专题六 数列
第十八讲 数列综合应
选择题
1．(2018浙江)已知成等数列．
A． B．
C． D．
2．(2015湖北)设．p：成等数列q：
A．pq充分条件q必条件
B．pq必条件q充分条件
C．pq充分必条件
D．pq充分条件q必条件
3．（2014新课标2）等差数列公差2成等数列前项
A． B． C． D．
4．（2014浙江）设函数
记
A． B． C． D．
二填空题
5．(2018江苏)已知集合．元素次排列构成数列．记数列前项成立值 ．
6．（2015浙江）已知等差数列公差零．成等数列 ．
7．（2013重庆）已知等差数列公差前项成等数列．
8．（2011江苏）设中成公等数列成公差1等差数列值________．
三解答题
9．（2018江苏）设首项公差等差数列首项公等数列．
(1)设均成立求取值范围
(2)证明：存均成立求取值范围（表示）．
10*．（2017浙江）已知数列满足：．
证明：时
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）．
*根亲区选新课标区（文科）考．
11．（2017江苏）定正整数数列满足
意正整数总成立称数列数列．
（1）证明：等差数列数列
（2）数列数列数列证明：等差数列．
12．（2016年四川）已知数列首项1数列前项中
(Ⅰ)成等差数列求数列通项公式
(Ⅱ)设双曲线离心率求．
13．（2016年浙江）设数列{}前项已知42+1
（I）求通项公式
（II）求数列{}前项
14．(2015重庆)已知等差数列满足前3项．
（Ⅰ）求通项公式
（Ⅱ）设等数列满足求前项．
15．（2015天津）已知项均正数等数列等差数列．
（Ⅰ）求通项公式
（Ⅱ）设求数列前项．
16．(2015四川)设数列（123…）前项满足+1成等差数列．
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）设数列前项求．
17．（2015湖北）设等差数列公差前项等数列公已知．
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）时记求数列前项．
18．(2014山东）已知等差数列公差2前项成等数列．
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）令求数列前项．
19．（2014浙江）已知数列满足．等数列
（Ⅰ）求
（Ⅱ）设．记数列前项．
（ⅰ）求
（ⅱ）求正整数意均．
20．（2014湖南）已知数列{}满足
（Ⅰ）{}递增数列成等差数列求值
（Ⅱ）{}递增数列{}递减数列求数列{}通项公式．
21．（2014四川）设等差数列公差点函数图象（）．
（Ⅰ）点函数图象求数列前项
（Ⅱ）函数图象点处切线轴截距求数列 前项．
22．(2014江苏)设数列前项．意正整数总存正整数称H数列．
（Ⅰ）数列前n项(N)证明 H数列
（Ⅱ）设 等差数列首项公差． H数列求值
（Ⅲ）证明：意等差数列总存两H数列(N)成立．
23．（2013安徽）设数列满足意函数 满足
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）求数列前项．
24．（2013广东）设项均正数数列前项满足
构成等数列．
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）求数列通项公式
（Ⅲ）证明：切正整数．
25．（2013湖北）已知等数列前项成等差数列
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）否存正整数？存求出符合条件集合
存说明理．
26．（2013江苏）设首项公差等差数列前项 记中实数
（Ⅰ） 成等数列证明：
（Ⅱ） 等差数列证明：．
27． (2012山东)已知等差数列前5项105．
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）意数列中项数记求数列前m项．
28．（2012湖南）某公司属企业事某种高科技产品生产．该企业第年年初资金2000万元投入生产年年底资金增长50％．预计年资金年增长率第年相．公司求企业第年开始年年底缴资金万元剩余资金全部投入年生产．设第年年底企业缴资金剩余资金万元．
