专题六 数列
第十五讲 等差数列
2019 年
1（2019 全国 1 理 9）记 nS 等差数列{}na 前 n 项．已知 4505Sa
A． 25nan B． 3 10nan C． 228nS n n D． 21 22nS n n
2（2019 全国 3 理 14）记 Sn 等差数列{an}前 n 项 1 2 103a a a≠
10
5
S
S  ___________
3（ 2019 江苏 8 ） 已 知 数 列 *{ }( )nanN 等 差 数 列 nS 前 n 项
2 5 8 90 27a a a S   8S 值
4（2019 北京理 10）设等差数列 na 前 n 项 nS 253 10aS    5a 
________ 值_______

20102018 年

选择题
1．(2018 全国卷Ⅰ)记 nS 等差数列{}na 前 n 项 3 2 43SSS 1 2a  5a
A． 12 B． 10 C．10 D．12
2．（ 2017 新课标Ⅰ）记 nS 等差数列{}na 前 n 项． 4524aa 6 48S 
公差
A．1 B．2 C．4 D．8
3．（ 2017 新课标Ⅲ）等差数列{}na 首项 1公差 0． 2a 3a 6a 成等数列
前 6 项
A． 24 B． 3 C．3 D．8
4．（ 2017 浙江）已知等差数列 na 公差 d 前 n 项 nS 0d 
4 6 5+2SSS
A． 充分必条件 B． 必充分条件
C． 充分必条件 D．充分必条件
5．（ 2016 年全国 I）已知等差数列{}na 前 9 项 27 10 8a 100 a
A．100 B．99 C．98 D．97
6．（2015 重庆）等差数列 na 中 244 2aa 6a ＝
A．－1 B．0 C．1 D．6
7．（ 2015 浙江）已知{}na 等差数列公差 d 零前 n 项 nS． 3 4 8a a a 成等
数列
A． 140 0a d dS B． 140 0a d dS
C． 140 0a d dS D． 140 0a d dS
8．（ 2014 辽宁）设等差数列{}na 公差 d 数列 1{2 }naa 递减数列
A． 0d  B． 0d  C． 1 0ad D． 1 0ad
9．（ 2014 福建）等差数列{}na 前 n 项 nS 132 12aS 6a 
A．8 B．10 C．12 D．14
10．（ 2014 重庆）等差数列{}na 中 1 3 52 10a a a   7a 
A．5 B．8 C．10 D．14
11．（ 2013 新课标Ⅰ）设等差数列 前 n 项 nS 1mS  ＝－2 mS ＝0 1mS  ＝3
m ＝
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2013 辽宁）面关公差 0d  等差数列 四命题：
 1 npa数列 递增数列  2 np na数列 递增数列
3 nap n

