五年（20172021）高考数学真题分类汇编
十概率统计
单选题
1．（2021·全国（文））解某农村济情况该农户家庭年收入进行抽样调查农户家庭年收入调查数整理频率分布直方图：
根频率分布直方图面结中正确（ ）
A．该农户家庭年收入低45万元农户率估计6
B．该农户家庭年收入低105万元农户率估计10
C．估计该农户家庭年收入均值超65万元
D．估计该半农户家庭年收入介45万元85万元间
2．（2021·全国（理））4120机排成行20相邻概率（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国（文））3120机排成行20相邻概率（ ）
A．03 B．05 C．06 D．08
4．（2021·全国（理））区间中机取1数两数概率（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国（文））区间机取1数取数概率（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国）6相球分标数字123456中放回机取两次次取1球甲表示事件第次取出球数字1乙表示事件第二次取出球数字2丙表示事件两次取出球数字8丁表示事件两次取出球数字7（ ）
A．甲丙相互独立 B．甲丁相互独立
C．乙丙相互独立 D．丙丁相互独立
7．（2020·天津）批零件中抽取80测量直径（单位：）数分9组：整理频率分布直方图抽取零件中直径落区间数（ ）
A．10 B．18 C．20 D．36
8．（2020·全国（文））设组样数x1x2…xn方差001数10x110x2…10xn方差（ ）
A．001 B．01 C．1 D．10
9．（2020·全国（文））图钢琴12键次记a1a2…a12设1≤i
A．5 B．8 C．10 D．15
10．（2020·全国（理））组样数中1234出现频率分面四种情形中应样标准差组（ ）
A． B．
C． D．
11．（2020·全国（文））设O正方形ABCD中心OABCD中取3点取3点线概率（ ）
A． B．
C． D．
12．（2020·全国（理））某校课外学组研究某作物种子发芽率y温度x（单位：°C）关系20温度条件进行种子发芽实验实验数面散点图：
散点图10°C40°C间面四回方程类型中适宜作发芽率y温度x回方程类型（ ）
A． B．
C． D．
13．（2019·浙江）设机变量分布列：
增时
A．增 B．减
C．先增减 D．先减增
14．（2019·全国（文））某学校解1 000名新生身体素质学生编号12…1 000新生中系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验46号学生抽面4名学生中抽
A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生
15．（2019·全国（理））演讲赛9位评委分出某选手原始评分评定该选手成绩时9原始评分中掉1高分1低分7效评分7效评分9原始评分相变数字特征
A．中位数 B．均数
C．方差 D．极差
16．（2019·全国（理））国古代典籍周易卦描述万物变化．重卦排列6爻组成爻分阳爻——阴爻— —图重卦．重卦中机取重卦该重卦恰3阳爻概率
A． B． C． D．
17．（2018·浙江）设机变量分布列图增时
A．减 B．增
C．先减增 D．先增减
18．（2018·全国（理））某群体中位成员移动支付概率成员支付方式相互独立设该群体10位成员中移动支付数
A．07 B．06 C．04 D．03
19．（2018·全国（理））图古希腊数学家希波克拉底研究图形．图三半圆构成三半圆直径分直角三角形ABC斜边BC直角边ABAC．△ABC三边围成区域记I黑色部分记II余部分记III．整图形中机取点点取IIIIII概率分记p1p2p3
A．p1p2 B．p1p3
C．p2p3 D．p1p2+p3
20．（2018·全国（文））某区年新农村建设农村济收入增加倍．实现翻番．更解该区农村济收入变化情况统计该区新农村建设前农村济收入构成例．饼图：
面结中正确
A．新农村建设种植收入减少
B．新农村建设收入增加倍
C．新农村建设养殖收入增加倍
D．新农村建设养殖收入第三产业收入总超济收入半
21．（2017·全国（理））某城市解游客数变化规律提高旅游服务质量收集整理2014年1月2016年12月期间月接游客量（单位：万）数绘制图示折线图根该折线图列结错误（ ）
A．月接游客量逐月增加
B．年接游客量逐年增加
C．年月接游客量高峰期致78月
D．年1月6月月接游客量相7月12月波动性更变化较稳
22．（2017·山东（文））图示茎叶图记录甲乙两组5名工某日产量数（单位：件）两组数中位数相等均值相等值分
A．55 B．35 C．37 D．57
23．（2017·全国（文））图正方形ABCD图形中国古代太极图正方形切圆中黑色部分白色部分关正方形中心成中心称正方形机取点点取黑色部分概率
A． B． C． D．
24．（2017·山东（理））研究某班学生脚长（单位厘米）身高（单位厘米）关系该班机抽取名学生根测量数散点图出间线性相关关系设回直线方程．已知．该班某学生脚长估计身高
A． B． C． D．
25．（2017·全国（理））图正方形ABCD图形中国古代太极图正方形切圆中黑色部分白色部分关正方形中心成中心称正方形机取点点取黑色部分概率
A． B． C． D．
26．（2017·天津（文））5支彩笔（颜色外差）颜色分红黄蓝绿紫5支彩笔中取2支颜色彩笔取出2支彩笔中含红色彩笔概率
A． B． C． D．
27．（2017·浙江）已知机变量满足P（1）piP（0）1—pii120A．<< B．<>
C．>< D．>>
28．（2011·湖北（理））图KA1A2三类元件连接成系统．K正常工作A1A2少正常工作时系统正常工作已知KA1A2正常工作概率次090808系统正常工作概率
A．0960 B．0864 C．0720 D．0576
二选题
29．（2021·全国）组样数…组数新样数…中(非零常数（ ）
A．两组样数样均数相
B．两组样数样中位数相
C．两组样数样标准差相
D．两组样数样极差相
30．（2020·海南）国新冠肺炎疫情进入常态化序推进复工复产面某连续11天复工复产指数折线图列说法正确
A．11天复工指数复产指数均逐日增加
B．11天期间复产指数增量复工指数增量
C．第3天第11天复工复产指数均超80
D．第9天第11天复产指数增量复工指数增量
31．（2020·海南）信息熵信息中重概念设机变量X取值定义X信息熵（ ）
A．n1H(X)0
B．n2H(X)着增增
C．H(X)着n增增
D．n2m机变量Y取值H(X)≤H(Y)
三解答题
32．（2021·全国）某学校组织带路知识竞赛AB两类问题位参加赛学先两类问题中选择类中机抽取问题回答回答错误该学赛结束回答正确类问题中机抽取问题回答回答正确否该学赛结束A类问题中问题回答正确20分否0分B类问题中问题回答正确80分否0分知明正确回答A类问题概率08正确回答B类问题概率06正确回答问题概率回答次序关
（1）明先回答A类问题记明累计分求分布列
（2）累计分期明应选择先回答类问题？说明理
33．（2021·全国（文））甲乙两台机床生产种产品产品质量分级品二级品较两台机床产品质量分两台机床生产200件产品产品质量情况统计表：
级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床乙机床生产产品中级品频率分少
（2）否99握认甲机床产品质量乙机床产品质量差异
附：
0050
0010
0001
k
3841
6635
10828
34．（2021·全国（理））某厂研制种生产高精产品设备检验新设备生产产品某项指标提高台旧设备台新设备生产10件产品件产品该项指标数：
旧设备
98
103
100
102
99
98
100
101
102
97
新设备
101
104
101
100
101
103
106
105
104
105
旧设备新设备生产产品该项指标样均数分记样方差分记．
（1）求
（2）判断新设备生产产品该项指标均值较旧设备否显著提高（果认新设备生产产品该项指标均值较旧设备显著提高否认显著提高）．
35．（2020·海南）加强环境保护治理空气污染环境监测部门某市空气质量进行调研机抽查天空气中浓度（单位：）表：
32
18
4
6
8
12
3
7
10
（1）估计事件该市天空气中浓度超浓度超概率
（2）根数完成面列联表：
（3）根（2）中列联表判断否握认该市天空气中浓度浓度关？
附：
0050
0010
0001
3841
6635
10828
36．（2020·北京）某校举办甲乙两项活动分设计相应活动方案：方案方案二．解该校学生活动方案否支持学生进行简单机抽样获数表：
男生
女生
支持
支持
支持
支持
方案
200
400
300
100
方案二
350
250
150
250
假设学生活动方案否支持相互独立．
（Ⅰ）分估计该校男生支持方案概率该校女生支持方案概率
（Ⅱ）该校全体男生中机抽取2全体女生中机抽取1估计3中恰2支持方案概率
（Ⅲ）该校学生支持方案二概率估计值记假设该校年级500名男生300名女生年级外年级学生支持方案二概率估计值记试较 ．（结求证明）
37．（2020·海南）加强环境保护治理空气污染环境监测部门某市空气质量进行调研机抽查天空气中浓度（单位：）表：
（1）估计事件该市天空气中浓度超浓度超概率
（2）根数完成面列联表：
（3）根（2）中列联表判断否握认该市天空气中浓度浓度关？
附：
38．（2020·江苏）甲口袋中装2黑球1白球乙口袋中装3白球．现甲乙两口袋中取球交换放入口袋重复n次样操作记甲口袋中黑球数Xn恰2黑球概率pn恰1黑球概率qn．
（1）求p1·q1p2·q2
（2）求2pn+qn2pn1+qn1递推关系式Xn数学期E(Xn)(n表示) ．
39．（2020·全国（文））某学生兴趣组机调查某市100天中天空气质量等级天某公园锻炼次整理数表（单位：天）：
锻炼次
空气质量等级
[0200]
(200400]
(400600]
1（优）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
（1）分估计该市天空气质量等级1234概率
（2）求天中该公园锻炼均次估计值（组中数该组区间中点值代表）
（3）某天空气质量等级12称天空气质量某天空气质量等级34称天空气质量．根数完成面2×2列联表根列联表判断否95握认天中该公园锻炼次该市天空气质量关？
次≤400
次>400
空气质量
空气质量
附：
P(K2≥k)
0050
0010
0001
k
3841
6635
10828
40．（2020·全国（文））某厂接受项加工业务加工出产品(单位：件)标准分ABCD四等级加工业务约定：A级品B级品C级品厂家件分收取加工费90元50元20元D级品厂家件赔偿原料损失费50元该厂甲乙两分厂承接加工业务甲分厂加工成费25元件乙分厂加工成费20元件厂家决定分厂承接加工业务两分厂试加工100件种产品统计产品等级整理：
甲分厂产品等级频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
乙分厂产品等级频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
（1）分估计甲乙两分厂加工出件产品A级品概率
（2）分求甲乙两分厂加工出100件产品均利润均利润厂家应选分厂承接加工业务
41．（2020·全国（理））甲乙丙三位学进行羽毛球赛约定赛制：累计负两场者淘汰赛前抽签决定首先赛两轮空场赛胜者轮空者进行场赛负者场轮空直淘汰淘汰剩余两继续赛直中淘汰终获胜赛结束抽签甲乙首先赛丙轮空设场赛双方获胜概率
（1）求甲连胜四场概率
（2）求需进行第五场赛概率
（3）求丙终获胜概率
42．（2020·全国（理））某沙漠区治理生态系统改善野生动物数量增加调查该区某种野生动物数量分成面积相200块块中简单机抽样方法抽取20作样区调查样数(xiyi)(i12…20)中xiyi分表示第i样区植物覆盖面积(单位：公顷)种野生动物数量计算
（1）求该区种野生动物数量估计值（种野生动物数量估计值等样区种野生动物数量均数块数）
（2）求样(xiyi)(i12…20)相关系数（精确001）
（3）根现统计资料块间植物覆盖面积差异提高样代表性获该区种野生动物数量更准确估计请出种认更合理抽样方法说明理
附：相关系数r≈1414
43．（2019·江苏）面直角坐标系xOy中设点集令集合Mn中取两点机变量X表示间距离
（1）n1时求X概率分布
（2）定正整数n（n≥3）求概率P（X≤n）（n表示）
44．（2019·北京（文））改革开放支付方式发生巨转变．年移动支付已成支付方式．解某校学生月AB两种移动支付方式情况全校1000名学生中机抽取100发现样中AB两种支付方式5样中仅A仅B学生支付金额分布情况：
（Ⅰ）估计该校学生中月AB两种支付方式数
（Ⅱ）样仅B学生中机抽取1求该学生月支付金额2000元概率
（Ⅲ）已知月样学生支付方式月没变化．现样仅B学生中机抽查1发现月支付金额2000元．结合（Ⅱ）结果否认样仅B学生中月支付金额2000元数变化？说明理．
45．（2019·北京（理））改革开放支付方式发生巨转变．年移动支付已成支付方式．解某校学生月AB两种移动支付方式情况全校学生中机抽取100发现样中AB两种支付方式5样中仅A仅B学生支付金额分布情况：
交付金额（元）
支付方式
（01000]
（10002000]
2000
仅A
18
9
3
仅B
10
14
1
（Ⅰ）全校学生中机抽取1估计该学生月AB两种支付方式概率
（Ⅱ）样仅A仅B学生中机抽取1X表示2中月支付金额1000元数求X分布列数学期
（Ⅲ）已知月样学生支付方式月没变化．现样仅A学生中机抽查3发现月支付金额2000元．根抽查结果否认样仅A学生中月支付金额2000元数变化？说明理．
46．（2019·全国（理））解甲乙两种离子鼠体残留程度进行试验：200鼠机分成两组组100中组鼠服甲离子溶液组鼠服乙离子溶液鼠服溶液体积相摩尔浓度相段时间某种科学方法测算出残留鼠体离子百分根试验数分直方图：
记事件：乙离子残留体百分低根直方图估计值
（1）求乙离子残留百分直方图中值
（2）分估计甲乙离子残留百分均值（组中数该组区间中点值代表）
47．（2019·天津（文））2019年国施行税专项附加扣办法涉子女教育继续教育病医疗住房贷款利息者住房租金赡养老等六项专项附加扣某单位老中青员工分现采分层抽样方法该单位述员工中抽取调查专项附加扣享受情况
（Ⅰ）应老中青员工中分抽取少？
（Ⅱ）抽取25中享受少两项专项附加扣员工6分记享受情况表中表示享受×表示享受现6中机抽取2接受采访
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老
○
○
×
×
×
○
（i）试字母列举出抽取结果
（ii）设事件抽取2享受专项附加扣少项相求事件发生概率
48．（2019·天津（理））设甲乙两位学学期间天7：30前校概率均假定甲乙两位学校情况互影响学天校情况相互独立
（Ⅰ）表示甲学学期间三天中7：30前校天数求机变量分布列数学期
（Ⅱ）设事件学期间三天中甲学7：30前校天数乙学7：30前校天数恰2求事件发生概率
49．（2019·全国（文））某行业部门解行业中企业生产情况机调查100企业企业第季度相前年第季度产值增长率y频数分布表
分组
企业数
2
24
53
14
7
（1）分估计类企业中产值增长率低40企业例产值负增长企业例
（2）求类企业产值增长率均数标准差估计值（组中数该组区间中点值代表）（精确001）
附：
50．（2019·全国（文））某商场提高服务质量机调查50名男顾客50名女顾客位顾客该商场服务出满意满意评价面列联表：
满意
满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分估计男女顾客该商场服务满意概率
（2）否95握认男女顾客该商场服务评价差异？
附：．
P（K2≥k）
0050
0010
0001
k
3841
6635
10828
51．（2019·全国（理））
11分制乒乓球赛赢球1分某局成1010球交换发球权先2分方获胜该局赛结束甲乙两位学进行单赛假设甲发球时甲分概率05乙发球时甲分概率04球结果相互独立某局双方1010甲先发球两X球该局赛结束
（1）求P（X2）
（2）求事件X4甲获胜概率
52．（2019·全国（理））治疗某种疾病研制甲乙两种新药希知道种新药更效进行动物试验．试验方案：轮选取两白鼠药效进行试验．两白鼠机选施甲药施乙药．轮治疗结果出安排轮试验．中种药治愈白鼠种药治愈白鼠4时停止试验认治愈数药更效．方便描述问题约定：轮试验施甲药白鼠治愈施乙药白鼠未治愈甲药1分乙药分施乙药白鼠治愈施甲药白鼠未治愈乙药1分甲药分治愈未治愈两种药均0分．甲乙两种药治愈率分记αβ轮试验中甲药分记X．
