章复提升
易混易错练
易错点1 误等式性质
1()已知π2≤α<β≤π2求α+β2αβ2取值范围
2(2021福建莆田仙游中高月考)已知1<2a+b<23易错
易错点2 解元二次等式时忽略二次项系数符号
3()设m+n>0关x等式(mx)(n+x)>0解集 ( )
A{x|xm} B{x|nC{x|xn} D{x|m4(2021安徽六安中高段考)设函数f(x)kx26kx+k+8
(1)f(x)>0解集(17)求实数k值
(2)解关x等式f(x)>x+k+2
易错
易错点3 分式等式中忽略分母等0
5()等式x+1(x1)2≥0解集 ( )
A{x|x≥1} B{x|1≤x≤1}
C{x|x≥1x≠1} D{x|x≥1x≤1}
6()解等式axx+1≤0(a∈R)
易错点4 忽视基等式中等号成立条件致错
7()已知正数ab满足a+2b12a+3b值( )
A83 B8+43
C8+23 D20
8()已知正实数ab满足a+b1求a+1a2+b+1b2值
易错
思想方法练
函数方程思想
1()关x等式x2+ax2>0区间[15]解实数a取值范围 ( )
A235+∞ B2351
C(1+∞) D(∞1)
2()已知等式1n+1+1n+2+1n+3+…+12n>112·log12(a1)+23切1然数n成立求实数a取值范围
深度解析
二分类讨思想
3(2021北京房山高期中)已知关x等式x2(a+2)x<2a解集M
(1)a1时求M
(2)a∈R时求M
4()解关x等式ax22≥2xax(a∈R)
深度解析
三数形结合思想
5()已知实数xy满足xy2≤0x+2y5≥0y2≤0zx2xy+y2xy值
6()实数xy满足2x+y2≥0y≤3axya≤0x2+y2值34正数a值
7()某家具厂方木料90m3五合板600m2准备加工成书桌书橱出售已知生产张书桌需方木料01m3五合板2m2生产书橱需方木料02m3五合板1m2出售张书桌获利润80元出售书橱获利润120元果安排生产书桌获利润少果安排生产书橱获利润少样安排生产利润
深度解析
答案全解全析
章复提升
易混易错练
1解析 π2≤α<β≤π2
π4≤α2<π4①
π4<β2≤π4②
π4≤β2<π4③
①+②π2<α+β2<π2
①+③π2≤αβ2<π2
α<βαβ<0
π2≤αβ2<0
2解析 令5a+bλ(2a+b)+μ(ab)(2λ+μ)a+(λμ)bλμ∈R
∴2λ+μ5λμ1解λ2μ1
∴5a+b2(2a+b)+(ab)
∵1<2a+b<2∴2<2(2a+b)<4
3∴5a+b取值范围(18)
易错警示
等式加性逆次等式加性求解时导致求代数式范围实际范围避免出错方法先采定系数法求式子已知取值范围式子线性组合表示出然等式性质求解
3B 首先原等式化(xm)(x+n)<0
m+n>0知m>n
原等式解集{x|n选B
4解析 (1)f(x)>0解集(17)kx26kx+k+80两根17
k<07k+8k解k1
(2)等式f(x)>x+k+2
kx26kx+k+8>x+k+2
kx2(6k+1)x+6>0
(kx1)(x6)>0
k0时等式(x6)>0解集(∞6)
k<0时等式x1k(x6)<0解集1k6
k>0时等式x1k(x6)>0
0k16解集{x|x≠6}
k>16解集∞1k∪(6+∞)
易错警示
含参数元二次等式常方式分类讨
(1)二次项系数常数先考虑分解式参数进行讨易分解式判式进行分类讨
(2)二次项系数参数应先考虑二次项系数零便确定解集形式
(3)相应方程根进行讨较写出解集
5C (x1)2≥0原等式等价x+1≥0x1≠0
x≥1x≠1选C
6解析 ∵axx+1≤0∴ax(x+1)≤0x+1≠0a>0时ax(x+1)≤0x+1≠0
∴x(x+1)≤0x+1≠0∴1∴原等式解集{x|1a0时原等式解集{x|x∈Rx≠1}
a<0时ax(x+1)≤0x+1≠0
∴x(x+1)≥0x+1≠0∴x<1x≥0
∴原等式解集{x|x<1x≥0}
综知a>0时原等式解集{x|17B a+2b12a+3b(a+2b)·2a+3b8+4ba+3ab≥8+24ba×3ab8+43仅4ba3abb32a时取等号
a+2b1仅a312b334时取等号选B