数列 递增数列  43np a nd数列 递增数列
中真命题
A． 12pp B． 34pp C． 23pp D． 14pp
13．（ 2012 福建）等差数列 na 中 1510aa 4 7a  数列 公差
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（ 2012 辽宁）等差数列 na 中已知 48+ 16aa 该数列前 11 项 11S
A．58 B．88 C．143 D．176
15．（ 2011 江西）设{}na 等差数列公差 2d  nS 前 n 项 10 11SS
1a 
A．18 B．20 C．22 D．24
16．（ 2011 安徽）数列  na 通项公式 1 2 10( 1) (3 2)n
na n a a a      
A．15 B．12 C．  D． 
17．（2011 天津）已知 na 等差数列公差 2 7a 3a 9a 等中项 nS
前 n 项 *nN 10S 值
A．－110 B．－90 C．90 D．110
18．（ 2010 安徽）设数列{}na 前 n 项 2
nSn 8a 值
A．15 B．16 C．49 D．64
二填空题
19．(2018 北京)设{}na 等差数列 1 3a  2536aa 通项公式___．
20．(2018 海)记等差数列{}na 前项 nS 3 0a  6714aa 7S ．
21．（ 2017 新课标Ⅱ）等差数列{}na 前 n 项 nS 3 3a  4 10S 
1
1n
k kS
 ．
22．（2015 广东）等差数列 na 中 3 4 5 6 7 25a a a a a     28aa ．
23．（ 2014 北京）等差数列 na 满足 7 8 9 0a a a   7 10 0aa n  __时
前 n 项．
24．（ 2014 江西）等差数列 na 中 71 a 公差 d 前 n 项 nS仅 8n
时 取值 取值范围_________．
25．（ 2013 新课标 2）等差数列 na 前 n 项 nS已知 10 0S  15 25S  nnS
值____
26．（ 2013 广东）等差数列 na 中已知 3810aa 573aa _____．
27．（ 2012 北京）已知{}na 等差数列 nS 前 n 项． 1
1
2a  23Sa
2a 
28．（ 2012 江西）设数列 { }{ }nnab等差数列 117ab 3321ab
55ab___________．
29．（ 2012 广东）已知递增等差数列{}na 满足 1 1a  2
324aa na ____．
30．（ 2011 广东）等差数列 前 9 项等前 4 项． 1 1a  4 0kaa
k _________．
三解答题
31．（2018 全国卷Ⅱ）记 nS 等差数列{}na 前 n 项已知 1 7a 3 15S．
(1)求{}na 通项公式
(2)求 求 值．
32．（2017 北京）设{}na {}nb 两等差数列记
1 1 2 2max{ }n n nc b a n b a n b a n     ( 123 )n  
中 12max{ }sx x x 表示 12 sx x x s 数中数．
（Ⅰ） nan 21nbn求 1 2 3c c c 值证明{}nc 等差数列
（Ⅱ）证明：者意正数 M存正整数 m nm≥ 时 nc Mn  者存
正整数 12m m mc c c等差数列．
33．（ 2016 年山东高考）已知数列 na 前 n 项 238nS n n nb 等差数列
1n n na b b 
（Ⅰ）求数列 通项公式
（Ⅱ）令
1( 1) ( 2)
n
n
n n
n
ac b
  求数列 nc 前 n 项 Tn
34．（ 2016 年天津高考）已知 na 项均正数等差数列公差 d 意 *Nn
nb na 1na  等差中项．
(Ⅰ)设 2 2 *
1 Nn n nc b b n   求证：数列 nc 等差数列
(Ⅱ)设

 
2
2*
1
1
1 N
n k
nk
k
a d T b n

    求证： 2
1
112
n
k kTd

35．（ 2015 四川）设数列{}na 前 n 项 12nnS a a 1 2 3 1a a a 成等差数列
（1）求数列 通项公式
（2）记数列 1{}
na
前 项 nT求 1| 1| 1000nT  成立 值
36．(2015 湖北)设等差数列{}na 公差 d 前 n 项 nS等数列{}nb 公 q ．已
知 11ba 2 2b  qd 10 100S  ．
(Ⅰ)求数列{}na {}nb 通项公式
(Ⅱ) 1d  时记 n
n
n
ac b 求数列{}nc 前 项 nT．
37．（ 2014 新课标 1）已知 na 递增等差数列 2a 4a 方程 2 5 6 0xx   根．
(Ⅰ)求 通项公式
（Ⅱ）求数列
2
n
n
a
前 n 项．
38．(2014 新课标 1)已知数列{ na }前 n 项 nS 1a 1 0na  1 1n n na a S 
中  常数．
(Ⅰ)证明： 2nnaa 
（Ⅱ）否存 {}等差数列？说明理．
39．（ 2014 浙江）已知等差数列{}na 公差 0d  设 前 n 项 nS 1 1a 
2336SS．
（Ⅰ）求 d nS
（Ⅱ）求 mk（*m k N ）值 12 65m m m m ka a a a       ．
40．（2013新课标1）已知等差数列{}na 前 n 项 nS 满足 3 0S  5 5S  ．
（Ⅰ）求{}na 通项公式
（Ⅱ）求数列
2 1 2 1
1{}
nnaa
前 n 项．
41．（ 2013 福建）已知等差数列{}na 公差 1d  前 n 项 nS．
（Ⅰ） 131 aa成等数列求 1a
（Ⅱ） 5 1 9S a a 求 1a 取值范围．
42．（2013 新课标 2）已知等差数列{}na 公差零 1 25a  1a 11a 13a 成等
数列．
（Ⅰ）求{}na 通项公式
（Ⅱ）求 1 4 7 3 2+ na a a a   ．
43．（2013 山东）设等差数列 na 前 n 项 nS 424SS 2 21nnaa．
（Ⅰ）求数列 通项公式
（Ⅱ）设数列 nb 前 项 nT 1
2
n
n n
aT （λ 常数）令 2nncb （*nN）．求
数列 nc 前 项 nR．
44．（ 2011 福建）已知等差数列 中 1a 1 3 3a  ．
（Ⅰ）求数列 通项公式
（Ⅱ）数列 前 k 项 35kS  求 k 值．
45．（ 2010 浙江）设 1a d 实数首项 公差 等差数列{}na 前 n 项 nS
满足 56SS+150．
（Ⅰ） 5S 5求 6S
（Ⅱ）求 d 取值范围．
专题六 数列
第十五讲 等差数列
答案部分
2019 年
1解析：设等差数列 na 公差 d 4505Sa
1
1
4 6 0
45
ad
ad