（1）求分布列
（2）甲药乙药试验开始时赋予4分表示甲药累计分时终认甲药乙药更效概率中．假设．
(i)证明：等数列
(ii)求根值解释种试验方案合理性．
53．（2018·北京（理））电影公司机收集电影关数分类整理表：
电影类型
第类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
评率
04
02
015
025
02
01
评率指：类电影中获评部数该类电影部数值．
假设电影否获评相互独立．
（Ⅰ）电影公司收集电影中机选取1部求部电影获评第四类电影概率
（Ⅱ）第四类电影第五类电影中机选取1部估计恰1部获评概率
（Ⅲ）假设类电影喜欢概率表格中该类电影评率相等表示第k类电影喜欢表示第k类电影没喜欢（k123456）．写出方差关系．
54．（2018·北京（文））电影公司机收集电影关数分类整理表：
电影类型
第类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
评率
评率指：类电影中获评部数该类电影部数值
（Ⅰ）电影公司收集电影中机选取部求部电影获评第四类电影概率
（Ⅱ）机选取部电影估计部电影没获评概率
（Ⅲ）电影公司增加投资回报拟改变投资策略导致类型电影评率发生变化假设表格中两类电影评率数发生变化类电影评率增加类电影评率减少获评电影总部数样中电影总部数值达？（需写出结）
55．（2018·全国（理））某工厂提高生产效率开展技术创新活动提出完成某项生产务两种新生产方式．较两种生产方式效率选取40名工机分成两组组20第组工第种生产方式第二组工第二种生产方式．根工完成生产务工作时间（单位：min）绘制茎叶图：
（1）根茎叶图判断种生产方式效率更高？说明理
（2）求40名工完成生产务需时间中位数完成生产务需时间超超工数填入面列联表：
超
超
第种生产方式
第二种生产方式
（3）根（2）中列联表否99握认两种生产方式效率差异？
附：
56．（2018·全国（文））某家庭记录未节水龙头天日水量数（单位：）节水龙头天日水量数频数分布表：
未节水龙头天日水量频数分布表
日水量
频数
节水龙头天日水量频数分布表
日水量
频数
（1）答题卡作出节水龙头天日水量数频率分布直方图：
（2）估计该家庭节水龙头日水量概率
（3）估计该家庭节水龙头年节省少水？（年天计算组中数组数区间中点值作代表．）
57．（2018·全国（文））图某区2000年2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）折线图．
预测该区2018年环境基础设施投资额建立时间变量两线性回模型．根2000年2016年数（时间变量值次）建立模型①：根2010年2016年数（时间变量值次）建立模型②：．
（1）分利两模型求该区2018年环境基础设施投资额预测值
（2）认模型预测值更？说明理．
58．（2018·天津（理））已知某单位甲乙丙三部门员工数分241616现采分层抽样方法中抽取7进行睡眠时间调查
（I）应甲乙丙三部门员工中分抽取少？
（II）抽出7中4睡眠足3睡眠充足现7中机抽取3做进步身体检查
（i）X表示抽取3中睡眠足员工数求机变量X分布列数学期
（ii）设A事件抽取3中睡眠充足员工睡眠足员工求事件A发生概率
59．（2018·全国（理））某工厂某种产品成箱包装箱件箱产品交付户前产品作检验检验出合格品更换合格品．检验时先箱产品中取件作检验根检验结果决定否余产品作检验设件产品合格品概率件产品否合格品相互独立．
（1）记件产品中恰件合格品概率求值点
（2）现箱产品检验件结果恰件合格品（1）中确定作值．已知件产品检验费元合格品进入户手中工厂件合格品支付元赔偿费．
（i）该箱余产品作检验箱产品检验费赔偿费记求
（ii）检验费赔偿费期值决策否该箱余产品作检验？
60．（2018·天津（文））已知某校甲乙丙三年级学生志愿者数分240160160．现采分层抽样方法中抽取７名学某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应甲乙丙三年级学生志愿者中分抽取少？
（Ⅱ）设抽出7名学分ABCDEFG表示现中机抽取2名学承担敬老院卫生工作．
（i）试字母列举出抽取结果
（ii）设M事件抽取2名学年级求事件M发生概率．
61．（2017·全国（理））监控某种零件条生产线生产程检验员天该生产线机抽取16零件测量尺寸（单位：cm）根长期生产验认条生产线正常状态生产零件尺寸服正态分布
（1）假设生产状态正常记X表示天抽取16零件中尺寸外零件数求X数学期
（2）天抽检零件中果出现尺寸外零件认条生产线天生产程出现异常情况需天生产程进行检查
（ⅰ）试说明述监控生产程方法合理性
（ⅱ）面检验员天抽取16零件尺寸：
995
1012
996
996
1001
992
998
1004
1026
991
1013
1002
922
1004
1005
995
计算中xi抽取第i零件尺寸
样均数作μ估计值样标准差s作σ估计值利估计值判断否需天生产程进行检查？剔外数剩数估计μσ（精确001）
附：机变量Z服正态分布
62．（2017·北京（文））某学校艺术专业300名学生参加某次测评根男女学生数例分层抽样方法中机抽取100名学生记录分数数分成7组：[2030)[3040)…[8090]整理频率分布直方图：
(1)总体300名学生中机抽取估计分数70概率
(2)已知样中分数40学生5试估计总体中分数区间[4050)数
(3)已知样中半男生分数70样中分数70男女生数相等．试估计总体中男生女生数例．
63．（2017·全国（理））（2017新课标全国II理科）海水养殖场进行某水产品新旧网箱养殖方法产量收获时机抽取100 网箱测量箱水产品产量（单位：kg）．频率分布直方图：
（1）设两种养殖方法箱产量相互独立记A表示事件：旧养殖法箱产量低50 kg新养殖法箱产量低50 kg估计A概率
（2）填写面列联表根列联表判断否99握认箱产量养殖方法关：
箱产量＜50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根箱产量频率分布直方图求新养殖法箱产量中位数估计值（精确001）．
附：
64．（2017·全国（理））某超市计划月订购种酸奶天进货量相进货成瓶4元售价瓶6元未售出酸奶降价处理瓶2元价格天全部处理完．根年销售验天需求量天高气温（单位：℃）关．果高气温低25需求量500瓶果高气温位区间[2025）需求量300瓶果高气温低20需求量200瓶．确定六月份订购计划统计前三年六月份天高气温数面频数分布表：
高气温
[1015）
[1520）
[2025）
[2530）
[3035）
[3540）
天数
2
16
36
25
7
4
高气温位区间频率估计高气温位该区间概率．
（1）求六月份种酸奶天需求量超300瓶概率
（2）设六月份天销售种酸奶利润Y（单位：元）六月份种酸奶天进货量450瓶时写出Y值估计Y零概率．
65．（2017·天津（理））甲乙十字路口设路口信号灯工作相互独立路口遇红灯概率分．
（）设表示辆车甲乙遇红灯数求机变量分布列均值．
（）辆车独立甲乙求辆车遇红灯概率．
66．（2017·山东（理））心理学研究中常采试验方法评价心理暗示影响具体方法：参加试验志愿者机分成两组组接受甲种心理暗示组接受乙种心理暗示通两组志愿者接受心理暗示结果评价两种心理暗示作现6名男志愿者A1A2A3A4A5A64名女志愿者B1B2B3B4中机抽取5接受甲种心理暗示5接受乙种心理暗示
（I）求接受甲种心理暗示志愿者中包含A1包含频率．
（II）X表示接受乙种心理暗示女志愿者数求X分布列数学期EX
67．（2017·山东（文））某旅游爱者计划3亚洲国家A1A2A33欧洲国家B1B2B3中选择2国家旅游
(1)6国家中选2求2国家亚洲国家概率
(2)亚洲国家欧洲国家中选1求两国家包括A1包括B1概率．
68．（2017·北京（理））研究种新药疗效选100名患者机分成两组组50名组服药组服药段时间记录两组患者生理指标xy数制成图中*表示服药者+表示未服药者
（Ⅰ）服药50名患者中机选出求指标y值60概率
（Ⅱ）图中ABCD四中机选出两记选出两中指标x值17数求分布列数学期E（）
（Ⅲ）试判断100名患者中服药者指标y数方差未服药者指标y数方差（需写出结）
69．（2017·全国（理））海水养殖场进行某水产品新旧网箱养殖方法产量收获时机抽取100网箱测量箱水产品产量（单位：kg） 频率分布直方图：
（1）记A表示事件旧养殖法箱产量低50kg估计A概率
（2）填写面列联表根列联表判断否99握认箱产量养殖方法关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根箱产量频率分布直方图两种养殖方法优劣进行较．
附：
P(K2≥k)
0050
0010
0001
k
3841
6635
10828
70．（2017·江苏）已知口袋m白球n黑球（mn n 2）球颜色外全部相．现口袋中球机逐取出放入图示编号123……m+n抽屉中第k次取球放入编号k抽屉（k123……m+n）
（1）试求编号2抽屉放黑球概率p
（2）机变量x表示取出黑球抽屉编号倒数E(x)x数学期证明
71．（2021·浙江）袋中4红球m黄球n绿球现中取两球记取出红球数取出两球红球概率红黄概率______________________
72．（2020·浙江）盒子里4球中1红球1绿球2黄球盒中机取球次取1放回直取出红球止设程中取黄球数_____________．
73．（2017·北京（理））三名工加工种零件天中工作情况图示中点Ai横坐标分第i名工午工作时间加工零件数点Bi横坐标分第i名工午工作时间加工零件数i123
①记Qi第i名工天中加工零件总数Q1Q2Q3中_________
②记pi第i名工天中均时加工零件数p1p2p3中_________
五填空题
74．（2020·天津）已知甲乙两球落入盒子概率分．假定两球否落入盒子互影响甲乙两球落入盒子概率_________甲乙两球少落入盒子概率_________．
75．（2020·江苏）已知组数均数4值_____
76．（2020·江苏）颗质均匀正方体骰子先抛掷2次观察点数点数5概率_____
77．（2019·全国（文））国高铁发展迅速技术先进．统计停某站高铁列车中10车次正点率09720车次正点率09810车次正点率099停该站高铁列车车次均正点率估计值___________
78．（2017·全国（理））批产品二等品率批产品中次机取件放回抽取次表示抽二等品件数____________．
79．（2017·全国（理））批产品二等品率批产品中次机取件放回抽取次表示抽二等品件数____________．
80．（2017·江苏）记函数定义域区间机取数概率________．
五年（20172021）高考数学真题分类汇编
十概率统计（答案解析）
1．C
分析
根直方图意义直接计算相应范围频率判定ABD组中间值作代表相应频率然求样均数估计值总体均值估计值计算判定C
解析
频率直方图中组距1组直方图高度等频率样频率直方图中频率作总体相应率估计值
该农户家庭年收入低45万元农户率估计值A正确
该农户家庭年收入低105万元农户率估计值B正确
该农户家庭年收入介45万元85万元间例估计值D正确
该农户家庭年收入均值估计值(万元)超65万元C错误
综出结中正确C
选：C
结
题考查利样频率直方图估计总体频率均值属基础题样频率作总体频率估计值样均值估计值组中间值相应频率然求值作总体均值估计值注意组频率等
2．C
分析
采插空法41产生5空分20相邻20相邻进行求解
解析
4120机排成行利插空法41产生5空
20相邻种排法20相邻种排法
20相邻概率
选：C
3．C
分析
利古典概型概率公式求概率
解析
解：3120机排成行：
10种排法
中20相邻排列方法：
6种方法
20相邻概率
选：C
4．B
分析
设区间中机取出数分实验结果构成区域设事件表示两数构成区域分求出应区域面积根概型概率公式解出．
解析
图示：
设区间中机取出数分实验结果构成区域面积．
设事件表示两数构成区域图中阴影部分面积．
选：B
结
题考查利线性规划解决概型中面积问题解题关键准确求出事件应区域面积利解出．
5．B
解析
设区间机取1数
取数．
选：B．
结
题解题关键明确事件取数应范围根概型概率公式准确求出．
6．B
分析
根独立事件概率关系逐判断
解析
选：B
结
判断事件否独立先计算应概率判断否成立
7．B
分析
根直方图确定直径落区间间零件频率然结合样总数计算数
解析
根直方图直径落区间间零件频率：
区间零件数：
选：B
结
题考查频率分布直方图计算实际应属中等题
8．C
分析
根新数原数关系确定方差关系结果
解析
数方差数方差倍
求数方差
选：C
结
题考查方差考查基分析求解力属基础题
9．C
分析
根原位三弦满足原位三弦满足
开始利列举法解出．
解析
根题意知原位三弦满足：．
∴．
原位三弦满足：．
∴．
数10．
选：C．
结
题考查列举法应新定义理解应属基础题．
10．B
分析
计算出四选项中应数均数方差出标准差组
解析
A选项该组数均数
方差
B选项该组数均数
方差
C选项该组数均数
方差
D选项该组数均数
方差
B选项组标准差
选：B
结
题考查标准差较考查方差公式应考查计算力属基础题
11．A
分析
列出5点选3点情况列出3点线情况古典概型概率计算公式运算
解析
图5点中取3
种取法
3点线2种情况
古典概型概率计算公式知
取3点线概率
选：A
点晴
题考查古典概型概率计算问题采列举法考查学生数学运算力道容易题
12．D
分析
根散点图分布选择合适函数模型
解析
散点图分布知散点图分布数函数图象附
适合作发芽率温度回方程类型
选：D
结
题考查函数模型选择观察散点图分布属基础题
13．D
分析
研究方差变化增减规律常方法方差参数表示应函数知识求解题根方差期关系方差表示二次函数二次函数图象性质解题题目定综合性注重重知识基础知识运算求解力考查
解析
方法1：分布列
增时先减增
方法2：
选D
结
易出现错误数学期方差二者间关系掌握熟着手二计算力差正确二次函数表达式
14．C
分析
等差数列性质．渗透数分析素养．统计思想逐选项判断出答案．
解析
解析：已知1000名学生分成100组组10名学生系统抽样46号学生抽
第组抽6号组抽学生号构成等差数列公差
合题意合题意
符合题意合题意．选C．
结
题考查系统抽样
15．A
分析
动笔直接答案采特殊数特值法筛选答案．
解析
设9位评委评分排列．
①原始中位数掉低分高分剩余
中位数A正确．
②原始均数均数
均数受极端值影响较定相B正确
③
②易知C正确．
④原极差极差相等变D正确．
结
题旨考查学生中位数均数方差极差质理解
16．A
分析
题考查利两计数原理排列组合计算古典概型问题渗透传统文化数学计算等数学素养重卦中爻两种情况基事件计算住店问题该重卦恰3阳爻相元素排列问题利直接法计算．
解析
题知爻2种情况重卦6爻情况中6爻中恰3阳爻情况该重卦恰3阳爻概率选A．
结
利排列组合计算古典概型问题首先分析元素否重复次分析排列问题组合问题．题重复元素排列问题基事件计算住店问题满足条件事件计算相元素排列问题组合问题．
17．D
分析
先求数学期求方差根方差函数确定单调性
解析
∴先增减选D
结
18．B
解析
分析：判断出二项分布利公式进行计算．
知
答案选B
结：题考查二项分布相关知识属中档题．
19．A
分析
首先设出直角三角形三条边长度根直角三角形三边关系然应相应面积公式求区域面积根数值确定关系利面积型概型概率公式确定出p1p2p3关系求结果
解析
设
求面积
黑色部分面积
余部分面积
根面积型概型概率公式选A
结：该题考查面积型概型关问题题中需解决概率根面积型概型概率公式较概率问题转化较区域面积利相关图形面积公式求结果
20．A
分析
首先设出新农村建设前济收入M根题意新农村建设济收入2M图中项收入占例应收入少较相应关系出正确选项
解析
设新农村建设前收入M新农村建设收入2M
新农村建设前种植收入06M新农村建设种植收入074M种植收入增加A项正确
新农村建设前收入004M新农村建设收入01M增加倍B项正确
新农村建设前养殖收入03M新农村建设06M增加倍C项正确
新农村建设养殖收入第三产业收入综合占济收入超济收入半D正确
选A
结：该题考查关新农村建设前济收入构成例饼形图会图中读出相应信息结果
21．A
分析
观察折线图知月接游客量年78月份明显高12月份折线图呈现增长趋势高峰出现78月份1月6月月接游客量相7月12月波动性更
解析
选项A图易知月接游客量年78月份明显高12月份A错
选项B观察折线图变化趋势知年接游客量逐年增加B正确
选项CD图知显然正确选A
结
