理科数学2010-2019高考真题分类训练42专题十六 不等式选讲第四十二讲不等式选讲—附解析答案




    专题十六 等式选讲
    第四十二讲 等式选讲
    2019 年
    1(2019 全国 I 理 23)[选修 4—5:等式选讲](10 分)
    已知 abc 正数满足 abc1.证明:
    (1) 2 2 21 1 1 abcabc    
    (2) 3 3 3( ) ( ) ( ) 24a b b c c a    .
    2 (2019 全国 II 理 23)[选修 45:等式选讲](10 分)
    已知 ( ) | | | 2| ( )f x x a x x x a    
    (1) 1a  时求等式 ( ) 0fx 解集
    (2) ( 1)x  时 ( ) 0fx 求 a 取值范围
    3(2019 全国 III 理 23)[选修 45:等式选讲](10 分)
    设 x y zR 1x y z  
    (1)求 2 2 2( 1) ( 1) ( 1)x y z     值
    (2) 2 2 2 1( 2) ( 1) ( ) 3x y z a      成立证明: 3a  1a 


    20102018 年
    解答题
    1.(2018 全国卷Ⅰ)[选修 4–5:等式选讲](10 分)
    已知 ( ) | 1| | 1|f x x ax    .
    (1) 1a  时求等式 ( ) 1fx 解集
    (2) (01)x 时等式 ()f x x 成立求a 取值范围.
    2.(2018 全国卷Ⅱ) [选修 4-5:等式选讲](10 分)
    设函数 ( ) 5 | | | 2|    f x x a x .
    (1) 1a  时求等式 ( ) 0≥fx 解集

    (2) ( ) 1≤fx 求 a 取值范围.
    3.(2018 全国卷Ⅲ) [选修 4—5:等式选讲](10 分)
    设函数 ( ) | 2 1| | 1|f x x x    .
    (1)画出 ()y f x 图
    (2) [0 )x  时 ()f x ax b≤ 求 ab 值.

    4.(2018 江苏)D.[选修 4—5:等式选讲](题满分 10 分)
    x y z 实数 226x y z   求 2 2 2x y z值.
    5.( 2017 新课标Ⅰ)已知函数 2( ) 4f x x ax    ( ) | 1| | 1|g x x x    .
    (1) 1a  时求等式 ()()f x g x≥ 解集
    (2)等式 解集包含[ 11] 求 a 取值范围.
    6.( 2017 新课标Ⅱ)已知 0a  0b  332ab证明:
    (1) 55( )( ) 4a b a b≥
    (2) 2ab ≤ .
    7.( 2017 新课标Ⅲ)已知函数 ( ) | 1| | 2|f x x x    .
    (1)求等式 ( ) 1fx≥ 解集
    (2)等式 2()f x x x m≥ 解集非空求 m 取值范围.

    8.( 2017 江苏)已知 a b c d 实数 224ab 2216cd
    证明 8ac bd ≤ .
    9.(2016 年全国 I 高考)已知函数 ( ) | 1| | 2 3|f x x x    .
    (I)图中画出 ()y f x 图
    (II)求等式| ( ) | 1fx 解集.

    10.(2016 年全国 II)已知函数   11
    22f x x x    M 等式   2fx 解集.
    (I)求 M
    (II)证明: abM 时 1a b ab   .
    11.(2016 年全国 III 高考)已知函数 ( ) | 2 |f x x a a  
    (Ⅰ) a2 时求等式 ( ) 6fx≤ 解集
    (Ⅱ)设函数 ( ) | 2 1|g x x xR 时 ( ) ( ) 3f x g x ≥ 求 a 取值范围.
    12.( 2015 新课标 1)已知函数 ( ) | 1| 2| |f x x x a    0a  .
    (Ⅰ) 1a  时求等式 ( ) 1fx 解集
    (Ⅱ) ()fx图 x 轴围成三角形面积 6求 a 取值范围.
    13.( 2015 新课标 2)设 a b c d 均正数 a b c d   证明:
    (Ⅰ) ab > cd a b c d  
    (Ⅱ) | | | |a b c d   充条件.