 
解 1 3
2
a
d

 

25 42nna n S nn  选 A．
2解析 设等差数列{}na 公差 d
1 0a  213aa 12da
10 1 10 1 1 1
5 1 5 1 1 1
10( ) 2(2 9) 2(2 18) 45( ) 2 4 2 8
S a a a d a a
S a a a d a a
      
3解析 设等差数列{}na 首项 1a 公差 d

1 1 1
1
( )( 4 ) 7 0
989 272
a d a d a d
ad
     
解 1 5
2
a
d

 
．
81
878 6 ( 5) 15 2 162
dSa       
4解析：题意 21
51
3
5 10 10
a a d
S a d
   
     
解 1 4
1
a
d

 

5140a a d  
 na 递增数列 5 0a 
nS 值 4S 5S  45
434 4 1 102SS        



20102018 年


1．B解析通解 设等差数列{}na 公差 d ∵ 3 2 43 SSS．
∴ 1 1 1
3 2 4 33(3 ) 2 422
    a d a d a d 解 1
3
2da
∵ 1 2a ∴ 3d
∴ 514 2 4 ( 3) 10       a a d ．选 B．
优解 设等差数列 公差 d ∵ ∴ 3 3 3 3 43    S S a S a
∴ 3 4 3S a a ∴ 1
323 2
a d d
∵ ∴ ∴ ．选 B．
2．C解析解法 6 1 6 3 43( ) 3( ) 48S a a a a     3416aa
4 5 3 4( ) ( ) 8a a a a    538aa
设公差 d 28d  4d  ．选 C．
解法二 设公差 1
1
2 7 24 6 15 48
ad
ad

