2008年全国统高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
选择题（12题题5分满分60分）
1．（5分）函数定义域（ ）
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
2．（5分）汽车启动加速行驶匀速行驶减速行驶停车程中汽车行驶路程s作时间t函数图象（ ）
A． B．
C． D．
3．（5分）△ABC中．点D满足2（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）设a∈R（a+i）2i正实数a（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
5．（5分）已知等差数列{an}满足a2+a44a3+a510前10项S10（ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
6．（5分）函数yf（x）图象函数yln图象关直线yx称f（x）（ ）
A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2
7．（5分）已知曲线y点（32）处切线直线ax+y+10垂直a值（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
8．（5分）函数图象需函数ysin2x图象（ ）
A．左移长度单位 B．右移长度单位
C．左移长度单位 D．右移长度单位
9．（5分）设奇函数f（x）（0+∞）增函数f（1）0等式＜0解集（ ）
A．（﹣10）∪（1+∞） B．（﹣∞﹣1）∪（01）
C．（﹣∞﹣1）∪（1+∞） D．（﹣10）∪（01）
10．（5分）直线1圆x2+y21公点（ ）
A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D．
11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1侧棱底面边长相等A1底面ABC射影△ABC中心AB1底面ABC成角正弦值等（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）图环形花坛分成ABCD四块现4种花供选种求块里种1种花相邻2块种花种法总数（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
二填空题（4题题5分满分20分）
13．（5分）xy满足约束条件z2x﹣y值 ．
14．（5分）已知抛物线yax2﹣1焦点坐标原点抛物线两坐标轴三交点顶点三角形面积 ．
15．（5分）△ABC中ABBC．AB焦点椭圆点C该椭圆离心率e ．
16．（5分）等边三角形ABC正方形ABDE公边AB二面角C﹣AB﹣D余弦值MN分ACBC中点EMAN成角余弦值等 ．
三解答题（6题满分70分）
17．（10分）设△ABC角ABC边长分abcacosB﹣bcosAc．
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）求tan（A﹣B）值．
18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中底面BCDE矩形侧面ABC⊥底面BCDEBC2ABAC．
（Ⅰ）证明：AD⊥CE
（Ⅱ）设CE面ABE成角45°求二面角C﹣AD﹣E．
19．（12分）已知函数f（x）﹣x2+ax+1﹣lnx．
（Ⅰ）a3时求函数f（x）单调递增区间
（Ⅱ）f（x）区间（0）减函数求实数a取值范围．
20．（12分）已知5动物中1患某种疾病需通化验血液确定患病动物．血液化验结果呈阳性患病动物呈阴性没患病．面两种化验方法：
方案甲：逐化验直确定患病动物止．
方案乙：先取3血液混起化验．结果呈阳性表明患病动物3中1然逐化验直确定患病动物止结果呈阴性外2中取1化验．
（Ⅰ）求方案甲需化验次数少方案乙需化验次数概率
（Ⅱ）ξ表示方案乙需化验次数求ξ期．
21．（12分）双曲线中心原点O焦点x轴两条渐线分l1l2右焦点F垂直l1直线分交l1l2AB两点．已知||||||成等差数列．
（Ⅰ）求双曲线离心率
（Ⅱ）设AB双曲线截线段长4求双曲线方程．
22．（12分）设函数f（x）x﹣xlnx．数列{an}满足0＜a1＜1an+1f（an）．
（Ⅰ）证明：函数f（x）区间（01）增函数
（Ⅱ）证明：an＜an+1＜1
（Ⅲ）设b∈（a11）整数．证明：ak+1＞b．
2008年全国统高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
参考答案试题解析
选择题（12题题5分满分60分）
1．（5分）函数定义域（ ）
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
考点33：函数定义域求法．菁优网版权
分析偶次开方开方数定非负．x（x﹣1）≥0x≥0解关x等式组函数定义域．
解答解：x（x﹣1）≥0x≥1x≤0．
x≥0x≥1x0函数定义域{x|x≥1}∪{0}
选：C．
点评定义域高考必考题通常选择填空形式出现通常注意偶次开方定非负分式中分母0数函数真数定0指数数底数0等1．外注意正切函数定义域．
2．（5分）汽车启动加速行驶匀速行驶减速行驶停车程中汽车行驶路程s作时间t函数图象（ ）
A． B．
C． D．
考点3A：函数图象图象变换．菁优网版权
专题16：压轴题31：数形结合．
分析已知中汽车启动加速行驶匀速行驶减速行驶停车汽车行驶路程s作时间t函数根实际分析函数值S（路程）变量t（时间）间变化趋势分析四答案结．
