OO1OB⊥OCOO1⊥OCOO1⊥OB基底建立空间直角坐标系O−xyz．
ABAA12
．
（1）PA1B1中点
．
异面直线BPAC1成角余弦值．
（2）QBC中点
．
设n（xyz）面AQC1法量
妨取
设直线CC1面AQC1成角
直线CC1面AQC1成角正弦值．
结：题考查空间量异面直线成角线面角等基础知识考查运空间量解决问题力利法量求解空间线面角关键四破：第破建系关构建恰空间直角坐标系第二破求坐标关准确求解相关点坐标第三破求法量关求出面法量第四破应公式关
66．（1）证明见解析
（2）存理见解析
解析
分析：（1）先证证进完成证明．
（2）判断出PAM中点证明MC∥OP然进行证明．
解析：（1）题设知面CMD⊥面ABCD交线CD．
BC⊥CDBC面ABCDBC⊥面CMDBC⊥DM．
M异CD点DC直径DM⊥CM．
BC∩CMCDM⊥面BMC．
DM面AMD面AMD⊥面BMC．
（2）PAM中点时MC∥面PBD．
证明：连结AC交BDO．ABCD矩形OAC中点．
连结OPPAM 中点MC∥OP．
MC面PBDOP面PBDMC∥面PBD．
结：题考查面面垂直证明利线线垂直线面垂直面面垂直第二问先断出PAM中点然作辅助线线线行线面行考查学生空间想象力属中档题．
67．(1)见解析（2）（3）见解析．
解析
分析：（1）等腰三角形性质线面垂直性质三棱柱性质根线面垂直判定定理结（2）根条件建立空间直角坐标系设立点坐标利方程组解面BCD法量根量数量积求两法量夹角根二面角法量夹角相等互补关系求结果（3）根面BCD法量直线FG方量数量积零结
解析：（Ⅰ）三棱柱ABCA1B1C1中
∵CC1⊥面ABC
∴四边形A1ACC1矩形．
EF分ACA1C1中点
∴AC⊥EF．
∵ABBC．
∴AC⊥BE
∴AC⊥面BEF．
（Ⅱ）（I）知AC⊥EFAC⊥BEEF∥CC1．
CC1⊥面ABC∴EF⊥面ABC．
∵BE面ABC∴EF⊥BE．
图建立空间直角坐称系Exyz．
题意B（020）C（100）D（101）F（002）G（021）．
∴
设面BCD法量
∴∴
令a2b1c4
∴面BCD法量
∵面CDC1法量
∴．
图二面角BCDC1钝角二面角BCDC1余弦值．
（Ⅲ）面BCD法量∵G（021）F（002）
∴∴∴垂直
∴GF面BCD行面BCD∴GF面BCD相交．
结：垂直行关系证明中应转化化思想常见类型
(1)证明线面面面行需转化证明线线行
(2)证明线面垂直需转化证明线线垂直
(3)证明线线垂直需转化证明线面垂直
68．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
分析
（1）欲证需证明
（2）先证面证面面
（3）取中点连接证明面
解析
（Ⅰ）∵中点∴
∵底面矩形∴∴
（Ⅱ）∵底面矩形∴
∵面面面面面
∴面面∴
面面
∵面∴面面
（Ⅲ）图取中点连接
∵分中点∴
∵四边形矩形中点∴
∴∴四边形行四边形
∴面面∴面
结
证明面面关系核心证明线面关系证明线面关系核心证明线线关系证明线线行方法：（1）线面行性质定理（2）三角形中位线法（3）行四边形法 证明线线垂直常方法：（1）等腰三角形三线合（2）勾股定理逆定理（3）线面垂直性质定理（4）菱形角线互相垂直
69．（1）证明见解析（2）
分析
（1）首先题条件中确定相应垂直关系利线面垂直判定定理出面面利面面垂直判定定理证面面
（2）结合题意建立相应空间直角坐标系正确写出相应点坐标求面法量设面成角利线面角定义求结果
解析
（1）已知面
面面面
（2）作垂足（1）面
坐标原点方轴正方单位长建立图示空间直角坐标系
（1）
面法量
设面成角
面成角正弦值
结
该题考查关立体问题涉知识点面面垂直证明线面角正弦值求解属常规题目解题程中需明确面面垂直判定定理条件里需先证明线面垂直明确线线垂直线面垂直面面垂直关系证结果线面角正弦值助面法量完成注意相应等量关系
70．（1）见解析
（2）
分析
（1）先证面CMD证进完成证明．
（2）先建立空间直角坐标系然判断出位置求出面面法量进求面面成二面角正弦值．
解析
解：（1）题设知面CMD⊥面ABCD交线CDBC⊥CDBC面ABCDBC⊥面CMDBC⊥DM
M异CD点DC直径 DM⊥CM
BCCMCDM⊥面BMC
DM面AMD面AMD⊥面BMC
（2）D坐标原点方x轴正方建立图示空间直角坐标系D−xyz