 
解 4d  选 C．
3．A解析设{}na 公差 d （ 0d  ） 2
3 2 6a a a 2(1 2 ) (1 )(1 5 )d d d   
2d  6
656 1 ( 2) 242S        ．选 A．
4．C解析∵ 6 5 5 4 6 5()()S S S S a a d      0d  4 6 5+2SSS
0d  ． 0d  充分必条件选 C．
5．C解析设等差数列{}na 公差 d 等差数列 959 27Sa
5 3a  ． 10 8a  解 10 555d a a   1d  100 5 95 98a a d  
选 C．
6．B解析等差数列性质 6 4 22 2 2 4 0a a a      选 B 4 2a  ．
7．B解析 3 4 8a a a 成等数列： 2
1 1 1( 3 ) ( 2 ) ( 7 )a d a d a d+ +
13 5 0ad+ 1
5
3ad 1 0ad< ．
214
41
( ) 4 22(2 3 ) 023
aadS d a d d d+ + < ．
8．C解析∵数列 1{2 }naa 递减数列 1 1 1 1 1 1[ ( 1) ] ( )naa aa n d adnaa d      等式
右边关 n 次函数∴ 1 0ad ．
9．C解析 设等差数列{}na 公差 d 3133S a d12 3 2 3d   解
2d  6 12a  ．
10．B解析等差数列性质 1 7 3 5a a a a   1 2a  3510aa 7 8a 
选 B．
11．C解析题意知 mS 1()
2
mm a a 0∴ 1a  ma （ 1mS  ） 2
1ma  1mS  3∴公差 d 1∴3 2 m
∴ m 5选 C
12．D解析设 1 ( 1)na a n d dn m     1p 正确果 3 12nan满足已
知 23 12nna n n非递增 2p 错果 1nan满足已知
11na
nn 递减数列 3p 错 34na nd dn m   递增数列 4p 正
确．
13．B解析题意 1 5 32 10a a a   3 5a  ∵ 4 7a  ∴ 432aa∴ 2d  ．
14．B解析 4 8 6 6+ 2 16 8a a a a  1 11
11 6
11 + 11 882
aaSa选 B
15．B解析 10 11SS 11 11 10 0a S S  
1 11 (1 11) 0 ( 10) ( 2) 20a a d         ．
16．A解析 10
1 2 10 1 4 7 10 ( 1) (3 10 2)a a a       
9 10( 1 4) ( 7 10) [( 1) (3 9 2) ( 1) (3 10 2)] 15        ．
17．D解析 7a 3a 9a 等中项 2
7 3 9a a a 数列 na 公差 2
2
1 1 1( 12) ( 4)( 16)a a a    解 1 20a 
20 ( 1) ( 2) 22 2na n n      
1 10
10
10( ) 5 (20 2) 1102
aaS      ．
18．A解析 8 8 7 64 49 15a S S     ．
19．14解析解法 设{}na 公差 d 首项 1a 1
11
20
5 6 14
ad
a d a d

    

解 1 4
2
a
d

 
7
767 ( 4) 2 142S       ．
解法二 32 7 14ad 2d  ． 43 2a a d   747 7 2 14Sa    ．
20． 63nan解析设等差数列公差 d 2 5 1 1 4 6 5 36a a a d a d d       
∴ 6d  ∴ 3 ( 1) 6 6 3na n n      ．
21． 2
1
n
n 
解析设等差数列首项 1a 公差 d
1
1
23
434 102
ad
ad
 

解 1 1a  1d 
∴ 1
( 1) ( 1)
22n
n n n nS na d    1 2 1 12( )( 1) 1nS k k k k  


1
1 1 1 1 1 1 1 22[(1 ) ( ) ( )] 2(1 )2 2 3 1 1 1
n
k k
n
S n n n n
       ．
22．10 解析 3 4 5 6 7 25a a a a a     55 25a 5 5a
2 8 52 10a a a+ ．
23．8 解析 ∵数列 na 等差数列 7 8 9 830a a a a    8 0a  ．
7 10 8 9 0a a a a    ∴ 9 0a  ． n 8 时前 项．
24． 7( 1 )8 解析题意知仅 8n 时 nS 取值 8
9
0
0
0
d
a
a

 
 
解
71 8d    ．
25．－49解析设 na 首项 1a 公差 d 10 0S  15 25S  1
1
2 9 0
3 21 5
ad
ad

 