解答解：汽车启动加速行驶阶段
路程时间升速度越越快
图象前边部分凹升形状
汽车匀速行驶阶段
路程时间升速度保持变
图象中间部分升形状
汽车减速行驶停车阶段
路程时间升速度越越慢
图象前边部分凸升形状
分析四答案中图象
A答案满足求
选：A．
点评左右图象果图象凸起升表明相应量增长速度越越慢果图象凹陷升表明相应量增长速度越越快果图象直线升表明相应量增长速度保持变果图象水直线表明相应量保持变增长降低果图象凸起降表明相应量降低速度越越快果图象凹陷降表明相应量降低速度越越慢果图象直线降表明相应量降低速度保持变．
3．（5分）△ABC中．点D满足2（ ）
A． B． C． D．
考点9B：量加减混合运算．菁优网版权
分析量组量表示做法求量起点出发量着已知量走求量终点整程写求．题根D点BC分成二两部分入手．
解答解：∵
∴
∴．
选：A．
点评组量表示量解题程中常见量加减运算量解决问题基础学运算量解决立体问题三角函数问题问题量载体
4．（5分）设a∈R（a+i）2i正实数a（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
考点A4：复数代数表示法意义．菁优网版权
分析注意a+bi（ab∈R）正实数充条件a＞0b0
解答解：（a+i）2i（a2+2ai﹣1）i﹣2a+（a2﹣1）i＞0a﹣1．选D．
点评题计算中注意相应变量范围．
5．（5分）已知等差数列{an}满足a2+a44a3+a510前10项S10（ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
考点83：等差数列性质85：等差数列前n项．菁优网版权
专题11：计算题．
分析题考查知识点等差数列性质等差数列前n项根a2+a44a3+a510构造关基量（首项公差）方程组解方程组求出基量（首项公差）进代入前n项公式求解．
解答解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）2d6
∴d3a1﹣4
∴S1010a1+95．
选：C．
点评求数列通项公式前n项时果证明数列等差数列等数列求出基项（首项公差公）进根等差等数列通项公式写出该数列通项公式果未知数列类型判断否某等差等数列关间接求通项公式．
6．（5分）函数yf（x）图象函数yln图象关直线yx称f（x）（ ）
A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2
考点4R：反函数．菁优网版权
专题11：计算题．
分析函数yf（x）图象函数yln图象关直线yx称知两函数互反函数求出函数yf（x）反函数欲求原函数反函数原函数yln中反解出x进行xy互换反函数解析式．
解答解：∵∴∴x（ey﹣1）2e2y﹣2改写：ye2x﹣2
∴答案A．
点评题考查互反函数图象间关系反函数求法．
7．（5分）已知曲线y点（32）处切线直线ax+y+10垂直a值（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
考点6H：利导数研究曲线某点切线方程．菁优网版权
专题53：导数综合应．
分析求出函数导数切线斜率两直线垂直条件a值．
解答解：∵y
∴y′
∴曲线y点（32）处切线斜率k﹣
∵曲线y点（32）处切线直线ax+y+10垂直
∴直线ax+y+10斜率k′﹣a×﹣1a﹣2．
选：D．
点评题考查导数意义求法考查导数运算解题时认真审题仔细解答注意直线直线垂直性质灵活运．
8．（5分）函数图象需函数ysin2x图象（ ）
A．左移长度单位 B．右移长度单位
C．左移长度单位 D．右移长度单位
考点HJ：函数yAsin（ωx+φ）图象变换．菁优网版权
专题11：计算题．
分析先根诱导公式函数化正弦形式根左加右减原进行移答案．
解答解：∵
需函数ysin2x图象左移单位函数图象．
选：A．
点评题考查诱导公式三角函数移．属基础题．
9．（5分）设奇函数f（x）（0+∞）增函数f（1）0等式＜0解集（ ）
A．（﹣10）∪（1+∞） B．（﹣∞﹣1）∪（01）
C．（﹣∞﹣1）∪（1+∞） D．（﹣10）∪（01）
考点3N：奇偶性单调性综合．菁优网版权
专题16：压轴题．
分析首先利奇函数定义出xf（x）异号
然奇函数定义求出f（﹣1）﹣f（1）0
结合f（x）单调性解出答案．
解答解：奇函数f（x）知xf（x）异号
f（1）0f（﹣1）﹣f（1）0
f（x）（0+∞）增函数奇函数f（x）（﹣∞0）增函数
0＜x＜1时f（x）＜f（1）0＜0满足
x＞1时f（x）＞f（1）0＞0满足舍
﹣1＜x＜0时f（x）＞f（﹣1）0＜0满足
x＜﹣1时f（x）＜f（﹣1）0＞0满足舍
x取值范围﹣1＜x＜00＜x＜1．
选：D．
点评题综合考查奇函数定义单调性．
10．（5分）直线1圆x2+y21公点（ ）
A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D．
考点J9：直线圆位置关系．菁优网版权
分析圆心直线距离等半径结果．
解答解：直线圆公点直线圆相切相交：d≤r
∴
选：D．
点评题考查点直线距离公式直线圆位置关系基础题．
11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1侧棱底面边长相等A1底面ABC射影△ABC中心AB1底面ABC成角正弦值等（ ）
A． B． C． D．
考点LP：空间中直线面间位置关系．菁优网版权
专题11：计算题31：数形结合4R：转化法5G：空间角．
分析法：题意知三棱锥A1﹣ABC正四面体设棱长2求出AB1三棱锥高线面角定义求出答案