三棱锥M−ABC体积时M中点
题设
设面MAB法量
取
面MCD法量
面MAB面MCD成二面角正弦值
结
题考查面面垂直证明利线线垂直线面垂直面面垂直第二问考查建立空间直角坐标系利空间量求出二面角面角考查数形结合问题转化代数问题进行求解考查学生计算力空间想象力属中档题．
71．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
分析
分析方法：（Ⅰ）通计算根勾股定理根线面垂直判定定理结（Ⅱ）找出直线AC1面ABB1成角直角三角形中求解
方法二：（Ⅰ）根条件建立空间直角坐标系写出点坐标根量积0出根线面垂直判定定理结（Ⅱ）根方程组解出面法量然利面法量夹角余弦公式线面角量夹角互余关系求解
解析
解析：方法：
（Ⅰ）
面
（Ⅱ）图点作交直线点连结
面面面
面
面成角
直线面成角正弦值
方法二：
（Ⅰ）图AC中点O原点分射线OBOCxy轴正半轴建立空间直角坐标系Oxyz
题意知点坐标：
面
（Ⅱ）设直线面成角
（Ⅰ）知
设面法量
取
直线面成角正弦值
结：利法量求解空间线面角关键四破：第破建系关构建恰空间直角坐标系第二破求坐标关准确求解相关点坐标第三破求法量关求出面法量第四破应公式关
72．（1）详见解析（2）．
解析
分析：（1）连接欲证面需证明（2）点作垂足需证长求利面知识求解
解析：（1）APCPAC4OAC中点OP⊥ACOP．
连结OB．ABBC△ABC等腰直角三角形OB⊥ACOB2．
知OP⊥OB．
OP⊥OBOP⊥AC知PO⊥面ABC．
（2）作CH⊥OM垂足H．（1）OP⊥CHCH⊥面POM．
CH长点C面POM距离．
题设知OC2CM∠ACB45°．
OMCH．
点C面POM距离．
结：立体解答题高考中难度低解析属易分题第问线面证明解题核心问题转化线线关系证明题第二问通作出点面距离线段求解利等体积法解决
73．(1)见解析
(2)1
解析
分析：(1)首先根题条件90结合已知条件BA⊥AD利线面垂直判定定理证AB⊥面ACDAB面ABC根面面垂直判定定理证面ACD⊥面ABC
(2)根已知条件求相关线段长度根第问相关垂直条件求三棱锥高助三棱锥体积公式求三棱锥体积
解析：（1）已知90°．
BA⊥ADAB⊥面ACD．
AB面ABC
面ACD⊥面ABC．
（2）已知DCCMAB3DA．
．
作QE⊥AC垂足E ．
已知（1）DC⊥面ABCQE⊥面ABCQE1．
三棱锥体积
．
结：该题考查关立体问题涉知识点面面垂直判定三棱锥体积求解解题程中需清楚题中关垂直直线位置结合线面垂直判定定理证线面垂直应面面垂直判定定理证面面垂直需明确线线垂直线面垂直面面垂直关系求三棱锥体积时候注意应体积公式求解
74．（1）证明见解析（2）证明见解析
分析
（1）取中点连接推导出四边形行四边形进利线面行判定定理证明面
（2）推导出利线面垂直判定定理证明出面进证明面面
解析
（1）取中点连接四棱柱
四边形行四边形
面面
面
（2）分中点
面面
面
面
面
面面
结
题考查线面行证明考查面面垂直证明涉空间中线线线面面面间位置关系等知识点考查推理证力运算求解力数处理力考查化转化思想数形结合思想中档题．
75．③④（答案唯）
分析
题意结合图形确定组三视图组合
解析
选择侧视图③俯视图④
图示长方体中
分棱中点
正视图①侧视图③俯视图④应体三棱锥
答案：③④
结
三视图问题解决关键处三视图确定直观图形状直观图中线面位置关系数量关系
76．
分析
利体积公式求出圆锥高进步求出母线长终利侧面积公式求出答案
解析
∵
∴
∴
∴
答案：
77．
分析
利计算
解析
正方体ABCDA1B1C1D1棱长2MN分BB1AB中点
答案：
结
求解三棱锥体积时注意观察图形特点成顶点计算
78．
分析
根已知条件易侧面侧面球面交线点距离侧面球面交线扇形弧根弧长公式求结果
解析
图：
取中点中点中点
60°直四棱柱棱长均2△等边三角形
四棱柱直四棱柱面
侧面
设侧面球面交线点
球半径
侧面球面交线点距离
侧面球面交线扇形弧
根弧长公式
答案：
结
题考查直棱柱结构特征考查直线面垂直判定考查立体中轨迹问题考查扇形中弧长公式属中档题
79．
分析
先求正六棱柱体积求圆柱体积相减结果
解析
正六棱柱体积
圆柱体积
求体体积
答案：
结
题考查正六棱柱体积圆柱体积考查基分析求解力属基础题