解 1
23 3ad   ∴  321 103nnS n n
设    321 103f n n n   2 20 3f n n n 
200 3n 时   0fn  20
3n    0fn  *nN
6n  时    316 6 10 36 483f     
7n  时    321 7 10 7 493fn    
∴ 7n  时 nnS 取值 49 ．
26．20解析 题意 12 9 10ad
 5 7 1 1 13 3 4 6 4 18 20a a a d a d a d        ．
：  5 7 3 83 2 20a a a a   
27．1( 1)
4
nn 解析设公差 d 1122a d a d   1
1
2a  代入 1
2d 
∴ 2 1a  nS 1 ( 1)4 nn
28．35解析（解法）数列{ }{ }nnab等差数列数列 nnab 等差
数列．等差中项性质     5 5 1 1 3 32a b a b a b    
 557 2 21ab    解 5535ab ．
（解法二）设数列 公差分 12dd
3 3 1 1 1 2( 2 ) ( 2 )a b a d b d     1 1 1 2( ) 2( )a b d d    127 2( ) 21dd   
127dd 5 5 3 3 1 2( ) 2( ) 35a b a b d d     
29． 21nan解析 22
1 3 21 4 1 2 (1 ) 4a a a d d       
2 2 1nd a n    
30．10解析设{}na 公差 d 94SS 1 1a 
9 8 4 39 1 4 122dd     1
6d  ． 4 0kaa
11[1 ( 1) ( )] [1 (4 1) ( )] 066k         
10k  ．
31．解析(1)设{}na 公差 d题意 13 3 15ad   ．
1 7a  d2．
通项公式 29nan．
(2)(1) 228 ( 4) 16nS n n n     ．
4n  时 nS 取值值−16．
32．解析（Ⅰ）易知 1 1a  2 2a  3 3a  1 1b  2 3b  3 5b 
1 1 1 1 1 0c b a    
2 1 1 2 2max{ 2 2 } max{1 2 13 2 2} 1c b a b a         
3 1 1 2 2 3 3max{ 3 3 3 } max{1 3 13 3 25 3 3} 2c b a b a b a     ．
面证明：意 n *N 2n≥ 11nc b a n   ．
k  *N 2 kn≤ ≤ 时
11()()kkb a n b a n    
[(2 1) ] 1k nk n    
(2 2) ( 1)k n k   
( 1)(2 )kn  
∵ 10k  20n ≤
∴ 11( ) ( ) 0kkb a n b a n     ≤  11()()kkb a n b a n   ≥ ．
意 11 1nc b a n n     1 1nncc    ．
∵ 21 1cc  
均成立{}nc 等差数列
（Ⅱ）设数列{}na {}nb 公差分 abdd面考虑 nc 取值．
11b a n 22b a n nnb a n
考虑中意项 iib a n(i *N 1)in≤ ≤
iib a n 11[ ( 1) ] [ ( 1) ]bab i d a i d n      
11( ) ( 1)( )bab a n i d d n      
面分 0ad  0ad  0ad  三种情况进行讨．
（1） 11( ) ( 1) bb a n i d    
① 0bd ≤ 11( ) ( ) ( 1) 0i i bb a n b a n i d       ≤
定正整数 n 言 11nc b a n  
时 11nnc c a    {}nc 等差数列
② 0bd  ( ) ( ) ( ) 0i i n n bb a n b a n i n d       ≤
定正整数 言 1n n n nc b a n b a n     
时 11n n bc c d a    等差数列
时取 1m  1 2 3c c c 等差数列命题成立．
（2） 0ad  时 abd n d   关 n 次项系数负数次函数．
必存 m *N nm≥ 时 0abd n d   
时
11( ) ( ) ( 1)( 0i i a bb a n b a n i d n d          )≤ ( 1 )i i n *N ≤ ≤
时 11nc b a n   ．
时 11nnc c a    {}nc 第 m 项开始等差数列命题成立．
（3） 0ad  时 abd n d   关 次项系数正数次函数．
必存 s *N ns≥ 时 0abd n d   
时
( ) ( ) ( )( 0i i n n a bban ban indnd          )≤
ns≥ 时 n n nc b a n   ．
时 n n n n
n
c b a n ban n n
    1
1()b
a a b
bdd n d a d n
      
令 0adA   1abd a d B   1 bb d C
面证明 nc CAn Bnn   意正数 M存正整数 m nm≥ 时
nc Mn  ．
① 0C≥ 取 ||[ ] 1MBm A
（[]x 表示等 x 整数）
nm≥ 时
||([ ] 1)nc MBMBAnBAmBA BA BMn A A
        ≥ ≥
时命题成立．
0C  取 ||[ ] 1MCBm A

