§28 函数模型应
考试求 1解指数函数数函数幂函数增长特征结合具体实例体会直线升指数增长数增长等函数类型增长含义2解函数模型(指数函数数函数幂函数分段函数等社会生活中普遍函数模型)广泛应．
1．类函数模型
函数模型
函数解析式
次函数模型
f(x)＝ax＋b(ab常数a≠0)
反例函数模型
f(x)＝＋b(kb常数k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(abc常数a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(abc常数b≠0a>0a≠1)
数函数模型
f(x)＝blogax＋c(abc常数b≠0a>0a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b (ab常数a≠0)
2三种函数模型性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
(0＋∞) 增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越越快
越越慢
相稳
图象变化
x增逐渐表现y轴行
x增逐渐表现x轴行
n值变化
值较
存x0x>x0时logax
微思考
解函数应题般步骤什？
提示 解函数应题步骤
题组 思考辨析
1．判断列结否正确(请括号中√×)
(1)某种商品进价件100元进价增加10出售库存积压降价九折出售件获利．( × )
(2)函数y＝2x函数值y＝x2函数值．( × )
(3)(0＋∞)着x增y＝ax(a>1)增长速度会超远远y＝xa(a>0)y＝logax(a>1)增长速度．( √ )
(4)选择实际问题函数模型时必须数完全符合该函数模型．( × )
题组二 教材改编
2．某物理实验中测变量x变量y组数表：
x
050
099
201
398
y
－099
－001
098
200
xy适合拟合函数( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
答案 D
解析 根x＝050y＝－099代入计算排A根x＝201y＝098代入计算排BC数代入函数y＝log2x知满足题意．
3．已知某物体温度Q(单位：摄氏度)时间t(单位：分钟)变化规律Q＝m·2t＋21－t(t≥0m>0)．物体温度总低2摄氏度m取值范围________．
答案
解析 题意m·2t＋21－t≥2恒成立(t≥0m>0)
m·2t＋21－t≥2∴2≥2∴m≥
4．长度24材料围矩形场中间加两道隔墙矩形面积隔墙长度________．
答案 3
解析 设隔墙长度x(0y＝x×＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18
∴x＝3时y．
题组三 易错纠
5．生物死亡体原碳14含量约5 730年衰减原半时间称半衰期．死亡生物体碳14含量足死亡前千分时般放射性探测器测．某死亡生物体碳14该放射性探测器探测半衰期数少( )
A．8 B．9 C．10 D．11
答案 C
解析 设该死亡生物体原碳14含量1n半衰期含量nn某死亡生物体碳14该放射性探测器探测少需10半衰期．
6．某物体天中温度T关时间t函数T＝t3－3t＋60时间单位时温度单位℃t＝0时表示中午12∶00t值正午8时该物体温度________．
答案 8℃
解析 题意知午8时t＝－4
求温度T＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8℃
题型 函数图象刻画变化程
1高H满缸水量V鱼缸轴截面图示底部破洞满缸水洞中流出鱼缸水深h时水体积v函数v＝f(h)致图象( )
答案 B
解析 v＝f(h)增函数曲线斜率应该先变变选B
2．(2020·全国Ⅰ)某校课外学组研究某作物种子发芽率y温度x(单位：℃)关系20温度条件进行种子发芽实验实验数(xiyi)(i＝12…20)面散点图：
散点图10℃40℃间面四回方程类型中适宜作发芽率y温度x回方程类型( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x
答案 D
解析 散点图出点致分布数型函数图象附．
3．设甲乙两距离a(a>0)王骑行车匀速甲乙20分钟乙休息10分钟匀速乙返回甲30分钟王出发返回原路程y时间x函数图象( )
答案 D
解析 y王出发返回原路程位移排AC王乙休息10分钟排B选D
思维升华 判断函数图象实际问题变化程相吻合两种方法
(1)构建函数模型法：根题意易构建函数模型时先建立函数模型结合模型选图象．
