2020届普通高考（天津卷）适应性测试数学试题
单选题
1．已知全集集合（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析先利补集定义求出利交集定义结果
详解
全集
集合
选：B
点睛
研究集合问题定抓住元素元素应满足属性研究两集合关系时关键两集合关系转化元素间关系题实质求满足属集合属集合元素集合
2．设（ ）
A．充分非必条件 B．必非充分条件
C．充条件 D．非充分非必条件
答案A
解析利元二次等式解法化简充分条件必条件定义结果
详解
等价
推出推出
充分非必条件
选：A
点睛
判断充分条件必条件应注意：首先弄清条件结分什然直接定义定理性质尝试带否定性命题较难判断命题助集合思想化抽象直观外利原命题逆否命题逆命题否命题等价性转化判断等价命题范围问题转化包含关系处理
3．函数图象致（ ）
A． B．
C． D．
答案A
解析根函数两极值点排选项CD利奇偶性排选项B进结果
详解
令
函数仅两极值点排选项CD
函数奇函数偶函数排选项B
选：A
点睛
函数图象辨识方面入手：
(1)函数定义域判断图象左右位置函数值域判断图象位置．
(2)函数单调性判断图象变化趋势
(3)函数奇偶性判断图象称性
(4)函数特征点排合求图象
4．图长方体体积36点E棱三棱锥EBCD体积（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
答案B
解析锥体体积公式三棱锥体积结合长方体体积36结果
详解
长方体体积36点E棱
三棱锥EBCD体积
选：B
点睛
题考查柱体体积锥体体积意考查基础知识掌握应属基础题
5．某市解全市居民日常水量分布情况调查居民某年月均水量（单位：吨）频率分布表频率分布直方图图图中t值（ ）
分组
频数
频率
4
004
8
008
15
a
22
022
m
025
14
014
6
006
4
004
2
002
合计
100
100
A． B． C． D．
答案C
解析频率1求组距结果
详解
004+008++022+025+014+006+004+0021
组距等05
t值
选：C
点睛
直方图性质：（1）直方图中矩形面积（2）组距直方图坐标积该组数频率（3）矩形中点横坐标该矩形坐标组距相求均值（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数
6．已知定义R偶函数区间单调递减（ ）
A． B．
C． D．
答案C
解析根指数函数单调性数函数单调性判断出 利函数单调性奇偶性结果
详解
定义R偶函数
根数函数单调性
根指数函数单调性
区间单调递减
选：C
点睛
解答较问题常见思路两：判断出数值区间（般三区间 ）二利函数单调性直接解答数值较问题两种方法综合应
7．抛物线焦点双曲线右焦点连线垂直双曲线条渐线p值（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析先求出抛物线焦点双曲线右焦点利直线垂直斜率相等1结果
详解
抛物线焦点双曲线右焦点
双曲线渐线
选：B
点睛
题考查抛物线双曲线焦点考查双曲线渐线方程直线垂直斜率间关系属基础题
8．已知函数列结错误（ ）
A．正周期
B．图象关直线称
C．零点
D．区间单调递减
答案D
解析利辅助角公式化简利正弦函数周期性称性单调性函数零点定义逐判断
详解
A正周期正确
B时值图象关直线称正确
C 时零点正确
D区间单调函数错误
选：D
点睛
题通命题真假判断综合考查正弦函数周期性称性单调性函数零点定义属中档题种题型综合性较强高考命题热点学某处知识点掌握导致全盘皆输做类题目更细心读题量挖掘出题目中隐含条件外注意简单已掌握知识点入手然集中精力突破较难命题
9．已知函数函数3零点实数k取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析画出函数图象分两种情况讨分求出直线曲线相切时斜率结合函数图象交点数判断函数3零点时实数k取值范围
详解
时
设切
画出图象图知时三交点
时
设切
画出图象图知时三交点
综时三交点
三零点
选：D
点睛
题考查函数图象性质数形结合思想应属难题 数形结合根数量图形间应关系通数形相互转化解决数学问题种重思想方法函数图象函数种表达形式形象揭示函数性质研究函数数量关系提供形直观性．纳起图象应常见命题探究角度：1确定方程根数2求参数取值范围3求等式解集4研究函数性质．