法二：先求出点A1底面距离A1D长度知点B1底面距离B1E长度求出AE长度直角三角形AEB1中求AB1底面ABC成角正切角三角函数关系求出正弦．
解答解：（法）三棱柱ABC﹣A1B1C1侧棱底面边长相等A1底面ABC射影△ABC中心设D
三棱锥A1﹣ABC正四面体设棱长2
△AA1B1顶角120°等腰三角形
AB12×2×sin60°2A1D
AB1底面ABC成角正弦值
（法二）题意妨令棱长2点B1底面距离B1E
图A1底面ABC射影△ABC中心设D
DA
勾股定理A1DB1E
图作A1S⊥AB中点SB1作AB垂线段垂足F
BF1B1FA1SAF3
直角三角形B1AF中勾股定理：AB12
AB1底面ABC成角正弦值sin∠B1AE．
选：B．
点评题考查体结构特征线面角定义点面距线面距转化考查转化思想空间想象力．
12．（5分）图环形花坛分成ABCD四块现4种花供选种求块里种1种花相邻2块种花种法总数（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
考点C6：等事件等事件概率．菁优网版权
专题16：压轴题．
分析道题起前年出高考题简单分类清楚没问题分三类：分种两种花三种花四种花分三类列出结果．
解答解：分三类：种两种花A42种种法
种三种花2A43种种法
种四种花A44种种法．
A42+2A43+A4484．
选：B．
点评题样解：A﹣B﹣C﹣D序种花分AC色色4×3×（1×3+2×2）84．
二填空题（4题题5分满分20分）
13．（5分）xy满足约束条件z2x﹣y值 9 ．
考点7C：简单线性规划．菁优网版权
专题11：计算题13：作图题．
分析首先作出行域作出直线l0：y2xl0移行域公点直线y2x﹣zy轴截距时z值求出时直线y2x﹣z行域点坐标代入z2x﹣y中．
解答解：图作出行域作出直线l0：y2xl0移点A处时函数z2x﹣y值9．
点评题考查线性规划问题考查数形结合思想．
14．（5分）已知抛物线yax2﹣1焦点坐标原点抛物线两坐标轴三交点顶点三角形面积 2 ．
考点K8：抛物线性质．菁优网版权
专题11：计算题．
分析先根抛物线yax2﹣1焦点坐标坐标原点求a抛物线方程进知坐标轴交点坐标进答案．
解答解：抛物线yax2﹣1焦点坐标坐标原点
坐标轴交点（0﹣1）（﹣20）（20）
三点围成三角形面积
答案2
点评题考查抛物线应．考查学生综合运学知识解决实际问题力．
15．（5分）△ABC中ABBC．AB焦点椭圆点C该椭圆离心率e ．
考点K4：椭圆性质．菁优网版权
专题11：计算题16：压轴题．
分析设ABBC1知求出该椭圆离心率．
解答解：设ABBC1
∴．
答案：．
点评题考查椭圆性质应解题时注意正确计算．
16．（5分）等边三角形ABC正方形ABDE公边AB二面角C﹣AB﹣D余弦值MN分ACBC中点EMAN成角余弦值等 ．
考点LM：异面直线成角MJ：二面角面角求法．菁优网版权
专题11：计算题16：压轴题．
分析先找出二面角面角建立边间等量关系利量法求异面直线基底表示然利量成角公式求出成角．
解答解：设AB2作CO⊥面ABDE
OH⊥ABCH⊥AB∠CHO二面角C﹣AB﹣D面角
结合等边三角形ABC正方形ABDE知四棱锥正四棱锥
EMAN成角余弦值答案：
点评题考查异面直线成角考查空间想象力运算力推理证力属基础题．
三解答题（6题满分70分）
17．（10分）设△ABC角ABC边长分abcacosB﹣bcosAc．
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）求tan（A﹣B）值．
考点GP：两角差三角函数HP：正弦定理．菁优网版权
分析题考查知识点正弦定理两角差正切函数
（Ⅰ）正弦定理边角互化已知中进行转化sinAcosB4cosAsinB利弦化切方法求值．
（Ⅱ）（Ⅰ）结结合角ABC△ABC角易tanA4tanB＞0tan（A﹣B）化结合基等式tan（A﹣B）值．
解答解：（Ⅰ）△ABC中
正弦定理
sinAcosB4cosAsinB
（Ⅱ）
tanA4tanB＞0
仅时等号成立
时
tan（A﹣B）值．
点评解三角形时正弦定理余弦定理常方法正弦定理边角互化时注意般等式两边关三边齐次式．
18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中底面BCDE矩形侧面ABC⊥底面BCDEBC2ABAC．
（Ⅰ）证明：AD⊥CE
（Ⅱ）设CE面ABE成角45°求二面角C﹣AD﹣E．
考点LY：面面垂直MJ：二面角面角求法．菁优网版权
专题5F：空间位置关系距离．
分析（1）取BC中点F证明CE⊥面ADF通证明线面垂直达证明线线垂直目．
（2）面AED点E作AD垂线垂足G（1）知CE⊥AD∠CGE求二面角面角△CGE中余弦定理求出角．
解答解：（1）取BC中点F连接DF交CE点O
∵ABAC∴AF⊥BC．
面ABC⊥面BCDE∴AF⊥面BCDE∴AF⊥CE．
根 ∠CED∠FDC．
∠CDE90°∴∠OED+∠ODE90°
∴∠DOE90°CE⊥DF∴CE⊥面ADF∴CE⊥AD．
（2）面ACDC点作AD垂线垂足G．
∵CG⊥ADCE⊥AD∴AD⊥面CEG∴EG⊥AD
∠CGE求二面角面角．
作CH⊥ABH垂足．
∵面ABC⊥面BCDE矩形BCDE中BE⊥BCBE⊥面ABCCH⊂面ABC
BE⊥CHAB∩BEBCH⊥面ABE
∴∠CEH45°CE面ABE成角．
∵CE∴CHEH．
直角三角形CBH中利勾股定理求BH1∴AHAB﹣BHAC﹣1
直角三角形ACH中勾股定理求AC2CH2+AH23+（AC﹣1）2∴ABAC2．
面ABC⊥面BCDE矩形BCDE中CD⊥CBCD⊥面ABC
△ACD直角三角形AD
CGDG
∴
二面角C﹣AD﹣E．
