中学高考——2014·天津卷（理科数学） （1）

2014·天津卷(理科数学)
1．[2014·天津卷] i虚数单位复数＝(　　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　

A．1－i B．－1＋i
C＋i D．－＋i
1．A　[解析] ＝＝＝1－i
2．[2014·天津卷] 设变量xy满足约束条件目标函数z＝x＋2y值(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
2．B　[解析] 画出行域图示．解方程组点A(11)．

目标函数线行域A点时目标函数值zmin＝1×1＋2×1＝3



图1­1

3．[2014·天津卷] 阅读图1­1示程序框图运行相应程序输出S值(　　)
A．15
B．105
C．245
D．945
3．B　[解析] 第1次循环i＝1T＝3S＝1×3
第2次循环i＝2T＝5S＝1×3×5
第3次循环i＝3T＝7S＝1×3×5×7
执行完时i变4退出循环输出S＝1×3×5×7＝105
4．[2014·天津卷] 函数f(x)＝log(x2－4)单调递增区间(　　)
A．(0＋∞)
B．(－∞0)
C．(2＋∞)
D．(－∞－2)
4．D　[解析] f(x)单调递增需解x<－2
5．[2014·天津卷] 已知双曲线－＝1(a>0b>0)条渐线行直线l：y＝2x＋10双曲线焦点直线l双曲线方程(　　)
A－＝1 B－＝1
C－＝1 D－＝1
5．A　[解析] 题意知双曲线渐线y＝±x∴＝2∵双曲线左焦点(－c0)直线l∴0＝－2c＋10∴c＝5∵a2＋b2＝c2∴a2＝5b2＝20∴双曲线方程－＝1
6．[2014·天津卷]

图1­2
图1­2示△ABC圆接三角形∠BAC分线交圆点D交BC点E点B圆切线AD延长线交点F述条件出列四结：
①BD分∠CBF
②FB2＝FD·FA
③AE·CE＝BE·DE
④AF·BD＝AB·BF
正确结序号(　　)
A．①② B．③④
C．①②③ D．①②④

6．D　[解析] 图示∵∠1＝∠3∠2＝∠4∠1＝∠2∴∠4＝∠3∴BD分∠CBF∴△ABF∽△BDF
∵＝∴AB·BF＝AF·BD∵＝∴BF2＝AF·DF①②④正确．
7．[2014·天津卷] 设ab∈Ra>ba|a|>b|b|(　　)
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
7．C　[解析] ab≥0时a>ba|a|>b|b|等价．ab<0时a>b时a|a|>0>b|b|反a|a|>b|b|知a>0>ba>b
8．[2014·天津卷] 已知菱形ABCD边长2∠BAD＝120°点EF分边BCDCBE＝λBCDF＝μDC·＝1·＝－λ＋μ＝(　　)
A B C D
8．C　[解析] 建立图示坐标系A(－10)B(0－)C(10)D(0)．设E(x1y1)F(x2y2)．BE＝λBC(x1y1＋)＝λ(1)解点E(λ(λ－1))．＝μ(x2y2－)＝μ(1－)解点F(μ(1－μ))．∵AE·AF＝(λ＋1(λ－1))·(μ＋1(1－μ))＝1①
·＝(λ－1 (λ－1))·(μ－1 (1－μ))＝－②
①－②λ＋μ＝

9．[2014·天津卷] 某学解校科生参加某项社会实践活动意拟采分层抽样方法该校四年级科生中抽取容量300样进行调查．已知该校年级二年级三年级四年级科生数4∶5∶5∶6应年级科生中抽取
________名学生．
9．60　[解析] 分层抽样方法年级科生中抽取学生数300×＝60
10．[2014·天津卷] 体三视图图1­3示(单位：m)该体体积________m3