    14.( 2014 新课标 1) 0 0ab 11 abab .
    (Ⅰ) 求 33ab 值
    (Ⅱ)否存 ab 2 3 6ab?说明理.
    15.( 2014 新课标 2)设函数  fx 1 ( 0)x x a aa   
    (Ⅰ)证明: ≥2
    (Ⅱ)  35f  求 a 取值范围.
    16.( 2013 新课标 1)已知函数 ()fx| 2 1| | 2 |x x a   ()gx 3x 
    (Ⅰ) a 2 时求等式 < 解集
    (Ⅱ)设 >1 x ∈[
    2
    a 1
    2 )时 ≤ 求 取值范围
    17.( 2013 新课标 2)设 abc均正数 1abc   证明:
    (Ⅰ) 1
    3ab bc ca  
    (Ⅱ)
    2 2 2
    1abc
    b c a  
    18.(2012 新课标)已知函数 |2|||)(  xaxxf .
    (Ⅰ) |3a 时求等式 ( ) 3fx… 解集
    (Ⅱ) ( ) | 4|f x x „ 解集包含 ]21[求 a 取值范围.
    19.( 2011 新课标)设函数 ( ) 3f x x a x   中 0a  .
    (Ⅰ) 1a  时求等式 ( ) 3 2f x x解集
    (Ⅱ)等式 ( ) 0fx 解集 |1xx 求 a 值.



    专题十六 等式选讲
    第四十二讲 等式选讲
    答案部分
    2019 年
    1解析(1) 2 2 2 2 2 22 2 2a b abb c bcc a ac      1abc 
    2 2 2 1 1 1ab bc caa b c ab bc ca abc a b c
            
    2 2 21 1 1 abcabc    
    (2) a b c 正数
    3 3 3 3 3 33( )( )( )3( )( )( )ab bc ca abbcac        
    3( + )( + )( + )a b b c a c
    3 (2 ) (2 ) (2 )ab bc ac   
    24
    3 3 3( ) ( ) ( ) 24a b b c c a     
    2.解析(1) a1 时 ( )| 1| +| 2|( 1)f x x x x x  
    1x  时 2( ) 2( 1) 0f x x    1x  时 ( ) 0fx
    等式 ( ) 0fx 解集( 1)
    (2) ( )0fa 1a 
    ( 1)x  时 ( )( ) +(2 )( )2( )( 1)<0fxaxx xxa axx    
    a 取值范围[1 )
    3.解析(1) 2[( 1) ( 1) ( 1)]x y z    
    2 2 2( 1) ( 1) ( 1) 2[( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)]x y z x y y z z x    
    2 2 23 ( 1) ( 1) ( 1)x y z     
    已知 2 2 2 4( 1) ( 1) ( 1) 3x y z     

    仅x 5
    3
    y– 1
    3
    1
    3z  时等号成立.
    2 2 2( 1) ( 1) ( 1)x y z     值 4
    3
    (2) 2[( 2) ( 1) ( )]x y z a    
    2 2 2( 2) ( 1) ( ) 2[( 2)( 1) ( 1)( ) ( )( 2)]x y za xy yzazax   
    2 2 23 ( 2) ( 1) ( )x y z a    „
    已知
    2
    2 2 2 (2 )( 2) ( 1) ( ) 3
    ax y z a      …
    仅 4
    3
    ax  1
    3
    ay  22
    3
    az  时等号成立.
    2 2 2( 2) ( 1) ( )x y z a     值
    2(2 )
    3
    a .
    题设知
    2(2 ) 1
    33
    a …解 3a „ 1a ….

    20102018 年
    1.解析(1) 1a  时( ) | 1| | 1|f x x x   
    2 1
    ( ) 2 1 1
    2 1
    
       
    


    x
    f x x x
    x

    等式 ( ) 1fx 解集 1{ | }2xx .
    (2) (01)x 时| 1| | 1|x ax x    成立等价 时| 1| 1ax 成立.
    0≤a 时| 1| 1 ≥ax
    0a  解集 20 x a 2 1≥
    a
    02 ≤a .
    综 a 取值范围(02] .
    2.解析(1) 1a 时
    2 4 1
    ( ) 2 1 2
    2 6 2
    
      
      


    xx
    f x x
    xx

    ( ) 0≥fx 解集{ | 2 3} ≤ ≤xx.

    (2) ( ) 1≤fx 等价| | | 2| 4   ≥x a x .
    | | | 2| | 2|   ≥x a x a 2x 时等号成立. ( ) 1≤fx 等价| 2 | 4 ≥a .
    | 2 | 4 ≥a 6≤a 2≥a a 取值范围( 6] [2 )   .
    3.解析(1)
    13 2
    1( ) 2 12
    3 1
    xx
    f x x x
    xx
      
       


    



    ()y f x 图图示.