二填空题
10．i虚数单位复数________________
答案
解析利复数法运算法：分子分母分母轭复数化简求解
详解
答案：
点睛
复数高考中必考知识考查复数概念复数运算．注意实部虚部理解掌握纯虚数轭复数复数模重概念复数运算考查法运算通分母实数化转化复数法运算时特注意项式相化简防止简单问题出错造成必失分
11．已知直线圆交点AB两点线段AB长____________
答案4
解析求出圆心半径利点直线距离公式结合勾股定理结果
详解
圆心半径
直线距离
线段AB长
答案：4
点睛
题考查点直线距离公式圆弦长求法求圆弦长两种方法：利弦长公式结合韦达定理求解二利半弦长弦心距圆半径构成直角三角形利勾股定理求解
12．展开式中常数项________．
答案
解析写出展开式通项公式指数零求出常数项
详解
展开式通项公式：
令常数项
点睛
题考查利二项式展开式通项公式求常数项问题考查运算力
13．已知某学投篮投中概率现该学投篮3次次投篮结果相互独立恰投中两次概率：_____________记X该学3次投篮中投中次数机变量X数学期____________
答案
解析独立重复试验概率公式恰投中两次概率分析题意机变量利二项分布期公式结果
详解
独立重复试验概率公式恰投中两次概率
取0123
机变量
答案：
点睛
求期般利离散型机变量数学期定义求期．某实际问题中机变量果够断定服某常见典型分布（二项分布）机变量期直接利种典型分布期公式()求．应熟记常见典型分布期公式加快解题速度．
14．已知值______________
答案4
解析化简原式两次运基等式结果
详解
仅等号成立
值4
答案：4
点睛
题考查利基等式求值属中档题利基等式求值时定正确理解掌握正二定三相等涵：正首先判断参数否正二定次积否定值（定积积定）三相等定验证等号否成立（注意两点相等时参数否定义域二次时等号否时成立）
15．图中DE分边ABAC点______________P线段DE动点值_________________
答案1
解析利数量积公式求值1设长利面量运算法结合数量积运算法利配方法结果
详解
正三角形
设长（）
时取等号
值
答案：1
点睛
量运算两种方法运算结合面知识三角函数知识解答运算法：（１）行四边形法（行四边形角线分两量差）（２）三角形法（两箭头间量差箭头箭尾间量）面量数量积计算问题两种形式利数量积定义式二利数量积坐标运算公式涉图形问题先建立适面直角坐标系起化繁简妙．
三解答题
16．△ABC中角ABC边分abc已知
（1）求值
（2）
（i）求值
（ii）求值
答案（1）（2）（i）（ii）
解析（1）化简原式直接利余弦定理求值（2）（i）（1）利正弦定理求值（ii）利二倍角余弦公式求二倍角正弦公式两角正弦公式结果
详解
（1） 中整理
余弦定理
（2）（i）（1）正弦定理
已知
（ii）（i）已知
锐角
点睛
三角形载体三角恒等变换手段正弦定理余弦定理工具三角函数解三角形进行考查年高考考查类热点问题般难度综合性较强解答类问题两角差正余弦公式诱导公式二倍角公式定熟练掌握灵活应特二倍角公式种变化形式熟记心
17．图四棱锥PABCD中已知点QAC中点底面ABCD点MPC中点
（1）求直线PB面ADM成角正弦值
（2）求二面角DAMC正弦值
（3）记棱PD中点N点Q线段OP面ADM求线段OQ长
答案（1）（2）（3）
解析O原点分量方x轴y轴z轴正方建立空间直角坐标系（1）求出直线PB方量利量垂直数量积零列方程求出面ADM法量求直线PB面ADM成角正弦值（2）已知面面法量结合（1）中面ADM法量利空间量夹角余弦公式求二面角DAMC余弦值正弦值（3）设线段OQ长点Q坐标已知点N坐标利直线面法量数量积零列方程求解
详解
题意O原点分量方x轴y轴z轴正方建立空间直角坐标系（图）
（1）题意
设面ADM法量
妨设
直线PB面ADM成角正弦值
（2）已知
面
面法量
题意
二面角DAMC正弦值
（3）设线段OQ长点Q坐标
已知点N坐标进
面ADM
解
线段OQ长
点睛
空间量解答立体问题般步骤：（1）观察图形建立恰空间直角坐标系（2）写出相应点坐标求出相应直线方量（3）设出相应面法量利两直线垂直数量积零列出方程组求出法量（4）空间位置关系转化量关系（5）根定理结求出相应角距离
18．已知椭圆离心率点椭圆
