专题六 数列
第十六讲 等数列
2019 年
1（2019 全国 1 理 14）记 Sn 等数列{an}前 n 项． 2
1 4 6
1
3a a a
S5____________．
2（2019 全国 3 理 5）已知项均正数等数列{an}前 4 项 15 a53a3+4a1
a3
A． 16 B． 8 C．4 D． 2
3（2019 全国 2 卷理 19）已知数列{an}{bn}满足 a11b10 14 3 4n n na a b 
14 3 4n n nb b a  
（1）证明：{an+bn}等数列{an–bn}等差数列
（2）求{an}{bn}通项公式

20102018 年
选择题
1．(2018 北京) 十二均律通音律体系明代朱载堉早数学方法计算出半音
例理发展做出重贡献．十二均律纯八度音程分成十二份
次十三单音第二单音起单音频率前单音频率
等 12 2 ．第单音频率 f第八单音频率
A． 3 2 f B． 3 22 f C． 12 52 f D．12 72 f
2．(2018 浙江)已知 1a 2a 3a 4a 成等数列 1 2 3 4 1 2 3ln( )a a a a a a a      ．
1 1a 
A． 13aa 24aa B． 13aa
C． 24aa D． 13aa 24aa
3．（ 2017 新课标Ⅱ）国古代数学名著算法统宗中问题：远巍巍塔七层红
光点点倍加增灯三百八十请问尖头盏灯？意思：座 7 层塔挂 381
盏灯相邻两层中层灯数层灯数 2 倍塔顶层灯
A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏
4．（ 2015 新课标Ⅱ）等数列{}na 满足 1 3a  1 3 5 21a a a   3 5 7a a a
A．21 B．42 C．63 D．84
5．（ 2014 重庆）意等数列{}na 列说法定正确
A． 1 3 9a a a 成等数列 B． 2 3 6a a a 成等数列
C． 2 4 8aaa成等数列 D． 2 6 9a a a 成等数列
6．（ 2013 新课标Ⅱ）等数列 na 前 n 项 nS已知 3 2 110S a a 5 9a  1a
A． 1
3 B． 1
3 C． 1
9 D． 1
9
7．（2012 北京） 已知{}na 等数列．面结中正确
A． 1 3 22a a a … B． 2 2 2
1 3 22a a a …
C． 13aa 12aa D． 31aa 42aa
8．（ 2011 辽宁）等数列 满足 1 16n
nnaa  公
A．2 B．4 C．8 D．16
9．（ 2010 广东）已知数列 na 等数列 nS 前 n 项 2 3 12a a a 4a
2 7a 等差中项 5
4
5S 
A．35 B．33 C．3l D．29
10．（ 2010 浙江）设 ns 等数列{}na 前 n 项 2580aa 5
2
S
S 
A．－11 B．－8 C．5 D．11
11．（ 2010 安徽）设 na 意等数列前 n 项前 2n 项前3n 项分
XYZ列等式中恒成立
A． 2XZY B．    YYXZZX  
C． 2Y XZ D．    YYXXZX  
12．（ 2010 北京）等数列 na 中 1 1a  公 1q  1 2 3 4 5ma a a a a a m
A．9 B．10 C．11 D．12
13．（ 2010 辽宁）设 nS 等数列 na 前 n 项已知 3432Sa 2332Sa
公 q 
A．3 B．4 C．5 D．6
14．（ 2010 天津）已知 na 首项 1 等数列 ns 前 n 项 369ss
数列 1
na



