专题六数列
第十七讲 递推数列数列求
2019 年
1 （ 2019 天 津 理 19 ）设 na 等 差 数 列  nb 等数列 已知
1 1 2 2 3 34 6 2 2 2 4a b b a b a     
（Ⅰ）求 na  nb 通项公式
（Ⅱ）设数列 nc 满足
1
1
1 2 2
2
1

kk
n k
k
c nc
bn

    
中 *k N
（i）求数列   221nnac 通项公式
（ii）求  2
*
1
n
ii
i
a c n

 N
20102018 年
选择题
1．（2013 纲）已知数列 na 满足 12
43 0 3nna a a     前 10 项等
A． 106(1 3 ) B． 101 (1 3 )9  C． 103(1 3 ) D． 103(1 3 )
2．(2012 海)设
25sin1 n
nan  nn aaaS  21 10021 SSS  中正数
数
A．25 B．50 C．75 D．100
二填空题
3．(2018 全国卷Ⅰ)记 nS 数列{}na 前 n 项 21nnSa 6S  _____．
4．（ 2017 新课标Ⅱ）等差数列{}na 前 n 项 nS 3 3a  4 10S 
1
1n
k kS
 ．
5．（ 2015 新课标Ⅱ）设 nS 数列{}na 前 n 项 1 1 11 n n na a S S   __．
6．（ 2015 江苏）数列 }{ na 满足 11 a 11  naa nn （*Nn ）数列 }1{
na
前 10
项 ．
7．（2013 新课标Ⅰ）数列{ na }前 n 项 nS ＝ 21
33na  数列{}通项公式
______
8．（ 2013 湖南）设 nS 数列 na 前 n 项 1( 1) 2
n
nnnS a n N    
（1） 3a _____
（2） 1 2 100SSS   ___________．
9．（ 2012 新课标）数列 }{ na 满足 12)1(1  naa n
n
n 前 60 项 ．
10．（2012 福建）数列 na 通项公式 cos 12n
nan 前 n 项 nS
2012S ___________．
三解答题
11．（2018 浙江）已知等数列 1{}a 公 1q  34528a a a   4 2a  3a 5a
等差中项．数列{}nb 满足 1 1b  数列 1{( ) }n n nb b a  前 n 项 22nn ．
(1)求 q 值
(2)求数列 通项公式．
12．(2018 天津)设{}na 等数列公 0前 n 项 nS()n N{}nb 等差
数列．已知 1 1a  322aa 4 3 5a b b 5 4 62a b b ．
(1)求 通项公式
(2)设数列{}nS 前 n 项 nT()n N
(i)求 nT
(ii)证明
2
2
1
()2 2( 1)( 2) 2
nn
k k k
k
T b b
k k n



    ()n N．
13．（ 2017 江苏）定正整数 k 数列{}na 满足
1 1 1 1 2nknk nn nk nk na a a a a a ka            
意正整数 n ()nk 总成立称数列 ()Pk 数列．
（1）证明：等差数列{}na (3)P 数列
（2）数列 (2)P 数列 数列证明： 等差数列．
14．（ 2016 年全国 II） nS 等差数列 na 前 n 项 1 1a  7 28S  ．记  lgnnba
中 x 表示超 x 整数 09 0  lg99 1 ．
（Ⅰ）求 1b 11b 101b
（Ⅱ）求数列 nb 前1000 项．
15．（ 2015 新课标Ⅰ） nS 数列{}na 前 n 项已知 0na  2 2 4 3n n na a S  
（Ⅰ）求 通项公式：
（Ⅱ）设
1
1
n
nn
b aa
 求数列{}nb 前 n 项．
16．（ 2015 广东）数列{}na 满足： 12 1
2242n n
na a na 
    *Nn ．
（1）求 3a 值
（2）求数列 前 n 项 nT
（3）令 11ba 1 1 1 1(1 )23
n
nn
Tbann
     ( 2)n≥
证明：数列{}nb 前 n 项 nS 满足 2 2lnnSn ．
17．（ 2014 广东）设项均正数数列 na 前 n 项 nS 满足
     NnnnSnnS nn 033 222 ．
（Ⅰ）求 1a 值
（Ⅱ）求数列 通项公式
（Ⅲ）证明：切正整数       3
1
1
1
1
1
1
1
2211
 nn aaaaaa 
18．（ 2013 湖南）设 nS 数列{ na }前项已知 01 a 2 nn SSaa  11 n N 
(Ⅰ)求 1a 2a 求数列｛ ｝通项公式
(Ⅱ)求数列｛ nna ｝前 n 项．
19．（ 2011 广东）设 0b  数列 na 满足 1ab 1
1
( 2)22
n
n
n
nbaanan