(2)验证法：根实际问题中两变量变化快慢等特点结合图象变化趋势验证否吻合中排符合实际情况选择出符合实际情况答案．
题型二 已知函数模型实际问题
例1 王学毕业决定利学专业进行创业．市场调查生产某型电子产品需投入年固定成3万元生产x万件需投入流动成W(x)万元年产量足8万件时W(x)＝x2＋x(万元)．年产量8万件时W(x)＝6x＋－38(万元)．件产品售价5元．通市场分析王生产商品年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关年产量x(万件)函数解析式(注：年利润＝年销售收入－固定成－流动成)
(2)年产量少万件时王商品生产中获利润？利润少？
解 (1)件产品售价5元
x万件产品销售收入5x万元．
0L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3
x≥8时
L(x)＝5x－－3＝35－
L(x)＝
(2)0L(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－6)2＋9
x＝6时L(x)取值L(6)＝9(万元)
x≥8时L(x)＝35－≤35－2＝15(万元)
综年产量10万件时王商品生产中获利润利润15万元．
思维升华 求解已知函数模型解决实际问题关键
(1)认清函数模型弄清量定系数．
(2)根已知利定系数法确定模型中定系数．
(3)利该函数模型助函数性质导数等求解实际问题进行检验．
踪训练1 某西红柿市通市场调查西红柿种植成Q(单位：元100 kg)市时间t(单位：天)数表：
时间t
60
100
180
种植成Q
116
84
116
根表数列函数中选取函数描述西红柿种植成Q市时间t变化关系：
Q＝at＋bQ＝at2＋bt＋cQ＝a·btQ＝a·logbt
利选取函数求：
(1)西红柿种植成低时市天数________
(2)低种植成________元100 kg
答案 (1)120 (2)80
解析 着时间增加种植成先减少增加t＝60t＝180时种植成相等结合题中出四种函数关系知种植成市时间变化关系应该二次函数Q＝at2＋bt＋cQ＝a(t－120)2＋m描述表中数代入
解
Q＝001(t－120)2＋80市天数120时种植成取低值80元100 kg
题型三 构造函数模型实际问题
命题点1 构造二次函数模型
例2 某城市种售价件160元商品征收附加税税率R(销售100元征税R元)年销售量万件附加税少128万元R取值范围( )
A．[48] B．[610]
C．[48] D．[610]
答案 A
解析 根题意附加税少128万元需×160×R≥128
整理R2－12R＋32≤0解4≤R≤8
R∈[48]．
命题点2 构造指数函数数函数模型
例3 片森林原面积a计划年砍伐树年砍伐面积百分相等砍伐面积半时时间10年保护生态环境森林面积少保留原面积已知年止森林剩余面积原
(1)求年砍伐面积百分
(2)年止该森林已砍伐少年？
解 (1)设年砍伐面积百分x(0a(1－x)10＝a(1－x)10＝
解x＝1－
(2)设m年剩余面积原
a(1－x)m＝a＝
＝解m＝5
年止该森林已砍伐5年．
例条件变试计算：砍伐少年？
解 设年开始砍n年
n年剩余面积a(1－x)n
令a(1－x)n≥a(1－x)n≥
≤解n≤15
砍伐15年．
命题点3 构造分段函数模型
例4 国庆期间某旅行社组团风景区旅游团数3030飞机票张收费900元团数30予优惠1机票张减少10元直达规定数75止．团飞机旅行社需付航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票价格关数函数
(2)团数少时旅行社获利润？
解 设该旅行团数x飞机票价格y元．旅行社获利润w元．
(1)①0≤x≤30时y＝900
②30综y＝
(2)0≤x≤30时w＝900x－15 000
x＝30时wmax＝900×30－15 000＝12 000(元)
30＝－10x2＋1 200x－15 000
＝－10(x－60)2＋21 000
x＝60时w21 000元
∴团数60时旅行社获利润．
素养提升 1应函数解决实际问题时需注意四步骤：
(1)审题：弄清题意分清条件结理数量关系初步选择函数模型．
(2)建模：然语言转化数学语言文字语言转化符号语言利数学知识建立相应函数模型．
(3)解模：求解函数模型出数学结．
(4)原：数学结原实际意义问题．
2．通现实问题进行数学抽象数学语言表达问题数学知识方法构建函数模型解决问题提升数学建模核心素养．
踪训练2 (1)某汽车销售公司AB两销售种品牌汽车A销售利润(单位：万元)y1＝41x－01x2B销售利润(单位：万元)y2＝2x中x销售量(单位：辆)该公司两销售16辆该种品牌汽车获利润( )