图1­3
10　[解析] 三视图该体圆柱圆锥组合体体积V＝π×12×4＋π×22×2＝
11．[2014·天津卷] 设{an}首项a1公差－1等差数列Sn前n项．S1S2S4成等数列a1值________．
11．－　[解析] ∵S2＝2a1－1S4＝4a1＋×(－1)＝4a1－6S1S2S4成等数列
∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)解a1＝－
12．[2014·天津卷] △ABC中角ABC边分abc已知b－c＝a2sin B＝3sin Ccos A值________．
12．－　[解析] ∵2sin B＝3sin C∴2b＝3c
∵b－c＝∴a＝2cb＝c
∴cos A＝＝＝－
13．[2014·天津卷] O极点极坐标系中圆ρ＝4sin θ直线ρsin θ＝a相交AB两点．△AOB等边三角形a值________．
13．3　[解析] ρ＝4sin θρsin θ＝a转化直角坐标方程分x2＋(y－2)2＝4
y＝a联立x2＝－a2＋4a0∵△AOB等边三角形∴a2＝3(－a2＋4a)解a＝3a＝0(舍)．
14．[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝|x2＋3x|x∈R方程f(x)－a|x－1|＝0恰4互异实数根实数a取值范围________．
14．(01)∪(9＋∞)　[解析] 坐标系分作出y＝f(x)y＝a|x－1|图图示．y＝a|x－1|y＝f(x)图相切时整理x2＋(3－a)x＋a＝0Δ＝(3－a)2－4a＝a2－10a＋9＝0解a＝1a＝9y＝a|x－1|y＝f(x)图四交点时09

15．[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋x∈R
(1)求f(x)正周期
(2)求f(x)闭区间值值．
15．解：(1)已知
f(x)＝cos x·－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin
f(x)正周期T＝＝π
(2)f(x)区间减函数区间增函数f＝－f＝－f＝
函数f(x)区间值值－
16．[2014·天津卷] 某学志愿者协会6名男学4名女学．10名学中
3名学数学学院余7名学物理化学等互相七学院．现10名学中机选取3名学希学进行支教活动(位学选性相)．
(1)求选出3名学互相学院概率
(2)设X选出3名学中女学数求机变量X分布列数学期．
16．解：(1)设选出3名学互相学院事件A
P(A)＝＝
选出3名学互相学院概率
(2)机变量X值0123
P(X＝k)＝(k＝0123)
机变量X分布列
X
0
1
2
3
P





机变量X数学期E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝
17．[2014·天津卷] 图1­4示四棱锥P ­ ABCD中PA⊥底面ABCD AD⊥ABAB∥DCAD＝DC＝AP＝2AB＝1点E棱PC中点．
(1)证明：BE⊥DC
(2)求直线BE面PBD成角正弦值
(3)F棱PC点满足BF⊥AC求二面角F ­ AB ­ P余弦值．

图1­4
17．解：方法：题意点A原点建立空间直角坐标系(图示)B(100)C(220)D(020)P(002)．CE棱PC中点E(111)．

(1)证明：量BE＝(011)DC＝(200)
BE·DC＝0
BE⊥DC
(2)量BD＝(－120)PB＝(10－2)．
设n＝(xyz)面PBD法量

妨令y＝1n＝(211)面PBD法量．
cos〈nBE〉＝＝＝
直线BE面PBD成角正弦值
(3) 量BC＝(120)CP＝(－2－22)AC＝(220)AB＝(100)．点F棱PC
设CF＝λ0≤λ≤1
BF＝BC＋CF＝BC＋λ＝(1－2λ2－2λ2λ)．BF⊥ACBF·AC＝02(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0解λ＝BF＝设n1＝(xyz)面FAB法量妨令z＝1n1＝(0－31)面FAB法量．取面ABP法量n2＝(010)
cos〈〉＝＝＝－
易知二面角F ­ AB ­ P锐角余弦值
方法二：(1)证明：图示取PD中点M连接EMAMEM分PCPD中点EM∥DCEM＝DC已知EM∥ABEM＝AB四边形ABEM行四边形BE∥AM
PA⊥底面ABCDPA⊥CDCD⊥DACD⊥面PADAM⊂面PADCD⊥AMBE∥AMBE⊥CD

(2)连接BM(1)CD⊥面PADCD⊥PDEM∥CDPD⊥EMAD＝APMPD中点PD⊥AMPD⊥BEPD⊥面BEM面BEM⊥面PBD直线BE面PBD射影直线BMBE⊥EM∠EBM锐角∠EBM直线BE面PBD成角．
题意PD＝2MPD中点AM＝进BE＝直角三角形BEM
中tan∠EBM＝＝＝sin∠EBM＝
直线BE面PBD成角正弦值
(3)图示△PAC中点F作FH∥PA交AC点HPA⊥底面ABCDFH⊥底面ABCDFH⊥ACBF⊥ACAC⊥面FHBAC⊥BH底面ABCDCH＝3HACF＝3FP面PDC作FG∥DC交PD点GDG＝3GPDC∥ABGF∥ABABFG四点面．AB⊥PAAB⊥ADAB⊥面PADAB⊥AG∠PAG二面角F ­ AB ­ P面角．
△PAG中PA＝2PG＝PD＝∠APG＝45°余弦定理AG＝cos∠PAG＝二面角F ­ AB ­ P余弦值