．
（1）求数列 通项公式
（2）证明：切正整数 n
1
1 12
n
n n
ba




专题六数列
第十七讲 递推数列数列求
答案部分
2019 年
1解析 （Ⅰ）设等差数列 na 公差 d 等数列 nb 公 q
题意 2
6 6 2 6 12 4
qd
qd

 
解 32
d
q

 

14( 1)331 62 32nn
nna n n b          
 na 通项公式    3 1 nna n n b  N 通项公式  32n
nbn  N
（Ⅱ）（ i）       2 2 21 1321321941nnn
n n n
na c a b  
数列   221nnac 通项公式    221 9 4 1nn
na c n     N
（ii）    2 2 2 2
1 1 1 1
22 11
n n n n
iii i i i i i
i i i i
ca c a a c a a
   
       
   
1
2 2 1
2 4 3 9 4 12
nn n
ni
i
      

   2 1 1 4 1 4
3 2 5 2 9 14
n
nn n 
      
 2 1 1 *27 2 5 2 12nnnn      N
20102018 年
1．解析∵ 1
1
3nnaa  ∴ na 等数列
2
4
3a  ∴ 1 4a  ∴  
10
10
10
141 3
3 1 311 3
S 
  

选 C．
2．D 解析数列通项知1 25n剟 nN 时 0na … 26 50n剟
时 0na „ 1 26 0aa 2 27 0aa∴ 1 2 50SSS

正数51 100n剟 nN 理 51 52 100SSS 正数正数
数 100
3． 63 解析通解 21nnSa 1n 时 1121aa解 1 1a
2n 时 1 2 221  a a a 解 2 2a
3n 时 1 2 3 321   a a a a 解 3 4a
4n 时 1 2 3 4 421    a a a a a 解 4 8a
5n 时 1 2 3 4 5 521     a a a a a a 解 5 16a
6n 时 1 2 3 4 5 6 621      a a a a a a a 解 6 32a ．
6 1 2 4 8 16 32 63        S．
优解 时 解
2≥n 时 112 1 2 1     n n n n na S S a a 12 nnaa
数列{}na 1 首项2 公等数列 12  n
na

6
6
1 (1 2 ) 6312
    S．
4． 2
1
n
n 
解析设等差数列首项 1a 公差 d
1
1
23
434 102
ad
ad
 

解 1 1a  1d 
∴ 1
( 1) ( 1)
22n
n n n nS na d    1 2 1 12( )( 1) 1nS k k k k  


1
1 1 1 1 1 1 1 22[(1 ) ( ) ( )] 2(1 )2 2 3 1 1 1
n
k k
n
S n n n n
       ．
5． 1
n 解析 1n 时 11 1Sa  
1
1 1S 
1 1 1n n n n na S S S S    
1
111
nnSS