（1）求椭圆方程
（2）已短直线椭交AB两点点P坐标求实数m值
答案（1）（2）
解析（1）根题意结合性质 列出关 方程组求出 椭圆方程（2）直线曲线联立根韦达定理利面量数量积公式结合条件列方程求解
详解
（1）设椭圆焦距已知
点椭圆
椭圆方程
（2）设点A坐标点B坐标
方程组消y整理①
求根公式②
点P坐标
③
代入式
已知②
整理解
时①判式满足题目条件
点睛
求椭圆标准方程方法般定系数法根条件确定关方程组解出写出椭圆标准方程．解决直线椭圆位置关系相关问题常规思路先直线方程椭圆方程联立消元化简然应根系数关系建立方程解决相关问题．涉弦中点问题常常点差法解决会更简单
19．已知数列公差1等差数列数列等数数列满足中
（1）求通项公式
（2）记求数列前n项
答案（1）（2）
解析（1）利列方程求出等差数列首项等数列首项公结果（2）先根根分组求错位相减求法结合等数列求公式结果
详解
（1）设数列公差d数列公q
解
（2）中
记
①
②
①②
点睛
错位相减法求数列重点难点利错位相减法求数列应注意点：①掌握运错位相减法求数列条件（等差数列等数列积）②相减时注意项 符号③求时注意项数出错④结果定忘记等式两边时
20．已知函数函数中极值点
（1）讨单调性
（2）求实数a值
（3）证明
答案（1）区间单调递增（2）（3）证明见解析
解析（1）求出定义域次求导区间恒成立结（2）联立解方程组结果（3）（1）知区间单调递增证明取利裂项相消法结合放缩法结果
详解
（1）已知函数定义域
令
知x变化时变化情况表：
1
0
+
极值
区间单调递增
（2）已知函数定义域
已知①
②
联立①②消a③
令
（1）知区间单调递增
注意方程③唯解代入①
（3）证明：（1）知区间单调递增
时
区间单调递增
时
时取
点睛
题考查利导数研究函数单调性等式证明属难题等式证明问题年高考命题热点利导数证明等方法两较简单等式证明等式两边作差构造函数利导数研究函数单调性求出函数值二较综合等式证明观察等式特点结合已解答问题证等式变形运已证结先行放缩然化简者进步利导数证明
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单选题
1．已知全集集合（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析先利补集定义求出利交集定义结果
详解
全集
集合
选：B
点睛
研究集合问题定抓住元素元素应满足属性研究两集合关系时关键两集合关系转化元素间关系题实质求满足属集合属集合元素集合
2．设（ ）
A．充分非必条件 B．必非充分条件
C．充条件 D．非充分非必条件
答案A
解析利元二次等式解法化简充分条件必条件定义结果
详解
等价
推出推出
充分非必条件
选：A
点睛
判断充分条件必条件应注意：首先弄清条件结分什然直接定义定理性质尝试带否定性命题较难判断命题助集合思想化抽象直观外利原命题逆否命题逆命题否命题等价性转化判断等价命题范围问题转化包含关系处理
3．函数图象致（ ）
A． B．
C． D．
答案A
解析根函数两极值点排选项CD利奇偶性排选项B进结果
详解
令
函数仅两极值点排选项CD
函数奇函数偶函数排选项B
选：A
点睛
函数图象辨识方面入手：
(1)函数定义域判断图象左右位置函数值域判断图象位置．
(2)函数单调性判断图象变化趋势
(3)函数奇偶性判断图象称性
(4)函数特征点排合求图象
4．图长方体体积36点E棱三棱锥EBCD体积（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
答案B
解析锥体体积公式三棱锥体积结合长方体体积36结果
详解
长方体体积36点E棱
三棱锥EBCD体积
选：B
点睛
题考查柱体体积锥体体积意考查基础知识掌握应属基础题
5．某市解全市居民日常水量分布情况调查居民某年月均水量（单位：吨）频率分布表频率分布直方图图图中t值（ ）
分组
频数
频率
4
004
8
008
15
a
22
022
m
025
14
014
6
006
4
004
2
002
合计
100
100
A． B． C． D．
答案C
解析频率1求组距结果
详解
004+008++022+025+014+006+004+0021
组距等05
t值
选：C
点睛