（Ⅰ）表示写出关系式
（Ⅱ）公司希（≥3）年企业剩余资金4000万元试确定企业年缴资金值（表示）．
29．（2012浙江）已知数列前项数列满足．
（Ⅰ）求
（Ⅱ）求数列前项．
30．（2012山东）等差数列中
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）意数列中落入区间项数求数列前项．
31．（2012江苏）已知项均正数两数列满足：．
（Ⅰ）设求证：数列等差数列
（Ⅱ）设等数列求值．
32．（2011天津）已知数列满足
．
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）设证明等数列
（Ⅲ）设前项证明
33．（2011天津）已知数列满足： ．
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）设证明：等数列
（Ⅲ）设证明：．
34．（2010新课标）设数列满足
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）令求数列前项．
35．（2010湖南）出面数表序列：
中表（123 ）行第1行数13521第2行起行中数等肩两数．
（Ⅰ）写出表4验证表4行中数均数序构成等数列结推广表（≥3）（求证明）
（Ⅱ）数列中行数构成数列1412记数列求： ．
专题六 数列
第十八讲 数列综合应
答案部分
1．B解析解法 ()
等数列公．
矛盾
选B．
解法二
等数列公．
矛盾
选B．
2．A解析命题p：成等数列公
命题
①时成立
②时根柯西等式
等式成立
成等数列
充分条件必条件．
3．A解析成等数列∴解．
4．B解析∵单调递增
…
∴
∵单调递增单调递减
∴…
…
∴
∵单调递增单调递减
．
5．27解析正奇数()序排列构成数列 中前面16正奇数．时符合题意时符合题意时符合题意时符合题意……时 441 +62 503<符合题意时484 +62546>540符合题意．成立值27．
6．解析题．
7．64解析成等数列解．
8．解析设值．
．
9．解析(1)条件知：．
1234均成立
1234均成立
11133579．
取值范围．
(2)条件知：．
存(23···+1)成立
(23···+1)
时满足．
均成立．
取0时均成立．
面讨数列值数列值（）．
①时
时．
时数列单调递增
数列值．
②设时
单调递减．
时
时数列单调递减
数列值．
取值范围．
10．解析（Ⅰ）数学纳法证明：
时
假设时
时矛盾．
（Ⅱ）
记函数
函数单调递增0
（Ⅲ）
综 ．
11．解析证明（1）等差数列设公差
时
等差数列数列
（2）数列数列数列
时①
时②
①知③
④
③④代入②中
等差数列设公差
①中取
①中取
数列等差数列
12．解析（Ⅰ）已知 两式相减
成立
数列首项1公q等数列
成等差数列
（Ⅱ）（Ⅰ）知
双曲线离心率
解
13．解析（1）题意：
时
数列通项公式
（2）设
时
设数列前项
时
14．解析（Ⅰ）设公差已知条件
化简
解．
通项公式．
（Ⅱ）（Ⅰ）．
设公．
前项 ．
15．解析（Ⅰ）设数列公q数列公差d题意已知 消d整数＞0解通项公式数列通项公式
（Ⅱ）解：（Ⅰ） 设前n项
两式相减
．
16．解析(Ⅰ) 已知
(n≥2)(n≥2)
．
+1成等差数列＋＝2(＋1)
＋4＝2(2＋1)解＝2．
数列首项2公2等数列．
(Ⅱ)(Ⅰ)
＝．
17．解析（Ⅰ）题意
解
（Ⅱ）知
①
． ②
①－②
．
18．解析（Ⅰ）
解
（Ⅱ）
偶数时
．
19．解析（Ⅰ）题意
知公（舍）
数列通项公式
数列通项公式
（Ⅱ）（i）（Ⅰ）知
（ii）
时
时
综意恒．
20．解析（I）递增数列
成等差数列
解
时递增数列矛盾
（Ⅱ）递增数列
①
②
①②知
③
递减数列理
④
③④知
数列通项公式．
21．解析（Ⅰ）点函数图象等差数列公差
点函数图象
（Ⅱ）函数图象点处切线方程
切线轴截距
．
22．解析（Ⅰ）时
时
∴时时∴H数列．
（Ⅱ）
取
∵∴∴∴．
（Ⅲ）设公差d
令
等差数列
前n项令
时
时
时n奇偶性非负偶数
找成立H数列．
前ｎ项令
∵非负偶数∴
找成立H数列
命题证．
23．解析（Ⅰ）
等差数列
（Ⅱ）
24．解析（Ⅰ）时