题考查折线图考查考生识图力属基础题
22．B
分析
利茎叶图中位数均数性质直接求解．
解析
茎叶图：
∵甲乙两组5名工某日产量数（单位：件）两组数中位数相等
∴65＝60+y解y＝5
∵均值相等
∴
解x＝3．
选B．
结
题考查实数值求法考查茎叶图中位数均数性质等基础知识考查运算求解力基础题．
23．B
解析
设正方形边长圆半径正方形面积圆面积图形称性知太极图中黑白部分面积相等占圆面积半概型概率计算公式点取黑色部分概率选B
结概型计算首先确定事件类型概型确定区域（长度面积体积时间）次计算基事件区域度量事件A区域度量计算
24．C
解析
已知
选C
25．B
解析
设正方形边长圆半径正方形面积圆面积图形称性知太极图中黑白部分面积相等占圆面积半概型概率计算公式点取黑色部分概率选B
结概型计算首先确定事件类型概型确定区域（长度面积体积时间）次计算基事件区域度量事件A区域度量计算
26．C
解析
选取两支彩笔方法种含红色彩笔选法种
古典概型公式满足题意概率值
题选择C选项
考点：古典概型
名师结：古典概型问题握基事件种数符合求事件种数基事件种数注意区排列问题组合问题抽取时序题5支彩笔中取2支颜色彩笔组合问题然简单问题建议采取列举法更直观
27．A
解析
∵∴
∵∴选A．
名师结求离散型机变量分布列首先根具体情况确定取值情况然利排列组合概率知识求出取值时概率．服某特殊分布机变量分布列直接应公式出中超分布描述放回抽样问题机变量抽某类体数．已知题机变量服两点分布两点分布数学期方差公式A正确．
28．B
解析
A1A2时工作概率02×02＝004A1A2少正常工作概率1－004＝096系统正常工作概率09×096＝0864选B
考点：相互独立事件概率
29．CD
分析
AC利两组数线性关系判断正误根中位数极差定义结合已知线性关系判断BD正误
解析
A：均数相错误
B：第组中位数第二组中位数显然相错误
C：方差相正确
D：极差定义知：第组极差第二组极差极差相正确
选：CD
30．CD
分析
注意折线图中递减部分判定A错误注意考查第1天第11天复工复产指数差判定B错误根图象结合复工复产指数意义增量意义判定CD正确
解析
图知第1天第2天复工指数减少第7天第8天复工指数减少第10天第11复工指数减少第8天第9天复产指数减少A错误
图知第天复产指标复工指标差第11天复产指标复工指标差11天期间复产指数增量复工指数增量B错误
图知第3天第11天复工复产指数均超80C正确
图知第9天第11天复产指数增量复工指数增量D正确
结
题考查折线图表示函数认知理解考查理解力识图力推理力难点指数增量理解观测属中档题
31．AC
分析
A选项求判断出A选项B选项利特殊值法进行排C选项计算出利数函数性质判断出C选项D选项计算出 利基等式数函数性质判断出D选项
解析
A选项A选项正确
B选项
时
时
两者相等B选项错误
C选项
着增增C选项正确
D选项机变量取值 （ ）
D选项错误
选：AC
结
题考查新定义信息熵理解运考查分析思考解决问题力涉数运算数函数等式基性质运属难题
32．（1）见解析（2）类．
分析
（1）通题意分析出明累计分取值逐求概率列分布列．（2）（1）类似找出先回答类问题数学期较两期．
解析
（1）题知取值．
．
分布列
（2）（1）知．
明先回答问题记明累计分取值．
．
．
明应选择先回答类问题．
33．（1）7560
（2）
分析
题考查频率统计独立性检验属基础题根出公式计算
解析
（1）甲机床生产产品中级品频率
乙机床生产产品中级品频率
（2）
99握认甲机床产品乙机床产品质量差异
34．（1）（2）新设备生产产品该项指标均值较旧设备没显著提高
分析
（1）根均数方差计算方法计算出均数方差
（2）根题目判断结合（1）结进行判断
解析
（1）
（2）题意
新设备生产产品该项指标均值较旧设备没显著提高
35．（1）（2）答案见解析（3）
分析
（1）根表格中数古典概型概率公式求结果
（2）根表格中数列联表
（3）计算出结合界值表结
解析
（1）表格知该市100天中空气中浓度超75浓度超150天数天
该市天中空气中浓度超75浓度超150概率
（2）数列联表：
合计
64
16
80
10
10
20
合计
74
26
100
（3）根列联表中数
根界值表知握认该市天空气中浓度浓度关
结
题考查古典概型概率公式考查完善列联表考查独立性检验属中档题
36．（Ⅰ）该校男生支持方案概率该校女生支持方案概率
（Ⅱ）（Ⅲ）
分析
（Ⅰ）根频率估计概率结果
（Ⅱ）先分类根独立事件概率法公式分类计数加法公式求结果
（Ⅲ）先求根频率估计概率
解析
（Ⅰ）该校男生支持方案概率
该校女生支持方案概率
（Ⅱ）3中恰2支持方案分两种情况（1）仅两男生支持方案（2）仅男生支持方案女生支持方案
3中恰2支持方案概率：
（Ⅲ）
结
题考查利频率估计概率独立事件概率法公式考查基分析求解力属基础题
37．（1）（2）答案见解析（3）
分析
（1）根表格中数古典概型概率公式求结果
（2）根表格中数列联表
（3）计算出结合界值表结
解析
（1）表格知该市100天中空气中浓度超75浓度超150天数天
该市天中空气中浓度超75浓度超150概率
（2）数列联表：
合计
64
16
80
10
10
20
合计
74
26
100
（3）根列联表中数
根界值表知握认该市天空气中浓度浓度关
结
题考查古典概型概率公式考查完善列联表考查独立性检验属中档题
38．（1）（2）
分析
（1）直接根操作根古典概型概率公式结果
（2）根操作次求递推关系构造等数列求根数学期公式求结果
解析
（1）
（2）
分布列
0
1
2
结
题考查古典概型概率概率中递推关系构造法求数列通项数学期公式考查综合分析求解力属难题
39．（1）该市天空气质量等级分概率分（2）（3）理见解析
分析
（1）根频数分布表计算出该市天空气质量等级分概率
（2）利组中点值频数相加结果
（3）根表格中数完善列联表计算出观测值结合界值表结
解析
（1）频数分布表知该市天空气质量等级概率等级概率等级概率等级概率
（2）频数分布表知天中该公园锻炼次均数
（3）列联表：
次
次
空气质量
空气质量
握认天中该公园锻炼次该市天空气质量关
结
题考查利频数分布表计算频率均数时考查独立性检验应考查数处理力属基础题
40．（1）甲分厂加工出级品概率乙分厂加工出级品概率（2）选甲分厂理见解析
分析
（1）根两频数分布表求出
（2）根题意分求出甲乙两厂加工件产品总利润求出均利润作出选择．
解析
（1）表知甲厂加工出件产品级品概率乙厂加工出件产品级品概率
（2）甲分厂加工件产品总利润元
甲分厂加工件产品均利润元件
乙分厂加工件产品总利润
元
乙分厂加工件产品均利润元件．
厂家选择甲分厂承接加工务．
结
题考查古典概型概率公式应均数求法根均值作出决策属基础题．
41．（1）（2）（3）
分析
（1）根独立事件概率法公式求事件甲连胜四场概率
（2）计算出四局结束赛概率然利立事件概率公式求求事件概率
（3）列举出甲赢基事件结合独立事件概率法公式计算出甲赢概率称性知乙赢概率甲赢概率相等利立事件概率求丙赢概率
解析
（1）记事件甲连胜四场
（2）记事件甲输事件乙输事件丙输
四局结束赛概率
需进行第五场赛概率
（3）记事件甲输事件乙输事件丙输
记事件甲赢记事件丙赢
甲赢基事件包括：
甲赢概率
称性知乙赢概率甲赢概率相等
丙赢概率
结
题考查独立事件概率计算解答关键列举出符合条件基事件考查计算力属中等题
42．（1）（2）（3）详见解析
分析
（1）利野生动物数量估计值等样区野生动物均数块数代入数
（2）利公式计算
（3）块间植物覆盖面积差异较提高样数代表性应采分层抽样
解析
（1）样区野生动物均数
块数200该区种野生动物估计值
（2）样(i12…20)相关系数
（3）（2）知样区种野生动物数量植物覆盖面积强正相关性
块间植物覆盖面积差异俄块间种野生动物数量差异
采分层抽样方法较保持样结构总体结构执行提高样代表性
获该区种野生动物数量更准确估计
点晴
题考查均数估计值相关系数计算抽样方法选取考查学生数学运算力道容易题
43．（1）见解析
（2）
分析
(1)题意首先确定X取值然利古典概型计算公式求相应概率值确定分布列
(2)原问题转化立事件问题求解值分类讨①②③④四种情况确定满足取值然求解相应概率值确定值
解析
（1）时取值．
概率分布
．
（2）设中取出两点．
仅需考虑情况．
①存取法
②仅时2种取法
③时仅时2种取法
④仅时2种取法．
综时取值
．
．
结
题考查计数原理古典概型机变量概率分布等基础知识考查逻辑思维力推理证力．
44．（Ⅰ）400
（Ⅱ）
（Ⅲ）见解析
分析
(Ⅰ)题意利频率似概率满足题意数
(Ⅱ)利古典概型计算公式月支付金额2000元概率
(Ⅲ)结合概率统计相关定义出结
解析
（Ⅰ）图表知仅A数30仅B数25
题意知AB两种支付方式5
样中两种支付方式
全校学生中两种支付方式（）
（Ⅱ）样中仅B学生251支付金额2000元
该学生月支付金额2000元概率
（Ⅲ）（Ⅱ）知支付金额2000元概率
仅B学生中机调查1发现月支付金额2000元
概率事件次试验中发生认仅B学生中月支付金额2000元数变化月
结
题考查古典概型概率公式应概率定义应等知识意考查学生转化力计算求解力
45．(Ⅰ)
(Ⅱ)见解析
(Ⅲ)见解析
分析
(Ⅰ)题意利古典概型计算公式满足题意概率值
(Ⅱ)首先确定X取值然求相应概率值分布列求解数学期
(Ⅲ)题意结合概率定义出结
解析
(Ⅰ)题意知两种支付方式数：：
该学生月AB两种支付方式概率
(Ⅱ)题意知
仅A支付方法学生中金额1000数占金额1000数占
仅B支付方法学生中金额1000数占金额1000数占
X取值012
X分布列：
X
0
1
2
数学期：
(Ⅲ)认样仅A学生中月支付金额2000元数变化理：
机事件次机实验中否发生机预知着试验次数增频率越越稳定概率．
学校相消费稳定方学生根实际情况月消费应该相固定出现题中种现象发生概率事件
结
题支付方式相关调查设置问题考查概率统计生活中应考查概率定义分布列应学生体会数学现实生活息息相关
46．(1) (2)
分析
(1)频率1解值(2)根公式求均数
解析
(1)题解解
(2)甲离子直方图甲离子残留百分均值
乙离子残留百分均值
结
题考查频率分布直方图均数属基础题
47．（I）6910
（II）（i）见解析（ii）
分析
（I）根题中老中青员工数求数利分层抽样求体抽概率相等结合样容量求结果
（II）（I）根6中机抽取2结果列出
（ii）根题意找出满足条件基事件利公式求概率
解析
（I）已知老中青员工数
采取分层抽样方法中抽取25位员工
应老中青员工中分抽取6910
（II）（i）已知6中机抽取2结果
15种
（ii）表格知符合题意结果11种
事件M发生概率
结
题考查机抽样列举法计算机事件含基事件数古典概型概率计算公式等基知识考查运概率知识解决简单实际问题力
48．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
分析
(Ⅰ)题意知分布列二项分布结合二项分布公式求概率分布列然利二项分布期公式求解数学期
(Ⅱ)题意结合独立事件概率公式计算满足题意概率值
解析
(Ⅰ)甲学学期间三天中校情况相互独立天730前校概率均
面
机变量分布列：
0
1
2
3
机变量数学期
(Ⅱ)设乙学学期间三天中730前校天数
题意知事件互斥
事件事件均相互独立
(Ⅰ)知：
结
题考查离散型机变量分布列数学期互斥事件相互独立事件概率计算公式等基础知识考查运概率知识解决简单实际问题力
49．(1) 增长率超企业例产值负增长企业例（2）均数标准差
分析
(1)题首先通题意确定企业中增长率超企业产值负增长企业数然通增长率超企业产值负增长企业数机调查企业总数出结果
(2)通均值标准差计算公式出结果．
解析
(1)题意知机调查企业中增长率超企业
产值负增长企业
增长率超企业例产值负增长企业例．
(2)题意知均值
标准差方：
标准差．
结
题考查均值标准差计算考查均值标准差计算公式考查学生信息题中获取需信息力考查学生计算力简单题．
50．（1）
（2）握认男女顾客该商场服务评价差异
分析
（1）题中列联表中读出相关数利满意数总数分算出相应频率估计出概率值
（2）利公式求观测值界值较握认男女顾客该商场服务评价差异
解析
（1）题中表格知50名男顾客商场服务满意40
男顾客商场服务满意率估计
50名女顾客商场满意30
女顾客商场服务满意率估计
（2）列联表知
握认男女顾客该商场服务评价差异
结
该题考查关概率统计知识涉知识点利频率估计概率利列联表计算值独立性检验属简单题目
51．（1）（2）01
分析
(1)题首先通题意推导出包含事件甲连赢两球乙连赢两球然计算出种事件概率求出结果
(2)题首先通题意推导出包含事件前两球甲乙分两球均甲分然计算出种事件概率求出结果．
解析
(1)题意知包含事件甲连赢两球乙连赢两球
(2)题意知包含事件前两球甲乙分两球均甲分
结
题考查古典概型相关性质否通题意出包含事件解决题关键考查推理力考查学生题目中获取需信息力中档题．
52．（1）见解析（2）（i）见解析（ii）
分析
（1）首先确定取值计算出取值应概率分布列（2）（i）求解出取值整理出符合等数列定义形式问题证（ii）列出证等数列通项公式采累加方式结合值求次利累加法求出
解析
（1）题意知取值：
分布列：
（2）
（i）
整理：
首项公等数列
（ii）（i）知：
……
作：
表示终认甲药更效计算结果出甲药治愈率05乙药治愈率08时认甲药更效概率时出错误结概率非常说明种实验方案合理
结
题考查离散型机变量分布列求解利递推关系式证明等数列累加法求解数列通项公式数列中项问题题综合性较强求学生够熟练掌握数列通项求解概率求解相关知识学生分析解决问题力求较高
53．(1) 概率0025
(2) 概率估计035
(3) >>>>
解析
分析：(1)先根频数计算第四类电影频率第四类电影评率求概率(2) 恰1部获评第四类电影获评第五类电影没获评第四类电影没获评第五类电影获评两互斥事件先利独立事件概率法公式分求两互斥事件概率相加结果(3) 服01分布>>>>．
解析：解：（Ⅰ）题意知样中电影总部数140+50+300+200+800+5102000
第四类电影中获评电影部数200×02550．
求概率．
（Ⅱ）设事件A第四类电影中机选出电影获评
事件B第五类电影中机选出电影获评．
求概率P（）P（）+P（）
P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．
题意知：P（A）估计025P（B）估计02．
求概率估计025×08+075×02035．
（Ⅲ）>>>>．
结：互斥事件概率加法公式：AB互斥P(A+B)P(A)+P(B)独立事件概率法公式AB相互独立P(AB)P(A)P(B)
54．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）增加第五类电影评率减少第二类电影评率
分析
（Ⅰ）分计算样中电影总部数第四类电影中获评电影部数代入公式概率（Ⅱ）利古典概型公式计算没获评电影部数代入公式概率
（Ⅲ）根部电影获评部数做出合理建议
解析
（Ⅰ）题意知样中电影总部数
第四类电影中获评电影部数
求概率
（Ⅱ）设机选取部电影部电影没获评事件B
没获评电影部
古典概型概率公式
（Ⅲ）增加第五类电影评率 减少第二类电影评率
结
题考查概率统计知识属易分题应古典概型求某事件步骤：第步判断试验结果否等事件设出事件第二步分求出基事件总数求事件中包含基事件数第三步利公式求出事件概率
55．（1）第二种生产方式效率更高 理见解析
（2）80
（3）
解析
分析：（1）计算两种生产方式均时间．
（2）计算出中位数茎叶图数完成列联表．
（3）公式计算出6635较结果．
解析：（1）第二种生产方式效率更高
理：
（i）茎叶图知：第种生产方式工中75工完成生产务需时间少80分钟第二种生产方式工中75工完成生产务需时间79分钟第二种生产方式效率更高
（ii）茎叶图知：第种生产方式工完成生产务需时间中位数855分钟第二种生产方式工完成生产务需时间中位数735分钟第二种生产方式效率更高
（iii）茎叶图知：第种生产方式工完成生产务均需时间高80分钟第二种生产方式工完成生产务均需时间低80分钟第二种生产方式效率更高
（iv）茎叶图知：第种生产方式工完成生产务需时间分布茎8关茎8致呈称分布第二种生产方式工完成生产务需时间分布茎7关茎7致呈称分布两种生产方式工完成生产务需时间分布区间相认第二种生产方式完成生产务需时间第种生产方式完成生产务需时间更少第二种生产方式效率更高
出4种理考生答出中意种合理理均分
（2）茎叶图知
列联表：
超
超
第种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
（3）99握认两种生产方式效率差异
结：题考查茎叶图独立性检验考察学生计算力分析问题力贴生活．