1
111
nnSS
  

1{}
nS
1 首项 公差等差数列
1 ( 1) ( 1)( 1)
n
nnS        1
nS n ．
6． 20
11
解析题意： 1 1 2 2 1 1()()()n n n n na a a a a a a a         
( 1)1 2 1 2
nnnn       
10
1 1 1 1 2 202( ) 2(1 ) 1 1 1 11n
n
nSSa n n n n       
．
7．解析 n 1 时 1a 1S 1
21
33a  解 1a 1
≥2 时 na 1nnSS 21
33na  －( 1
21
33na   ) 1
22
33nnaa 12 na 
∴{}首项 1公－2 等数列∴ 1( 2)n
8．（ 1） 1
16 （ 2） 100
11( 1)32 
解析(1)∵ 1( 1) 2
n
nnnSa   ．
3n  时a1＋a2＋a3＝－a3－1
8 ①
4n  时a1＋a2＋a3＋a4＝a4－ 1
16∴a1＋a2＋a3＝－ 1
16 ②
①②知 a3＝－ 1
16．
(2) 1n  时 11
11
1( 1) ( )2
nn
nnSa
   ∴ 1
1( 1) ( 1) ( )2
n n n
n n na a a     
n 奇数时 1
1
11()22
n
nnaa

n 偶数时 1
1()2
n
na   ．

11()2
1()2
n
n
n
n
a
n
 


奇数
偶数
1
1 2
0
n
n
nS
n

 

奇数
偶数

∴ 1 2 100 2 4 6 100
1 1 1 1()2 2 2 2SSS     

100
100 100
11(1 ) 1 1 1 142 (1 ) ( 1)1 3 2 3 21 4

      

．
9．1830解析证明：
1 41 42 43 44 43 42 42 4 16 16n n n n n n n n n nb a a a a a a a a b       
1 1 2 3 410b a a a a      15
15 1410 15 16 18302S      ．
10．3018解析 cos 2
n 周期 4 cos 12n
nan nN
∴ 1 2 3 4 6a a a a    5 6 7 8 6a a a a    …
∴ 2012 503 6 3018S    ．
11．解析(1) 4 2a  3a 5a 等差中项 3 5 424a a a  
3 4 5 43 4 28a a a a    
解 4 8a  ．
3520aa 18( ) 20q q
1q  2q  ．
(2)设 1()n n n nc b b a 数列{}nc 前 n 项 nS．
1
1
1
2n
nn
Snc S S n
   ≥ 解 41ncn．
(1)知 12n
na 
1
1
1(4 1) ( )2
n
nnb b n 
    
2
1
1(4 5) ( )2
n
nnb b n 
    2n≥
1 1 1 2 3 2 2 1()()()()n n n n nb b b b b b b b b b         
231 1 1(4 5)() (4 9)() 7 32 2 2
nnnn     ．
设 221 1 137 11() (4 5)()2 2 2
n
nTn    

2 3 11 1 1 1 13 7() 11() (4 5)()2 2 2 2 2
n
nTn   
2 2 11 1 1 1 134 4() 4() (4 5)()2 2 2 2 2
nn
nTn   
2114 (4 3) ( )2
n
nTn    2n≥
1 1b  2115 (4 3) ( )2
n
nbn    ．
12．解析(1)设等数列{}na 公 q． 1 3 21 2a a a   2 20qq   ．
0q  2q  12n
na  ．
设等差数列{}nb 公差 d 4 3 5a b b 1 3 4bd 5 4 62a b b
13 13 16bd 1 1 1bd nbn
数列{}na 通项公式 12n
na  数列{}nb 通项公式
(2)(i)(1) 12 2112
n
n
nS   

1
11
2 (1 2 )(2 1) 2 2 212
nnn
k k n
n
kk
T n n n

         ．
(ii)证明：
1 1 2 1
2()(2 2 2) 2 2 2
( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2) 2 1
k k k k
k k+ kT +b b k k k k
k k k k k k k k
                 


3 2 4 3 2 1 2
2
1
()2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2(1)(2)32 43 2 1 2
n n nn
k k k
k
T b b
k k n n n
  


              ．
13．解析证明（1） na 等差数列设公差 d 1 ( 1)na a n d  
n 4≥ 时 n k n ka a a  1 1( 1) ( 1)n k d a n k d     
12 2( 1) 2 na n d a    123k 
n n n n n n na a a a a a a       3 2 1 1 2 3+ + + 6
等差数列 na (3)P 数列
（2）数列 (2)P 数列 (3)P 数列