（Ⅱ）时
时公差等差数列
构成等数列
解．
（Ⅰ）知
首项公差等差数列
数列通项公式
（Ⅲ）
25．解析（Ⅰ）设数列公 题意
解
数列通项公式．
（Ⅱ）（Ⅰ）
存
偶数时 式成立
奇数时
综存符合条件正整数样n集合．
26．证明（Ⅰ）题
等差数列首项公差成等数列
（）．
（Ⅱ）题等差数列设常数关恒成立．整理：
关恒成立．
．
27．解析（Ⅰ）已知：
解
通项公式
（Ⅱ）
∵
∴公49等数列
∴．
28．解析（Ⅰ）题意
．
（Ⅱ）（Ⅰ）
．
整理
．
题意
解．
该企业年缴资金值缴时年企业剩余资金4000元．
29．解析（Ⅰ）
1时
2时
（Ⅱ）（1）知
．
30．解析：（Ⅰ）a3+a4+a584a573a973
（Ⅱ）意m∈
题意知
31．解析（Ⅰ）题意知
数列1公差等差数列．
（Ⅱ）．
(*)
设等数列公知证．
．（*）矛盾
．（*）矛盾
综：．
公等数列
中少两项相矛盾．
．
32．解析（Ⅰ）
（Ⅱ）证明：意
①
②
②①
等数列
（Ⅲ）证明：（Ⅱ）知时
意
①
33．解析（Ⅰ）
时
时
时
（Ⅱ）证明：意
①
②
③
②—③ ④
④代入①
等数列
（Ⅲ）证明：（II）
意
式相加
式k1时成立④式
意
1等式显然成立
意
34．解析（Ⅰ）已知n≥1时
．
数列{}通项公式．
（Ⅱ）知 ①
②
①② ．
．
35．解析（Ⅰ）表4 1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
第1234行中数均数分481632 构成首项4公2等数列．结推广表（≥3）表行中数均数序构成首项公2等数列
结推广表表行中数均数序构成首项公2等数列．
简证（考生作求）
首先表第1行135…等差数列均数次表第行…等差数列第行…等差数列．等差数列性质知表第行中数均数行中数均数分
．
知表行中数成等差数列行中数均数序构成首项公2等数列．
（Ⅱ）表第1行135…21均数
（Ⅰ）知行中数均数序构成首项公2等数列（第行中数均数）表中行唯数
．(123 … )
．
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第十八讲 数列综合应
选择题
1．(2018浙江)已知成等数列．
A． B．
C． D．
2．(2015湖北)设．p：成等数列q：
A．pq充分条件q必条件
B．pq必条件q充分条件
C．pq充分必条件
D．pq充分条件q必条件
3．（2014新课标2）等差数列公差2成等数列前项
A． B． C． D．
4．（2014浙江）设函数
记
A． B． C． D．
二填空题
5．(2018江苏)已知集合．元素次排列构成数列．记数列前项成立值 ．
6．（2015浙江）已知等差数列公差零．成等数列 ．
7．（2013重庆）已知等差数列公差前项成等数列．
8．（2011江苏）设中成公等数列成公差1等差数列值________．
三解答题
9．（2018江苏）设首项公差等差数列首项公等数列．
(1)设均成立求取值范围
(2)证明：存均成立求取值范围（表示）．
10*．（2017浙江）已知数列满足：．
证明：时
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）．
*根亲区选新课标区（文科）考．
11．（2017江苏）定正整数数列满足
意正整数总成立称数列数列．
（1）证明：等差数列数列
（2）数列数列数列证明：等差数列．
12．（2016年四川）已知数列首项1数列前项中
(Ⅰ)成等差数列求数列通项公式
(Ⅱ)设双曲线离心率求．
13．（2016年浙江）设数列{}前项已知42+1
（I）求通项公式
（II）求数列{}前项
14．(2015重庆)已知等差数列满足前3项．
（Ⅰ）求通项公式
（Ⅱ）设等数列满足求前项．
15．（2015天津）已知项均正数等数列等差数列．
（Ⅰ）求通项公式
（Ⅱ）设求数列前项．
16．(2015四川)设数列（123…）前项满足+1成等差数列．
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）设数列前项求．
17．（2015湖北）设等差数列公差前项等数列公已知．
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）时记求数列前项．