A．105万元 B．11万元 C．43万元 D．43025万元
答案 C
解析 设A销售该品牌汽车x辆B销售该品牌汽车(16－x)辆获利润
y＝41x－01x2＋2(16－x)＝－01x2＋21x＋32
＝－01(x－105)2＋01×1052＋32
x∈[016]x∈Nx＝1011时总利润取值43万元．
(2)某公司激励创新计划逐年加研发资金投入．该公司2019年全年投入研发资金130万元基础年投入研发资金年增长12该公司全年投入研发资金开始超200万元年份(参考数：lg 112≈005lg 13≈011lg 2≈030)( )
A．2020年 B．2021年
C．2022年 D．2023年
答案 D
解析 设n年资金开始超200万元
130(1＋12)n>200
两边取数n·lg112>lg 2－lg 13
n>≈＝
n∈N*n≥4
2023年开始该公司投入研发资金开始超200万元．
课时精练
1．某工厂6年生产某种产品情况：前3年年产量增长速度越越快3年年产量保持变该厂6年种产品总产量C时间t(年)函数关系图象正确( )
答案 A
解析 前3年年产量增长速度越越快说明呈高速增长AC图象符合求3年年产量保持变选A
2．某种新型材料研制中实验员获列组实验数现准备列四函数中似表示数规律中接( )
x
1992
3
4
515
6126
y
1517
4041 8
75
12
1801
Ay＝2x－2 B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x D．y＝
答案 B
解析 题表知函数(0＋∞)增函数y变化x增增越越快分析选项知B符合选B
3．某位股民购进某支股票接交易时间支股票先历n次涨停(次涨10)历n次跌停(次跌10)该股民支股票盈亏情况(考虑费)( )
A．略盈利 B．略亏损
C．没盈利没亏损 D．法判断盈亏情况
答案 B
解析 设该股民购支股票价格a元历n次涨停价格a(1＋10)n＝a×11n元历n次跌停价格a×11n×(1－10)n＝a×11n×09n＝a×(11×09)n＝099n·a4．某单位鼓励职工节约水作出规定：位职工月水超10 m3立方米m元收费水超10 m3超部分加倍收费．某职工某月缴水费16m元该职工月实际水( )
A．13 m3 B．14 m3 C．18 m3 D．26 m3
答案 A
解析 设该职工水x m3时缴纳水费y元题意y＝
10m＋(x－10)·2m＝16m解x＝13
5．某食品保鲜时间y(单位：h)储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2718…然数底数kb常数)该食品0 ℃保鲜时间192 h22 ℃保鲜时间48 h该食品33 ℃保鲜时间( )
A．22 h B．23 h C．33 h D．24 h
答案 D
解析 题意
∴e22k＝＝
∴e11k＝
∴e33k＋b＝(e11k)3·eb＝3×192＝24
6．菲学校选修课中解艾宾浩斯遗忘曲线解记忆组单词情况记录月关数绘制图象拟合记忆保持量f(x)时间x(天)间函数关系f(x)＝
列说法错误( )
A．着时间增加菲单词记忆保持量降低
B．第天菲单词记忆保持量降
C．9天菲单词记忆保持量低40
D．26天菲单词记忆保持量足20
答案 D
解析 函数解析式知f(x)着x增加减少A正确图象B正确1D错误．
7．(2020·蚌埠模拟)某种动物繁殖数量y(数量：)时间x(单位：年)关系式y＝alog2(x＋1)种动物第1年100第7年发展________．
答案 300
解析 题意知100＝alog2(1＋1)⇒a＝100
x＝7时y＝100log2(7＋1)＝300
8．市场调查某种商品50天销售量价格均销售时间t(天)函数销售量似满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50t∈N)前30天价格g(t)＝t＋30(1≤t≤30t∈N)20天价格g(t)＝45(31≤t≤50t∈N)．日销售额值________．
答案 6 400
解析 设日销售额S
1≤t≤30时S＝(－2t＋200)×
＝－t2＋40t＋6 000＝－(t－20)2＋6 400
t＝20时Smax＝6 400
31≤t≤50时S＝45(－2t＋200)＝－90t＋9 000
t＝31时Smax＝6 210
∵6 210<6 400
t＝20时日销售额值6 400
9．(2021·武汉模拟)复利种计算利息方法前期利息金加起算作金计算期利息．某学压岁钱1 000元存入银行年利率225放入微信零钱通者支付宝余额宝年利率达401果1 000元选择合适方式存满5年获利息________元．