    (2)(1)知 ()y f x 图 y 轴交点坐标 2部分直线斜率
    值 3仅 3a≥ 2b≥ 时 ()f x ax b≤ [0 ) 成立 ab
    值 5.
    4.D. 证明柯西等式 2 2 2 2 2 2 2( )(122)(22)x y z x y z     ≥ .
    2 2 6x y z 2 2 2 4x y z≥

    1 2 2
    x y z时等式取等号时 2 4 4
    3 3 3x y z  
    2 2 2x y z值 4.
    5.解析(1) 1a  时等式 ()()f x g x≥ 等价
    2 | 1| | 1| 4 0x x x x      ≤ .①

    1x  时①式化 2 3 4 0xx≤ 解
    11x ≤ ≤ 时①式化 2 20xx≤ 11x ≤ ≤
    1x  时①式化 2 40xx≤ 1 171 2x  ≤ .
    ()()f x g x≥ 解集 1 17{ | 1 }2xx ≤ .
    (2) [ 11]x 时 ( ) 2gx .
    解集包含[ 11] 等价 时 ( ) 2fx≥ .
    ()fx 值必 ( 1)f  (1)f
    ( 1) 2f  ≥ (1) 2f ≥ 11a ≤ ≤ .
    a 取值范围 .
    6.解析(1) 5 5 6 5 5 6( )( )a b a b a ab a b b     
    3 3 2 3 3 4 4( ) 2 ( )a b a b ab a b    
    2 2 24 ( )ab a b  
    4≥
    (2)∵ 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b    
    2 3 ( )ab a b  
    23( )2 ( )4
    ab ab≤
    33( )2 4
    ab
    3( ) 8ab ≤ 2ab ≤ .
    7.解析(1)
    3 1
    ( ) 2 1 1 2
    3 2
    x
    f x x x
    x
      
      
     
    ≤ ≤

    1x  时  fx 1≥ 解
    x12≤ ≤ 时  fx 1≥ x 2 1 1≥ 解 x12≤ ≤
    >2x 时 解 .
    解集 xx 1≥ .
    (2)  f x x x m2≥ m x x x x    212≤
    x x x x x x x x       221 2 +1+ 2≤
    x
    
    23 5 5 +2 4 4≤
    3
    2x  时 2 51 2 4x x x x     .
    m 取值范围 54
     

    8.解析证明:柯西等式: 2 2 2 2 2( ) ( )( )ac bd a b c d  ≤
    2 2 2 24 16a b c d   
    2( ) 64ac bd ≤
    8ac bd ≤
    9.解析(1)图示:

    (2)

     
    41
    33 2 1 2
    34 2
    xx
    f x x x
    xx

     
        

     



      1fx .

    1x ≤ 41x 解 5x  3x  1x ∴ ≤ .
    31 2x   3 2 1x 解 1x  1
    3x 
    11 3x  ∴ 31 2x
    3
    2x≥ 41x解 5x  3x  3 32 x ∴ ≤ 5x 
    综 1
    3x  13x 5x 
      1fx∴ 解集    1 1 3 53
      

    10.解析(I) 1
    2x  时   11222f x x x x      11 2x   
    11
    22x ≤ ≤ 时   111222f x x x      恒成立
    1
    2x  时   2f x x   2fx 1 12 x  .
    综  | 1 1M x x    .
    (Ⅱ)  11ab 时  221 1 0ab  
    2 2 2 21a b a b  
    2 2 2 22 1 2a b ab a ab b     
       221ab a b  
    1a b ab  
    证毕.
    11.解析(Ⅰ) 2a  时 ( ) | 2 2| 2f x x  
    解等式| 2 2 | 2 6x „ 13x 剟
    ( ) 6fx 解集{ | 1 3}xx 剟
    (Ⅱ) xR 时 () ()|2 | |12|f x g x x a a x     
    | 2 1 2 |x a x a   … |1 |aa   1
    2x  时等号成立
    xR 时 ( ) ( ) 3f x g x … 等价|1 | 3aa… ①
    1a „ 时①等价13aa…解
    1a  时①等价 13aa …解 2a …
    a 取值范围[2 )