前 5 项
A．15
8
5 B． 31
16
5 C． D．
二填空题
15．（ 2017 新课标Ⅲ）设等数列{}na 满足 12 1aa   13 3aa   4a _______．
16．（ 2017 江苏）等数列{}na 项均实数前 n 项 nS已知 3
7
4S  6
63
4S 
8a ．
17．（2017 北京）等差数列 na 等数列 nb 满足 11 1ab   448ab
2
2
a
b _____．
18．（ 2016 年全国 I）设等数列{}na 满足 1310aa 245aa 12 na a a
值
19．（ 2016 年浙江）设数列{}na 前n 项 nS． 2 4S  1 21nnaS *nN
1a 5S ．
20．（ 2015 安徽）已知数列{}na 递增等数列 1 4 329 8a a a a   数列
前 n 项等 ．
21．（ 2014 广东）等数列 na 项均正数 15 4aa 
2 1 2 2 2 3 2 4 2 5log +log +log +log +log a a a a a ________．
22．（ 2014 广东）等数列 na 项均正数 5
1291110 2eaaaa 
1 2 20ln ln lna a a    ．
23．（ 2014 江苏）项均正数等数列 }{ na 中 12 a 468 2aaa  6a 值
．
24．（ 2013 广东）设数列{}na 首项1公 2 等数列
1 2 3 4| | | |a a a a    ．
25．（ 2013 北京）等数列 na 满足 24aa 20 35aa 40公 q 前 n
项 nS ．
26．（ 2013 江苏）正项等数列 na 中
2
1
5 a 376  aa ．满足
nn aaaaaaaa 321321  正整数 n 值 ．
27．（ 2012 江西）等数列 na 前 n 项 nS公 1 1 1a  意 nN
2120n n na a a   5S _________________．
28．（ 2012 辽宁）已知等数列 }{ na 递增数列 01 a 12 5)(2   nnn aaa 数
列 na 公 q ．
29．（ 2012 浙江）设公 ( 0)qq 等数列{}na 前 n 项 nS． 2232Sa
4432Sa q  ．
30．（2011 北京）等数列{}na 中 1
1
2a  4 4a  公 q _____ _________
12 na a a    ____________．
三解答题
31．（ 2018 全国卷Ⅲ）等数列{}na 中 1 1a  534aa ．
(1)求 通项公式
(2)记 nS 前 n 项． 63mS  求 m ．
32．（2017 山东）已知{}nx 项均正数等数列 123xx 322xx．
（Ⅰ）求数列 通项公式
（Ⅱ）图面直角坐标系 xOy 中次连接点 11( 1)Px 22( 2)Px …
11( 1)nnP x n 折线 1P 2P… 1nP  求该折线直线 0y  1xx
1nxx 围成区域面积 nT．
P4
P3
P2
P1
O x4x3x2x1
y
x

33．（ 2016 年全国 III 高考）已知数列{}na 前 n 项 1nnSa 中 0  ．
（Ⅰ）证明 等数列求通项公式
（Ⅱ） 5
31
32S  求 ．
34．（ 2014 新课标）已知数列 na 满足 1a 1 1 31nnaa ．
（Ⅰ）证明 1
2na  等数列求 通项公式
（Ⅱ）证明：
12
31 1 1
2na a a  …+ ．
35．（ 2014 福建）等数列{}na 中 253 81aa
（Ⅰ）求 na
（Ⅱ）设 3lognnba 求数列{}nb 前 n 项 nS
36．（ 2014 江西）已知数列 na 前 n 项  NnnnSn
2
3 2
．
（Ⅰ）求数列 通项公式
（Ⅱ）证明：意 1n Nm mn aaa 1 成等数列．
37．(2013 四川) 等数列{}na 中 212aa 22a 13a 3a 等差中项求数列
{}na 首项公前 n 项
38． (2013 天津)已知首项 3
2
等数列{}na 前 n 项 ( *)nS n N 2 3 42 4SSS 成
等差数列．
(Ⅰ) 求数列{}na 通项公式
(Ⅱ) 证明 13 *)6
1 (n
n
SnS N．
39．（2011 新课标）已知等数列{}na 项均正数 2
1 2 3 2 62 3 1 9a a a a a   ．
（Ⅰ）求数列{}na 通项公式．
（Ⅱ ）设 3 1 3 2 3log log lognnb a a a    求数列 1{}
nb
前 n 项．
40．（ 2011 江西）已知两等数列{ }{ }nnab满足 ( ) a a a b a      
b a b a        ．
（Ⅰ） a 求数列{}na 通项公式
（Ⅱ ）数列{}na 唯求 a 值．
41．（2011 安徽）数 1 100 间插入 n 实数 2n  数构成递增等数列
数积记作 nT令 lgnnaT 1n≥
（Ⅰ）求数列{}na 通项公式
（Ⅱ）设 1tan tan n n nb a a  求数列{}nb 前 n 项 nS．


专题六 数列
第十六讲 等数列
答案部分
2019 年
1解析：等数列中 2
46aa 265
110a q a q ＞ 1
1
3a 解 3q
( ) ( ) 55
1
5
1 131 1213
1133S q
aq −
−
−
−

2解析 设等数列 {}na 公 ( 0 )qq 前 4 项 15 531 34a a a+
()4
1
42
1 1 1
1
151
34
aq
q
a q a q a
 −
  −
 +
解 1 1
2
a
q