(参考数：1022 54≈10931022 55≈11181040 15≈1217)
答案 99
解析 1 000元存入微信零钱通者支付宝余额宝选择复利计算方法存满5年息1 000×(1＋401)5≈1 217(元)利息1 217－1 000＝217(元)．1 000元存入银行存满5年息1 000×(1＋225)5≈1 118(元)获利息1 118－1 000＝118(元)．获利息217－118＝99(元)．
10．响应政府推进菜篮子工程建设号召某销商投资60万元建蔬菜生产基第年支出种费8万元年支出费年2万元年销售蔬菜收入26万元．设f(n)表示前n年纯利润第________年开始盈利．[f(n)＝前n年总收入－前n年总费支出－投资额]
答案 5
解析 题意知f(n)＝26n－－60＝－n2＋19n－60
令f(n)>0－n2＋19n－60>0解4第5年开始盈利．
11．某车库排气扇发生障情况测空气中氧化碳含量达危险状态抢修排气扇恢复正常．排气4分钟测车库氧化碳浓度64 ppm继续排气4分钟测浓度32 ppm检验知该车库氧化碳浓度y(ppm)排气时间t(分钟)间存函数关系y＝cmt(cm常数)．
(1)求cm值
(2)空气中氧化碳浓度高05 ppm正常问少排气少分钟车库中氧化碳含量达正常状态？
解 (1)题意列方程组
两式相解
(2)题意列等式≤05
≤8t≥8解t≥32
少排气32分钟车库中氧化碳含量达正常状态．
12．某家庭进行理财投资根长期收益率市场预测投资债券等稳健型产品收益投资额成正投资股票等风险型产品收益投资额算术方根成正．已知投资1万元时两类产品收益分0125万元05万元．
(1)分写出两类产品收益投资额函数关系
(2)该家庭20万元资金全部理财投资问：样分配资金投资获收益收益少万元？
解 (1)设两类产品收益投资额函数关系分f(x)＝k1xg(x)＝k2
已知f(1)＝＝k1g(1)＝＝k2
f(x)＝x(x≥0)g(x)＝(x≥0)．
(2)设投资股票类产品x万元
投资债券类产品(20－x)万元．
题意y＝f(20－x)＋g(x)＝＋＝(0≤x≤20)．
＝2x＝4时收益ymax＝3万元．
投资债券类产品16万元投资股票类产品4万元时获收益3万元．
13．(2020·皖南八校联考)某购物网站2020年11月开展全部6折促销活动11日天购物享受张订单金额(6折)满300元时减免100元．某11日天欲购入原价48元(单价)商品42件花钱总数少少需订单张数( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 花钱总数少需张订单满足张订单金额(6折)满300元时减免100元张订单折前原金额少500元．件原价48元张订单少11件42＝11×3＋9少需订单张数3
14．物体常温温度变化牛顿冷规律描述：设物体初始温度T0定时间t(单位：min)温度TT－Ta＝(T0－Ta)中Ta称环境温度h称半衰期．现杯85 ℃热水速溶咖啡放21 ℃房间中果咖啡降37 ℃需16 min杯咖啡37 ℃降29 ℃需________ min
答案 8
解析 题意知Ta＝21 ℃
令T0＝85 ℃T＝37 ℃
37－21＝(85－21)·∴h＝8
令T0＝37 ℃T＝29 ℃
29－21＝(37－21)·∴t＝8
15．李明创业网营家水果店销售水果中草莓京白梨西瓜桃价格次60元盒65元盒80元盒90元盒．增加销量李明四种水果进行促销：次购买水果总价达120元顾客少付x元．笔订单顾客网支付成功李明会支付款80
(1)x＝10时顾客次购买草莓西瓜1盒需支付________元
(2)促销活动中保证李明笔订单金额均低促销前总价七折x值________．
答案 (1)130 (2)15
解析 (1)顾客次购买草莓西瓜1盒原价应60＋80＝140(元)超120元优惠x＝10时顾客需支付140－10＝130(元)．
(2)题意知x确定顾客优惠金额固定顾客支付金额越少优惠例越．顾客想优惠少次购买2盒草莓时顾客支付金额(120－x)元(120－x)×80≥120×07x≤15x值15
16．(2020·安徽皖东名校联盟联考)某公司计划投资开发种新源产品预计获10万元～1 000万元收益．现准备制定开发科研组奖励方案奖金y(单位：万元)收益x(单位：万元)增加增加奖金总数超9万元时奖金总数超收益20
(1)建立奖励方案函数模型y＝f(x)试确定函数定义域值域范围
(2)现两奖励方案函数模型：①y＝＋2②y＝4lg x－3试分析两函数模型否符合公司求？请说明理．
解 (1)y＝f(x)定义域[101 000]值域(09]∈(002]．
(2)y＝＋2时＝＋值>02符合公司求．