3n  时 n n n n na a a a a      2 1 1 2 4 ①
4n  时 n n n n n n na a a a a a a          3 2 1 1 2 3 6 ②
①知 n n na a a    3 2 14 1()nnaa ③
n n na a a    2 3 14 1()nnaa  ④
③④代入② n n na a a112 中
345a a a 等差数列设公差 d＇
①中取 4n  2 3 5 6 44a a a a a    23a a d＇
①中取 3n  1 2 4 5 34a a a a a    122a a d＇
数列{}na 等差数列
14．解析（Ⅰ）设 na 公差 d 747 28Sa
∴ 4 4a  ∴ 4113
aad ∴ 1 ( 1)na a n d n    ．
∴    11lg lg1 0ba      11 11lg lg11 1ba      101 101 101lg lg 2ba   ．
（Ⅱ）记 nb 前 n 项 nT 1000 1 2 1000T b b b    
     1 2 1000lg lg lga a a     ．
0 lg 1na ≤ 时 1 2 9n  
1 lg 2na ≤ 时 10 11 99n  
2 lg 3na ≤ 时 100 101 999n  
lg 3na  时 1000n  ．
∴ 1000 0 9 1 90 2 900 3 1 1893T          ．
15．解析（Ⅰ） 1n  时 2
1 1 1 12 4 3 4 +3a a S a    0na  1a 3
2n  时 22
1 1 14 3 4 3 4         n n n n n n na a a a S S a
1 1 1( )( ) 2( )n n n n n na a a a a a      1nnaa 2
数列{ na }首项 3公差 2 等差数列

na 21n
（Ⅱ）（Ⅰ）知 nb 1 1 1 1()(2 1)(2 3) 22 1 2 3n n n n   

数列{}前 n 项
12 nb b b   1 1 1 1 1 1 1[( ) ( ) ( )]2 3 5 5 7 2 1 2 3nn     
11
6 4 6 3(2 3)
n
nn
16．解析（1）题意知： 12 1
2242n n
na a na 
    

3n 时 12 1
222 4 2
aa
时 1 2 3 2
322 +3 4 2
a a a
3 21
3 2 2 2 33 4 (4 )2 2 4
   a
3
1 4a
（2） 1n 时 1 11
12412a
+
2n≥ 时 12 1
2242n n
na a na 
     知
1 2 1 2
122 ( 1) 4 2n n
na a n a  
     
两式相减 2 1 1
12
2 2 2n n n n
n n nna   
   时 1
1
2n na ．
检验知 1 1a 满足 ．数列{}na 1 首项 1
2
公公数列
1
11 [1 ( ) ] 12 21 21 2
n
n nT 

  

．
（3）（1）（ 2）知 111ba．
2n≥ 时
21
1
121 1 1 1 1 1 12(1 ) (1 )2 3 2 3 2
nn
nn n
Tban n n n



    
1
2 1 1 1 1 1(1 )2 3 1 2nn n n    
．
1n 时 1 1 2 2ln1 2S < + 成立

2n≥ 时
12
2 1 1 2 1 1 11[ (1)][ (1 ) ]2 2 2 3 2 3 2nS      
1
2 1 1 1 1 1[ (1 ) ]2 3 1 2nn n n    
2 1 2 3 1
11 111 1111 111 2( ) ( ) ( )2 3 2 2 2 2 2 2 2 2nnn         
3 4 1 2 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1()()()3 2 2 2 2 1 2 2 2n n n nnn         
2
12
111 1 1 1 1 1 121 2( ) (1 ) ( )12 3 2 2 2 21 2
n
nn



    


3
3 2 1 2 1
111 1 1 1 1 1 1 12()()()13 2 2 1 2 2 21 2
n
n n nnn

  

    