点评题考查通证明线面垂直证明线线垂直方法求二面角方法属中档题．
19．（12分）已知函数f（x）﹣x2+ax+1﹣lnx．
（Ⅰ）a3时求函数f（x）单调递增区间
（Ⅱ）f（x）区间（0）减函数求实数a取值范围．
考点3D：函数单调性单调区间3E：函数单调性性质判断．菁优网版权
专题16：压轴题．
分析（1）求单调区间先求导令导函数等0．
（2）已知f（x）区间（0）减函数f′（x）≤0区间（0）恒成立然分离参数求值．
解答解：（Ⅰ）a3时f（x）﹣x2+3x+1﹣lnx
∴
解f′（x）＞0
：2x2﹣3x+1＜0
函数f（x）单调递增区间．
（Ⅱ）f′（x）﹣2x+a﹣
∵f（x）减函数
∴x∈时﹣2x+a﹣≤0恒成立．
a≤2x+恒成立．
设
∵x∈时＞4
∴g′（x）＜0
∴g（x）递减
∴g（x）＞g（）3
∴a≤3．
点评题考查函数单调性判断已知函数单调性求参数范围类问题般导数解决综合性较强．
20．（12分）已知5动物中1患某种疾病需通化验血液确定患病动物．血液化验结果呈阳性患病动物呈阴性没患病．面两种化验方法：
方案甲：逐化验直确定患病动物止．
方案乙：先取3血液混起化验．结果呈阳性表明患病动物3中1然逐化验直确定患病动物止结果呈阴性外2中取1化验．
（Ⅰ）求方案甲需化验次数少方案乙需化验次数概率
（Ⅱ）ξ表示方案乙需化验次数求ξ期．
考点C6：等事件等事件概率CH：离散型机变量期方差．菁优网版权
分析（1）题意两种方案化验次数算出次数概率写出化验次数分布列求出方案甲需化验次数少方案乙需化验次数概率．
（2）根问乙化验次数分布列利期计算公式结果．
解答解：（Ⅰ）乙验两次时两种：
①先验三结果阳性中逐验时恰次验中概率：
②先验三结果阴性两中验出阳性（第二次试验中没均第二次结束）
∴乙两次概率．
乙验三次时种：
先验三结果阳性中逐验时恰二次验中概率三次验出时概率
∴甲种方案次数少乙种次数概率：
（Ⅱ）ξ表示方案乙需化验次数
∴ξ期Eξ2×06+3×0424．
点评期概率数理统计重概念反映机变量取值分布特征数学期学概率统计知识做铺垫．时市场预测济统计风险决策等领域着广泛应学数学相关学科产生深远影响．
21．（12分）双曲线中心原点O焦点x轴两条渐线分l1l2右焦点F垂直l1直线分交l1l2AB两点．已知||||||成等差数列．
（Ⅰ）求双曲线离心率
（Ⅱ）设AB双曲线截线段长4求双曲线方程．
考点KB：双曲线标准方程KC：双曲线性质．菁优网版权
专题11：计算题16：压轴题．
分析（1）2量渐线夹角范围求出离心率范围勾股定理出直角三角形2直角边长度联想渐线夹角求出渐线斜率进求出离心率．
（2）利第（1）结设出双曲线方程AB方程代入运根系数关系弦长公式求出定系数求出双曲线方程．
解答解：（1）设双曲线方程
∴渐线倾斜角范围（0）
∴渐线斜率：∴．
∵||||||成等差数列∴|OB|+|OA|2|AB|
∴|AB|2（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）（|OB|﹣|OA|）•2|AB|
∴
∴
：直角三角形OAB中
注意三角形OAF直角三角形tan∠AOB
称性知：OA斜率ktan
∴∴2k2+3k﹣20∴
∴∴∴．
（2）第（1）知a2b设双曲线方程﹣1∴cb．
AB倾斜角+∠AOBAB斜率tan（+∠AOB ）﹣cot（∠AOB）﹣2
∴AB直线方程 y﹣2（x﹣b）代入双曲线方程：15x2﹣32bx+84b20
∴x1+x2x1•x2
∴4••16﹣112b2
∴b29求双曲线方程：﹣1．
点评做边做边发现题中巧妙联想应2渐线夹角正切值属中档题．
22．（12分）设函数f（x）x﹣xlnx．数列{an}满足0＜a1＜1an+1f（an）．
（Ⅰ）证明：函数f（x）区间（01）增函数
（Ⅱ）证明：an＜an+1＜1
（Ⅲ）设b∈（a11）整数．证明：ak+1＞b．
考点6B：利导数研究函数单调性RG：数学纳法．菁优网版权
专题16：压轴题．
分析（1）首先求出函数导数然令f′（x）0解出函数极值点根导数判断函数区间（01）单调性
进行证明．
（2）题意数列{an}满足0＜a1＜1an+1f（an）求出an+1an﹣anlnan然利纳法进行证明
（3）题意f（x）x﹣xlnxan+1f（an）ak+1ak﹣b﹣ak然进行讨求解．
解答解：（Ⅰ）证明：∵f（x）x﹣xlnx
∴f′（x）﹣lnx
x∈（01）时f′（x）﹣lnx＞0
函数f（x）区间（01）增函数
（Ⅱ）证明：（数学纳法）
（i）n1时0＜a1＜1a1lna1＜0
a2f（a1）a1﹣a1lna1＞a1
∵函数f（x）区间（01）增函数函数f（x）x1处连续
∴f（x）区间（01]增函数
a2f（a1）a1﹣a1lna1＜1a1＜a2＜1成立
（ⅱ）假设xk（k∈N+）时ak＜ak+1＜1成立
0＜a1≤ak＜ak+1＜1
nk+1时f（x）区间（01]增函数0＜a1≤ak＜ak+1＜1
f（ak）＜f（ak+1）＜f（1）
an+1f（an）
ak+1f（ak）ak+2f（ak+1）ak+1＜ak+2＜1
说nk+1时an＜an+1＜1成立
根（ⅰ）（ⅱ）意正整数nan＜an+1＜1恒成立．
（Ⅲ）证明：f（x）x﹣xlnxan+1f（an）
ak+1ak﹣aklnak
1）存某i≤k满足ai≤b（Ⅱ）知：ak+1﹣b＞ai﹣b≥0
2）意i≤kai＞bak+1ak﹣aklnak≥a1﹣b1﹣ka1lnb0
ak+1＞b成立．
点评题考查项式函数导数函数单调性判定函数值函数方程等式等基础知识数学纳法应般出题者喜欢考查学生运算求解力推理证力分析解决问题力出学生会数形结合思想分类整合思想化转化思想限限思想解决问题．