y＝4lg x－3时函数定义域增函数值9
≤02知y－02x≤0
令g(x)＝4lg x－3－02xx∈[101 000]g′(x)＝<0g(x)[101 000]单调递减
g(x)≤g(10)＝－1<0
≤02
函数y＝4lg x－3符合公司求．
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考试求 1解指数函数数函数幂函数增长特征结合具体实例体会直线升指数增长数增长等函数类型增长含义2解函数模型(指数函数数函数幂函数分段函数等社会生活中普遍函数模型)广泛应．
1．类函数模型
函数模型
函数解析式
次函数模型
f(x)＝ax＋b(ab常数a≠0)
反例函数模型
f(x)＝＋b(kb常数k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(abc常数a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(abc常数b≠0a>0a≠1)
数函数模型
f(x)＝blogax＋c(abc常数b≠0a>0a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b (ab常数a≠0)
2三种函数模型性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
(0＋∞) 增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越越快
越越慢
相稳
图象变化
x增逐渐表现y轴行
x增逐渐表现x轴行
n值变化
值较
存x0x>x0时logax
微思考
解函数应题般步骤什？
提示 解函数应题步骤
题组 思考辨析
1．判断列结否正确(请括号中√×)
(1)某种商品进价件100元进价增加10出售库存积压降价九折出售件获利．( × )
(2)函数y＝2x函数值y＝x2函数值．( × )
(3)(0＋∞)着x增y＝ax(a>1)增长速度会超远远y＝xa(a>0)y＝logax(a>1)增长速度．( √ )
(4)选择实际问题函数模型时必须数完全符合该函数模型．( × )
题组二 教材改编
2．某物理实验中测变量x变量y组数表：
x
050
099
201
398
y
－099
－001
098
200
xy适合拟合函数( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
答案 D
解析 根x＝050y＝－099代入计算排A根x＝201y＝098代入计算排BC数代入函数y＝log2x知满足题意．
3．已知某物体温度Q(单位：摄氏度)时间t(单位：分钟)变化规律Q＝m·2t＋21－t(t≥0m>0)．物体温度总低2摄氏度m取值范围________．
答案
解析 题意m·2t＋21－t≥2恒成立(t≥0m>0)
m·2t＋21－t≥2∴2≥2∴m≥
4．长度24材料围矩形场中间加两道隔墙矩形面积隔墙长度________．
答案 3
解析 设隔墙长度x(0
∴x＝3时y．
题组三 易错纠
5．生物死亡体原碳14含量约5 730年衰减原半时间称半衰期．死亡生物体碳14含量足死亡前千分时般放射性探测器测．某死亡生物体碳14该放射性探测器探测半衰期数少( )
A．8 B．9 C．10 D．11
答案 C
解析 设该死亡生物体原碳14含量1n半衰期含量nn
6．某物体天中温度T关时间t函数T＝t3－3t＋60时间单位时温度单位℃t＝0时表示中午12∶00t值正午8时该物体温度________．
答案 8℃
解析 题意知午8时t＝－4
求温度T＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8℃
题型 函数图象刻画变化程
1高H满缸水量V鱼缸轴截面图示底部破洞满缸水洞中流出鱼缸水深h时水体积v函数v＝f(h)致图象( )
答案 B
解析 v＝f(h)增函数曲线斜率应该先变变选B
2．(2020·全国Ⅰ)某校课外学组研究某作物种子发芽率y温度x(单位：℃)关系20温度条件进行种子发芽实验实验数(xiyi)(i＝12…20)面散点图：
散点图10℃40℃间面四回方程类型中适宜作发芽率y温度x回方程类型( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x
答案 D
解析 散点图出点致分布数型函数图象附．
3．设甲乙两距离a(a>0)王骑行车匀速甲乙20分钟乙休息10分钟匀速乙返回甲30分钟王出发返回原路程y时间x函数图象( )
答案 D
解析 y王出发返回原路程位移排AC王乙休息10分钟排B选D
