难点33 函数连续应
函数连续性新教材新增加容高中极限知识学知识紧密联起高考中必块容溶入函数容中定成高考热点节容重点阐述块知识知识结构体系
●难点磁场
(★★★★)已知函数f(x)
(1)讨f(x)点x－101处连续性
(2)求f(x)连续区间
●案例探究
［例1］已知函数f(x)
(1)求f(x)定义域作出函数图象
(2)求f(x)连续点x0
(3)f(x)补充定义R连续函数
命题意图：函数连续性尤某定点处连续性函数图象直观反映画函数图象直观反映题目中连续性问题成种重方法
知识托：题分式函数解答题闪光点准确画出图象
错解分析：第(3)问题难点考生通学连续函数定义解应明确知道第(3)问求分数函数解析式
技巧方法：分式化简变形注意等价性观察图象进行解答
解：(1)x+2≠0时x≠－2
函数定义域(－∞－2)∪(－2+∞)
x≠－2时f(x) x－2
图象图
(2)定义域知函数f(x)连续点x0－2
(3)x≠－2时f(x)x－2－4
f(x)表达式改写f(x)
函数f(x)R连续函数
［例2］求证：方程xasinx+b(a＞0b＞0)少正根a+b
命题意图：判定方程f(x)0否实根判定应连续函数yf(x)图象否x轴交点根连续函数性质找图象两点满足点x轴方点x轴方题考查种解题方法
知识托：解答题闪光点找合适两点函数值负正
错解分析：题超越方程考生易想画图象观察忽视连续性性质解类题目中简便作
证明：设f(x)asinx+b－x
f(0)b＞0f(a+b)a·sin(a+b)+b－(a+b)a［sin(a+b)－1］≤0
f(x)(0a+b］连续函数存x0∈(0a+b］f(x0)0x0方程f(x)0根方程xa·sinx+b根
方程xasinx+b少存正根a+b
●锦囊妙计
1深刻理解函数f(x)x0处连续概念：
等式f(x)f(x0)涵义：(1)f(x0)xx0处定义f(x0)存(2)f(x)存里隐含着f(x)点xx0附定义(3)f(x)点x0处极限值等点函数值f(x)f(x0)
函数f(x)x0处连续反映图象f(x)图象点xx0处间断
2函数f(x)点x0连续f(x)图象点xx0处间断
情形：(1)f(x)存f(x0)存f(x)≠f(x0)(2)f(x)存f(x0)存(3) f(x)存
3连续函数定义计算函数极限种方法：果函数f(x)定义区间连续点x0定义区间点求x→x0时函数f(x)极限求出f(x)点x0处函数值f(x0)f(x)f(x0)
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)f(x)点x0处连续f(0)等( )
A B C1 D0
2(★★★★)设f(x)f(x)连续区间( )
A(02) B(01)
C(01)∪(12) D(12)
二填空题
3(★★★★) _________
4(★★★★)f(x)处处连续a值_________
三解答题
5(★★★★★)已知函数f(x)
(1)f(x)x0处否连续？说明理
(2)讨f(x)闭区间［－10］［01］连续性
6(★★★★)已知f(x)
(1)求f(－x)
(2)求常数a值f(x)区间(－∞+∞)处处连续
7(★★★★)求证实系数元三次方程a0x3+a1x2+a2x+a30(a0a1a2a3∈Ra0≠0)少实数根
8(★★★★)求函数f(x)连续点连续区间
参考答案
难点磁场
解：(1)f(x)3 f(x)－1f(x)存f(x)x－1处连续
f(x)f(－1)－1 f(x)≠f(－1)f(x)x－1处右连续左连续
f(x)3f(1) f(x)存f(x)存f(x)x1连续左连续右连续
f(x)f(0)0f(x)x0处连续
(2)f(x)中区间(－∞－1)［－11］(15］三函数初等函数f(x)连续点x±1外连续点f(x)连续区间(－∞－1)［－11］(15
歼灭难点训练
1解析：
答案：A
2解析：
f(x)x1点连续显知f(x)(01)(12)连续
答案：C
二3解析：利函数连续性
答案：
答案：
三5解：f(x)
(1) f(x)－1 f(x)1f(x)存f(x)x0处连续
(2)f(x)(－∞+∞)x0外间断点(1)知f(x)x0处右连续f(x)［
－10］连续函数［01］连续函数
6解：(1)f(－x)
(2)f(x)(－∞+∞)处处连续f(x)x0连续f(x)
f(x)(a+bx)af(x)x0处连续 f(x) f(x)
f(x)f(0)a
7证明：设f(x)a0x3+a1x2+a2x+a3函数f(x)(－∞+∞)连续x→+∞时f(x)→+∞x→－∞时f(x)→－∞必存a∈(－∞+∞)b∈(－∞+∞)f(a)·f(b)＜0f(x)图象少(ab)穿x轴次f(x)0少实根
8解：连续点x1连续区间(－∞1)(1+∞)