时
||([ ] 1)nc MCBAnBCAmBCA BCnA
       ≥ ≥
MCBBCM    ≥
时命题成立．
意正数 M nm≥ 时 nc Mn  ．
综合三种情况命题证．
33．解析(Ⅰ)数列 na 前 n 项 nnSn 83 2 
111 a 2n 时
56)1(8)1(383 22
1   nnnnnSSa nnn
56  nan 1n 成立 56  nan ．
 nb 等差数列设公差 d dbbba nnnn   21 ．
时 db 112 1 2n 时 db 172 2
解 3d 数列 通项公式 132  ndab n
n ．
(Ⅱ) 1
11
2)33()33(
)66(
)2(
)1( 



 n
n
n
n
n
n
n
n nn
n
b
ac
1432 2)33(2122926  n
n nT 
两边２
2143 2)33(2)3(29262   nn
n nnT 
两式相减
21432 2)33(23232326   nn
n nT 
2
2
2 2)33(21
)21(2323 
 n
n
n
222 232)33()21(2312   nnn
n nnT．
34．解析(Ⅰ)题意 2
1n n nb a a  22
1 1 2 1 12n n n n n n n nc b b a a a a da        
2
1 2 12 ( ) 2n n n nc c d a a d      数列 nc 等差数列．
(Ⅱ) 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 2 1 2()()()n n nT b b b b b b     
2 4 22 ( )nd a a a   22()2 2
nn a ad  22 ( 1)d n n．
2 2 2 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) (1 )2 ( 1) 2 1 2 1 2
n n n
k k kkT d k k d k k d n d  
           ．
35．解析（1）已知 12nns a a  112 2 2n n n n na s s a a n    
 122nna a n
2 1 3 12 4a a a a．
1 2 3 1a a a 成等差数列 1 3 22( 1)a a a   ．
1 1 14 2(2 1)a a a   解 1 2a  ．
数列{}na 首项 2公 2 等数列． 2n
na  ．
（2）（1） 11
2n
na  ．
23
11[1 ( ) ]1 1 1 1 122112 2 2 2 21 2
n
n nnT

       

．
1| 1| 1000nT  11|1 1|2 1000n   2 1000n  ．
9 102 512 1000 1024 2   
10n  ．
成立 n 值 10．
36．解析（Ⅰ）题意 1
1
10 45 100
2
ad
ad

 
1
1
2 9 20
2
ad
ad

 
．
解 1 1
2
a
d

 

1 9
2
9
a
d
 
1
21
2
n
n
n
an
b 
 

1
1 (2 79)9
29 ( )9
n
n
n
an
b 
 
 
．
（Ⅱ） 1d  知 21nan 12n
nb  1
21
2n n
nc 

2 3 4 1
3 5 7 9 2 11 2 2 2 2 2n n
nT 
       ①
2345
1 1 3 5 7 9 2 1
2 2 2 2 2 2 2n n
nT        ②
①②
22
1 1 1 1 2 1 2 3232 2 2 2 2 2n n n n
nnT 
        nT 1
236 2n
n

 ．
37．解析(Ⅰ)方程 2 5 6 0xx   两根 23题意 242 3aa
设数列 na 公差 d 422a a d 1 2d  1
3 2a 
通项公式 1 12nan．
（Ⅱ）设
2
n
n
a
前 n 项 ns （I）知 1
2 22
n
nn
a n