思维升华 判断函数图象实际问题变化程相吻合两种方法
(1)构建函数模型法：根题意易构建函数模型时先建立函数模型结合模型选图象．
(2)验证法：根实际问题中两变量变化快慢等特点结合图象变化趋势验证否吻合中排符合实际情况选择出符合实际情况答案．
题型二 已知函数模型实际问题
例1 王学毕业决定利学专业进行创业．市场调查生产某型电子产品需投入年固定成3万元生产x万件需投入流动成W(x)万元年产量足8万件时W(x)＝x2＋x(万元)．年产量8万件时W(x)＝6x＋－38(万元)．件产品售价5元．通市场分析王生产商品年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关年产量x(万件)函数解析式(注：年利润＝年销售收入－固定成－流动成)
(2)年产量少万件时王商品生产中获利润？利润少？
解 (1)件产品售价5元
x万件产品销售收入5x万元．
0
x≥8时
L(x)＝5x－－3＝35－
L(x)＝
(2)0
x＝6时L(x)取值L(6)＝9(万元)
x≥8时L(x)＝35－≤35－2＝15(万元)
综年产量10万件时王商品生产中获利润利润15万元．
思维升华 求解已知函数模型解决实际问题关键
(1)认清函数模型弄清量定系数．
(2)根已知利定系数法确定模型中定系数．
(3)利该函数模型助函数性质导数等求解实际问题进行检验．
踪训练1 某西红柿市通市场调查西红柿种植成Q(单位：元100 kg)市时间t(单位：天)数表：
时间t
60
100
180
种植成Q
116
84
116
根表数列函数中选取函数描述西红柿种植成Q市时间t变化关系：
Q＝at＋bQ＝at2＋bt＋cQ＝a·btQ＝a·logbt
利选取函数求：
(1)西红柿种植成低时市天数________
(2)低种植成________元100 kg
答案 (1)120 (2)80
解析 着时间增加种植成先减少增加t＝60t＝180时种植成相等结合题中出四种函数关系知种植成市时间变化关系应该二次函数Q＝at2＋bt＋cQ＝a(t－120)2＋m描述表中数代入
解
Q＝001(t－120)2＋80市天数120时种植成取低值80元100 kg
题型三 构造函数模型实际问题
命题点1 构造二次函数模型
例2 某城市种售价件160元商品征收附加税税率R(销售100元征税R元)年销售量万件附加税少128万元R取值范围( )
A．[48] B．[610]
C．[48] D．[610]
答案 A
解析 根题意附加税少128万元需×160×R≥128
整理R2－12R＋32≤0解4≤R≤8
R∈[48]．
命题点2 构造指数函数数函数模型
例3 片森林原面积a计划年砍伐树年砍伐面积百分相等砍伐面积半时时间10年保护生态环境森林面积少保留原面积已知年止森林剩余面积原
(1)求年砍伐面积百分
(2)年止该森林已砍伐少年？
解 (1)设年砍伐面积百分x(0
解x＝1－
(2)设m年剩余面积原
a(1－x)m＝a＝
＝解m＝5
年止该森林已砍伐5年．
例条件变试计算：砍伐少年？
解 设年开始砍n年
n年剩余面积a(1－x)n
令a(1－x)n≥a(1－x)n≥
≤解n≤15
砍伐15年．
命题点3 构造分段函数模型
例4 国庆期间某旅行社组团风景区旅游团数3030飞机票张收费900元团数30予优惠1机票张减少10元直达规定数75止．团飞机旅行社需付航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票价格关数函数
(2)团数少时旅行社获利润？
解 设该旅行团数x飞机票价格y元．旅行社获利润w元．
(1)①0≤x≤30时y＝900
②30
(2)0≤x≤30时w＝900x－15 000
x＝30时wmax＝900×30－15 000＝12 000(元)
30
＝－10(x－60)2＋21 000
x＝60时w21 000元
∴团数60时旅行社获利润．
素养提升 1应函数解决实际问题时需注意四步骤：
(1)审题：弄清题意分清条件结理数量关系初步选择函数模型．
(2)建模：然语言转化数学语言文字语言转化符号语言利数学知识建立相应函数模型．
(3)解模：求解函数模型出数学结．
(4)原：数学结原实际意义问题．
2．通现实问题进行数学抽象数学语言表达问题数学知识方法构建函数模型解决问题提升数学建模核心素养．
踪训练2 (1)某汽车销售公司AB两销售种品牌汽车A销售利润(单位：万元)y1＝41x－01x2B销售利润(单位：万元)y2＝2x中x销售量(单位：辆)该公司两销售16辆该种品牌汽车获利润( )
A．105万元 B．11万元 C．43万元 D．43025万元
答案 C
解析 设A销售该品牌汽车x辆B销售该品牌汽车(16－x)辆获利润