18．(2014山东）已知等差数列公差2前项成等数列．
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）令求数列前项．
19．（2014浙江）已知数列满足．等数列
（Ⅰ）求
（Ⅱ）设．记数列前项．
（ⅰ）求
（ⅱ）求正整数意均．
20．（2014湖南）已知数列{}满足
（Ⅰ）{}递增数列成等差数列求值
（Ⅱ）{}递增数列{}递减数列求数列{}通项公式．
21．（2014四川）设等差数列公差点函数图象（）．
（Ⅰ）点函数图象求数列前项
（Ⅱ）函数图象点处切线轴截距求数列 前项．
22．(2014江苏)设数列前项．意正整数总存正整数称H数列．
（Ⅰ）数列前n项(N)证明 H数列
（Ⅱ）设 等差数列首项公差． H数列求值
（Ⅲ）证明：意等差数列总存两H数列(N)成立．
23．（2013安徽）设数列满足意函数 满足
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）求数列前项．
24．（2013广东）设项均正数数列前项满足
构成等数列．
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）求数列通项公式
（Ⅲ）证明：切正整数．
25．（2013湖北）已知等数列前项成等差数列
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）否存正整数？存求出符合条件集合
存说明理．
26．（2013江苏）设首项公差等差数列前项 记中实数
（Ⅰ） 成等数列证明：
（Ⅱ） 等差数列证明：．
27． (2012山东)已知等差数列前5项105．
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）意数列中项数记求数列前m项．
28．（2012湖南）某公司属企业事某种高科技产品生产．该企业第年年初资金2000万元投入生产年年底资金增长50％．预计年资金年增长率第年相．公司求企业第年开始年年底缴资金万元剩余资金全部投入年生产．设第年年底企业缴资金剩余资金万元．
（Ⅰ）表示写出关系式
（Ⅱ）公司希（≥3）年企业剩余资金4000万元试确定企业年缴资金值（表示）．
29．（2012浙江）已知数列前项数列满足．
（Ⅰ）求
（Ⅱ）求数列前项．
30．（2012山东）等差数列中
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）意数列中落入区间项数求数列前项．
31．（2012江苏）已知项均正数两数列满足：．
（Ⅰ）设求证：数列等差数列
（Ⅱ）设等数列求值．
32．（2011天津）已知数列满足
．
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）设证明等数列
（Ⅲ）设前项证明
33．（2011天津）已知数列满足： ．
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）设证明：等数列
（Ⅲ）设证明：．
34．（2010新课标）设数列满足
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）令求数列前项．
35．（2010湖南）出面数表序列：
中表（123 ）行第1行数13521第2行起行中数等肩两数．
（Ⅰ）写出表4验证表4行中数均数序构成等数列结推广表（≥3）（求证明）
（Ⅱ）数列中行数构成数列1412记数列求： ．
专题六 数列
第十八讲 数列综合应
答案部分
1．B解析解法 ()
等数列公．
矛盾
选B．
解法二
等数列公．
矛盾
选B．
2．A解析命题p：成等数列公
命题
①时成立
②时根柯西等式
等式成立
成等数列
充分条件必条件．
3．A解析成等数列∴解．
4．B解析∵单调递增
…
∴
∵单调递增单调递减
∴…
…
∴
∵单调递增单调递减
．
5．27解析正奇数()序排列构成数列 中前面16正奇数．时符合题意时符合题意时符合题意时符合题意……时 441 +62 503<符合题意时484 +62546>540符合题意．成立值27．
6．解析题．
7．64解析成等数列解．
8．解析设值．