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选择题（12题题5分满分60分）
1．（5分）函数定义域（ ）
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
2．（5分）汽车启动加速行驶匀速行驶减速行驶停车程中汽车行驶路程s作时间t函数图象（ ）
A． B．
C． D．
3．（5分）△ABC中．点D满足2（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）设a∈R（a+i）2i正实数a（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
5．（5分）已知等差数列{an}满足a2+a44a3+a510前10项S10（ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
6．（5分）函数yf（x）图象函数yln图象关直线yx称f（x）（ ）
A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2
7．（5分）已知曲线y点（32）处切线直线ax+y+10垂直a值（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
8．（5分）函数图象需函数ysin2x图象（ ）
A．左移长度单位 B．右移长度单位
C．左移长度单位 D．右移长度单位
9．（5分）设奇函数f（x）（0+∞）增函数f（1）0等式＜0解集（ ）
A．（﹣10）∪（1+∞） B．（﹣∞﹣1）∪（01）
C．（﹣∞﹣1）∪（1+∞） D．（﹣10）∪（01）
10．（5分）直线1圆x2+y21公点（ ）
A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D．
11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1侧棱底面边长相等A1底面ABC射影△ABC中心AB1底面ABC成角正弦值等（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）图环形花坛分成ABCD四块现4种花供选种求块里种1种花相邻2块种花种法总数（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
二填空题（4题题5分满分20分）
13．（5分）xy满足约束条件z2x﹣y值 ．
14．（5分）已知抛物线yax2﹣1焦点坐标原点抛物线两坐标轴三交点顶点三角形面积 ．
15．（5分）△ABC中ABBC．AB焦点椭圆点C该椭圆离心率e ．
16．（5分）等边三角形ABC正方形ABDE公边AB二面角C﹣AB﹣D余弦值MN分ACBC中点EMAN成角余弦值等 ．
三解答题（6题满分70分）
17．（10分）设△ABC角ABC边长分abcacosB﹣bcosAc．
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）求tan（A﹣B）值．
18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中底面BCDE矩形侧面ABC⊥底面BCDEBC2ABAC．
（Ⅰ）证明：AD⊥CE
（Ⅱ）设CE面ABE成角45°求二面角C﹣AD﹣E．
19．（12分）已知函数f（x）﹣x2+ax+1﹣lnx．
（Ⅰ）a3时求函数f（x）单调递增区间
（Ⅱ）f（x）区间（0）减函数求实数a取值范围．
20．（12分）已知5动物中1患某种疾病需通化验血液确定患病动物．血液化验结果呈阳性患病动物呈阴性没患病．面两种化验方法：
方案甲：逐化验直确定患病动物止．
方案乙：先取3血液混起化验．结果呈阳性表明患病动物3中1然逐化验直确定患病动物止结果呈阴性外2中取1化验．
（Ⅰ）求方案甲需化验次数少方案乙需化验次数概率
（Ⅱ）ξ表示方案乙需化验次数求ξ期．
21．（12分）双曲线中心原点O焦点x轴两条渐线分l1l2右焦点F垂直l1直线分交l1l2AB两点．已知||||||成等差数列．
（Ⅰ）求双曲线离心率
（Ⅱ）设AB双曲线截线段长4求双曲线方程．
22．（12分）设函数f（x）x﹣xlnx．数列{an}满足0＜a1＜1an+1f（an）．
（Ⅰ）证明：函数f（x）区间（01）增函数
（Ⅱ）证明：an＜an+1＜1
（Ⅲ）设b∈（a11）整数．证明：ak+1＞b．
2008年全国统高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
参考答案试题解析
选择题（12题题5分满分60分）
1．（5分）函数定义域（ ）
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
考点33：函数定义域求法．菁优网版权
分析偶次开方开方数定非负．x（x﹣1）≥0x≥0解关x等式组函数定义域．
解答解：x（x﹣1）≥0x≥1x≤0．
x≥0x≥1x0函数定义域{x|x≥1}∪{0}
选：C．
点评定义域高考必考题通常选择填空形式出现通常注意偶次开方定非负分式中分母0数函数真数定0指数数底数0等1．外注意正切函数定义域．
2．（5分）汽车启动加速行驶匀速行驶减速行驶停车程中汽车行驶路程s作时间t函数图象（ ）
A． B．
C． D．
考点3A：函数图象图象变换．菁优网版权
专题16：压轴题31：数形结合．
分析已知中汽车启动加速行驶匀速行驶减速行驶停车汽车行驶路程s作时间t函数根实际分析函数值S（路程）变量t（时间）间变化趋势分析四答案结．
解答解：汽车启动加速行驶阶段