 
2
3 24a ．选 C．
3解析：（1）题设 114()2()nn nnabab++++ 11
1 ()2nn nna b a b+++ + ．
a1+b1l nnab+ 首项1公 1
2
等数列．
题设 114( ) 4( ) 8n n n na b a b++− − +
11 2n n n na b a b++− − + ．
a1–b1l nnab− 首项1公差2等差数列．
（2）（1）知 1
1
2nn nab −+ 21nna b n− − ．
1 1 1[( ) ( )]2 2 2n n n n n na a b a b n + + − + −
1 1 1[( ) ( )]2 2 2n n n n n nb a b a b n + − − − + ．

20102018 年


1．D解析第二单音起单音频率前单音频率等 12 2
第单音频率 f 等数列概念知十三单音频率构成首项
公 等数列记 {}na
第八单音频率 1281712
8 (2)2aff − 选 D．
2．B解析解法 l n 1xx−≤ ( 0x  ) 1234123 ln()aaaaaaa+++++
123 1a a a+ + −≤ 4 1a −≤ 1 1a  等数列公 0q  ．
1q −≤ 2
12341 (1)(10aaaaaqq+++++ ）≤
1 2 3 1 1a a a a+ + ≥ 1 2 3ln( ) 0a a a+ + 
1 2 3 1 2 3 4ln( ) 0a a a a a a a+ + + + + ≤ 矛盾
10q−   2
1 3 1(1 ) 0a a a q− −  2
2 4 1 (1 ) 0a a a q q− − 
13aa 24aa 选 B．
解法二 1xex+≥
1 2 3 4
1 2 3 1 2 3 4 1a a a ae a a a a a a a+ + + + + + + + +≥
等数列公 ．


矛盾

选 B．
3．B解析设塔顶灯 1a 盏根题意层等数构成 首项2 公等数

列∴
7
71
71
(12) (21)38112
aSa−−−
解 1 3a ．选 B．
4．B解析 24
1 ( 1 ) 2 1a q q 1 3a 4260qq 2 2q
( 2 3q 舍) 3 6a 5 12a 7 24a 357 42a a a ．
5．D解析等数列性质 2
396 0a a a  2 6 9a a a 定成等数列．
6．C解析设等数列  na 公 q ∵ 321 10S a a+ ∴ 12321 10a a a a a+ + +
319aa ∴ 2 9q 5 9a 4
1 9aq ∴ 1
1
9a ．
7．B解析取特殊值排 ACD均值等式 222
13132 22a a a a a+  ．
8．B解析 1 16 n
nnaa+ 1
1216 n
nnaa +
++ 两式相
1
12
1
16 1616
n
nn
n
nn
aa
aa
+
++
+

∴ 2 16q ∵ 知公 正数∴ 4q ．
9．C解析设{ na }公 等数列性质知 2 3 1 4 12a a a a a 
4 2a ． 4a 2 7a 等差中项 5
4
知 47
5224aa+ 
74
15(2 )24aa  − 1
4 ．∴ 3 7
4
1
8
aq a 1
2q ． 3
4 1 1
1 28a a q a 
1 16a
5
5
116(1 )2 3111 2
S
−

−
．
10．A解析通 2580aa+设公 该式转化 08 3
22 + qaa
解 －2
5
5
2
2
1 1 32 111 1 4
S q
Sq
−+ −−−
．
11．D解析取等数列124 令 1n 1 3 7XYZ 代入验算选项 D 满足．
12．C解析 2 3 4 10 10
1 2 3 4 5 1ma aaaaa qqqq q aq    11m ．
13．B解析两式相减 3 4 33a a a− 4
43
3
4 4aa a q a  ．

14．C解析显然 q  1
36
39(1 ) 1 1 211
qq qqqq
−− +  −−
1{}
na
首项
1公 1
2
等数列 前 5 项
5
5
11 ( ) 312
1 161 2
T
−

−
．
15． 8− 解析设 {}na 首项 1a 公 11
2
11
1
3
a a q
a a q
+ −
 − −

解 1 1
2
a
q

 −
3
41 8a a q − ．
16．32解析设 公 题意 1q 
6
36
3
3
1 191
S q qSq
− + −
2q

3
1
3
( 1 ) 7
14
aqS q
−−
1
1
4a 775
81
1 22324aaq ．
17．1解析设 na 公差 d  nb 公 题意 31 3 8dq− + −
3d 2q − 2
2
13 1( 2)
a
b
−+−− ．
18．64 解析设{}na 公 q 1310aa+ 245aa+ 1
18 2aq
2 4a 3 2a 4 1a 5
1
2a 1 2 1 2 3 4 64na a a a a a a ．
19．1 121 解析 12
21
4
21
aa
aa
+
 +
解 1 1a 11 21n n n na S S S++ − +
1
113( )22nnSS+ + + 1{}2nS + 3
2
首项3 公等数列
113322
n
nS −+  5 121S ．
20． 21n 解析题意 14
2 3 1 4
9
8
aa
a a a a
+
   