8解析 题a+1a2+b+1b2a2+b2+1a2+1b2+4(a2+b2)1+1a2b2+4[(a+b)22ab]1+1a2b2+4(12ab)·1+1a2b2+4
a+b1ab≤a+b2214仅ab12时等号成立
12ab≥112121a2b2≥16
a+1a2+b+1b2≥12×(1+16)+4252
a+1a2+b+1b2值252
易错警示
次应基等式求值时注意等式取等号条件否致时取等号试着原式进行适拆分合直时取等号止
思想方法练
1A 原等式变形a>x2+2xx+2x设yx+2xyx+2x区间[15]减函数x1时yx+2x值1x5时yx+2x值235
构造关x函数利函数单调性求值
题目存性问题a>235选A
2解析 令f(n)1n+1+1n+2+…+12n(n≥2n∈N+)
构造函数f(n)问题转化函数值求解
f(n+1)1n+2+…+12n+12n+1+12n+2
∵f(n+1)f(n)12n+1+12n+21n+112n+112n+21(2n+1)(2n+2)>0
∴f(n+1)>f(n)∴f(n)单调递增函数
∵n≥2∴f(n)值f(2)712
题意知712>112log12(a1)+23
∴log12(a1)<1∴a1>2∴a>3
∴实数a取值范围(3+∞)
思想方法
函数思想指联系变化观点分析问题通函数形式问题中数量关系表示出运函数概念图性质等问题加研究问题解决方程思想指问题中条件转化应方程(组)通解方程(组)方程讨问题解决章中常利二次函数二次方程二次等式三二次间关系解元二次等式通构造函数解决等式恒成立解问题通构造方程解决线性规划中含参问题函数方程思想具体体现
3解析 (1)a1时等式x2x<2整理x2x2<0(x2)(x+1)<0解集M(12)
(2)a∈R时x2(a+2)x<2a整理x2(a+2)x+2a<0(x2)(xa)<0
a2时(x2)2<0解集M⌀
a>2时解集M(2a)
a<2时解集M(a2)
a2进行分类讨解集
4解析 原等式变形ax2+(a2)x2≥0(a∈R)
二次项系数a参数a0进行分类讨
(1)a0时原等式解集{x|x≤1}
(2)a≠0时原等式变形(ax2)·(x+1)≥0方程(ax2)(x+1)0解x12ax21
a≠0时a>0a<0次分类讨
①a>0时2a>1时原等式解集xx≥2ax≤1
②a<0时分三种情况
2a2时原等式解集{x|x1}
a<2时2a>1时原等式解集x1≤x≤2a
综a0时原等式解集{x|x≤1}
a>0时原等式解集xx≥2ax≤1
2a2时原等式解集{x|x1}
a<2时原等式解集x1≤x≤2a
思想方法
分类讨种重数学思想章中解含参数等式时必须注意参数取值范围范围参数进行分类讨讨时注意重漏
5答案 73
解析 画出行域图中阴影部分示
题zx2xy+y2xyxy+yx1
图知yxy0x0∈[kOCkOA]132令tyxzt+1t1t∈132∴z(1)≤z≤z131≤z≤73z值73
yx视直线斜率数形结合直观t
取值范围
6答案 34
解析 面直角坐标系中画出已知等式组表示面区域(图中阴影部分)
中直线axya0(a>0)位置确定定点A(10)斜率a(a>0)x2+y2(x2+y2)2x2+y2值34面区域MPA中点原点距离等34
x2+y2意义入手求解体现数形结合数学思想
y32x+y20解x12y3M123OM14+9<34点P原点距离y3axya0解x3a+1y3P3a+133a+12+934解a34a12(舍)
7解析 (1)安排生产书桌时90÷01900600÷2300
生产书桌300张完五合板时获利润80×30024000(元)
(2)安排生产书橱时90÷02450600÷1600生产书橱450完方木料时获利润120×45054000(元)
(3)安排生产书桌安排生产书橱设安排生产书桌x张安排生产书橱y获利润z元01x+02y≤902x+y≤600x≥0x∈Ny≥0y∈N
目标函数z80x+120y作出行域图中阴影部分示(整点)作直线l80x+120y02x+3y0直线l右移l点B时z取值
解方程组01x+02y902x+y600优解x100y400
时zmax80×100+120×40056000
结合约束条件画出行域形助数
综述果安排生产书桌获利润24000元果安排生产书橱获利润54000元安排生产书桌100张书橱400时刚完方木料五合板时获利润利润56000元