路程时间升速度越越快
图象前边部分凹升形状
汽车匀速行驶阶段
路程时间升速度保持变
图象中间部分升形状
汽车减速行驶停车阶段
路程时间升速度越越慢
图象前边部分凸升形状
分析四答案中图象
A答案满足求
选：A．
点评左右图象果图象凸起升表明相应量增长速度越越慢果图象凹陷升表明相应量增长速度越越快果图象直线升表明相应量增长速度保持变果图象水直线表明相应量保持变增长降低果图象凸起降表明相应量降低速度越越快果图象凹陷降表明相应量降低速度越越慢果图象直线降表明相应量降低速度保持变．
3．（5分）△ABC中．点D满足2（ ）
A． B． C． D．
考点9B：量加减混合运算．菁优网版权
分析量组量表示做法求量起点出发量着已知量走求量终点整程写求．题根D点BC分成二两部分入手．
解答解：∵
∴
∴．
选：A．
点评组量表示量解题程中常见量加减运算量解决问题基础学运算量解决立体问题三角函数问题问题量载体
4．（5分）设a∈R（a+i）2i正实数a（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
考点A4：复数代数表示法意义．菁优网版权
分析注意a+bi（ab∈R）正实数充条件a＞0b0
解答解：（a+i）2i（a2+2ai﹣1）i﹣2a+（a2﹣1）i＞0a﹣1．选D．
点评题计算中注意相应变量范围．
5．（5分）已知等差数列{an}满足a2+a44a3+a510前10项S10（ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
考点83：等差数列性质85：等差数列前n项．菁优网版权
专题11：计算题．
分析题考查知识点等差数列性质等差数列前n项根a2+a44a3+a510构造关基量（首项公差）方程组解方程组求出基量（首项公差）进代入前n项公式求解．
解答解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）2d6
∴d3a1﹣4
∴S1010a1+95．
选：C．
点评求数列通项公式前n项时果证明数列等差数列等数列求出基项（首项公差公）进根等差等数列通项公式写出该数列通项公式果未知数列类型判断否某等差等数列关间接求通项公式．
6．（5分）函数yf（x）图象函数yln图象关直线yx称f（x）（ ）
A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2
考点4R：反函数．菁优网版权
专题11：计算题．
分析函数yf（x）图象函数yln图象关直线yx称知两函数互反函数求出函数yf（x）反函数欲求原函数反函数原函数yln中反解出x进行xy互换反函数解析式．
解答解：∵∴∴x（ey﹣1）2e2y﹣2改写：ye2x﹣2
∴答案A．
点评题考查互反函数图象间关系反函数求法．
7．（5分）已知曲线y点（32）处切线直线ax+y+10垂直a值（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
考点6H：利导数研究曲线某点切线方程．菁优网版权
专题53：导数综合应．
分析求出函数导数切线斜率两直线垂直条件a值．
解答解：∵y
∴y′
∴曲线y点（32）处切线斜率k﹣
∵曲线y点（32）处切线直线ax+y+10垂直
∴直线ax+y+10斜率k′﹣a×﹣1a﹣2．
选：D．
点评题考查导数意义求法考查导数运算解题时认真审题仔细解答注意直线直线垂直性质灵活运．
8．（5分）函数图象需函数ysin2x图象（ ）
A．左移长度单位 B．右移长度单位
C．左移长度单位 D．右移长度单位
考点HJ：函数yAsin（ωx+φ）图象变换．菁优网版权
专题11：计算题．
分析先根诱导公式函数化正弦形式根左加右减原进行移答案．
解答解：∵
需函数ysin2x图象左移单位函数图象．
选：A．
点评题考查诱导公式三角函数移．属基础题．
9．（5分）设奇函数f（x）（0+∞）增函数f（1）0等式＜0解集（ ）
A．（﹣10）∪（1+∞） B．（﹣∞﹣1）∪（01）
C．（﹣∞﹣1）∪（1+∞） D．（﹣10）∪（01）
考点3N：奇偶性单调性综合．菁优网版权
专题16：压轴题．
分析首先利奇函数定义出xf（x）异号
然奇函数定义求出f（﹣1）﹣f（1）0
结合f（x）单调性解出答案．
解答解：奇函数f（x）知xf（x）异号
f（1）0f（﹣1）﹣f（1）0
f（x）（0+∞）增函数奇函数f（x）（﹣∞0）增函数
0＜x＜1时f（x）＜f（1）0＜0满足
x＞1时f（x）＞f（1）0＞0满足舍
﹣1＜x＜0时f（x）＞f（﹣1）0＜0满足
x＜﹣1时f（x）＜f（﹣1）0＞0满足舍
x取值范围﹣1＜x＜00＜x＜1．
选：D．
点评题综合考查奇函数定义单调性．
10．（5分）直线1圆x2+y21公点（ ）
A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D．
考点J9：直线圆位置关系．菁优网版权
分析圆心直线距离等半径结果．
解答解：直线圆公点直线圆相切相交：d≤r
∴
选：D．
点评题考查点直线距离公式直线圆位置关系基础题．
11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1侧棱底面边长相等A1底面ABC射影△ABC中心AB1底面ABC成角正弦值等（ ）
A． B． C． D．
考点LP：空间中直线面间位置关系．菁优网版权
专题11：计算题31：数形结合4R：转化法5G：空间角．
分析法：题意知三棱锥A1﹣ABC正四面体设棱长2求出AB1三棱锥高线面角定义求出答案
法二：先求出点A1底面距离A1D长度知点B1底面距离B1E长度求出AE长度直角三角形AEB1中求AB1底面ABC成角正切角三角函数关系求出正弦．