直方图性质：（1）直方图中矩形面积（2）组距直方图坐标积该组数频率（3）矩形中点横坐标该矩形坐标组距相求均值（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数
6．已知定义R偶函数区间单调递减（ ）
A． B．
C． D．
答案C
解析根指数函数单调性数函数单调性判断出 利函数单调性奇偶性结果
详解
定义R偶函数
根数函数单调性
根指数函数单调性
区间单调递减
选：C
点睛
解答较问题常见思路两：判断出数值区间（般三区间 ）二利函数单调性直接解答数值较问题两种方法综合应
7．抛物线焦点双曲线右焦点连线垂直双曲线条渐线p值（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析先求出抛物线焦点双曲线右焦点利直线垂直斜率相等1结果
详解
抛物线焦点双曲线右焦点
双曲线渐线
选：B
点睛
题考查抛物线双曲线焦点考查双曲线渐线方程直线垂直斜率间关系属基础题
8．已知函数列结错误（ ）
A．正周期
B．图象关直线称
C．零点
D．区间单调递减
答案D
解析利辅助角公式化简利正弦函数周期性称性单调性函数零点定义逐判断
详解
A正周期正确
B时值图象关直线称正确
C 时零点正确
D区间单调函数错误
选：D
点睛
题通命题真假判断综合考查正弦函数周期性称性单调性函数零点定义属中档题种题型综合性较强高考命题热点学某处知识点掌握导致全盘皆输做类题目更细心读题量挖掘出题目中隐含条件外注意简单已掌握知识点入手然集中精力突破较难命题
9．已知函数函数3零点实数k取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析画出函数图象分两种情况讨分求出直线曲线相切时斜率结合函数图象交点数判断函数3零点时实数k取值范围
详解
时
设切
画出图象图知时三交点
时
设切
画出图象图知时三交点
综时三交点
三零点
选：D
点睛
题考查函数图象性质数形结合思想应属难题 数形结合根数量图形间应关系通数形相互转化解决数学问题种重思想方法函数图象函数种表达形式形象揭示函数性质研究函数数量关系提供形直观性．纳起图象应常见命题探究角度：1确定方程根数2求参数取值范围3求等式解集4研究函数性质．
二填空题
10．i虚数单位复数________________
答案
解析利复数法运算法：分子分母分母轭复数化简求解
详解
答案：
点睛
复数高考中必考知识考查复数概念复数运算．注意实部虚部理解掌握纯虚数轭复数复数模重概念复数运算考查法运算通分母实数化转化复数法运算时特注意项式相化简防止简单问题出错造成必失分
11．已知直线圆交点AB两点线段AB长____________
答案4
解析求出圆心半径利点直线距离公式结合勾股定理结果
详解
圆心半径
直线距离
线段AB长
答案：4
点睛
题考查点直线距离公式圆弦长求法求圆弦长两种方法：利弦长公式结合韦达定理求解二利半弦长弦心距圆半径构成直角三角形利勾股定理求解
12．展开式中常数项________．
答案
解析写出展开式通项公式指数零求出常数项
详解
展开式通项公式：
令常数项
点睛
题考查利二项式展开式通项公式求常数项问题考查运算力
13．已知某学投篮投中概率现该学投篮3次次投篮结果相互独立恰投中两次概率：_____________记X该学3次投篮中投中次数机变量X数学期____________
答案
解析独立重复试验概率公式恰投中两次概率分析题意机变量利二项分布期公式结果
详解
独立重复试验概率公式恰投中两次概率
取0123
机变量
答案：
点睛
求期般利离散型机变量数学期定义求期．某实际问题中机变量果够断定服某常见典型分布（二项分布）机变量期直接利种典型分布期公式()求．应熟记常见典型分布期公式加快解题速度．
14．已知值______________
答案4
解析化简原式两次运基等式结果
详解
仅等号成立
值4
答案：4
点睛
题考查利基等式求值属中档题利基等式求值时定正确理解掌握正二定三相等涵：正首先判断参数否正二定次积否定值（定积积定）三相等定验证等号否成立（注意两点相等时参数否定义域二次时等号否时成立）
15．图中DE分边ABAC点______________P线段DE动点值_________________
答案1
解析利数量积公式求值1设长利面量运算法结合数量积运算法利配方法结果
详解
正三角形