56．（1）直方图见解析（2）（3）
分析
（1）根题中节水龙头天日水量频数分布表算出落相应区间频率助直方图中长方形面积表示落相应区间频率确定出应矩形高直方图
（2）结合直方图算出日水量矩形面积总求频率
（3）根组中值相应频率作求天日水量均值作差天年节约水少求结果
解析
（1）频率分布直方图图示：
（2）根数该家庭节水龙头天日水量频率
该家庭节水龙头日水量概率估计值
（3）该家庭未节水龙头天日水量均数
．
该家庭节水龙头50天日水量均数．
估计节水龙头年节省水．
结
该题考查关统计问题涉知识点频率分布直方图绘制利频率分布直方图计算变量落相应区间概率利频率分布直方图求均数解题程中需认真审题细心运算仔细求解出正确结果
57．（1）利模型①预测值2261利模型②预测值2565（2）利模型②预测值更．
解析
分析：（1）两回直线方程中参数分求变量2018时应函数值结果（2）根折线图知2000200920102016两明显区直线20102016增幅明显高20002009高模型1增幅模型2更较2018预测
解析：（1）利模型①该区2018年环境基础设施投资额预测值
–304+135×192261（亿元）．
利模型②该区2018年环境基础设施投资额预测值
99+175×92565（亿元）．
（2）利模型②预测值更．
理：
（i）折线图出2000年2016年数应点没机散布直线y–304+135t说明利2000年2016年数建立线性模型①描述环境基础设施投资额变化趋势．2010年相2009年环境基础设施投资额明显增加2010年2016年数应点位条直线附说明2010年开始环境基础设施投资额变化规律呈线性增长趋势利2010年2016年数建立线性模型99+175t较描述2010年环境基础设施投资额变化趋势利模型②预测值更．
（ii）计算结果相2016年环境基础设施投资额220亿元模型①预测值2261亿元增幅明显偏低利模型②预测值增幅较合理说明利模型②预测值更．
结：已知回直线方程直接数值代入求特定求预测值回直线方程定参数根回直线方程恒点求参数
58．（Ⅰ）甲乙丙三部门员工中分抽取322．（Ⅱ）（i）答案见解析（ii）．
解析
分析：（Ⅰ）分层抽样概念知应甲乙丙三部门员工中分抽取322．
（Ⅱ）（i）机变量X取值0123．分布列超分布P（Xk）（k0123）．求解分布列计算相应数学期．
（ii）题意结合题意互斥事件概率公式事件A发生概率．
解析：（Ⅰ）已知甲乙丙三部门员工数3∶2∶2
采分层抽样方法中抽取7
应甲乙丙三部门员工中分抽取322．
（Ⅱ）（i）机变量X取值0123．
P（Xk）（k0123）．
机变量X分布列
X
0
1
2
3
P
机变量X数学期．
（ii）设事件B抽取3中睡眠充足员工1睡眠足员工2
事件C抽取3中睡眠充足员工2睡眠足员工1
AB∪CBC互斥
（i）知P(B)P(X2)P(C)P(X1)
P(A)P(B∪C)P(X2)+P(X1)．
事件A发生概率．
结：题考查超分布分层抽样超分布描述放回抽样问题机变量抽某类体数．超分布特征：①考查象分两类②已知类象数③中抽取干体考查某类体数X概率分布超分布抽检产品摸类球等概率模型实质古典概型．进行分层抽样相关计算时常利关系式巧解：(1) (2)总体中某两层体数＝样中两层抽取体数．
59．（1）（2）（i）（ii）应该余产品作检验
分析
（1）利独立重复实验成功次数应概率求求导利导数相应区间符号确定单调性值点里注意条件
（2）先根第问条件确定出解（i）时候先求件数应期应变量间关系求赔偿费期解（ii）时候通较两期结果
解析
（1）件产品中恰件合格品概率
令时时
值点
（2）（1）知
（i）令表示余件产品中合格品件数题意知
（ii）果余产品作检验箱产品需检验费400元
应该余产品作检验
结
该题考查关机变量问题解题程中需明确独立重复试验成功次数应概率公式者函数思想研究应导数求值点做第二问时候需明确离散型机变量取值应概率应期公式求结果通期关系结
60．（1）322（2）（i）见解析（ii）
解析
分析：（Ⅰ）结合数值知应甲乙丙三年级学生志愿者中分抽取322．
（Ⅱ）（i）题意列出结果21种．
（ii）题意结合（i）中结果古典概型计算公式事件M发生概率P（M）．
解析：（Ⅰ）已知甲乙丙三年级学生志愿者数3∶2∶2采分层抽样方法中抽取7名学应甲乙丙三年级学生志愿者中分抽取322．
（Ⅱ）（i）抽出7名学中机抽取2名学结果
{AB}{AC}{AD}{AE}{AF}{AG}{BC}{BD}{BE}{BF}{BG}{CD}{CE}{CF}{CG}{DE}{DF}{DG}{EF}{EG}{FG}21种．
（ii）（Ⅰ）妨设抽出7名学中甲年级ABC乙年级DE丙年级FG抽出7名学中机抽取2名学年级结果{AB}{AC}{BC}{DE}{FG}5种．
事件M发生概率P（M）．
结：题考查机抽样列举法计算机事件含基事件数古典概型概率计算公式等基知识．考查运概率知识解决简单实际问题力．
61．（1）（2）（ⅰ）见解析（ⅱ）需
分析
（1）题知零件尺寸概率知尺寸外概率00026进求出数学期
（2）（i）判断监控生产程方法合理性重点考虑天抽取16零件中出现尺寸外零件概率合理
（ii）计算剔外数算出剩数均数估计值剔外数剩数样方差估计值
解析
（1）抽取零件尺寸概率09974
零件尺寸外概率00026
数学期
（2）（i）果生产状态正常
零件尺寸外概率00026
天抽取16零件中出现尺寸外零件
概率00408发生概率
旦发生种情况理认条生产线天生产程
出现异常情况需天生产程进行检查
见述监控生产程方法合理
（ii）
估计值估计值
样数出零件尺寸外
需天生产程进行检查
剔外数
剩数均数
估计值
剔外数
剩数样方差
估计值
结
题考查正态分布实际应离散型机变量数学期正态分布种重分布尤正态分布原审清题意细心计算属中档题
62．（1）04 （2）15 （3）3∶2
分析
（1）根频率分布直方图求出样中分数70频率频率估计概率值
（2）计算样中分数50频率频数估计总体中分数区间数
（3）题意计算样中分数70学生数男生女生数求男生女生数例．
解析
解：（1）根频率分布直方图知样中分数70频率(002＋004)×10＝06
样中分数70频率1－06＝04．
总体300名学生中机抽取分数70概率估计值04．
（2）根题意样中分数50频率 (001＋002＋004＋002)×10＝09
样中分数50频率01
分数区间[4050)数100×01－5＝5．
总体中分数区间[4050)数估计．
（3）题意知样中分数70学生数
(002＋004)×10×100＝60
样中分数70男生数．
样中男生数30×2＝60
女生数100－60＝40
男生女生数例60∶40＝3∶2．
根分层抽样原理总体中男生女生数例估计3∶2．
结
题考查频率分布直方图应问题考查分层抽样原理应问题属中档题．
63．（1）（2）见解析（3）
解析
试题分析：（1）利相互独立事件概率公式求事件A概率估计值（2）写出列联表计算观测值确定99握认箱产量养殖方法关（3）结合频率分布直方图估计中位数．
试题解析：（1）记B表示事件旧养殖法箱产量低 表示事件新养殖法箱产量低
题意知
旧养殖法箱产量低频率
估计值062
新养殖法箱产量低频率
估计值066
事件A概率估计值
（2）根箱产量频率分布直方图列联表
箱产量
箱产量
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
握认箱产量养殖方法关．
（3）新养殖法箱产量频率分布直方图中箱产量低直方图面积
箱产量低直方图面积
新养殖法箱产量中位数估计值
．
结（1）利独立性检验够帮助日常生活中实际问题作出合理推断预测．独立性检验考察两分类变量否关系较准确出种判断信度机变量观测值值越说明两变量关系性越．
（2）利频率分布直方图求众数中位数均数时应注意三点：①高长方形底边中点横坐标众数②中位数左边右边长方形面积相等③均数频率分布直方图重心等频率分布直方图中长方形面积长方形底边中点横坐标．
64．（1）．（2）．
分析
（1）前三年六月份天高气温数求出高气温位区间[2025）高气温低20天数求出六月份种酸奶天需求量超300瓶概率．
（2）温度等25℃时需求量500求出Y＝900元温度[2025）℃时需求量300求出Y＝300元温度低20℃时需求量200求出Y＝﹣100元温度等20时Y＞0估计估计Y零概率．
解析
解：（1）前三年六月份天高气温数
高气温位区间[2025）高气温低20天数2+16+36＝54
根年销售验天需求量天高气温（单位：℃）关．
果高气温低25需求量500瓶
果高气温位区间[2025）需求量300瓶
果高气温低20需求量200瓶
∴六月份种酸奶天需求量超300瓶概率p．
（2）温度等25℃时需求量500
Y＝450×2＝900元
温度[2025）℃时需求量300
Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元
温度低20℃时需求量200
Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元
温度等20时Y＞0
前三年六月份天高气温数温度等20℃天数：
90﹣（2+16）＝72
∴估计Y零概率P．
结
题考查概率求法考查利润取值求法考查函数古典概型等基础知识考查推理证力运算求解力空间想象力考查数形结合思想化转化思想中档题．
65．(1)见解析（2）
解析
试题分析：表示辆车甲乙遇红灯数 取值0123分求出相应概率值列出机变量分布列计算数学期表示第辆车遇红灯数表示第二辆车遇红灯数2辆车遇1红灯包括第辆遇1次红灯第2辆没遇第辆没遇红灯第2辆遇1次红灯两事件概率
试题解析：（Ⅰ）解：机变量取值0123
机变量分布列
0
1
2
3
机变量数学期
（Ⅱ）解：设表示第辆车遇红灯数表示第二辆车遇红灯数求事件概率
2辆车遇1红灯概率
考点离散型机变量概率分布列数学期
名师结求离散型机变量概率分布列问题首先清楚离散型机变量取值？机变量取值时应事件概率少计算出概率值列出离散型机变量概率分布列数学期公式计算出数学期列出离散型机变量概率分布列计算数学期理科高考数学必考问题
66．（1） （2）见解析
解析
（I）记接受甲种心理暗示志愿者中包含包含事件M计算
(II)题意知X取值：利超分布概率计算公式
X分布列
X
0
1
2
3
4
P
进步计算X数学期
试题解析：（I）记接受甲种心理暗示志愿者中包含包含事件M
(II)题意知X取值：
X分布列
X
0
1
2
3
4
P
X数学期
名师结题考查古典概型概率公式超分布概率计算公式机变量分布列数学期解答题首先准确确定研究象基事件空间基事件数利超分布概率公式题属中等难度题目计算量考查考生数学应意识基运算求解力等
67．（1） （2）
解析
试题分析：利列举法试验含基事件列举出然求出事件A中基事件数利公式P(A)＝求出事件A概率
试题解析：
（Ⅰ）题意知6国家中选两国家切结果组成基事件：
选两国家亚洲国家事件包含基事件：
求事件概率：
（Ⅱ）亚洲国家欧洲国家中选切结果组成基事件：
包含包括事件包含基事件：
求事件概率：
考点古典概型
名师结(1)事件A概率计算关键分清基事件总数n事件A包含基事件数m必须解决三方面问题：第试验否等第二试验基事件数少第三事件A什包含基事件少(2)果基事件数较少列举法古典概型试验包含基事件列举出然求出事件A中基事件数利公式P(A)＝求出事件A概率形象直观方法列举时必须某序做重漏
68．（1）03（2）见解析（3）服药者指标数方差未服药者指标数方差
解析
（Ⅰ）图知服药50名患者中指标值6015
服药50名患者中机选出指标值60概率
（Ⅱ）图知ABCD四中指标值172：AC
取值012
分布列
0
1
2
期
（Ⅲ）100名患者中服药者指标数方差未服药者指标数方差
名师结
求分布列三种方法：
（1）统计数离散型机变量分布列
（2）古典概型求出离散型机变量分布列
（3）互斥事件概率相互独立事件时发生概率n次独立重复试验k次发生概率求离散型机变量分布列．
69．（1）062（2）99握 （3）新养殖法优旧养殖法
解析
试题分析：
(1)频率似概率值计算旧养殖法箱产量低50kg频率062事件A概率估计值062
(2)题意完成列联表计算K2观测值k＝≈15705＞663599握认箱产量养殖方法关．
(3)箱产量频率分布直方图表明：新养殖法箱产量较高稳定新养殖法优旧养殖法．
试题解析：
(1)旧养殖法箱产量低50kg频率
(0012＋0014＋0024＋0034＋0040)×5＝062
事件A概率估计值062
(2)根箱产量频率分布直方图列联表
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
K2观测值k＝≈15705
15705＞663599握认箱产量养殖方法关．
(3) 频率分布直方图：
旧养殖法100网箱产量均数1＝（275×0012+325×0014+375×0024+425×0034+475×0040+525×0032+575×0032+625×0012+675×0012）×5
＝5×942＝471
新养殖法100网箱产量均数2＝（375×0004+425×0020+475×0044+525×0054+575×0046+625×0010+675×0008）×5＝5×1047＝5235
较：12
新养殖法更加优旧养殖法．
结：利频率分布直方图求众数中位数均数时应注意三点：①高长方形底边中点横坐标众数②中位数左边右边长方形面积相等③均数频率分布直方图重心等频率分布直方图中长方形面积长方形底边中点横坐标独立性检验出结带概率性质说结成立概率完全肯定结出现界值表分析问题时定注意点某问题确定性结否统计计算结果作出错误解释．
70．（1）（2）见解析
解析
试题分析：（1）根条件先确定总事件数编号2抽屉放黑球事件数根古典概型概率公式求概率（2）先确定取出黑球抽屉编号倒数应概率根数学期公式利性质进行放缩变形：利组合数性质化简结．
试题解析：解(1) 编号2抽屉放黑球概率
(2) 机变量 X 概率分布
X
…
…
P
…
…
机变量 X 期：
结求解离散型机变量数学期般步骤：
（1）判断取值判断机变量取值取值表示意义
（2）探求概率利排列组合枚举法概率公式(常见古典概型公式概型公式互斥事件概率公式独立事件概率积公式立事件概率公式等)求出机变量取值时概率
（3）写分布列规范形式写出分布列注意分布列性质检验求分布列某事件概率否正确
（4）求期值般利离散型机变量数学期定义求期值实际问题中机变量果够断定服某常见典型分布(二项分布)机变量期直接利种典型分布期公式()求．应熟记常见典型分布期公式加快解题速度．
71．1
分析
根古典概型概率公式列式求值根机变量分布列求出．
解析
．
．
答案：1．
72．
分析
先确定应事件求应概率结果第二空先确定机变量求应概率根数学期公式求结果
解析
应事件第次红球第次绿球第二次红球
机变量
答案：
结
题考查古典概型概率互斥事件概率加法公式数学期考查基分析求解力属基础题
73．Q1 p2
解析
试题分析：作图中点坐标中点坐标Q1Q2Q3中
分作关原点称点较直线斜率（第i名工天中均时加工零件数）p1p2p3中
考点图象应实际应问题
名师结题考查根实际问题分析解决问题力转化化力第名工加工总零件数较总零件数转化较表示中点连线坐标第二问转化中点原点连线斜率
74．
分析
根相互独立事件时发生概率关系求出两球落入盒子概率理求两球落入盒子概率进求出少球落入盒子概率
解析
甲乙两球落入盒子概率分
两球否落入盒子互影响
甲乙落入盒子概率
甲乙两球落入盒子概率
甲乙两球少落入盒子概率
答案：
结
题考查独立事件时发生概率利立事件求概率属基础题
75．2
分析
根均数公式进行求解．
解析
∵数均数4
∴
答案：2
结
题考查均数计算应较基础．
76．
分析
分求出基事件总数点数5种数根概率公式解答．
解析
根题意基事件数总
点数5基事件4
∴出现点数5概率
答案：
结
题考查概率求法考查古典概型列举法等基础知识考查运算求解力基础题．
77．0．98
分析
题考查通统计数进行概率估计采取估算法利概率思想解题．
解析
题意停该高铁站列车正点数约中高铁数10+20+1040该站高铁均正点率约．
结
题考点概率统计渗透数处理数学运算素养．侧重统计数概率估算难度．易忽视概率估算值精确值失误根分类抽样统计数估算出正点列车数量列车总数值．
78．196
分析
根二项分布公式结果
解析
放回抽样二项分布填196
结
题考查离散型机变量方差求法考查二项分布性质等基础知识考查运算求解力考查函数方程思想基础题．
79．196
分析
根二项分布公式结果
解析
放回抽样二项分布填196
结
题考查离散型机变量方差求法考查二项分布性质等基础知识考查运算求解力考查函数方程思想基础题．
80．
解析
根概型概率计算公式概率答案
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十概率统计