    12.解析(Ⅰ) 1a  时等式 ( ) 1fx 化| 1| 2| 1| 1 0xx    
    1x ≤ 时等式化 40x 解
    11x   时等式化3 2 0x 解 2 13 x
    1x≥ 时等式化 20x   解12x ≤ .
    ( ) 1fx 解集 2{ | 2}3xx .
    (Ⅱ)题设
    1 2 1
    ( ) 3 1 2 1
    1 2
    x a x
    f x x a x a
    x a x a
       
       
        
    ≤ ≤ 函数 ()fx图象 x 轴围成
    三角形三顶点分 21( 0) (2 10) ( 1)3
    aA B a C a a  ABC 面积
    22 ( 1)3 a  .题设 22 ( 1) 63 a  2a  . a 取值范围(2 ) .
    13.解析(Ⅰ)∵ 2( ) 2a b a b ab    2( ) 2c d c d cd   
    题设 a b c d   ab cd 22()()a b c d   .
    a b c d   .
    (Ⅱ)(ⅰ)| | | |a b c d   22()()a b c d  
    22( ) 4 ( ) 4a b ab c d cd     .
    a b c d   ab cd (Ⅰ) .
    (ⅱ) 22()()a b c d  
    22a b ab c d cd     .
    a b c d++ ab cd>
    2 2 2 2( ) ( ) 4 ( ) 4 ( )ab ab abcd cdcd         .
    | | | |a b c d  
    综 | | | |a b c d   充条件.
    14.解析(I) 1 1 2ab ab ab
       2ab  2ab 时取等号.

    33ab 332 4 2ab 2ab 时取等号.
    值 42.
    (II)(I)知 2 3 2 6 4 3a b ab   . 4 3 6 存 ab
    2 3 6ab.
    15.解析(I) 0a  ()fx 1 1 1( ) 2x x a x x a aa a a  .
    ≥2
    (Ⅱ) 1(3) 3 3faa   
    时 a >3 时 (3)f 1a a <5 3< < 5 21
    2
     .
    0< ≤3 时 16 a a <5 15
    2
     < ≤3.
    综 取值范围( ).
    16.解析(Ⅰ) a 2时等式 ()fx< ()gx化| 2 1| | 2 2| 3 0x x x     
    设函数 y | 2 1| | 2 2| 3x x x    
    15 2
    12 12
    3 6 1
    xx
    xx
    xx
    
       

    
    

    图图示图知仅 (02)x 时 <0
    y
    x21
    1
    2


    ∴原等式解集{ | 0 2}xx .
    (Ⅱ) x ∈[
    2
    a 1
    2 )时 ()fx1 a 等式 ≤ ()gx化13ax≤
    ∴ 2xa≥ ∈[)成立 ≥ 2a  a ≤ 4
    3

    ∴ 取值范围( 1].
    17.解析(Ⅰ) 2 2 2 2 2 22 2 2a b abb c bcc a ca     
    2 2 2a b c ab bc ca    
    题设 2 1abc   2 2 2 2 2 2 1a b c ab bc ca      .
     31ab bc ca   1
    3ab bc ca  
    (Ⅱ)∵
    2 2 2
    2 2 2a b cb a c b a cb c a     

    2 2 2
    ( ) 2( )abc a b c a b cb c a       

    2 2 2abcabcb c a    

    2 2 2
    1abc
    b c a  
    18.解析(1) 3a  时 ( ) 3 3 2 3f x x x   厖
    2
    3 2 3
    x
    xx
      


    23
    3 2 3
    x
    xx
         …
    3
    3 2 3
    x
    xx
        


    1x „ 4x….
    (2)原命题 ( ) 4f x x„ [12] 恒成立
    24x a x x    „ 恒成立
    22x a x   剟 恒成立
    30a 剟 .
    19.解析(Ⅰ) 1a  时 ( ) 3 2f x x化| 1| 2x .

    3x 1x  .
    等式 ( ) 3 2f x x解集{ | 3xx 1}x  .
    ( Ⅱ) ( ) 0fx 30x a x  
    等式化等式组
    30
    xa
    x a x
    
       

    30
    xa
    a x x
    
       


    4
    xa
    ax
    
    



    2
    xa
    ax
     



    0a  等式组解集 | 2
    axx
    题设
    2
    a 1 2a  .


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