解答解：（法）三棱柱ABC﹣A1B1C1侧棱底面边长相等A1底面ABC射影△ABC中心设D
三棱锥A1﹣ABC正四面体设棱长2
△AA1B1顶角120°等腰三角形
AB12×2×sin60°2A1D
AB1底面ABC成角正弦值
（法二）题意妨令棱长2点B1底面距离B1E
图A1底面ABC射影△ABC中心设D
DA
勾股定理A1DB1E
图作A1S⊥AB中点SB1作AB垂线段垂足F
BF1B1FA1SAF3
直角三角形B1AF中勾股定理：AB12
AB1底面ABC成角正弦值sin∠B1AE．
选：B．
点评题考查体结构特征线面角定义点面距线面距转化考查转化思想空间想象力．
12．（5分）图环形花坛分成ABCD四块现4种花供选种求块里种1种花相邻2块种花种法总数（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
考点C6：等事件等事件概率．菁优网版权
专题16：压轴题．
分析道题起前年出高考题简单分类清楚没问题分三类：分种两种花三种花四种花分三类列出结果．
解答解：分三类：种两种花A42种种法
种三种花2A43种种法
种四种花A44种种法．
A42+2A43+A4484．
选：B．
点评题样解：A﹣B﹣C﹣D序种花分AC色色4×3×（1×3+2×2）84．
二填空题（4题题5分满分20分）
13．（5分）xy满足约束条件z2x﹣y值 9 ．
考点7C：简单线性规划．菁优网版权
专题11：计算题13：作图题．
分析首先作出行域作出直线l0：y2xl0移行域公点直线y2x﹣zy轴截距时z值求出时直线y2x﹣z行域点坐标代入z2x﹣y中．
解答解：图作出行域作出直线l0：y2xl0移点A处时函数z2x﹣y值9．
点评题考查线性规划问题考查数形结合思想．
14．（5分）已知抛物线yax2﹣1焦点坐标原点抛物线两坐标轴三交点顶点三角形面积 2 ．
考点K8：抛物线性质．菁优网版权
专题11：计算题．
分析先根抛物线yax2﹣1焦点坐标坐标原点求a抛物线方程进知坐标轴交点坐标进答案．
解答解：抛物线yax2﹣1焦点坐标坐标原点
坐标轴交点（0﹣1）（﹣20）（20）
三点围成三角形面积
答案2
点评题考查抛物线应．考查学生综合运学知识解决实际问题力．
15．（5分）△ABC中ABBC．AB焦点椭圆点C该椭圆离心率e ．
考点K4：椭圆性质．菁优网版权
专题11：计算题16：压轴题．
分析设ABBC1知求出该椭圆离心率．
解答解：设ABBC1
∴．
答案：．
点评题考查椭圆性质应解题时注意正确计算．
16．（5分）等边三角形ABC正方形ABDE公边AB二面角C﹣AB﹣D余弦值MN分ACBC中点EMAN成角余弦值等 ．
考点LM：异面直线成角MJ：二面角面角求法．菁优网版权
专题11：计算题16：压轴题．
分析先找出二面角面角建立边间等量关系利量法求异面直线基底表示然利量成角公式求出成角．
解答解：设AB2作CO⊥面ABDE
OH⊥ABCH⊥AB∠CHO二面角C﹣AB﹣D面角
结合等边三角形ABC正方形ABDE知四棱锥正四棱锥
EMAN成角余弦值答案：
点评题考查异面直线成角考查空间想象力运算力推理证力属基础题．
三解答题（6题满分70分）
17．（10分）设△ABC角ABC边长分abcacosB﹣bcosAc．
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）求tan（A﹣B）值．
考点GP：两角差三角函数HP：正弦定理．菁优网版权
分析题考查知识点正弦定理两角差正切函数
（Ⅰ）正弦定理边角互化已知中进行转化sinAcosB4cosAsinB利弦化切方法求值．
（Ⅱ）（Ⅰ）结结合角ABC△ABC角易tanA4tanB＞0tan（A﹣B）化结合基等式tan（A﹣B）值．
解答解：（Ⅰ）△ABC中
正弦定理
sinAcosB4cosAsinB
（Ⅱ）
tanA4tanB＞0
仅时等号成立
时
tan（A﹣B）值．
点评解三角形时正弦定理余弦定理常方法正弦定理边角互化时注意般等式两边关三边齐次式．
18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中底面BCDE矩形侧面ABC⊥底面BCDEBC2ABAC．
（Ⅰ）证明：AD⊥CE
（Ⅱ）设CE面ABE成角45°求二面角C﹣AD﹣E．
考点LY：面面垂直MJ：二面角面角求法．菁优网版权
专题5F：空间位置关系距离．
分析（1）取BC中点F证明CE⊥面ADF通证明线面垂直达证明线线垂直目．
（2）面AED点E作AD垂线垂足G（1）知CE⊥AD∠CGE求二面角面角△CGE中余弦定理求出角．
解答解：（1）取BC中点F连接DF交CE点O
∵ABAC∴AF⊥BC．
面ABC⊥面BCDE∴AF⊥面BCDE∴AF⊥CE．
根 ∠CED∠FDC．
∠CDE90°∴∠OED+∠ODE90°
∴∠DOE90°CE⊥DF∴CE⊥面ADF∴CE⊥AD．
（2）面ACDC点作AD垂线垂足G．
∵CG⊥ADCE⊥AD∴AD⊥面CEG∴EG⊥AD
∠CGE求二面角面角．
作CH⊥ABH垂足．
∵面ABC⊥面BCDE矩形BCDE中BE⊥BCBE⊥面ABCCH⊂面ABC
BE⊥CHAB∩BEBCH⊥面ABE
∴∠CEH45°CE面ABE成角．
∵CE∴CHEH．
直角三角形CBH中利勾股定理求BH1∴AHAB﹣BHAC﹣1
直角三角形ACH中勾股定理求AC2CH2+AH23+（AC﹣1）2∴ABAC2．
面ABC⊥面BCDE矩形BCDE中CD⊥CBCD⊥面ABC
△ACD直角三角形AD
CGDG
∴
二面角C﹣AD﹣E．
点评题考查通证明线面垂直证明线线垂直方法求二面角方法属中档题．