y＝41x－01x2＋2(16－x)＝－01x2＋21x＋32
＝－01(x－105)2＋01×1052＋32
x∈[016]x∈Nx＝1011时总利润取值43万元．
(2)某公司激励创新计划逐年加研发资金投入．该公司2019年全年投入研发资金130万元基础年投入研发资金年增长12该公司全年投入研发资金开始超200万元年份(参考数：lg 112≈005lg 13≈011lg 2≈030)( )
A．2020年 B．2021年
C．2022年 D．2023年
答案 D
解析 设n年资金开始超200万元
130(1＋12)n>200
两边取数n·lg112>lg 2－lg 13
n>≈＝
n∈N*n≥4
2023年开始该公司投入研发资金开始超200万元．
课时精练
1．某工厂6年生产某种产品情况：前3年年产量增长速度越越快3年年产量保持变该厂6年种产品总产量C时间t(年)函数关系图象正确( )
答案 A
解析 前3年年产量增长速度越越快说明呈高速增长AC图象符合求3年年产量保持变选A
2．某种新型材料研制中实验员获列组实验数现准备列四函数中似表示数规律中接( )
x
1992
3
4
515
6126
y
1517
4041 8
75
12
1801
Ay＝2x－2 B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x D．y＝
答案 B
解析 题表知函数(0＋∞)增函数y变化x增增越越快分析选项知B符合选B
3．某位股民购进某支股票接交易时间支股票先历n次涨停(次涨10)历n次跌停(次跌10)该股民支股票盈亏情况(考虑费)( )
A．略盈利 B．略亏损
C．没盈利没亏损 D．法判断盈亏情况
答案 B
解析 设该股民购支股票价格a元历n次涨停价格a(1＋10)n＝a×11n元历n次跌停价格a×11n×(1－10)n＝a×11n×09n＝a×(11×09)n＝099n·a
A．13 m3 B．14 m3 C．18 m3 D．26 m3
答案 A
解析 设该职工水x m3时缴纳水费y元题意y＝
10m＋(x－10)·2m＝16m解x＝13
5．某食品保鲜时间y(单位：h)储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2718…然数底数kb常数)该食品0 ℃保鲜时间192 h22 ℃保鲜时间48 h该食品33 ℃保鲜时间( )
A．22 h B．23 h C．33 h D．24 h
答案 D
解析 题意
∴e22k＝＝
∴e11k＝
∴e33k＋b＝(e11k)3·eb＝3×192＝24
6．菲学校选修课中解艾宾浩斯遗忘曲线解记忆组单词情况记录月关数绘制图象拟合记忆保持量f(x)时间x(天)间函数关系f(x)＝
列说法错误( )
A．着时间增加菲单词记忆保持量降低
B．第天菲单词记忆保持量降
C．9天菲单词记忆保持量低40
D．26天菲单词记忆保持量足20
答案 D
解析 函数解析式知f(x)着x增加减少A正确图象B正确1
7．(2020·蚌埠模拟)某种动物繁殖数量y(数量：)时间x(单位：年)关系式y＝alog2(x＋1)种动物第1年100第7年发展________．
答案 300
解析 题意知100＝alog2(1＋1)⇒a＝100
x＝7时y＝100log2(7＋1)＝300
8．市场调查某种商品50天销售量价格均销售时间t(天)函数销售量似满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50t∈N)前30天价格g(t)＝t＋30(1≤t≤30t∈N)20天价格g(t)＝45(31≤t≤50t∈N)．日销售额值________．
答案 6 400
解析 设日销售额S
1≤t≤30时S＝(－2t＋200)×
＝－t2＋40t＋6 000＝－(t－20)2＋6 400
t＝20时Smax＝6 400
31≤t≤50时S＝45(－2t＋200)＝－90t＋9 000
t＝31时Smax＝6 210
∵6 210<6 400
t＝20时日销售额值6 400
9．(2021·武汉模拟)复利种计算利息方法前期利息金加起算作金计算期利息．某学压岁钱1 000元存入银行年利率225放入微信零钱通者支付宝余额宝年利率达401果1 000元选择合适方式存满5年获利息________元．
(参考数：1022 54≈10931022 55≈11181040 15≈1217)
答案 99
解析 1 000元存入微信零钱通者支付宝余额宝选择复利计算方法存满5年息1 000×(1＋401)5≈1 217(元)利息1 217－1 000＝217(元)．1 000元存入银行存满5年息1 000×(1＋225)5≈1 118(元)获利息1 118－1 000＝118(元)．获利息217－118＝99(元)．