18．[2014·天津卷] 设椭圆＋＝1(a>b>0)左右焦点分F1F2右顶点A顶点B已知|AB|＝|F1F2|
(1)求椭圆离心率
(2)设P椭圆异顶点点线段PB直径圆点F1原点O直线l该圆相切求直线l斜率．
18．解：(1)设椭圆右焦点F2坐标(c0)．
|AB|＝|F1F2|a2＋b2＝3c2
b2＝a2－c2＝
椭圆离心率e＝
(2)(1)知a2＝2c2b2＝c2
椭圆方程＋＝1
设P(x0y0)．F1(－c0)B(0c)
＝(x0＋cy0)＝(cc)．
已知·＝0(x0＋c)c＋y0c＝0
c≠0x0＋y0＋c＝0①
点P椭圆
＋＝1②
①②3x＋4cx0＝0点P椭圆顶点x0＝－c代入①y0＝点P坐标
设圆圆心T(x1y1)x1＝＝－cy1＝＝c进圆半径r＝＝c
设直线l斜率k题意直线l方程y＝kxl圆相切＝r＝c整理k2－8k＋1＝0解k＝4±
直线l斜率4＋4－
19．[2014·天津卷] 已知qn均定1然数．设集合M＝{012…q－1}
集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1xi∈Mi＝12…n}．
(1)q＝2n＝3时列举法表示集合A
(2)设st∈As＝a1＋a2q＋…＋anqn－1t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1中aibi∈Mi＝12…n证明：an19．解：(1)q＝2n＝3时M＝{01}A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22xi∈Mi＝123}A＝{01234567}．
(2)证明：st∈As＝a1＋a2q＋…＋anqn－1t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1aibi∈Mi＝12…nans－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(an－1－bn－1)qn－2＋(an－bn)qn－1
≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)qn－2－qn－1
＝－qn－1
＝－1<0
s20．[2014·天津卷] 设f(x)＝x－aex(a∈R)x∈R已知函数y＝f(x)两零点x1x2x1(1)求a取值范围
(2)证明：着a减增
(3)证明：x1＋x2着a减增．
20．解：(1)f(x)＝x－aexf′(x)＝1－aex
面分两种情况讨：
(i)a≤0时f′(x)>0R恒成立f(x)R单调递增合题意．
(ii)a>0时f′(x)＝0x＝－ln a
x变化时f′(x)f(x)变化情况表：
x
(－∞－ln a)
－ln a
(－ln a＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)

－ln a－1

时f(x)单调递增区间(－∞－ln a)单调递减区间(－ln a＋∞)．函数y＝f(x)两零点等价条件时成立：①f(－ln a)>0②存s1∈(－∞－ln a)满足f(s1)<0③存s2∈(－ln a＋∞)满足f(s2)<0
f(－ln a)>0－ln a－1>0解0a取值范围(0e－1)．
(2)证明：f(x)＝x－aex＝0a＝设g(x)＝g′(x)＝知g(x)(－∞1)单调递增(1＋∞)单调递减．x∈(－∞0]时g(x)≤0 x∈(0＋∞)时g(x)>0已知x1x2满足a＝g(x1)a＝g(x2)．a∈(0e－1)g(x)单调性x1∈(01)x2∈(1＋∞)．
意a1a2∈(0e－1)设a1>a2g(ξ1)＝g(ξ2)＝a1中0<ξ1<1<ξ2g(η1)＝g(η2)＝a2中0<η1<1<η2
g(x)(01)单调递增a1>a2g(ξ1)>g(η1)ξ1>η1类似ξ2<η2
ξ1η1>0<<
着a减增．
(3)证明：x1＝aex1x2＝aex2ln x1＝ln a＋x1ln x2＝ln a＋x2x2－x1＝ln x2－ln x1＝ln
设＝tt>1解x1＝x2＝x1＋x2＝①
令h(x)＝x∈(1＋∞)
h′(x)＝
令u(x)＝－2ln x＋x－u′(x)＝
x∈(1＋∞)时u′(x)>0u(x)(1＋∞)单调递增意x∈(1＋∞)u(x)>u(1)＝0h′(x)>0h(x)(1＋∞)单调递增．
①x1＋x2着t增增．
(2)t着a减增x1＋x2着a减增．


文档香网(httpswwwxiangdangnet)户传

《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档