80．
分析
原问题转化求解圆锥切球问题然结合截面确定半径确定体积值
解析
易知半径球圆锥切球球圆锥切时轴截面图示
中点MBC边中点
设切圆圆心
设切圆半径：
解：体积：
答案：
结
球关组合体问题种切种外接．解题时认真分析图形明确切点接点位置确定关元素间数量关系作出合适截面图球切正方体切点正方体面中心正方体棱长等球直径球外接正方体正方体顶点均球面正方体体角线长等球直径
81．①③④
分析
利两交线直线确定面判断命题真假利三点线判断命题真假利异面直线判断命题真假利线面垂直定义判断命题真假利复合命题真假出结
解析
命题设相交两条直线确定面
相交交点面
理交点面
命题真命题
命题三点线三点面数
命题假命题
命题空间中两条直线相交行异面
命题假命题
命题直线面
垂直面直线
直线面直线直线
命题真命题
综知真命题假命题
真命题假命题
真命题真命题
答案：①③④
结
题考查复合命题真假时考查空间中线面关系关命题真假判断考查推理力属中等题
82．10
分析
题意结合体特征体性质三棱锥体积
解析
长方体体积120
中点
长方体性质知底面
三棱锥底面高
三棱锥体积
结
题蕴含整体局部立统规律体面积体积计算问题中需注意理清整体局部关系灵活利割补方法解题
83．40
分析
题首先根三视图原体根题目定数计算体体积属中等题
解析
图示棱长4正方体中三视图应体正方体掉棱柱余体
体体积
结
(1)求解三视图载体空间体体积关键三视图确定直观图形状直观图中线面位置关系数量关系利相应体积公式求解(2)体体积直接利公式出常等积法分割法补形法等方法进行求解．
84．果l⊥αm∥αl⊥m果l⊥αl⊥mm∥α
分析
断分作条件结加分析
解析
断分作条件结三命题：
（1）果l⊥αm∥αl⊥m 正确
（2）果l⊥αl⊥mm∥α正确
（3）果l⊥mm∥αl⊥α正确lα斜交l∥α
结
题考查空间线面位置关系命题逻辑推理力空间想象力
85．118．8
分析
根题意知模型体积四棱锥体积四棱锥体积差进求模型体积求出模型质量
解析
题意
四棱锥O−EFG高3cm ∴．
长方体体积
该模型体积
质量．
结
题考查体体积问题理解题中信息联系体体积质量关系利公式求解．
86．
分析
根棱锥结构特点确定求圆柱高底面半径．
解析
题意四棱锥底面边长正方形侧棱长均助勾股定理知四棱锥高圆柱底面圆周四棱锥四条侧棱中点圆柱底面半径底面圆心四棱锥底面中心圆柱高圆柱体积．
结
题考查圆柱四棱锥组合考查空间想象力属基础题
87．
分析
题考查学生空间想象力合理画图成关键准确找底面射影线面垂直定理垂直关系勾股定理解决．
解析
作分垂直面连
知
面面
．
分线
．
结
画图视角选择线面垂直定理够灵活难发现垂直关系问题难解决体摆放成正常视角立体问题解决效手段关系利观察解题事半功倍．
88．
解析
分析：先分析组合体构成确定锥体高利锥体体积公式求结果
解析：图知该面体两全等正四棱锥组合体正四棱锥高1底面正方形边长等该面体体积
结：解决类题目关键准确理解体定义真正握体结构特征根条件构建模型模型中进行判断求规体体积时常割补法转化成已知体积公式体进行解决．
89．8π
解析
分析：作出示意图根条件分求出圆锥母线高底面圆半径长代入公式计算
解析：图示
解
该圆锥体积
结：题填空题压轴题实际难关键根题意作出相应图形利面知识求解相应线段长代入圆锥体积公式
90．
解析
分析：先根三角形面积公式求出母线长根母线底面成角底面半径根圆锥侧面积公式求结果
解析：母线成角余弦值母线成角正弦值面积设母线长
圆锥底面成角45°底面半径
圆锥侧面积
91．
分析
题意首先求解底面积然结合四棱锥高求四棱锥体积
解析
题意底面四边形边长正方形面积
顶点底面四边形距离
四棱锥体积公式：
结
题考查四棱锥体积计算空间想象力等知识意考查学生转化力计算求解力
92．26面 棱长
分析
第问题目数出第二问需正方体中简单原出物体位置利称性面解决．
解析
图知第层第三层9面计18面第二层8面该半正面体面．
图设该半正面体棱长延长交点延长交正方体棱半正面体称性知等腰直角三角形
该半正面体棱长．
结
题立意新颖空间想象力求高物体位置原关键遇新题慌乱题目实简单稳中求胜关键．立体面化难怕强空间想象力快速原图形．
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