单选题
1．（2021·全国（文））解某农村济情况该农户家庭年收入进行抽样调查农户家庭年收入调查数整理频率分布直方图：
根频率分布直方图面结中正确（ ）
A．该农户家庭年收入低45万元农户率估计6
B．该农户家庭年收入低105万元农户率估计10
C．估计该农户家庭年收入均值超65万元
D．估计该半农户家庭年收入介45万元85万元间
2．（2021·全国（理））4120机排成行20相邻概率（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国（文））3120机排成行20相邻概率（ ）
A．03 B．05 C．06 D．08
4．（2021·全国（理））区间中机取1数两数概率（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国（文））区间机取1数取数概率（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国）6相球分标数字123456中放回机取两次次取1球甲表示事件第次取出球数字1乙表示事件第二次取出球数字2丙表示事件两次取出球数字8丁表示事件两次取出球数字7（ ）
A．甲丙相互独立 B．甲丁相互独立
C．乙丙相互独立 D．丙丁相互独立
7．（2020·天津）批零件中抽取80测量直径（单位：）数分9组：整理频率分布直方图抽取零件中直径落区间数（ ）
A．10 B．18 C．20 D．36
8．（2020·全国（文））设组样数x1x2…xn方差001数10x110x2…10xn方差（ ）
A．001 B．01 C．1 D．10
9．（2020·全国（文））图钢琴12键次记a1a2…a12设1≤i
A．5 B．8 C．10 D．15
10．（2020·全国（理））组样数中1234出现频率分面四种情形中应样标准差组（ ）
A． B．
C． D．
11．（2020·全国（文））设O正方形ABCD中心OABCD中取3点取3点线概率（ ）
A． B．
C． D．
12．（2020·全国（理））某校课外学组研究某作物种子发芽率y温度x（单位：°C）关系20温度条件进行种子发芽实验实验数面散点图：
散点图10°C40°C间面四回方程类型中适宜作发芽率y温度x回方程类型（ ）
A． B．
C． D．
13．（2019·浙江）设机变量分布列：
增时
A．增 B．减
C．先增减 D．先减增
14．（2019·全国（文））某学校解1 000名新生身体素质学生编号12…1 000新生中系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验46号学生抽面4名学生中抽
A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生
15．（2019·全国（理））演讲赛9位评委分出某选手原始评分评定该选手成绩时9原始评分中掉1高分1低分7效评分7效评分9原始评分相变数字特征
A．中位数 B．均数
C．方差 D．极差
16．（2019·全国（理））国古代典籍周易卦描述万物变化．重卦排列6爻组成爻分阳爻——阴爻— —图重卦．重卦中机取重卦该重卦恰3阳爻概率
A． B． C． D．
17．（2018·浙江）设机变量分布列图增时
A．减 B．增
C．先减增 D．先增减
18．（2018·全国（理））某群体中位成员移动支付概率成员支付方式相互独立设该群体10位成员中移动支付数
A．07 B．06 C．04 D．03
19．（2018·全国（理））图古希腊数学家希波克拉底研究图形．图三半圆构成三半圆直径分直角三角形ABC斜边BC直角边ABAC．△ABC三边围成区域记I黑色部分记II余部分记III．整图形中机取点点取IIIIII概率分记p1p2p3
A．p1p2 B．p1p3
C．p2p3 D．p1p2+p3
20．（2018·全国（文））某区年新农村建设农村济收入增加倍．实现翻番．更解该区农村济收入变化情况统计该区新农村建设前农村济收入构成例．饼图：
面结中正确
A．新农村建设种植收入减少
B．新农村建设收入增加倍
C．新农村建设养殖收入增加倍
D．新农村建设养殖收入第三产业收入总超济收入半
21．（2017·全国（理））某城市解游客数变化规律提高旅游服务质量收集整理2014年1月2016年12月期间月接游客量（单位：万）数绘制图示折线图根该折线图列结错误（ ）
A．月接游客量逐月增加
B．年接游客量逐年增加
C．年月接游客量高峰期致78月
D．年1月6月月接游客量相7月12月波动性更变化较稳
22．（2017·山东（文））图示茎叶图记录甲乙两组5名工某日产量数（单位：件）两组数中位数相等均值相等值分
A．55 B．35 C．37 D．57
23．（2017·全国（文））图正方形ABCD图形中国古代太极图正方形切圆中黑色部分白色部分关正方形中心成中心称正方形机取点点取黑色部分概率
A． B． C． D．
24．（2017·山东（理））研究某班学生脚长（单位厘米）身高（单位厘米）关系该班机抽取名学生根测量数散点图出间线性相关关系设回直线方程．已知．该班某学生脚长估计身高
A． B． C． D．
25．（2017·全国（理））图正方形ABCD图形中国古代太极图正方形切圆中黑色部分白色部分关正方形中心成中心称正方形机取点点取黑色部分概率
A． B． C． D．
26．（2017·天津（文））5支彩笔（颜色外差）颜色分红黄蓝绿紫5支彩笔中取2支颜色彩笔取出2支彩笔中含红色彩笔概率
A． B． C． D．
27．（2017·浙江）已知机变量满足P（1）piP（0）1—pii120
C．>< D．>>
28．（2011·湖北（理））图KA1A2三类元件连接成系统．K正常工作A1A2少正常工作时系统正常工作已知KA1A2正常工作概率次090808系统正常工作概率
A．0960 B．0864 C．0720 D．0576
二选题
29．（2021·全国）组样数…组数新样数…中(非零常数（ ）
A．两组样数样均数相
B．两组样数样中位数相
C．两组样数样标准差相
D．两组样数样极差相
30．（2020·海南）国新冠肺炎疫情进入常态化序推进复工复产面某连续11天复工复产指数折线图列说法正确
A．11天复工指数复产指数均逐日增加
B．11天期间复产指数增量复工指数增量
C．第3天第11天复工复产指数均超80
D．第9天第11天复产指数增量复工指数增量
31．（2020·海南）信息熵信息中重概念设机变量X取值定义X信息熵（ ）
A．n1H(X)0
B．n2H(X)着增增
C．H(X)着n增增
D．n2m机变量Y取值H(X)≤H(Y)
三解答题
32．（2021·全国）某学校组织带路知识竞赛AB两类问题位参加赛学先两类问题中选择类中机抽取问题回答回答错误该学赛结束回答正确类问题中机抽取问题回答回答正确否该学赛结束A类问题中问题回答正确20分否0分B类问题中问题回答正确80分否0分知明正确回答A类问题概率08正确回答B类问题概率06正确回答问题概率回答次序关
（1）明先回答A类问题记明累计分求分布列
（2）累计分期明应选择先回答类问题？说明理
33．（2021·全国（文））甲乙两台机床生产种产品产品质量分级品二级品较两台机床产品质量分两台机床生产200件产品产品质量情况统计表：
级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
（1）甲机床乙机床生产产品中级品频率分少
（2）否99握认甲机床产品质量乙机床产品质量差异
附：
0050
0010
0001
k
3841
6635
10828
34．（2021·全国（理））某厂研制种生产高精产品设备检验新设备生产产品某项指标提高台旧设备台新设备生产10件产品件产品该项指标数：
旧设备
98
103
100
102
99
98
100
101
102
97
新设备
101
104
101
100
101
103
106
105
104
105
旧设备新设备生产产品该项指标样均数分记样方差分记．
（1）求
（2）判断新设备生产产品该项指标均值较旧设备否显著提高（果认新设备生产产品该项指标均值较旧设备显著提高否认显著提高）．
35．（2020·海南）加强环境保护治理空气污染环境监测部门某市空气质量进行调研机抽查天空气中浓度（单位：）表：
32
18
4
6
8
12
3
7
10
（1）估计事件该市天空气中浓度超浓度超概率
（2）根数完成面列联表：
（3）根（2）中列联表判断否握认该市天空气中浓度浓度关？
附：
0050
0010
0001
3841
6635
10828
36．（2020·北京）某校举办甲乙两项活动分设计相应活动方案：方案方案二．解该校学生活动方案否支持学生进行简单机抽样获数表：
男生
女生
支持
支持
支持
支持
方案
200
400
300
100
方案二
350
250
150
250
假设学生活动方案否支持相互独立．
（Ⅰ）分估计该校男生支持方案概率该校女生支持方案概率
（Ⅱ）该校全体男生中机抽取2全体女生中机抽取1估计3中恰2支持方案概率
（Ⅲ）该校学生支持方案二概率估计值记假设该校年级500名男生300名女生年级外年级学生支持方案二概率估计值记试较 ．（结求证明）
37．（2020·海南）加强环境保护治理空气污染环境监测部门某市空气质量进行调研机抽查天空气中浓度（单位：）表：
（1）估计事件该市天空气中浓度超浓度超概率
（2）根数完成面列联表：
（3）根（2）中列联表判断否握认该市天空气中浓度浓度关？
附：
38．（2020·江苏）甲口袋中装2黑球1白球乙口袋中装3白球．现甲乙两口袋中取球交换放入口袋重复n次样操作记甲口袋中黑球数Xn恰2黑球概率pn恰1黑球概率qn．
（1）求p1·q1p2·q2
（2）求2pn+qn2pn1+qn1递推关系式Xn数学期E(Xn)(n表示) ．
39．（2020·全国（文））某学生兴趣组机调查某市100天中天空气质量等级天某公园锻炼次整理数表（单位：天）：
锻炼次
空气质量等级
[0200]
(200400]
(400600]
1（优）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
（1）分估计该市天空气质量等级1234概率
（2）求天中该公园锻炼均次估计值（组中数该组区间中点值代表）
（3）某天空气质量等级12称天空气质量某天空气质量等级34称天空气质量．根数完成面2×2列联表根列联表判断否95握认天中该公园锻炼次该市天空气质量关？
次≤400
次>400
空气质量
空气质量
附：
P(K2≥k)
0050
0010
0001
k
3841
6635
10828
40．（2020·全国（文））某厂接受项加工业务加工出产品(单位：件)标准分ABCD四等级加工业务约定：A级品B级品C级品厂家件分收取加工费90元50元20元D级品厂家件赔偿原料损失费50元该厂甲乙两分厂承接加工业务甲分厂加工成费25元件乙分厂加工成费20元件厂家决定分厂承接加工业务两分厂试加工100件种产品统计产品等级整理：
甲分厂产品等级频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
乙分厂产品等级频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
（1）分估计甲乙两分厂加工出件产品A级品概率
（2）分求甲乙两分厂加工出100件产品均利润均利润厂家应选分厂承接加工业务
41．（2020·全国（理））甲乙丙三位学进行羽毛球赛约定赛制：累计负两场者淘汰赛前抽签决定首先赛两轮空场赛胜者轮空者进行场赛负者场轮空直淘汰淘汰剩余两继续赛直中淘汰终获胜赛结束抽签甲乙首先赛丙轮空设场赛双方获胜概率
（1）求甲连胜四场概率
（2）求需进行第五场赛概率
（3）求丙终获胜概率
42．（2020·全国（理））某沙漠区治理生态系统改善野生动物数量增加调查该区某种野生动物数量分成面积相200块块中简单机抽样方法抽取20作样区调查样数(xiyi)(i12…20)中xiyi分表示第i样区植物覆盖面积(单位：公顷)种野生动物数量计算
（1）求该区种野生动物数量估计值（种野生动物数量估计值等样区种野生动物数量均数块数）
（2）求样(xiyi)(i12…20)相关系数（精确001）
（3）根现统计资料块间植物覆盖面积差异提高样代表性获该区种野生动物数量更准确估计请出种认更合理抽样方法说明理
附：相关系数r≈1414
43．（2019·江苏）面直角坐标系xOy中设点集令集合Mn中取两点机变量X表示间距离
（1）n1时求X概率分布
（2）定正整数n（n≥3）求概率P（X≤n）（n表示）
44．（2019·北京（文））改革开放支付方式发生巨转变．年移动支付已成支付方式．解某校学生月AB两种移动支付方式情况全校1000名学生中机抽取100发现样中AB两种支付方式5样中仅A仅B学生支付金额分布情况：
（Ⅰ）估计该校学生中月AB两种支付方式数
（Ⅱ）样仅B学生中机抽取1求该学生月支付金额2000元概率
（Ⅲ）已知月样学生支付方式月没变化．现样仅B学生中机抽查1发现月支付金额2000元．结合（Ⅱ）结果否认样仅B学生中月支付金额2000元数变化？说明理．
45．（2019·北京（理））改革开放支付方式发生巨转变．年移动支付已成支付方式．解某校学生月AB两种移动支付方式情况全校学生中机抽取100发现样中AB两种支付方式5样中仅A仅B学生支付金额分布情况：
交付金额（元）
支付方式
（01000]
（10002000]
2000
仅A
18
9
3
仅B
10
14
1
（Ⅰ）全校学生中机抽取1估计该学生月AB两种支付方式概率
（Ⅱ）样仅A仅B学生中机抽取1X表示2中月支付金额1000元数求X分布列数学期
（Ⅲ）已知月样学生支付方式月没变化．现样仅A学生中机抽查3发现月支付金额2000元．根抽查结果否认样仅A学生中月支付金额2000元数变化？说明理．
46．（2019·全国（理））解甲乙两种离子鼠体残留程度进行试验：200鼠机分成两组组100中组鼠服甲离子溶液组鼠服乙离子溶液鼠服溶液体积相摩尔浓度相段时间某种科学方法测算出残留鼠体离子百分根试验数分直方图：
记事件：乙离子残留体百分低根直方图估计值
（1）求乙离子残留百分直方图中值
（2）分估计甲乙离子残留百分均值（组中数该组区间中点值代表）
47．（2019·天津（文））2019年国施行税专项附加扣办法涉子女教育继续教育病医疗住房贷款利息者住房租金赡养老等六项专项附加扣某单位老中青员工分现采分层抽样方法该单位述员工中抽取调查专项附加扣享受情况
（Ⅰ）应老中青员工中分抽取少？
（Ⅱ）抽取25中享受少两项专项附加扣员工6分记享受情况表中表示享受×表示享受现6中机抽取2接受采访
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老
○
○
×
×
×
○
（i）试字母列举出抽取结果
（ii）设事件抽取2享受专项附加扣少项相求事件发生概率
48．（2019·天津（理））设甲乙两位学学期间天7：30前校概率均假定甲乙两位学校情况互影响学天校情况相互独立
（Ⅰ）表示甲学学期间三天中7：30前校天数求机变量分布列数学期
（Ⅱ）设事件学期间三天中甲学7：30前校天数乙学7：30前校天数恰2求事件发生概率
49．（2019·全国（文））某行业部门解行业中企业生产情况机调查100企业企业第季度相前年第季度产值增长率y频数分布表
分组
企业数
2
24
53
14
7
（1）分估计类企业中产值增长率低40企业例产值负增长企业例
（2）求类企业产值增长率均数标准差估计值（组中数该组区间中点值代表）（精确001）
附：
50．（2019·全国（文））某商场提高服务质量机调查50名男顾客50名女顾客位顾客该商场服务出满意满意评价面列联表：
满意
满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分估计男女顾客该商场服务满意概率
（2）否95握认男女顾客该商场服务评价差异？
附：．
P（K2≥k）
0050
0010
0001
k
3841
6635
10828
51．（2019·全国（理））
11分制乒乓球赛赢球1分某局成1010球交换发球权先2分方获胜该局赛结束甲乙两位学进行单赛假设甲发球时甲分概率05乙发球时甲分概率04球结果相互独立某局双方1010甲先发球两X球该局赛结束
（1）求P（X2）
（2）求事件X4甲获胜概率
52．（2019·全国（理））治疗某种疾病研制甲乙两种新药希知道种新药更效进行动物试验．试验方案：轮选取两白鼠药效进行试验．两白鼠机选施甲药施乙药．轮治疗结果出安排轮试验．中种药治愈白鼠种药治愈白鼠4时停止试验认治愈数药更效．方便描述问题约定：轮试验施甲药白鼠治愈施乙药白鼠未治愈甲药1分乙药分施乙药白鼠治愈施甲药白鼠未治愈乙药1分甲药分治愈未治愈两种药均0分．甲乙两种药治愈率分记αβ轮试验中甲药分记X．