2 3 1
3 4 1 2 2 2 2 2n nn
nns 
    
3 4 1 2
1 3 4 1 2 2 2 2 2 2n nn
nns 
    
两式相减
3 1 2
1 3 1 1 2( )2 4 2 2 2n nn
ns 
     12
3 1 1 2(1 ) 4 4 2 2nn
n

   
1
42 2n n
ns 
 ．
38．解析(Ⅰ)题设 1 1 2 11 1n n n n n na a S a a S      
两式相减 1 2 1()n n na a a a  
1 0na   2 nnaa 
（Ⅱ）题设 1 1a  1 2 1 1a a S 2 1a 
(Ⅰ)知 3 1a 
令 2 1 32a a a解 4 
2 4nnaa 
 21na  首项 1公差 4 等差数列 21 43nan 
 2na 首项 3公差 4 等差数列 2 41nan
21nan 1 2nnaa 
存 4  数列 na 等差数列．
39．解析（Ⅰ）题意 36)33)(2( 11  dada
11 a 代入式 2d 5d
0d 2d 12  nan 2nSn  （ Nn ）
（Ⅱ）（1）知 )1)(12(1   kkmaaa knnn
65)1)(12(  kkm
Nkm 知 1)1)(12(  kkm






51
1312
k
km





4
5
k
m

40．解析（Ⅰ）设 na 公差 d nS 1
( 1)
2
nnna d ．
已知
1
1
1
3 3 0 1 15 10 5
ad adad
      
解
  2 nna a n 通项公式
（2）（Ⅰ）知
2 1 2 1
1 1 1 1 1( )(32)(12) 22 3 2 1nna a n n n n
     
数列
2 1 2 1
1
nn
naa



前 项
1 1 1 1 1 1 1+ + + )21113 232112
n
n n n      
（
41．解析（Ⅰ）数列{}na 公差 1d  131 aa成等数列
2
111 ( 2)aa  
2
1120aa   解 1 1a  1 2a  ．
（Ⅱ）数列 公差 1d  5 1 9S a a
2
1 1 15 10 8a a a  
2
113 10 0aa   解 152a  
42．解析（Ⅰ）设{}na 公差 d 题意 2
11 1 13a a a
   2
1 1 110 12a d a a d  
 12 25 0d a d
0d  （舍） 2d 
2 27nan  
（Ⅱ）令 1 4 7 3 2nnS a a a a     ．
（Ⅰ）知 32 6 31nan     32na  首项 25公差 6 等差数列
  2
1 3 2 3 282nn
nS a a n n     ．
43．解析（Ⅰ）设等差数列 na 首项 1a 公差 d
424SS 2 21nnaa
11
11
4 6 8 4
(2 1) 2 2( 1) 1
a d a d
a n a n d
  
      

解 1 1a  2d  ．
21nan *()nN ．
（Ⅱ）题意知： 12n n
nT  
2n  时 1 12
1
22n n n nn
nnb T T  
    
1
2 21
2 2 1( 1)( )24
n
nn n
nc b n 

   
0 1 2 3 11 1 1 1 10()1() 2() 3() ( 1)()4 4 4 4 4
n
nRn    
1 2 3 11 1 1 1 1 10()1() 2() ( 2)() ( 1)()4 4 4 4 4 4
nn
nR n n    
两式相减 1 2 3 13 1 1 1 1 1()()() () (1)()4 4 4 4 4 4
nn
nRn    

11() 144 ( 1)( )1 41 4
n
nn

  


整理 1
1 3 1(4 )94n n
nR 

数列 nc 前 n 项 ．
44．解析（Ⅰ）设等差数列{}na 公差 d 1 ( 1) na a n d  
121 3 1 2 3a a d     
解 －2．
1 ( 1) ( 2) 3 2 na n n      
（Ⅱ）（I）知 32nan
2[1 (3 2 )] 22n
nnS n n  
进 2
1 35 2 35S k k    
2 2 35 0kk   解 7 5kk  
*7k N k 求．
45．解析(Ⅰ)题意知 6S
5
15
S
 －3 6 6 5a S S－8．
1
1
5 10 5
5 8
ad
ad

   
解 1a 7 6S －3 7．
（Ⅱ） 56SS+150
(5a1+10d)(6a1+15d)+150
2a1
2+9da1+10d2+10．
(4a1+9d)2d2－8． d2≥8．
d 取值范围 d≤－2 2 d≥2 2 ．


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