解 141 8aa 148 1aa
数列 递增等数列 3 4
1
8aq a 2q
数列 前 n 项 1(1 ) 12 211 1 2
n n
n
n
aqS q
− − −−−
．

21．5解析等数列性质知 2
15243a a a a a 15 4aa 3 2a
12345 32a a a a a 2122232425log+log+log+log+logaaaaa
2123452log()log325aaaaa ．
22．50解析  na 等数列∴ 1201011912a a a a a a 5
1291110 2eaaaa +
∴ 5
1 2 0a a e ∴ 1220lnlnlnaaa+++ 10
1220120ln()ln()aaaaa 50．
23．4解析 设等数列 }{ na 公 q 0q  ． 8 6 4 2a a a+
42
444 2a q a q a+解 2 2q （负值舍） 2 1a 4
624a a q ．
24．15解析 1234 1248aaaa−− ∴ 1234| | | |a a a a+ + + 15．
25． 12 2 2n + − 解析 35aa+ ()24q a a + 2q ()()3
2 4 1a a a q q+ + 20
1 2a ∴ () 1212
2212
n
n
nS +−
− −
．
26．12解析设正项等数列 }{ na 首项 1a 公 q：



+

3)1(
2
1
51
41
qqa
qa
： ＝ 1
32
q＝2 62 n
na − ．记 521 2
12 −+++
n
nn aaaT 
2
)1(
21 2
nn
nn aaa
−
  ． nnT  2
)1(
5 22
12 nnn −
−
化简：
5
2
11
2
1 2
212 +−
− nnn 52
11
2
1 2 +− nnn 时 122
12113 +n ．
n＝12 时 1212 T n＝13 时 1313 T max 12n ．
27．11解析 2120n n na a a+++ − 2 20n n na q a q a+ −
1 1a 知 0 1naq求公 2q − 5S 11．
28．2解析 22
21
12( )5 2(1 )52(1 )5 2 2n n n n naa a aqaq qqqq+++  +  + 解
数列递增数列 1 0 1 2a q q   ．

29． 3
2
解析题意
2
1
1 2
1 1 1
4 4 3
31 1 1 1
1
(1 ) 32 2 3 2 2 01
(1 ) 2 3 2 2 0321
aq aq a q a q a qq
a q a q a q a qaqq
 − +  − + + − −− − + + −  + −

两式相减 423
111122330aqaqaqaq−−+ 42322330qqqq−−+
解 1q  （舍） 0q 3
2q 0q  ．
30．2 1 12 2
n − − 解析 3
41a a q 314 2 q 解 2q
1
12
1 (1 2 ) 12 21 2 2
n
n
na a a −
−
+ ++ −−
．
31．解析(1)设 {}na 公 q 题设 1n
naq− ．
已知 424qq 解 （舍） 2q − ．
1( 2 ) n
na −− 12 n
na − ．
(2) 1 ( 2)
3
n
nS −− ． 63mS ( 2) 188m− − 方程没正整
数解．
21n
nS −． 2 64m 解 6m ．
综 ．
32．解析(Ⅰ)设数列{}nx 公 已知 ．
题意 11
2
11
3
2
x x q
x q x q
+
 −
23 5 2 0qq− −
12 1qx
数列 通项公式 12n
nx −
（Ⅱ） 1 2 3PPP… 1nP + x 轴作垂线垂足分 1 2 3QQQ… 1nQ +
(Ⅰ) 11
1 2 2 2 n n n
nnxx −−
+ − −
记梯形 11n n n nPPQQ++ 面积 nb ．

题意 12(1) 2(21)22
nn
n
nnbn−−+++
123nT b b b + + + …+ nb
1013 2 5 2 7 2− +  +  + …+ 32(21)2(21)2nnnn−−−++ ①
0122325272nT +++ …+ 21(21)2(21)2nnnn−−−++ ②
① − ②
121132(222)(21)2 nn
nTn−−−−++++−+

1
132(12) (21)2212
n
nn
−
−−+−+ −
(2 1 ) 2 1 2
n
n
nT −  +
33．解析（Ⅰ）题意 111 1 aSa + 1
− 1
1
1a 01 a
nn aS +1 11 1 ++ + nn aS  nnn aaa  − ++ 11 nn aa  −+ )1(1 ．
0 1  0na
1
1
−+


n
n
a
a
}{ na 首项
−1
1 公
1−
 等数列 1)1(1
1 −
−− n
na 


．
（Ⅱ）（Ⅰ） n
nS)1(1 −− 

32
31
5 S
32
31)1(1 5 −− 

−
5)1(

32
1 解 1 − ．
34．解析（I） 1 31nnaa+ + 1
113( )22nnaa+ + + ．
1
13
22a + 1
2na+
首项 3
2
公 3 等数列．
13
22
n
na +  na 通项公式 31
2
n
na − ．
（Ⅱ）（I）知 12
31n
na −
1n  时 13 1 2 3nn−−   1
11
3 1 2 3nn−−
．