（1）求分布列
（2）甲药乙药试验开始时赋予4分表示甲药累计分时终认甲药乙药更效概率中．假设．
(i)证明：等数列
(ii)求根值解释种试验方案合理性．
53．（2018·北京（理））电影公司机收集电影关数分类整理表：
电影类型
第类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
评率
04
02
015
025
02
01
评率指：类电影中获评部数该类电影部数值．
假设电影否获评相互独立．
（Ⅰ）电影公司收集电影中机选取1部求部电影获评第四类电影概率
（Ⅱ）第四类电影第五类电影中机选取1部估计恰1部获评概率
（Ⅲ）假设类电影喜欢概率表格中该类电影评率相等表示第k类电影喜欢表示第k类电影没喜欢（k123456）．写出方差关系．
54．（2018·北京（文））电影公司机收集电影关数分类整理表：
电影类型
第类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
评率
评率指：类电影中获评部数该类电影部数值
（Ⅰ）电影公司收集电影中机选取部求部电影获评第四类电影概率
（Ⅱ）机选取部电影估计部电影没获评概率
（Ⅲ）电影公司增加投资回报拟改变投资策略导致类型电影评率发生变化假设表格中两类电影评率数发生变化类电影评率增加类电影评率减少获评电影总部数样中电影总部数值达？（需写出结）
55．（2018·全国（理））某工厂提高生产效率开展技术创新活动提出完成某项生产务两种新生产方式．较两种生产方式效率选取40名工机分成两组组20第组工第种生产方式第二组工第二种生产方式．根工完成生产务工作时间（单位：min）绘制茎叶图：
（1）根茎叶图判断种生产方式效率更高？说明理
（2）求40名工完成生产务需时间中位数完成生产务需时间超超工数填入面列联表：
超
超
第种生产方式
第二种生产方式
（3）根（2）中列联表否99握认两种生产方式效率差异？
附：
56．（2018·全国（文））某家庭记录未节水龙头天日水量数（单位：）节水龙头天日水量数频数分布表：
未节水龙头天日水量频数分布表
日水量
频数
节水龙头天日水量频数分布表
日水量
频数
（1）答题卡作出节水龙头天日水量数频率分布直方图：
（2）估计该家庭节水龙头日水量概率
（3）估计该家庭节水龙头年节省少水？（年天计算组中数组数区间中点值作代表．）
57．（2018·全国（文））图某区2000年2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）折线图．
预测该区2018年环境基础设施投资额建立时间变量两线性回模型．根2000年2016年数（时间变量值次）建立模型①：根2010年2016年数（时间变量值次）建立模型②：．
（1）分利两模型求该区2018年环境基础设施投资额预测值
（2）认模型预测值更？说明理．
58．（2018·天津（理））已知某单位甲乙丙三部门员工数分241616现采分层抽样方法中抽取7进行睡眠时间调查
（I）应甲乙丙三部门员工中分抽取少？
（II）抽出7中4睡眠足3睡眠充足现7中机抽取3做进步身体检查
（i）X表示抽取3中睡眠足员工数求机变量X分布列数学期
（ii）设A事件抽取3中睡眠充足员工睡眠足员工求事件A发生概率
59．（2018·全国（理））某工厂某种产品成箱包装箱件箱产品交付户前产品作检验检验出合格品更换合格品．检验时先箱产品中取件作检验根检验结果决定否余产品作检验设件产品合格品概率件产品否合格品相互独立．
（1）记件产品中恰件合格品概率求值点
（2）现箱产品检验件结果恰件合格品（1）中确定作值．已知件产品检验费元合格品进入户手中工厂件合格品支付元赔偿费．
（i）该箱余产品作检验箱产品检验费赔偿费记求
（ii）检验费赔偿费期值决策否该箱余产品作检验？
60．（2018·天津（文））已知某校甲乙丙三年级学生志愿者数分240160160．现采分层抽样方法中抽取７名学某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应甲乙丙三年级学生志愿者中分抽取少？
（Ⅱ）设抽出7名学分ABCDEFG表示现中机抽取2名学承担敬老院卫生工作．
（i）试字母列举出抽取结果
（ii）设M事件抽取2名学年级求事件M发生概率．
61．（2017·全国（理））监控某种零件条生产线生产程检验员天该生产线机抽取16零件测量尺寸（单位：cm）根长期生产验认条生产线正常状态生产零件尺寸服正态分布
（1）假设生产状态正常记X表示天抽取16零件中尺寸外零件数求X数学期
（2）天抽检零件中果出现尺寸外零件认条生产线天生产程出现异常情况需天生产程进行检查
（ⅰ）试说明述监控生产程方法合理性
（ⅱ）面检验员天抽取16零件尺寸：
995
1012
996
996
1001
992
998
1004
1026
991
1013
1002
922
1004
1005
995
计算中xi抽取第i零件尺寸
样均数作μ估计值样标准差s作σ估计值利估计值判断否需天生产程进行检查？剔外数剩数估计μσ（精确001）
附：机变量Z服正态分布
62．（2017·北京（文））某学校艺术专业300名学生参加某次测评根男女学生数例分层抽样方法中机抽取100名学生记录分数数分成7组：[2030)[3040)…[8090]整理频率分布直方图：
(1)总体300名学生中机抽取估计分数70概率
(2)已知样中分数40学生5试估计总体中分数区间[4050)数
(3)已知样中半男生分数70样中分数70男女生数相等．试估计总体中男生女生数例．
63．（2017·全国（理））（2017新课标全国II理科）海水养殖场进行某水产品新旧网箱养殖方法产量收获时机抽取100 网箱测量箱水产品产量（单位：kg）．频率分布直方图：
（1）设两种养殖方法箱产量相互独立记A表示事件：旧养殖法箱产量低50 kg新养殖法箱产量低50 kg估计A概率
（2）填写面列联表根列联表判断否99握认箱产量养殖方法关：
箱产量＜50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根箱产量频率分布直方图求新养殖法箱产量中位数估计值（精确001）．
附：
64．（2017·全国（理））某超市计划月订购种酸奶天进货量相进货成瓶4元售价瓶6元未售出酸奶降价处理瓶2元价格天全部处理完．根年销售验天需求量天高气温（单位：℃）关．果高气温低25需求量500瓶果高气温位区间[2025）需求量300瓶果高气温低20需求量200瓶．确定六月份订购计划统计前三年六月份天高气温数面频数分布表：
高气温
[1015）
[1520）
[2025）
[2530）
[3035）
[3540）
天数
2
16
36
25
7
4
高气温位区间频率估计高气温位该区间概率．
（1）求六月份种酸奶天需求量超300瓶概率
（2）设六月份天销售种酸奶利润Y（单位：元）六月份种酸奶天进货量450瓶时写出Y值估计Y零概率．
65．（2017·天津（理））甲乙十字路口设路口信号灯工作相互独立路口遇红灯概率分．
（）设表示辆车甲乙遇红灯数求机变量分布列均值．
（）辆车独立甲乙求辆车遇红灯概率．
66．（2017·山东（理））心理学研究中常采试验方法评价心理暗示影响具体方法：参加试验志愿者机分成两组组接受甲种心理暗示组接受乙种心理暗示通两组志愿者接受心理暗示结果评价两种心理暗示作现6名男志愿者A1A2A3A4A5A64名女志愿者B1B2B3B4中机抽取5接受甲种心理暗示5接受乙种心理暗示
（I）求接受甲种心理暗示志愿者中包含A1包含频率．
（II）X表示接受乙种心理暗示女志愿者数求X分布列数学期EX
67．（2017·山东（文））某旅游爱者计划3亚洲国家A1A2A33欧洲国家B1B2B3中选择2国家旅游
(1)6国家中选2求2国家亚洲国家概率
(2)亚洲国家欧洲国家中选1求两国家包括A1包括B1概率．
68．（2017·北京（理））研究种新药疗效选100名患者机分成两组组50名组服药组服药段时间记录两组患者生理指标xy数制成图中*表示服药者+表示未服药者
（Ⅰ）服药50名患者中机选出求指标y值60概率
（Ⅱ）图中ABCD四中机选出两记选出两中指标x值17数求分布列数学期E（）
（Ⅲ）试判断100名患者中服药者指标y数方差未服药者指标y数方差（需写出结）
69．（2017·全国（理））海水养殖场进行某水产品新旧网箱养殖方法产量收获时机抽取100网箱测量箱水产品产量（单位：kg） 频率分布直方图：
（1）记A表示事件旧养殖法箱产量低50kg估计A概率
（2）填写面列联表根列联表判断否99握认箱产量养殖方法关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根箱产量频率分布直方图两种养殖方法优劣进行较．
附：
P(K2≥k)
0050
0010
0001
k
3841
6635
10828
70．（2017·江苏）已知口袋m白球n黑球（mn n 2）球颜色外全部相．现口袋中球机逐取出放入图示编号123……m+n抽屉中第k次取球放入编号k抽屉（k123……m+n）
（1）试求编号2抽屉放黑球概率p
（2）机变量x表示取出黑球抽屉编号倒数E(x)x数学期证明
71．（2021·浙江）袋中4红球m黄球n绿球现中取两球记取出红球数取出两球红球概率红黄概率______________________
72．（2020·浙江）盒子里4球中1红球1绿球2黄球盒中机取球次取1放回直取出红球止设程中取黄球数_____________．
73．（2017·北京（理））三名工加工种零件天中工作情况图示中点Ai横坐标分第i名工午工作时间加工零件数点Bi横坐标分第i名工午工作时间加工零件数i123
①记Qi第i名工天中加工零件总数Q1Q2Q3中_________
②记pi第i名工天中均时加工零件数p1p2p3中_________
五填空题
74．（2020·天津）已知甲乙两球落入盒子概率分．假定两球否落入盒子互影响甲乙两球落入盒子概率_________甲乙两球少落入盒子概率_________．
75．（2020·江苏）已知组数均数4值_____
76．（2020·江苏）颗质均匀正方体骰子先抛掷2次观察点数点数5概率_____
77．（2019·全国（文））国高铁发展迅速技术先进．统计停某站高铁列车中10车次正点率09720车次正点率09810车次正点率099停该站高铁列车车次均正点率估计值___________
78．（2017·全国（理））批产品二等品率批产品中次机取件放回抽取次表示抽二等品件数____________．
79．（2017·全国（理））批产品二等品率批产品中次机取件放回抽取次表示抽二等品件数____________．
80．（2017·江苏）记函数定义域区间机取数概率________．
五年（20172021）高考数学真题分类汇编
十概率统计（答案解析）
1．C
分析
根直方图意义直接计算相应范围频率判定ABD组中间值作代表相应频率然求样均数估计值总体均值估计值计算判定C
解析
频率直方图中组距1组直方图高度等频率样频率直方图中频率作总体相应率估计值
该农户家庭年收入低45万元农户率估计值A正确
该农户家庭年收入低105万元农户率估计值B正确
该农户家庭年收入介45万元85万元间例估计值D正确
该农户家庭年收入均值估计值(万元)超65万元C错误
综出结中正确C
选：C
结
题考查利样频率直方图估计总体频率均值属基础题样频率作总体频率估计值样均值估计值组中间值相应频率然求值作总体均值估计值注意组频率等
2．C
分析
采插空法41产生5空分20相邻20相邻进行求解
解析
4120机排成行利插空法41产生5空
20相邻种排法20相邻种排法
20相邻概率
选：C
3．C
分析
利古典概型概率公式求概率
解析
解：3120机排成行：
10种排法
中20相邻排列方法：
6种方法
20相邻概率
选：C
4．B
分析
设区间中机取出数分实验结果构成区域设事件表示两数构成区域分求出应区域面积根概型概率公式解出．
解析
图示：
设区间中机取出数分实验结果构成区域面积．
设事件表示两数构成区域图中阴影部分面积．
选：B
结
题考查利线性规划解决概型中面积问题解题关键准确求出事件应区域面积利解出．
5．B
解析
设区间机取1数
取数．
选：B．
结
题解题关键明确事件取数应范围根概型概率公式准确求出．
6．B
分析
根独立事件概率关系逐判断
解析
选：B
结
判断事件否独立先计算应概率判断否成立
7．B
分析
根直方图确定直径落区间间零件频率然结合样总数计算数
解析
根直方图直径落区间间零件频率：
区间零件数：
选：B
结
题考查频率分布直方图计算实际应属中等题
8．C
分析
根新数原数关系确定方差关系结果
解析
数方差数方差倍
求数方差
选：C
结
题考查方差考查基分析求解力属基础题
9．C
分析
根原位三弦满足原位三弦满足
开始利列举法解出．
解析
根题意知原位三弦满足：．
∴．
原位三弦满足：．
∴．
数10．
选：C．
结
题考查列举法应新定义理解应属基础题．
10．B
分析
计算出四选项中应数均数方差出标准差组
解析
A选项该组数均数
方差
B选项该组数均数
方差
C选项该组数均数
方差
D选项该组数均数
方差
B选项组标准差
选：B
结
题考查标准差较考查方差公式应考查计算力属基础题
11．A
分析
列出5点选3点情况列出3点线情况古典概型概率计算公式运算
解析
图5点中取3
种取法
3点线2种情况
古典概型概率计算公式知
取3点线概率
选：A
点晴
题考查古典概型概率计算问题采列举法考查学生数学运算力道容易题
12．D
分析
根散点图分布选择合适函数模型
解析
散点图分布知散点图分布数函数图象附
适合作发芽率温度回方程类型
选：D
结
题考查函数模型选择观察散点图分布属基础题
13．D
分析
研究方差变化增减规律常方法方差参数表示应函数知识求解题根方差期关系方差表示二次函数二次函数图象性质解题题目定综合性注重重知识基础知识运算求解力考查
解析
方法1：分布列
增时先减增
方法2：
选D
结
易出现错误数学期方差二者间关系掌握熟着手二计算力差正确二次函数表达式
14．C
分析
等差数列性质．渗透数分析素养．统计思想逐选项判断出答案．
解析
解析：已知1000名学生分成100组组10名学生系统抽样46号学生抽
第组抽6号组抽学生号构成等差数列公差
合题意合题意
符合题意合题意．选C．
结
题考查系统抽样
15．A
分析
动笔直接答案采特殊数特值法筛选答案．
解析
设9位评委评分排列．
①原始中位数掉低分高分剩余
中位数A正确．
②原始均数均数
均数受极端值影响较定相B正确
③
②易知C正确．
④原极差极差相等变D正确．
结
题旨考查学生中位数均数方差极差质理解
16．A
分析
题考查利两计数原理排列组合计算古典概型问题渗透传统文化数学计算等数学素养重卦中爻两种情况基事件计算住店问题该重卦恰3阳爻相元素排列问题利直接法计算．
解析
题知爻2种情况重卦6爻情况中6爻中恰3阳爻情况该重卦恰3阳爻概率选A．
结
利排列组合计算古典概型问题首先分析元素否重复次分析排列问题组合问题．题重复元素排列问题基事件计算住店问题满足条件事件计算相元素排列问题组合问题．
17．D
分析
先求数学期求方差根方差函数确定单调性
解析
∴先增减选D
结
18．B
解析
分析：判断出二项分布利公式进行计算．
知
答案选B
结：题考查二项分布相关知识属中档题．
19．A
分析
首先设出直角三角形三条边长度根直角三角形三边关系然应相应面积公式求区域面积根数值确定关系利面积型概型概率公式确定出p1p2p3关系求结果
解析
设
求面积
黑色部分面积
余部分面积
根面积型概型概率公式选A
结：该题考查面积型概型关问题题中需解决概率根面积型概型概率公式较概率问题转化较区域面积利相关图形面积公式求结果
20．A
分析
首先设出新农村建设前济收入M根题意新农村建设济收入2M图中项收入占例应收入少较相应关系出正确选项
解析
设新农村建设前收入M新农村建设收入2M
新农村建设前种植收入06M新农村建设种植收入074M种植收入增加A项正确
新农村建设前收入004M新农村建设收入01M增加倍B项正确
新农村建设前养殖收入03M新农村建设06M增加倍C项正确
新农村建设养殖收入第三产业收入综合占济收入超济收入半D正确
选A
结：该题考查关新农村建设前济收入构成例饼形图会图中读出相应信息结果
21．A
分析
观察折线图知月接游客量年78月份明显高12月份折线图呈现增长趋势高峰出现78月份1月6月月接游客量相7月12月波动性更
解析
选项A图易知月接游客量年78月份明显高12月份A错
选项B观察折线图变化趋势知年接游客量逐年增加B正确
选项CD图知显然正确选A
结
题考查折线图考查考生识图力属基础题