19．（12分）已知函数f（x）﹣x2+ax+1﹣lnx．
（Ⅰ）a3时求函数f（x）单调递增区间
（Ⅱ）f（x）区间（0）减函数求实数a取值范围．
考点3D：函数单调性单调区间3E：函数单调性性质判断．菁优网版权
专题16：压轴题．
分析（1）求单调区间先求导令导函数等0．
（2）已知f（x）区间（0）减函数f′（x）≤0区间（0）恒成立然分离参数求值．
解答解：（Ⅰ）a3时f（x）﹣x2+3x+1﹣lnx
∴
解f′（x）＞0
：2x2﹣3x+1＜0
函数f（x）单调递增区间．
（Ⅱ）f′（x）﹣2x+a﹣
∵f（x）减函数
∴x∈时﹣2x+a﹣≤0恒成立．
a≤2x+恒成立．
设
∵x∈时＞4
∴g′（x）＜0
∴g（x）递减
∴g（x）＞g（）3
∴a≤3．
点评题考查函数单调性判断已知函数单调性求参数范围类问题般导数解决综合性较强．
20．（12分）已知5动物中1患某种疾病需通化验血液确定患病动物．血液化验结果呈阳性患病动物呈阴性没患病．面两种化验方法：
方案甲：逐化验直确定患病动物止．
方案乙：先取3血液混起化验．结果呈阳性表明患病动物3中1然逐化验直确定患病动物止结果呈阴性外2中取1化验．
（Ⅰ）求方案甲需化验次数少方案乙需化验次数概率
（Ⅱ）ξ表示方案乙需化验次数求ξ期．
考点C6：等事件等事件概率CH：离散型机变量期方差．菁优网版权
分析（1）题意两种方案化验次数算出次数概率写出化验次数分布列求出方案甲需化验次数少方案乙需化验次数概率．
（2）根问乙化验次数分布列利期计算公式结果．
解答解：（Ⅰ）乙验两次时两种：
①先验三结果阳性中逐验时恰次验中概率：
②先验三结果阴性两中验出阳性（第二次试验中没均第二次结束）
∴乙两次概率．
乙验三次时种：
先验三结果阳性中逐验时恰二次验中概率三次验出时概率
∴甲种方案次数少乙种次数概率：
（Ⅱ）ξ表示方案乙需化验次数
∴ξ期Eξ2×06+3×0424．
点评期概率数理统计重概念反映机变量取值分布特征数学期学概率统计知识做铺垫．时市场预测济统计风险决策等领域着广泛应学数学相关学科产生深远影响．
21．（12分）双曲线中心原点O焦点x轴两条渐线分l1l2右焦点F垂直l1直线分交l1l2AB两点．已知||||||成等差数列．
（Ⅰ）求双曲线离心率
（Ⅱ）设AB双曲线截线段长4求双曲线方程．
考点KB：双曲线标准方程KC：双曲线性质．菁优网版权
专题11：计算题16：压轴题．
分析（1）2量渐线夹角范围求出离心率范围勾股定理出直角三角形2直角边长度联想渐线夹角求出渐线斜率进求出离心率．
（2）利第（1）结设出双曲线方程AB方程代入运根系数关系弦长公式求出定系数求出双曲线方程．
解答解：（1）设双曲线方程
∴渐线倾斜角范围（0）
∴渐线斜率：∴．
∵||||||成等差数列∴|OB|+|OA|2|AB|
∴|AB|2（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）（|OB|﹣|OA|）•2|AB|
∴
∴
：直角三角形OAB中
注意三角形OAF直角三角形tan∠AOB
称性知：OA斜率ktan
∴∴2k2+3k﹣20∴
∴∴∴．
（2）第（1）知a2b设双曲线方程﹣1∴cb．
AB倾斜角+∠AOBAB斜率tan（+∠AOB ）﹣cot（∠AOB）﹣2
∴AB直线方程 y﹣2（x﹣b）代入双曲线方程：15x2﹣32bx+84b20
∴x1+x2x1•x2
∴4••16﹣112b2
∴b29求双曲线方程：﹣1．
点评做边做边发现题中巧妙联想应2渐线夹角正切值属中档题．
22．（12分）设函数f（x）x﹣xlnx．数列{an}满足0＜a1＜1an+1f（an）．
（Ⅰ）证明：函数f（x）区间（01）增函数
（Ⅱ）证明：an＜an+1＜1
（Ⅲ）设b∈（a11）整数．证明：ak+1＞b．
考点6B：利导数研究函数单调性RG：数学纳法．菁优网版权
专题16：压轴题．
分析（1）首先求出函数导数然令f′（x）0解出函数极值点根导数判断函数区间（01）单调性
进行证明．
（2）题意数列{an}满足0＜a1＜1an+1f（an）求出an+1an﹣anlnan然利纳法进行证明
（3）题意f（x）x﹣xlnxan+1f（an）ak+1ak﹣b﹣ak然进行讨求解．
解答解：（Ⅰ）证明：∵f（x）x﹣xlnx
∴f′（x）﹣lnx
x∈（01）时f′（x）﹣lnx＞0
函数f（x）区间（01）增函数
（Ⅱ）证明：（数学纳法）
（i）n1时0＜a1＜1a1lna1＜0
a2f（a1）a1﹣a1lna1＞a1
∵函数f（x）区间（01）增函数函数f（x）x1处连续
∴f（x）区间（01]增函数
a2f（a1）a1﹣a1lna1＜1a1＜a2＜1成立
（ⅱ）假设xk（k∈N+）时ak＜ak+1＜1成立
0＜a1≤ak＜ak+1＜1
nk+1时f（x）区间（01]增函数0＜a1≤ak＜ak+1＜1
f（ak）＜f（ak+1）＜f（1）
an+1f（an）
ak+1f（ak）ak+2f（ak+1）ak+1＜ak+2＜1
说nk+1时an＜an+1＜1成立
根（ⅰ）（ⅱ）意正整数nan＜an+1＜1恒成立．
（Ⅲ）证明：f（x）x﹣xlnxan+1f（an）
ak+1ak﹣aklnak
1）存某i≤k满足ai≤b（Ⅱ）知：ak+1﹣b＞ai﹣b≥0
2）意i≤kai＞bak+1ak﹣aklnak≥a1﹣b1﹣ka1lnb0
ak+1＞b成立．
点评题考查项式函数导数函数单调性判定函数值函数方程等式等基础知识数学纳法应般出题者喜欢考查学生运算求解力推理证力分析解决问题力出学生会数形结合思想分类整合思想化转化思想限限思想解决问题．
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