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函数连续性新教材新增加容高中极限知识学知识紧密联起高考中必块容溶入函数容中定成高考热点节容重点阐述块知识知识结构体系
●难点磁场
(★★★★)已知函数f(x)
(1)讨f(x)点x－101处连续性
(2)求f(x)连续区间
●案例探究
［例1］已知函数f(x)
(1)求f(x)定义域作出函数图象
(2)求f(x)连续点x0
(3)f(x)补充定义R连续函数
命题意图：函数连续性尤某定点处连续性函数图象直观反映画函数图象直观反映题目中连续性问题成种重方法
知识托：题分式函数解答题闪光点准确画出图象
错解分析：第(3)问题难点考生通学连续函数定义解应明确知道第(3)问求分数函数解析式
技巧方法：分式化简变形注意等价性观察图象进行解答
解：(1)x+2≠0时x≠－2
函数定义域(－∞－2)∪(－2+∞)
x≠－2时f(x) x－2
图象图
(2)定义域知函数f(x)连续点x0－2
(3)x≠－2时f(x)x－2－4
f(x)表达式改写f(x)
函数f(x)R连续函数
［例2］求证：方程xasinx+b(a＞0b＞0)少正根a+b
命题意图：判定方程f(x)0否实根判定应连续函数yf(x)图象否x轴交点根连续函数性质找图象两点满足点x轴方点x轴方题考查种解题方法
知识托：解答题闪光点找合适两点函数值负正
错解分析：题超越方程考生易想画图象观察忽视连续性性质解类题目中简便作
证明：设f(x)asinx+b－x
f(0)b＞0f(a+b)a·sin(a+b)+b－(a+b)a［sin(a+b)－1］≤0
f(x)(0a+b］连续函数存x0∈(0a+b］f(x0)0x0方程f(x)0根方程xa·sinx+b根
方程xasinx+b少存正根a+b
●锦囊妙计
1深刻理解函数f(x)x0处连续概念：
等式f(x)f(x0)涵义：(1)f(x0)xx0处定义f(x0)存(2)f(x)存里隐含着f(x)点xx0附定义(3)f(x)点x0处极限值等点函数值f(x)f(x0)
函数f(x)x0处连续反映图象f(x)图象点xx0处间断
2函数f(x)点x0连续f(x)图象点xx0处间断
情形：(1)f(x)存f(x0)存f(x)≠f(x0)(2)f(x)存f(x0)存(3) f(x)存
3连续函数定义计算函数极限种方法：果函数f(x)定义区间连续点x0定义区间点求x→x0时函数f(x)极限求出f(x)点x0处函数值f(x0)f(x)f(x0)
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)f(x)点x0处连续f(0)等( )
A B C1 D0
2(★★★★)设f(x)f(x)连续区间( )
A(02) B(01)
C(01)∪(12) D(12)
二填空题
3(★★★★) _________
4(★★★★)f(x)处处连续a值_________
三解答题
5(★★★★★)已知函数f(x)
(1)f(x)x0处否连续？说明理
(2)讨f(x)闭区间［－10］［01］连续性
6(★★★★)已知f(x)
(1)求f(－x)
(2)求常数a值f(x)区间(－∞+∞)处处连续
7(★★★★)求证实系数元三次方程a0x3+a1x2+a2x+a30(a0a1a2a3∈Ra0≠0)少实数根
8(★★★★)求函数f(x)连续点连续区间
参考答案
难点磁场
解：(1)f(x)3 f(x)－1f(x)存f(x)x－1处连续
f(x)f(－1)－1 f(x)≠f(－1)f(x)x－1处右连续左连续
f(x)3f(1) f(x)存f(x)存f(x)x1连续左连续右连续
f(x)f(0)0f(x)x0处连续
(2)f(x)中区间(－∞－1)［－11］(15］三函数初等函数f(x)连续点x±1外连续点f(x)连续区间(－∞－1)［－11］(15
歼灭难点训练
1解析：
答案：A
2解析：
f(x)x1点连续显知f(x)(01)(12)连续
答案：C
二3解析：利函数连续性
答案：
答案：
三5解：f(x)
(1) f(x)－1 f(x)1f(x)存f(x)x0处连续
(2)f(x)(－∞+∞)x0外间断点(1)知f(x)x0处右连续f(x)［
－10］连续函数［01］连续函数
6解：(1)f(－x)
(2)f(x)(－∞+∞)处处连续f(x)x0连续f(x)
f(x)(a+bx)af(x)x0处连续 f(x) f(x)
f(x)f(0)a
7证明：设f(x)a0x3+a1x2+a2x+a3函数f(x)(－∞+∞)连续x→+∞时f(x)→+∞x→－∞时f(x)→－∞必存a∈(－∞+∞)b∈(－∞+∞)f(a)·f(b)＜0f(x)图象少(ab)穿x轴次f(x)0少实根
8解：连续点x1连续区间(－∞1)(1+∞)
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