1
12
1 1 1 1 1 3 1 3 1 (1 )3 3 2 3 2nn
na a a −+ + +  + + + −  ．

12
1 1 1 3 2na a a+ + +  ．
35．解析(Ⅰ)设 {}na 公 q 题意 1
4
1
3
81
aq
aq

 
解 1 1
3
a
q

 

13n
na −
（Ⅱ） 3log 1nnb a n − ∴数列{}nb 前 n 项
2
1()
22
n
n
n b b nnS + −
36．解析（Ⅰ）
23
2n
nnS − 1a 1 1S 2n  时 1 3 2 nnna S S n − − −
1n 时数列 na 通项公式 3 2 nan−
（Ⅱ） mn aaa 1 成等数列需 2
1nma a a
22(3 2) 1 (3 2) 3 4 2n m m n n−  − − + 时  Nm mn
意 1n 成等数列
37．解析题意知 21
2 1 3
2
43
aa
a a a
−
 +
11
2
1 1 1
2
4 3 +
a q a
a q a a q
−
 

解 11
3
a
q

 
1 3 3 1
1 3 2
nn
nS −−−
．
1 1a 3q 31
2
n
nS − ．
38． 解析(Ⅰ)设等数列 na 公 q 22S− 3S 44S 成等差数列
3 2 4 324SSSS+ − 4 3 2 4SSSS− − 432aa−
4
3
1
2
aq a − ． 1
3
2a 等数列 通项公式
1
13 1 3( 1)2 2 2
n
n
n na
−
−  − − 
．

(Ⅱ) 11 2
n
nS  − − 

122(21)111 1 12 11 2(21)2
n nn
n n
n
nn
n
SS
 + ++−−+  −− −
奇数
2+n 偶数

n 奇数时 1
n
n
SS+ 增减 1
1
1 1 13
6n
n
SSSS+  + ．
偶数时 增减 2
2
1125
12n
n
SSSS++ ．
*nN 1 13
6n
n
SS+．
39． 解析（Ⅰ）设数列  na 公 q 2
3 2 6 9a a a 32
349aa 2 1
9q ．
条件知 0c  1
3q ．
122 3 1aa+ 122 3 1a a q+ 1
1
3a ．
数列 通项式 na 1
3n ．
（Ⅱ ） 3 1 3 2 3 nlog log lognb a a a + + +
(1 2 )
( 1)
2
n
nn
− + + +
+−
1 2 1 12( )( 1) 1nb n n n n − − −++
12
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2((1 ) ( ) ( ))2 2 3 1 1n
n
b b b n n n+++− −+−++− −++
数列 1{}
nb
前 n 项 2
1
n
n− +
．
40．解析（Ⅰ）设{}na 公 q
22
1 2 31 2 2 2 3 3b a b aq q b aq q+ ++ + +

1 2 3b b b 成等数列 22(2 ) 2(3 )qq+ +
2
124202222qqqq−++− 解
{}na 通项公式 11(22)(22)nn
nnaa−−+−
（Ⅱ ）设 公 q 22(2)(1)(3)aqaaq+++
2 4310(*)aqaqa−+−
20440aaa+ 方程（*）两实根
唯知方程（*）必根 0代入（*） 1 3a
41． 解析（Ⅰ）设 221 +nlll  构成等数列中 10 01 21 +ntt
2121 ++  nnn ttttT  ①
1221 ttttT nnn  ++  ②
①×②利 )21(102
2131 + +−+ nitttt nin
12lg10)()()()()2(2
12211221
2 + +
++++ nnTattttttttT nn
n
nnnnn 
（Ⅱ）题意（Ⅰ）中计算结果知 1)3tan()2tan( ++ nnnbn
方面利 tan)1tan(1
tan)1tan())1tan((1tan kk
kkkk ++
−+−+
11tan
tan)1tan(tan)1tan( −−++ kkkk

+

+
2
31
tan)1tan(
n
k
n
k
kn kkbS
1tan
3tan)3tan(
)11tan
tan)1tan((
2
3
nn
kkn
k
−−+
−−+ 
+



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