．
9．解析(1)条件知：．
1234均成立
1234均成立
11133579．
取值范围．
(2)条件知：．
存(23···+1)成立
(23···+1)
时满足．
均成立．
取0时均成立．
面讨数列值数列值（）．
①时
时．
时数列单调递增
数列值．
②设时
单调递减．
时
时数列单调递减
数列值．
取值范围．
10．解析（Ⅰ）数学纳法证明：
时
假设时
时矛盾．
（Ⅱ）
记函数
函数单调递增0
（Ⅲ）
综 ．
11．解析证明（1）等差数列设公差
时
等差数列数列
（2）数列数列数列
时①
时②
①知③
④
③④代入②中
等差数列设公差
①中取
①中取
数列等差数列
12．解析（Ⅰ）已知 两式相减
成立
数列首项1公q等数列
成等差数列
（Ⅱ）（Ⅰ）知
双曲线离心率
解
13．解析（1）题意：
时
数列通项公式
（2）设
时
设数列前项
时
14．解析（Ⅰ）设公差已知条件
化简
解．
通项公式．
（Ⅱ）（Ⅰ）．
设公．
前项 ．
15．解析（Ⅰ）设数列公q数列公差d题意已知 消d整数＞0解通项公式数列通项公式
（Ⅱ）解：（Ⅰ） 设前n项
两式相减
．
16．解析(Ⅰ) 已知
(n≥2)(n≥2)
．
+1成等差数列＋＝2(＋1)
＋4＝2(2＋1)解＝2．
数列首项2公2等数列．
(Ⅱ)(Ⅰ)
＝．
17．解析（Ⅰ）题意
解
（Ⅱ）知
①
． ②
①－②
．
18．解析（Ⅰ）
解
（Ⅱ）
偶数时
．
19．解析（Ⅰ）题意
知公（舍）
数列通项公式
数列通项公式
（Ⅱ）（i）（Ⅰ）知
（ii）
时
时
综意恒．
20．解析（I）递增数列
成等差数列
解
时递增数列矛盾
（Ⅱ）递增数列
①
②
①②知
③
递减数列理
④
③④知
数列通项公式．
21．解析（Ⅰ）点函数图象等差数列公差
点函数图象
（Ⅱ）函数图象点处切线方程
切线轴截距
．
22．解析（Ⅰ）时
时
∴时时∴H数列．
（Ⅱ）
取
∵∴∴∴．
（Ⅲ）设公差d
令
等差数列
前n项令
时
时
时n奇偶性非负偶数
找成立H数列．
前ｎ项令
∵非负偶数∴
找成立H数列
命题证．
23．解析（Ⅰ）
等差数列
（Ⅱ）
24．解析（Ⅰ）时
（Ⅱ）时
时公差等差数列
构成等数列
解．
（Ⅰ）知
首项公差等差数列
数列通项公式
（Ⅲ）
25．解析（Ⅰ）设数列公 题意
解
数列通项公式．
（Ⅱ）（Ⅰ）
存
偶数时 式成立
奇数时
综存符合条件正整数样n集合．
26．证明（Ⅰ）题
等差数列首项公差成等数列
（）．
（Ⅱ）题等差数列设常数关恒成立．整理：
关恒成立．
．
27．解析（Ⅰ）已知：
解
通项公式
（Ⅱ）
∵
∴公49等数列
∴．
28．解析（Ⅰ）题意
．
（Ⅱ）（Ⅰ）
．
整理
．
题意
解．
该企业年缴资金值缴时年企业剩余资金4000元．
29．解析（Ⅰ）
1时
2时
（Ⅱ）（1）知
．
30．解析：（Ⅰ）a3+a4+a584a573a973
（Ⅱ）意m∈
题意知
31．解析（Ⅰ）题意知
数列1公差等差数列．
（Ⅱ）．
(*)
设等数列公知证．
．（*）矛盾
．（*）矛盾
综：．
公等数列
中少两项相矛盾．
．
32．解析（Ⅰ）
（Ⅱ）证明：意
①
②
②①
等数列
（Ⅲ）证明：（Ⅱ）知时
意
①
33．解析（Ⅰ）
时
时
时
（Ⅱ）证明：意
①
②
③
②—③ ④
④代入①
等数列
（Ⅲ）证明：（II）
意
式相加
式k1时成立④式
意
1等式显然成立
意
34．解析（Ⅰ）已知n≥1时
．
数列{}通项公式．
（Ⅱ）知 ①
②
①② ．
．
35．解析（Ⅰ）表4 1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
第1234行中数均数分481632 构成首项4公2等数列．结推广表（≥3）表行中数均数序构成首项公2等数列
结推广表表行中数均数序构成首项公2等数列．
简证（考生作求）
首先表第1行135…等差数列均数次表第行…等差数列第行…等差数列．等差数列性质知表第行中数均数行中数均数分
．
知表行中数成等差数列行中数均数序构成首项公2等数列．
（Ⅱ）表第1行135…21均数
（Ⅰ）知行中数均数序构成首项公2等数列（第行中数均数）表中行唯数
．(123 … )
．
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