22．B
分析
利茎叶图中位数均数性质直接求解．
解析
茎叶图：
∵甲乙两组5名工某日产量数（单位：件）两组数中位数相等
∴65＝60+y解y＝5
∵均值相等
∴
解x＝3．
选B．
结
题考查实数值求法考查茎叶图中位数均数性质等基础知识考查运算求解力基础题．
23．B
解析
设正方形边长圆半径正方形面积圆面积图形称性知太极图中黑白部分面积相等占圆面积半概型概率计算公式点取黑色部分概率选B
结概型计算首先确定事件类型概型确定区域（长度面积体积时间）次计算基事件区域度量事件A区域度量计算
24．C
解析
已知
选C
25．B
解析
设正方形边长圆半径正方形面积圆面积图形称性知太极图中黑白部分面积相等占圆面积半概型概率计算公式点取黑色部分概率选B
结概型计算首先确定事件类型概型确定区域（长度面积体积时间）次计算基事件区域度量事件A区域度量计算
26．C
解析
选取两支彩笔方法种含红色彩笔选法种
古典概型公式满足题意概率值
题选择C选项
考点：古典概型
名师结：古典概型问题握基事件种数符合求事件种数基事件种数注意区排列问题组合问题抽取时序题5支彩笔中取2支颜色彩笔组合问题然简单问题建议采取列举法更直观
27．A
解析
∵∴
∵∴选A．
名师结求离散型机变量分布列首先根具体情况确定取值情况然利排列组合概率知识求出取值时概率．服某特殊分布机变量分布列直接应公式出中超分布描述放回抽样问题机变量抽某类体数．已知题机变量服两点分布两点分布数学期方差公式A正确．
28．B
解析
A1A2时工作概率02×02＝004A1A2少正常工作概率1－004＝096系统正常工作概率09×096＝0864选B
考点：相互独立事件概率
29．CD
分析
AC利两组数线性关系判断正误根中位数极差定义结合已知线性关系判断BD正误
解析
A：均数相错误
B：第组中位数第二组中位数显然相错误
C：方差相正确
D：极差定义知：第组极差第二组极差极差相正确
选：CD
30．CD
分析
注意折线图中递减部分判定A错误注意考查第1天第11天复工复产指数差判定B错误根图象结合复工复产指数意义增量意义判定CD正确
解析
图知第1天第2天复工指数减少第7天第8天复工指数减少第10天第11复工指数减少第8天第9天复产指数减少A错误
图知第天复产指标复工指标差第11天复产指标复工指标差11天期间复产指数增量复工指数增量B错误
图知第3天第11天复工复产指数均超80C正确
图知第9天第11天复产指数增量复工指数增量D正确
结
题考查折线图表示函数认知理解考查理解力识图力推理力难点指数增量理解观测属中档题
31．AC
分析
A选项求判断出A选项B选项利特殊值法进行排C选项计算出利数函数性质判断出C选项D选项计算出 利基等式数函数性质判断出D选项
解析
A选项A选项正确
B选项
时
时
两者相等B选项错误
C选项
着增增C选项正确
D选项机变量取值 （ ）
D选项错误
选：AC
结
题考查新定义信息熵理解运考查分析思考解决问题力涉数运算数函数等式基性质运属难题
32．（1）见解析（2）类．
分析
（1）通题意分析出明累计分取值逐求概率列分布列．（2）（1）类似找出先回答类问题数学期较两期．
解析
（1）题知取值．
．
分布列
（2）（1）知．
明先回答问题记明累计分取值．
．
．
明应选择先回答类问题．
33．（1）7560
（2）
分析
题考查频率统计独立性检验属基础题根出公式计算
解析
（1）甲机床生产产品中级品频率
乙机床生产产品中级品频率
（2）
99握认甲机床产品乙机床产品质量差异
34．（1）（2）新设备生产产品该项指标均值较旧设备没显著提高
分析
（1）根均数方差计算方法计算出均数方差
（2）根题目判断结合（1）结进行判断
解析
（1）
（2）题意
新设备生产产品该项指标均值较旧设备没显著提高
35．（1）（2）答案见解析（3）
分析
（1）根表格中数古典概型概率公式求结果
（2）根表格中数列联表
（3）计算出结合界值表结
解析
（1）表格知该市100天中空气中浓度超75浓度超150天数天
该市天中空气中浓度超75浓度超150概率
（2）数列联表：
合计
64
16
80
10
10
20
合计
74
26
100
（3）根列联表中数
根界值表知握认该市天空气中浓度浓度关
结
题考查古典概型概率公式考查完善列联表考查独立性检验属中档题
36．（Ⅰ）该校男生支持方案概率该校女生支持方案概率
（Ⅱ）（Ⅲ）
分析
（Ⅰ）根频率估计概率结果
（Ⅱ）先分类根独立事件概率法公式分类计数加法公式求结果
（Ⅲ）先求根频率估计概率
解析
（Ⅰ）该校男生支持方案概率
该校女生支持方案概率
（Ⅱ）3中恰2支持方案分两种情况（1）仅两男生支持方案（2）仅男生支持方案女生支持方案
3中恰2支持方案概率：
（Ⅲ）
结
题考查利频率估计概率独立事件概率法公式考查基分析求解力属基础题
37．（1）（2）答案见解析（3）
分析
（1）根表格中数古典概型概率公式求结果
（2）根表格中数列联表
（3）计算出结合界值表结
解析
（1）表格知该市100天中空气中浓度超75浓度超150天数天
该市天中空气中浓度超75浓度超150概率
（2）数列联表：
合计
64
16
80
10
10
20
合计
74
26
100
（3）根列联表中数
根界值表知握认该市天空气中浓度浓度关
结
题考查古典概型概率公式考查完善列联表考查独立性检验属中档题
38．（1）（2）
分析
（1）直接根操作根古典概型概率公式结果
（2）根操作次求递推关系构造等数列求根数学期公式求结果
解析
（1）
（2）
分布列
0
1
2
结
题考查古典概型概率概率中递推关系构造法求数列通项数学期公式考查综合分析求解力属难题
39．（1）该市天空气质量等级分概率分（2）（3）理见解析
分析
（1）根频数分布表计算出该市天空气质量等级分概率
（2）利组中点值频数相加结果
（3）根表格中数完善列联表计算出观测值结合界值表结
解析
（1）频数分布表知该市天空气质量等级概率等级概率等级概率等级概率
（2）频数分布表知天中该公园锻炼次均数
（3）列联表：
次
次
空气质量
空气质量
握认天中该公园锻炼次该市天空气质量关
结
题考查利频数分布表计算频率均数时考查独立性检验应考查数处理力属基础题
40．（1）甲分厂加工出级品概率乙分厂加工出级品概率（2）选甲分厂理见解析
分析
（1）根两频数分布表求出
（2）根题意分求出甲乙两厂加工件产品总利润求出均利润作出选择．
解析
（1）表知甲厂加工出件产品级品概率乙厂加工出件产品级品概率
（2）甲分厂加工件产品总利润元
甲分厂加工件产品均利润元件
乙分厂加工件产品总利润
元
乙分厂加工件产品均利润元件．
厂家选择甲分厂承接加工务．
结
题考查古典概型概率公式应均数求法根均值作出决策属基础题．
41．（1）（2）（3）
分析
（1）根独立事件概率法公式求事件甲连胜四场概率
（2）计算出四局结束赛概率然利立事件概率公式求求事件概率
（3）列举出甲赢基事件结合独立事件概率法公式计算出甲赢概率称性知乙赢概率甲赢概率相等利立事件概率求丙赢概率
解析
（1）记事件甲连胜四场
（2）记事件甲输事件乙输事件丙输
四局结束赛概率
需进行第五场赛概率
（3）记事件甲输事件乙输事件丙输
记事件甲赢记事件丙赢
甲赢基事件包括：
甲赢概率
称性知乙赢概率甲赢概率相等
丙赢概率
结
题考查独立事件概率计算解答关键列举出符合条件基事件考查计算力属中等题
42．（1）（2）（3）详见解析
分析
（1）利野生动物数量估计值等样区野生动物均数块数代入数
（2）利公式计算
（3）块间植物覆盖面积差异较提高样数代表性应采分层抽样
解析
（1）样区野生动物均数
块数200该区种野生动物估计值
（2）样(i12…20)相关系数
（3）（2）知样区种野生动物数量植物覆盖面积强正相关性
块间植物覆盖面积差异俄块间种野生动物数量差异
采分层抽样方法较保持样结构总体结构执行提高样代表性
获该区种野生动物数量更准确估计
点晴
题考查均数估计值相关系数计算抽样方法选取考查学生数学运算力道容易题
43．（1）见解析
（2）
分析
(1)题意首先确定X取值然利古典概型计算公式求相应概率值确定分布列
(2)原问题转化立事件问题求解值分类讨①②③④四种情况确定满足取值然求解相应概率值确定值
解析
（1）时取值．
概率分布
．
（2）设中取出两点．
仅需考虑情况．
①存取法
②仅时2种取法
③时仅时2种取法
④仅时2种取法．
综时取值
．
．
结
题考查计数原理古典概型机变量概率分布等基础知识考查逻辑思维力推理证力．
44．（Ⅰ）400
（Ⅱ）
（Ⅲ）见解析
分析
(Ⅰ)题意利频率似概率满足题意数
(Ⅱ)利古典概型计算公式月支付金额2000元概率
(Ⅲ)结合概率统计相关定义出结
解析
（Ⅰ）图表知仅A数30仅B数25
题意知AB两种支付方式5
样中两种支付方式
全校学生中两种支付方式（）
（Ⅱ）样中仅B学生251支付金额2000元
该学生月支付金额2000元概率
（Ⅲ）（Ⅱ）知支付金额2000元概率
仅B学生中机调查1发现月支付金额2000元
概率事件次试验中发生认仅B学生中月支付金额2000元数变化月
结
题考查古典概型概率公式应概率定义应等知识意考查学生转化力计算求解力
45．(Ⅰ)
(Ⅱ)见解析
(Ⅲ)见解析
分析
(Ⅰ)题意利古典概型计算公式满足题意概率值
(Ⅱ)首先确定X取值然求相应概率值分布列求解数学期
(Ⅲ)题意结合概率定义出结
解析
(Ⅰ)题意知两种支付方式数：：
该学生月AB两种支付方式概率
(Ⅱ)题意知
仅A支付方法学生中金额1000数占金额1000数占
仅B支付方法学生中金额1000数占金额1000数占
X取值012
X分布列：
X
0
1
2
数学期：
(Ⅲ)认样仅A学生中月支付金额2000元数变化理：
机事件次机实验中否发生机预知着试验次数增频率越越稳定概率．
学校相消费稳定方学生根实际情况月消费应该相固定出现题中种现象发生概率事件
结
题支付方式相关调查设置问题考查概率统计生活中应考查概率定义分布列应学生体会数学现实生活息息相关
46．(1) (2)
分析
(1)频率1解值(2)根公式求均数
解析
(1)题解解
(2)甲离子直方图甲离子残留百分均值
乙离子残留百分均值
结
题考查频率分布直方图均数属基础题
47．（I）6910
（II）（i）见解析（ii）
分析
（I）根题中老中青员工数求数利分层抽样求体抽概率相等结合样容量求结果
（II）（I）根6中机抽取2结果列出
（ii）根题意找出满足条件基事件利公式求概率
解析
（I）已知老中青员工数
采取分层抽样方法中抽取25位员工
应老中青员工中分抽取6910
（II）（i）已知6中机抽取2结果
15种
（ii）表格知符合题意结果11种
事件M发生概率
结
题考查机抽样列举法计算机事件含基事件数古典概型概率计算公式等基知识考查运概率知识解决简单实际问题力
48．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
分析
(Ⅰ)题意知分布列二项分布结合二项分布公式求概率分布列然利二项分布期公式求解数学期
(Ⅱ)题意结合独立事件概率公式计算满足题意概率值
解析
(Ⅰ)甲学学期间三天中校情况相互独立天730前校概率均
面
机变量分布列：
0
1
2
3
机变量数学期
(Ⅱ)设乙学学期间三天中730前校天数
题意知事件互斥
事件事件均相互独立
(Ⅰ)知：
结
题考查离散型机变量分布列数学期互斥事件相互独立事件概率计算公式等基础知识考查运概率知识解决简单实际问题力
49．(1) 增长率超企业例产值负增长企业例（2）均数标准差
分析
(1)题首先通题意确定企业中增长率超企业产值负增长企业数然通增长率超企业产值负增长企业数机调查企业总数出结果
(2)通均值标准差计算公式出结果．
解析
(1)题意知机调查企业中增长率超企业
产值负增长企业
增长率超企业例产值负增长企业例．
(2)题意知均值
标准差方：
标准差．
结
题考查均值标准差计算考查均值标准差计算公式考查学生信息题中获取需信息力考查学生计算力简单题．
50．（1）
（2）握认男女顾客该商场服务评价差异
分析
（1）题中列联表中读出相关数利满意数总数分算出相应频率估计出概率值
（2）利公式求观测值界值较握认男女顾客该商场服务评价差异
解析
（1）题中表格知50名男顾客商场服务满意40
男顾客商场服务满意率估计
50名女顾客商场满意30
女顾客商场服务满意率估计
（2）列联表知
握认男女顾客该商场服务评价差异
结
该题考查关概率统计知识涉知识点利频率估计概率利列联表计算值独立性检验属简单题目
51．（1）（2）01
分析
(1)题首先通题意推导出包含事件甲连赢两球乙连赢两球然计算出种事件概率求出结果
(2)题首先通题意推导出包含事件前两球甲乙分两球均甲分然计算出种事件概率求出结果．
解析
(1)题意知包含事件甲连赢两球乙连赢两球
(2)题意知包含事件前两球甲乙分两球均甲分
结
题考查古典概型相关性质否通题意出包含事件解决题关键考查推理力考查学生题目中获取需信息力中档题．
52．（1）见解析（2）（i）见解析（ii）
分析
（1）首先确定取值计算出取值应概率分布列（2）（i）求解出取值整理出符合等数列定义形式问题证（ii）列出证等数列通项公式采累加方式结合值求次利累加法求出
解析
（1）题意知取值：
分布列：
（2）
（i）
整理：
首项公等数列
（ii）（i）知：
……
作：
表示终认甲药更效计算结果出甲药治愈率05乙药治愈率08时认甲药更效概率时出错误结概率非常说明种实验方案合理
结
题考查离散型机变量分布列求解利递推关系式证明等数列累加法求解数列通项公式数列中项问题题综合性较强求学生够熟练掌握数列通项求解概率求解相关知识学生分析解决问题力求较高
53．(1) 概率0025
(2) 概率估计035
(3) >>>>
解析
分析：(1)先根频数计算第四类电影频率第四类电影评率求概率(2) 恰1部获评第四类电影获评第五类电影没获评第四类电影没获评第五类电影获评两互斥事件先利独立事件概率法公式分求两互斥事件概率相加结果(3) 服01分布>>>>．
解析：解：（Ⅰ）题意知样中电影总部数140+50+300+200+800+5102000
第四类电影中获评电影部数200×02550．
求概率．
（Ⅱ）设事件A第四类电影中机选出电影获评
事件B第五类电影中机选出电影获评．
求概率P（）P（）+P（）
P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．
题意知：P（A）估计025P（B）估计02．
求概率估计025×08+075×02035．
（Ⅲ）>>>>．
结：互斥事件概率加法公式：AB互斥P(A+B)P(A)+P(B)独立事件概率法公式AB相互独立P(AB)P(A)P(B)
54．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）增加第五类电影评率减少第二类电影评率
分析
（Ⅰ）分计算样中电影总部数第四类电影中获评电影部数代入公式概率（Ⅱ）利古典概型公式计算没获评电影部数代入公式概率
（Ⅲ）根部电影获评部数做出合理建议
解析
（Ⅰ）题意知样中电影总部数
第四类电影中获评电影部数
求概率
（Ⅱ）设机选取部电影部电影没获评事件B
没获评电影部
古典概型概率公式
（Ⅲ）增加第五类电影评率 减少第二类电影评率
结
题考查概率统计知识属易分题应古典概型求某事件步骤：第步判断试验结果否等事件设出事件第二步分求出基事件总数求事件中包含基事件数第三步利公式求出事件概率
55．（1）第二种生产方式效率更高 理见解析
（2）80
（3）
解析
分析：（1）计算两种生产方式均时间．
（2）计算出中位数茎叶图数完成列联表．
（3）公式计算出6635较结果．
解析：（1）第二种生产方式效率更高
理：
（i）茎叶图知：第种生产方式工中75工完成生产务需时间少80分钟第二种生产方式工中75工完成生产务需时间79分钟第二种生产方式效率更高
（ii）茎叶图知：第种生产方式工完成生产务需时间中位数855分钟第二种生产方式工完成生产务需时间中位数735分钟第二种生产方式效率更高
（iii）茎叶图知：第种生产方式工完成生产务均需时间高80分钟第二种生产方式工完成生产务均需时间低80分钟第二种生产方式效率更高
（iv）茎叶图知：第种生产方式工完成生产务需时间分布茎8关茎8致呈称分布第二种生产方式工完成生产务需时间分布茎7关茎7致呈称分布两种生产方式工完成生产务需时间分布区间相认第二种生产方式完成生产务需时间第种生产方式完成生产务需时间更少第二种生产方式效率更高
出4种理考生答出中意种合理理均分
（2）茎叶图知
列联表：
超
超
第种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
（3）99握认两种生产方式效率差异
结：题考查茎叶图独立性检验考察学生计算力分析问题力贴生活．
56．（1）直方图见解析（2）（3）