10．响应政府推进菜篮子工程建设号召某销商投资60万元建蔬菜生产基第年支出种费8万元年支出费年2万元年销售蔬菜收入26万元．设f(n)表示前n年纯利润第________年开始盈利．[f(n)＝前n年总收入－前n年总费支出－投资额]
答案 5
解析 题意知f(n)＝26n－－60＝－n2＋19n－60
令f(n)>0－n2＋19n－60>0解4
11．某车库排气扇发生障情况测空气中氧化碳含量达危险状态抢修排气扇恢复正常．排气4分钟测车库氧化碳浓度64 ppm继续排气4分钟测浓度32 ppm检验知该车库氧化碳浓度y(ppm)排气时间t(分钟)间存函数关系y＝cmt(cm常数)．
(1)求cm值
(2)空气中氧化碳浓度高05 ppm正常问少排气少分钟车库中氧化碳含量达正常状态？
解 (1)题意列方程组
两式相解
(2)题意列等式≤05
≤8t≥8解t≥32
少排气32分钟车库中氧化碳含量达正常状态．
12．某家庭进行理财投资根长期收益率市场预测投资债券等稳健型产品收益投资额成正投资股票等风险型产品收益投资额算术方根成正．已知投资1万元时两类产品收益分0125万元05万元．
(1)分写出两类产品收益投资额函数关系
(2)该家庭20万元资金全部理财投资问：样分配资金投资获收益收益少万元？
解 (1)设两类产品收益投资额函数关系分f(x)＝k1xg(x)＝k2
已知f(1)＝＝k1g(1)＝＝k2
f(x)＝x(x≥0)g(x)＝(x≥0)．
(2)设投资股票类产品x万元
投资债券类产品(20－x)万元．
题意y＝f(20－x)＋g(x)＝＋＝(0≤x≤20)．
＝2x＝4时收益ymax＝3万元．
投资债券类产品16万元投资股票类产品4万元时获收益3万元．
13．(2020·皖南八校联考)某购物网站2020年11月开展全部6折促销活动11日天购物享受张订单金额(6折)满300元时减免100元．某11日天欲购入原价48元(单价)商品42件花钱总数少少需订单张数( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 花钱总数少需张订单满足张订单金额(6折)满300元时减免100元张订单折前原金额少500元．件原价48元张订单少11件42＝11×3＋9少需订单张数3
14．物体常温温度变化牛顿冷规律描述：设物体初始温度T0定时间t(单位：min)温度TT－Ta＝(T0－Ta)中Ta称环境温度h称半衰期．现杯85 ℃热水速溶咖啡放21 ℃房间中果咖啡降37 ℃需16 min杯咖啡37 ℃降29 ℃需________ min
答案 8
解析 题意知Ta＝21 ℃
令T0＝85 ℃T＝37 ℃
37－21＝(85－21)·∴h＝8
令T0＝37 ℃T＝29 ℃
29－21＝(37－21)·∴t＝8
15．李明创业网营家水果店销售水果中草莓京白梨西瓜桃价格次60元盒65元盒80元盒90元盒．增加销量李明四种水果进行促销：次购买水果总价达120元顾客少付x元．笔订单顾客网支付成功李明会支付款80
(1)x＝10时顾客次购买草莓西瓜1盒需支付________元
(2)促销活动中保证李明笔订单金额均低促销前总价七折x值________．
答案 (1)130 (2)15
解析 (1)顾客次购买草莓西瓜1盒原价应60＋80＝140(元)超120元优惠x＝10时顾客需支付140－10＝130(元)．
(2)题意知x确定顾客优惠金额固定顾客支付金额越少优惠例越．顾客想优惠少次购买2盒草莓时顾客支付金额(120－x)元(120－x)×80≥120×07x≤15x值15
16．(2020·安徽皖东名校联盟联考)某公司计划投资开发种新源产品预计获10万元～1 000万元收益．现准备制定开发科研组奖励方案奖金y(单位：万元)收益x(单位：万元)增加增加奖金总数超9万元时奖金总数超收益20
(1)建立奖励方案函数模型y＝f(x)试确定函数定义域值域范围
(2)现两奖励方案函数模型：①y＝＋2②y＝4lg x－3试分析两函数模型否符合公司求？请说明理．
解 (1)y＝f(x)定义域[101 000]值域(09]∈(002]．
(2)y＝＋2时＝＋值>02符合公司求．
y＝4lg x－3时函数定义域增函数值9
≤02知y－02x≤0
令g(x)＝4lg x－3－02xx∈[101 000]g′(x)＝<0g(x)[101 000]单调递减
g(x)≤g(10)＝－1<0
≤02
函数y＝4lg x－3符合公司求．
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