11
1 1 1 1 1 11 2( ) (1 ) ( )2 3 2 2 2nnn     
1 1 1
1 1 1 1 1 1()()()3 2 1 2 2n n nnn       
1
1 1 1 1 1 1 12 2( ) (1 )2 3 2 3 2nnn         1 1 12 2( )23 n    ．
构造函数 ( ) ln(1 ) 01
xf x x xx   
2
( ) 0 ( ) ( )1
xf x f xx
0+ 单调递增   
( ) ln(1 ) (0) 01
xf x x fx     
ln(1 ) ( )1
xx x
0+ 恒成立   
ln(1 )1
x xx <++
11x n
令
 2n≥ 11ln(1 )1nn

11ln(1 )2 2 1
11ln(1 )3 3 1
 11ln(1 )1nn

1n  式子相加
 1 1 1 1 1 1ln(1 ) ln(1 ) ln(1 )2 3 2 1 3 1 1nn        
23ln( ) ln1 2 1
n nn  

1 1 12 2( ) 2 2ln23nSnn     
综知 2 2lnnSn ．

17．解析（Ⅰ） 22
1 1 1 11 (1) 320 60n S S S S        令
11( 3)( 2) 0SS  
1 1 10 2 2S S a   
（Ⅱ） 2 2 2 2( 3) 3( ) 0 ( 3) ( ) 0n n n nS n n S n n S S n n         
20( ) 0 3 0 n n n na n N S S S n n        
22
12 ( 1) ( 1) 2 n n nn a S S n n n n n   时
1 2 2 1 2 ( )na a n n N     
（Ⅲ） 223 1 3 ( )( )2 2 16 4 4
kkk N k k k k        时
1 1 1 1 1 1
1 1 3( 1) 2 (2 1) 4 4( ) ( )( )2 4 4
kka a k k k k k k
        

1 1 1 1 1
111144( 1)( ) ( 1) 4444
kkkk

         
1 1 2 2
1 1 1
( 1) ( 1) ( 1)nna a a a a a     
1 1 1 1 1 1 1()()1 1 1 1 1 14 1 2 2 3 ( 1)4 4 4 4 4 4nn

      
      
．
18．解析(Ⅰ) 111111 21SSaanaS  时 10 11  aa
11
1
11
1
1
1 222221 

  nnnn
nn
nnn aaaaS
aa
S
aassan 时
*221}{ 1
1 Nnaqaa n
nn  等数列公时首项
（Ⅱ） nnnn qanqaqaqaqTanaaaT   321321 321321设
1432 321  nn anaaaqT 
式错位相减：

nn
n
n
nnn nnaq
qanaaaaaTq 2121
1)1( 111321 
 
*12)1(NnnT n
n  ．
19．解析（1） 1
1
11
1 2 10 0 22
n
n
n n n
nba nna b a a n a b b a


     
知
令 1
1n
n
nAAab
1
122nnn A Abb  时
21
12 1 1
1 2 2 2nn
nnAb b b b

    
21
21
1 2 2 2
nn
nnb b b b

    
① 2b  时
12(1 ) 2 2 ( 2)1
n
nn
n n
bbbA bb
b
  

② 2 2n
nbA时
( 2) 22
2 2
n
nn
n
nb b ba b
b
   
 

（2） 2b  时（欲证
11
11
( 2) 21 ( 1) 22 2 2
n n n n n
n
n n n n n
nb b b b ba nb bb


     
需证 ）
1 1 1 1 1 2 12(2 ) (2 )( 2 2 )2
nn
n n n n n n nbb b b bb
           
1 1 2 2 2 2 2 1 1 12 2 2 2 2n n n n n n n n nb b b b b             
21
21
2 2 22 ( )222
n n n
nn
n n n
b b bb b bb

       
12 (2 2 2) 2 2 2n n n n n nb n b n b       
1
1
( 2) 122
nn
n n n n
nb b ba b


   


1
12 2 12
n
n n
bba

   时
综述
1
1 12
n
n n
ba




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