分析
（1）根题中节水龙头天日水量频数分布表算出落相应区间频率助直方图中长方形面积表示落相应区间频率确定出应矩形高直方图
（2）结合直方图算出日水量矩形面积总求频率
（3）根组中值相应频率作求天日水量均值作差天年节约水少求结果
解析
（1）频率分布直方图图示：
（2）根数该家庭节水龙头天日水量频率
该家庭节水龙头日水量概率估计值
（3）该家庭未节水龙头天日水量均数
．
该家庭节水龙头50天日水量均数．
估计节水龙头年节省水．
结
该题考查关统计问题涉知识点频率分布直方图绘制利频率分布直方图计算变量落相应区间概率利频率分布直方图求均数解题程中需认真审题细心运算仔细求解出正确结果
57．（1）利模型①预测值2261利模型②预测值2565（2）利模型②预测值更．
解析
分析：（1）两回直线方程中参数分求变量2018时应函数值结果（2）根折线图知2000200920102016两明显区直线20102016增幅明显高20002009高模型1增幅模型2更较2018预测
解析：（1）利模型①该区2018年环境基础设施投资额预测值
–304+135×192261（亿元）．
利模型②该区2018年环境基础设施投资额预测值
99+175×92565（亿元）．
（2）利模型②预测值更．
理：
（i）折线图出2000年2016年数应点没机散布直线y–304+135t说明利2000年2016年数建立线性模型①描述环境基础设施投资额变化趋势．2010年相2009年环境基础设施投资额明显增加2010年2016年数应点位条直线附说明2010年开始环境基础设施投资额变化规律呈线性增长趋势利2010年2016年数建立线性模型99+175t较描述2010年环境基础设施投资额变化趋势利模型②预测值更．
（ii）计算结果相2016年环境基础设施投资额220亿元模型①预测值2261亿元增幅明显偏低利模型②预测值增幅较合理说明利模型②预测值更．
结：已知回直线方程直接数值代入求特定求预测值回直线方程定参数根回直线方程恒点求参数
58．（Ⅰ）甲乙丙三部门员工中分抽取322．（Ⅱ）（i）答案见解析（ii）．
解析
分析：（Ⅰ）分层抽样概念知应甲乙丙三部门员工中分抽取322．
（Ⅱ）（i）机变量X取值0123．分布列超分布P（Xk）（k0123）．求解分布列计算相应数学期．
（ii）题意结合题意互斥事件概率公式事件A发生概率．
解析：（Ⅰ）已知甲乙丙三部门员工数3∶2∶2
采分层抽样方法中抽取7
应甲乙丙三部门员工中分抽取322．
（Ⅱ）（i）机变量X取值0123．
P（Xk）（k0123）．
机变量X分布列
X
0
1
2
3
P
机变量X数学期．
（ii）设事件B抽取3中睡眠充足员工1睡眠足员工2
事件C抽取3中睡眠充足员工2睡眠足员工1
AB∪CBC互斥
（i）知P(B)P(X2)P(C)P(X1)
P(A)P(B∪C)P(X2)+P(X1)．
事件A发生概率．
结：题考查超分布分层抽样超分布描述放回抽样问题机变量抽某类体数．超分布特征：①考查象分两类②已知类象数③中抽取干体考查某类体数X概率分布超分布抽检产品摸类球等概率模型实质古典概型．进行分层抽样相关计算时常利关系式巧解：(1) (2)总体中某两层体数＝样中两层抽取体数．
59．（1）（2）（i）（ii）应该余产品作检验
分析
（1）利独立重复实验成功次数应概率求求导利导数相应区间符号确定单调性值点里注意条件
（2）先根第问条件确定出解（i）时候先求件数应期应变量间关系求赔偿费期解（ii）时候通较两期结果
解析
（1）件产品中恰件合格品概率
令时时
值点
（2）（1）知
（i）令表示余件产品中合格品件数题意知
（ii）果余产品作检验箱产品需检验费400元
应该余产品作检验
结
该题考查关机变量问题解题程中需明确独立重复试验成功次数应概率公式者函数思想研究应导数求值点做第二问时候需明确离散型机变量取值应概率应期公式求结果通期关系结
60．（1）322（2）（i）见解析（ii）
解析
分析：（Ⅰ）结合数值知应甲乙丙三年级学生志愿者中分抽取322．
（Ⅱ）（i）题意列出结果21种．
（ii）题意结合（i）中结果古典概型计算公式事件M发生概率P（M）．
解析：（Ⅰ）已知甲乙丙三年级学生志愿者数3∶2∶2采分层抽样方法中抽取7名学应甲乙丙三年级学生志愿者中分抽取322．
（Ⅱ）（i）抽出7名学中机抽取2名学结果
{AB}{AC}{AD}{AE}{AF}{AG}{BC}{BD}{BE}{BF}{BG}{CD}{CE}{CF}{CG}{DE}{DF}{DG}{EF}{EG}{FG}21种．
（ii）（Ⅰ）妨设抽出7名学中甲年级ABC乙年级DE丙年级FG抽出7名学中机抽取2名学年级结果{AB}{AC}{BC}{DE}{FG}5种．
事件M发生概率P（M）．
结：题考查机抽样列举法计算机事件含基事件数古典概型概率计算公式等基知识．考查运概率知识解决简单实际问题力．
61．（1）（2）（ⅰ）见解析（ⅱ）需
分析
（1）题知零件尺寸概率知尺寸外概率00026进求出数学期
（2）（i）判断监控生产程方法合理性重点考虑天抽取16零件中出现尺寸外零件概率合理
（ii）计算剔外数算出剩数均数估计值剔外数剩数样方差估计值
解析
（1）抽取零件尺寸概率09974
零件尺寸外概率00026
数学期
（2）（i）果生产状态正常
零件尺寸外概率00026
天抽取16零件中出现尺寸外零件
概率00408发生概率
旦发生种情况理认条生产线天生产程
出现异常情况需天生产程进行检查
见述监控生产程方法合理
（ii）
估计值估计值
样数出零件尺寸外
需天生产程进行检查
剔外数
剩数均数
估计值
剔外数
剩数样方差
估计值
结
题考查正态分布实际应离散型机变量数学期正态分布种重分布尤正态分布原审清题意细心计算属中档题
62．（1）04 （2）15 （3）3∶2
分析
（1）根频率分布直方图求出样中分数70频率频率估计概率值
（2）计算样中分数50频率频数估计总体中分数区间数
（3）题意计算样中分数70学生数男生女生数求男生女生数例．
解析
解：（1）根频率分布直方图知样中分数70频率(002＋004)×10＝06
样中分数70频率1－06＝04．
总体300名学生中机抽取分数70概率估计值04．
（2）根题意样中分数50频率 (001＋002＋004＋002)×10＝09
样中分数50频率01
分数区间[4050)数100×01－5＝5．
总体中分数区间[4050)数估计．
（3）题意知样中分数70学生数
(002＋004)×10×100＝60
样中分数70男生数．
样中男生数30×2＝60
女生数100－60＝40
男生女生数例60∶40＝3∶2．
根分层抽样原理总体中男生女生数例估计3∶2．
结
题考查频率分布直方图应问题考查分层抽样原理应问题属中档题．
63．（1）（2）见解析（3）
解析
试题分析：（1）利相互独立事件概率公式求事件A概率估计值（2）写出列联表计算观测值确定99握认箱产量养殖方法关（3）结合频率分布直方图估计中位数．
试题解析：（1）记B表示事件旧养殖法箱产量低 表示事件新养殖法箱产量低
题意知
旧养殖法箱产量低频率
估计值062
新养殖法箱产量低频率
估计值066
事件A概率估计值
（2）根箱产量频率分布直方图列联表
箱产量
箱产量
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
握认箱产量养殖方法关．
（3）新养殖法箱产量频率分布直方图中箱产量低直方图面积
箱产量低直方图面积
新养殖法箱产量中位数估计值
．
结（1）利独立性检验够帮助日常生活中实际问题作出合理推断预测．独立性检验考察两分类变量否关系较准确出种判断信度机变量观测值值越说明两变量关系性越．
（2）利频率分布直方图求众数中位数均数时应注意三点：①高长方形底边中点横坐标众数②中位数左边右边长方形面积相等③均数频率分布直方图重心等频率分布直方图中长方形面积长方形底边中点横坐标．
64．（1）．（2）．
分析
（1）前三年六月份天高气温数求出高气温位区间[2025）高气温低20天数求出六月份种酸奶天需求量超300瓶概率．
（2）温度等25℃时需求量500求出Y＝900元温度[2025）℃时需求量300求出Y＝300元温度低20℃时需求量200求出Y＝﹣100元温度等20时Y＞0估计估计Y零概率．
解析
解：（1）前三年六月份天高气温数
高气温位区间[2025）高气温低20天数2+16+36＝54
根年销售验天需求量天高气温（单位：℃）关．
果高气温低25需求量500瓶
果高气温位区间[2025）需求量300瓶
果高气温低20需求量200瓶
∴六月份种酸奶天需求量超300瓶概率p．
（2）温度等25℃时需求量500
Y＝450×2＝900元
温度[2025）℃时需求量300
Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元
温度低20℃时需求量200
Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元
温度等20时Y＞0
前三年六月份天高气温数温度等20℃天数：
90﹣（2+16）＝72
∴估计Y零概率P．
结
题考查概率求法考查利润取值求法考查函数古典概型等基础知识考查推理证力运算求解力空间想象力考查数形结合思想化转化思想中档题．
65．(1)见解析（2）
解析
试题分析：表示辆车甲乙遇红灯数 取值0123分求出相应概率值列出机变量分布列计算数学期表示第辆车遇红灯数表示第二辆车遇红灯数2辆车遇1红灯包括第辆遇1次红灯第2辆没遇第辆没遇红灯第2辆遇1次红灯两事件概率
试题解析：（Ⅰ）解：机变量取值0123
机变量分布列
0
1
2
3
机变量数学期
（Ⅱ）解：设表示第辆车遇红灯数表示第二辆车遇红灯数求事件概率
2辆车遇1红灯概率
考点离散型机变量概率分布列数学期
名师结求离散型机变量概率分布列问题首先清楚离散型机变量取值？机变量取值时应事件概率少计算出概率值列出离散型机变量概率分布列数学期公式计算出数学期列出离散型机变量概率分布列计算数学期理科高考数学必考问题
66．（1） （2）见解析
解析
（I）记接受甲种心理暗示志愿者中包含包含事件M计算
(II)题意知X取值：利超分布概率计算公式
X分布列
X
0
1
2
3
4
P
进步计算X数学期
试题解析：（I）记接受甲种心理暗示志愿者中包含包含事件M
(II)题意知X取值：
X分布列
X
0
1
2
3
4
P
X数学期
名师结题考查古典概型概率公式超分布概率计算公式机变量分布列数学期解答题首先准确确定研究象基事件空间基事件数利超分布概率公式题属中等难度题目计算量考查考生数学应意识基运算求解力等
67．（1） （2）
解析
试题分析：利列举法试验含基事件列举出然求出事件A中基事件数利公式P(A)＝求出事件A概率
试题解析：
（Ⅰ）题意知6国家中选两国家切结果组成基事件：
选两国家亚洲国家事件包含基事件：
求事件概率：
（Ⅱ）亚洲国家欧洲国家中选切结果组成基事件：
包含包括事件包含基事件：
求事件概率：
考点古典概型
名师结(1)事件A概率计算关键分清基事件总数n事件A包含基事件数m必须解决三方面问题：第试验否等第二试验基事件数少第三事件A什包含基事件少(2)果基事件数较少列举法古典概型试验包含基事件列举出然求出事件A中基事件数利公式P(A)＝求出事件A概率形象直观方法列举时必须某序做重漏
68．（1）03（2）见解析（3）服药者指标数方差未服药者指标数方差
解析
（Ⅰ）图知服药50名患者中指标值6015
服药50名患者中机选出指标值60概率
（Ⅱ）图知ABCD四中指标值172：AC
取值012
分布列
0
1
2
期
（Ⅲ）100名患者中服药者指标数方差未服药者指标数方差
名师结
求分布列三种方法：
（1）统计数离散型机变量分布列
（2）古典概型求出离散型机变量分布列
（3）互斥事件概率相互独立事件时发生概率n次独立重复试验k次发生概率求离散型机变量分布列．
69．（1）062（2）99握 （3）新养殖法优旧养殖法
解析
试题分析：
(1)频率似概率值计算旧养殖法箱产量低50kg频率062事件A概率估计值062
(2)题意完成列联表计算K2观测值k＝≈15705＞663599握认箱产量养殖方法关．
(3)箱产量频率分布直方图表明：新养殖法箱产量较高稳定新养殖法优旧养殖法．
试题解析：
(1)旧养殖法箱产量低50kg频率
(0012＋0014＋0024＋0034＋0040)×5＝062
事件A概率估计值062
(2)根箱产量频率分布直方图列联表
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
K2观测值k＝≈15705
15705＞663599握认箱产量养殖方法关．
(3) 频率分布直方图：
旧养殖法100网箱产量均数1＝（275×0012+325×0014+375×0024+425×0034+475×0040+525×0032+575×0032+625×0012+675×0012）×5
＝5×942＝471
新养殖法100网箱产量均数2＝（375×0004+425×0020+475×0044+525×0054+575×0046+625×0010+675×0008）×5＝5×1047＝5235
较：12
新养殖法更加优旧养殖法．
结：利频率分布直方图求众数中位数均数时应注意三点：①高长方形底边中点横坐标众数②中位数左边右边长方形面积相等③均数频率分布直方图重心等频率分布直方图中长方形面积长方形底边中点横坐标独立性检验出结带概率性质说结成立概率完全肯定结出现界值表分析问题时定注意点某问题确定性结否统计计算结果作出错误解释．
70．（1）（2）见解析
解析
试题分析：（1）根条件先确定总事件数编号2抽屉放黑球事件数根古典概型概率公式求概率（2）先确定取出黑球抽屉编号倒数应概率根数学期公式利性质进行放缩变形：利组合数性质化简结．
试题解析：解(1) 编号2抽屉放黑球概率
(2) 机变量 X 概率分布
X
…
…
P
…
…
机变量 X 期：
结求解离散型机变量数学期般步骤：
（1）判断取值判断机变量取值取值表示意义
（2）探求概率利排列组合枚举法概率公式(常见古典概型公式概型公式互斥事件概率公式独立事件概率积公式立事件概率公式等)求出机变量取值时概率
（3）写分布列规范形式写出分布列注意分布列性质检验求分布列某事件概率否正确
（4）求期值般利离散型机变量数学期定义求期值实际问题中机变量果够断定服某常见典型分布(二项分布)机变量期直接利种典型分布期公式()求．应熟记常见典型分布期公式加快解题速度．
71．1
分析
根古典概型概率公式列式求值根机变量分布列求出．
解析
．
．
答案：1．
72．
分析
先确定应事件求应概率结果第二空先确定机变量求应概率根数学期公式求结果
解析
应事件第次红球第次绿球第二次红球
机变量
答案：
结
题考查古典概型概率互斥事件概率加法公式数学期考查基分析求解力属基础题
73．Q1 p2
解析
试题分析：作图中点坐标中点坐标Q1Q2Q3中
分作关原点称点较直线斜率（第i名工天中均时加工零件数）p1p2p3中
考点图象应实际应问题
名师结题考查根实际问题分析解决问题力转化化力第名工加工总零件数较总零件数转化较表示中点连线坐标第二问转化中点原点连线斜率
74．
分析
根相互独立事件时发生概率关系求出两球落入盒子概率理求两球落入盒子概率进求出少球落入盒子概率
解析
甲乙两球落入盒子概率分
两球否落入盒子互影响
甲乙落入盒子概率
甲乙两球落入盒子概率
甲乙两球少落入盒子概率
答案：
结
题考查独立事件时发生概率利立事件求概率属基础题
75．2
分析
根均数公式进行求解．
解析
∵数均数4
∴
答案：2
结
题考查均数计算应较基础．
76．
分析
分求出基事件总数点数5种数根概率公式解答．
解析
根题意基事件数总
点数5基事件4
∴出现点数5概率
答案：
结
题考查概率求法考查古典概型列举法等基础知识考查运算求解力基础题．
77．0．98
分析
题考查通统计数进行概率估计采取估算法利概率思想解题．
解析
题意停该高铁站列车正点数约中高铁数10+20+1040该站高铁均正点率约．
结
题考点概率统计渗透数处理数学运算素养．侧重统计数概率估算难度．易忽视概率估算值精确值失误根分类抽样统计数估算出正点列车数量列车总数值．
78．196
分析
根二项分布公式结果
解析
放回抽样二项分布填196
结
题考查离散型机变量方差求法考查二项分布性质等基础知识考查运算求解力考查函数方程思想基础题．
79．196
分析
根二项分布公式结果
解析
放回抽样二项分布填196
结
题考查离散型机变量方差求法考查二项分布性质等基础知识考查运算求解力考查函数方程思想基础题．
80．
解析
根概型概率计算公式概率答案
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