思想方法
数形结合思想方法章中常解等式线性规划等问题
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易混易错练
易错点1 误等式性质
1()已知π2≤α<β≤π2求α+β2αβ2取值范围
2(2021福建莆田仙游中高月考)已知1<2a+b<23
易错点2 解元二次等式时忽略二次项系数符号
3()设m+n>0关x等式(mx)(n+x)>0解集 ( )
A{x|x
(1)f(x)>0解集(17)求实数k值
(2)解关x等式f(x)>x+k+2
易错
易错点3 分式等式中忽略分母等0
5()等式x+1(x1)2≥0解集 ( )
A{x|x≥1} B{x|1≤x≤1}
C{x|x≥1x≠1} D{x|x≥1x≤1}
6()解等式axx+1≤0(a∈R)
易错点4 忽视基等式中等号成立条件致错
7()已知正数ab满足a+2b12a+3b值( )
A83 B8+43
C8+23 D20
8()已知正实数ab满足a+b1求a+1a2+b+1b2值
易错
思想方法练
函数方程思想
1()关x等式x2+ax2>0区间[15]解实数a取值范围 ( )
A235+∞ B2351
C(1+∞) D(∞1)
2()已知等式1n+1+1n+2+1n+3+…+12n>112·log12(a1)+23切1然数n成立求实数a取值范围
深度解析
二分类讨思想
3(2021北京房山高期中)已知关x等式x2(a+2)x<2a解集M
(1)a1时求M
(2)a∈R时求M
4()解关x等式ax22≥2xax(a∈R)
深度解析
三数形结合思想
5()已知实数xy满足xy2≤0x+2y5≥0y2≤0zx2xy+y2xy值
6()实数xy满足2x+y2≥0y≤3axya≤0x2+y2值34正数a值
7()某家具厂方木料90m3五合板600m2准备加工成书桌书橱出售已知生产张书桌需方木料01m3五合板2m2生产书橱需方木料02m3五合板1m2出售张书桌获利润80元出售书橱获利润120元果安排生产书桌获利润少果安排生产书橱获利润少样安排生产利润
深度解析
答案全解全析
章复提升
易混易错练
1解析 π2≤α<β≤π2
π4≤α2<π4①
π4<β2≤π4②
π4≤β2<π4③
①+②π2<α+β2<π2
①+③π2≤αβ2<π2
α<βαβ<0
π2≤αβ2<0
2解析 令5a+bλ(2a+b)+μ(ab)(2λ+μ)a+(λμ)bλμ∈R
∴2λ+μ5λμ1解λ2μ1
∴5a+b2(2a+b)+(ab)
∵1<2a+b<2∴2<2(2a+b)<4
3
易错警示
等式加性逆次等式加性求解时导致求代数式范围实际范围避免出错方法先采定系数法求式子已知取值范围式子线性组合表示出然等式性质求解
3B 首先原等式化(xm)(x+n)<0
m+n>0知m>n
原等式解集{x|n
4解析 (1)f(x)>0解集(17)kx26kx+k+80两根17
k<07k+8k解k1
(2)等式f(x)>x+k+2
kx26kx+k+8>x+k+2
kx2(6k+1)x+6>0
(kx1)(x6)>0
k0时等式(x6)>0解集(∞6)
k<0时等式x1k(x6)<0解集1k6
k>0时等式x1k(x6)>0
0
k>16解集∞1k∪(6+∞)
易错警示
含参数元二次等式常方式分类讨
(1)二次项系数常数先考虑分解式参数进行讨易分解式判式进行分类讨
(2)二次项系数参数应先考虑二次项系数零便确定解集形式
(3)相应方程根进行讨较写出解集
5C (x1)2≥0原等式等价x+1≥0x1≠0
x≥1x≠1选C
6解析 ∵axx+1≤0∴ax(x+1)≤0x+1≠0a>0时ax(x+1)≤0x+1≠0
∴x(x+1)≤0x+1≠0∴1
a<0时ax(x+1)≤0x+1≠0
∴x(x+1)≥0x+1≠0∴x<1x≥0
∴原等式解集{x|x<1x≥0}
综知a>0时原等式解集{x|1
a+2b1仅a312b334时取等号选B
8解析 题a+1a2+b+1b2a2+b2+1a2+1b2+4(a2+b2)1+1a2b2+4[(a+b)22ab]1+1a2b2+4(12ab)·1+1a2b2+4
a+b1ab≤a+b2214仅ab12时等号成立