设长（）
时取等号
值
答案：1
点睛
量运算两种方法运算结合面知识三角函数知识解答运算法：（１）行四边形法（行四边形角线分两量差）（２）三角形法（两箭头间量差箭头箭尾间量）面量数量积计算问题两种形式利数量积定义式二利数量积坐标运算公式涉图形问题先建立适面直角坐标系起化繁简妙．
三解答题
16．△ABC中角ABC边分abc已知
（1）求值
（2）
（i）求值
（ii）求值
答案（1）（2）（i）（ii）
解析（1）化简原式直接利余弦定理求值（2）（i）（1）利正弦定理求值（ii）利二倍角余弦公式求二倍角正弦公式两角正弦公式结果
详解
（1） 中整理
余弦定理
（2）（i）（1）正弦定理
已知
（ii）（i）已知
锐角
点睛
三角形载体三角恒等变换手段正弦定理余弦定理工具三角函数解三角形进行考查年高考考查类热点问题般难度综合性较强解答类问题两角差正余弦公式诱导公式二倍角公式定熟练掌握灵活应特二倍角公式种变化形式熟记心
17．图四棱锥PABCD中已知点QAC中点底面ABCD点MPC中点
（1）求直线PB面ADM成角正弦值
（2）求二面角DAMC正弦值
（3）记棱PD中点N点Q线段OP面ADM求线段OQ长
答案（1）（2）（3）
解析O原点分量方x轴y轴z轴正方建立空间直角坐标系（1）求出直线PB方量利量垂直数量积零列方程求出面ADM法量求直线PB面ADM成角正弦值（2）已知面面法量结合（1）中面ADM法量利空间量夹角余弦公式求二面角DAMC余弦值正弦值（3）设线段OQ长点Q坐标已知点N坐标利直线面法量数量积零列方程求解
详解
题意O原点分量方x轴y轴z轴正方建立空间直角坐标系（图）
（1）题意
设面ADM法量
妨设
直线PB面ADM成角正弦值
（2）已知
面
面法量
题意
二面角DAMC正弦值
（3）设线段OQ长点Q坐标
已知点N坐标进
面ADM
解
线段OQ长
点睛
空间量解答立体问题般步骤：（1）观察图形建立恰空间直角坐标系（2）写出相应点坐标求出相应直线方量（3）设出相应面法量利两直线垂直数量积零列出方程组求出法量（4）空间位置关系转化量关系（5）根定理结求出相应角距离
18．已知椭圆离心率点椭圆
（1）求椭圆方程
（2）已短直线椭交AB两点点P坐标求实数m值
答案（1）（2）
解析（1）根题意结合性质 列出关 方程组求出 椭圆方程（2）直线曲线联立根韦达定理利面量数量积公式结合条件列方程求解
详解
（1）设椭圆焦距已知
点椭圆
椭圆方程
（2）设点A坐标点B坐标
方程组消y整理①
求根公式②
点P坐标
③
代入式
已知②
整理解
时①判式满足题目条件
点睛
求椭圆标准方程方法般定系数法根条件确定关方程组解出写出椭圆标准方程．解决直线椭圆位置关系相关问题常规思路先直线方程椭圆方程联立消元化简然应根系数关系建立方程解决相关问题．涉弦中点问题常常点差法解决会更简单
19．已知数列公差1等差数列数列等数数列满足中
（1）求通项公式
（2）记求数列前n项
答案（1）（2）
解析（1）利列方程求出等差数列首项等数列首项公结果（2）先根根分组求错位相减求法结合等数列求公式结果
详解
（1）设数列公差d数列公q
解
（2）中
记
①
②
①②
点睛
错位相减法求数列重点难点利错位相减法求数列应注意点：①掌握运错位相减法求数列条件（等差数列等数列积）②相减时注意项 符号③求时注意项数出错④结果定忘记等式两边时
20．已知函数函数中极值点
（1）讨单调性
（2）求实数a值
（3）证明
答案（1）区间单调递增（2）（3）证明见解析
解析（1）求出定义域次求导区间恒成立结（2）联立解方程组结果（3）（1）知区间单调递增证明取利裂项相消法结合放缩法结果
详解
（1）已知函数定义域
令
知x变化时变化情况表：
1
0
+
极值
区间单调递增
（2）已知函数定义域
已知①
②
联立①②消a③
令
（1）知区间单调递增
注意方程③唯解代入①
（3）证明：（1）知区间单调递增
时
区间单调递增
时
时取
点睛
题考查利导数研究函数单调性等式证明属难题等式证明问题年高考命题热点利导数证明等方法两较简单等式证明等式两边作差构造函数利导数研究函数单调性求出函数值二较综合等式证明观察等式特点结合已解答问题证等式变形运已证结先行放缩然化简者进步利导数证明
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