12ab≥112121a2b2≥16
a+1a2+b+1b2≥12×(1+16)+4252
a+1a2+b+1b2值252
易错警示
次应基等式求值时注意等式取等号条件否致时取等号试着原式进行适拆分合直时取等号止
思想方法练
1A 原等式变形a>x2+2xx+2x设yx+2xyx+2x区间[15]减函数x1时yx+2x值1x5时yx+2x值235
构造关x函数利函数单调性求值
题目存性问题a>235选A
2解析 令f(n)1n+1+1n+2+…+12n(n≥2n∈N+)
构造函数f(n)问题转化函数值求解
f(n+1)1n+2+…+12n+12n+1+12n+2
∵f(n+1)f(n)12n+1+12n+21n+112n+112n+21(2n+1)(2n+2)>0
∴f(n+1)>f(n)∴f(n)单调递增函数
∵n≥2∴f(n)值f(2)712
题意知712>112log12(a1)+23
∴log12(a1)<1∴a1>2∴a>3
∴实数a取值范围(3+∞)
思想方法
函数思想指联系变化观点分析问题通函数形式问题中数量关系表示出运函数概念图性质等问题加研究问题解决方程思想指问题中条件转化应方程(组)通解方程(组)方程讨问题解决章中常利二次函数二次方程二次等式三二次间关系解元二次等式通构造函数解决等式恒成立解问题通构造方程解决线性规划中含参问题函数方程思想具体体现
3解析 (1)a1时等式x2x<2整理x2x2<0(x2)(x+1)<0解集M(12)
(2)a∈R时x2(a+2)x<2a整理x2(a+2)x+2a<0(x2)(xa)<0
a2时(x2)2<0解集M⌀
a>2时解集M(2a)
a<2时解集M(a2)
a2进行分类讨解集
4解析 原等式变形ax2+(a2)x2≥0(a∈R)
二次项系数a参数a0进行分类讨
(1)a0时原等式解集{x|x≤1}
(2)a≠0时原等式变形(ax2)·(x+1)≥0方程(ax2)(x+1)0解x12ax21
a≠0时a>0a<0次分类讨
①a>0时2a>1时原等式解集xx≥2ax≤1
②a<0时分三种情况
2
a<2时2a>1时原等式解集x1≤x≤2a
综a0时原等式解集{x|x≤1}
a>0时原等式解集xx≥2ax≤1
2
a<2时原等式解集x1≤x≤2a
思想方法
分类讨种重数学思想章中解含参数等式时必须注意参数取值范围范围参数进行分类讨讨时注意重漏
5答案 73
解析 画出行域图中阴影部分示
题zx2xy+y2xyxy+yx1
图知yxy0x0∈[kOCkOA]132令tyxzt+1t1t∈132∴z(1)≤z≤z131≤z≤73z值73
yx视直线斜率数形结合直观t
取值范围
6答案 34
解析 面直角坐标系中画出已知等式组表示面区域(图中阴影部分)
中直线axya0(a>0)位置确定定点A(10)斜率a(a>0)x2+y2(x2+y2)2x2+y2值34面区域MPA中点原点距离等34
x2+y2意义入手求解体现数形结合数学思想
y32x+y20解x12y3M123OM14+9<34点P原点距离y3axya0解x3a+1y3P3a+133a+12+934解a34a12(舍)
7解析 (1)安排生产书桌时90÷01900600÷2300
生产书桌300张完五合板时获利润80×30024000(元)
(2)安排生产书橱时90÷02450600÷1600生产书橱450完方木料时获利润120×45054000(元)
(3)安排生产书桌安排生产书橱设安排生产书桌x张安排生产书橱y获利润z元01x+02y≤902x+y≤600x≥0x∈Ny≥0y∈N
目标函数z80x+120y作出行域图中阴影部分示(整点)作直线l80x+120y02x+3y0直线l右移l点B时z取值
解方程组01x+02y902x+y600优解x100y400
时zmax80×100+120×40056000
结合约束条件画出行域形助数
综述果安排生产书桌获利润24000元果安排生产书橱获利润54000元安排生产书桌100张书橱400时刚完方木料五合板时获利润利润56000元
思想方法
数形结合思想方法章中常解等式线性规划等问题
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