中学高考——2014·天津卷（文科数学）

2014·天津卷(文科数学)
1．[2014·天津卷] i虚数单位复数＝(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　

A．1－i B．－1＋i
C＋i D．－＋i
1．A　[解析] ＝＝＝1－i
2．[2014·天津卷] 设变量xy满足约束条件目标函数z＝x＋2y值(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
2．B　[解析] 作出行域图中阴影部分示．

联立解点A (11)．
目标函数线行域A点时目标函数值z＝1×1＋2×1＝3
3．[2014·天津卷] 已知命题p：∀x>0总(x＋1)ex>1綈p(　　)
A．∃x0≤0(x0＋1)ex0≤1
B ∃x0＞0(x0＋1)ex0≤1
C ∀x＞0总(x＋1)ex≤1
D ∀x≤0总(x＋1)ex≤1
3．B　[解析] 含量词命题否定先改变量词形式命题结进行否定．
4．[2014·天津卷] 设a＝log2πb＝logπc＝π－2(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞b＞a
4．C　[解析] ∵a＝log2π>1b＝logπ<0c＝<1
∴b5．[2014·天津卷] 设{an}首项a1公差－1等差数列Sn前n项．S1S2S4成等数列a1＝(　　)
A．2 B．－2
C D．－
5．D　[解析] ∵S2＝2a1－1S4＝4a1＋×(－1)＝4a1－6S1S2S4成等数列∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)解a1＝－
6．[2014·天津卷] 已知双曲线－＝1(a＞0b＞0)条渐线行直线l：y＝2x＋10双曲线焦点直线l双曲线方程(　　)
A－＝1 B－＝1
C－＝1 D－＝1
6．A　[解析] ∵＝20＝－2c＋10∴c＝5a2＝5b2＝20∴双曲线方程－＝1


7．[2014·天津卷] 图1­1示△ABC圆接三角形∠BAC分线交圆点D交BC点E点B圆切线AD延长线交点F述条件出列四结：①BD分∠CBF②FB2＝FD·FA③AE·CE＝BE·DE④AF·BD＝AB·BF正确结序号(　　)
A．①② B．③④
C．①②③ D．①②④
7．D　[解析] ∵∠DBC＝∠DAC∠DBF＝∠DAB∠DAC＝∠DAB∴∠DBC＝∠DBF∴BD分∠CBF∴△ABF∽△BDF∴＝＝
∴AB·BF＝AF·BDBF2＝AF·DF①②④正确．相交弦定理AE·DE＝BE·CE③错误．
8．[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)x∈R曲线y＝f(x)直线y＝1交点中相邻交点距离值f(x)正周期(　　)
A B C．π D．2π
8．C　[解析] ∵f(x)＝2sin＝1
∴sin＝∴ωx1＋＝＋2k1π(k1∈Z) ωx2＋＝＋2k2π(k2∈Z)ω(x2－x1)＝＋2(k2－k1)π∵相邻交点距离值∴ω＝2∴T＝π
9．[2014·天津卷] 某学解校科生参加某项社会实践活动意拟采分层抽样方法该校四年级科生中抽取容量300样进行调查．已知该校年级二年级三年级四年级科生数4∶5∶5∶6应年级科生中抽取________名学生．
9．60　[解析] 分层抽样方法年级科生中抽取学生数300×＝60
10．[2014·天津卷] 体三视图图1­2示(单位：m)该体体积________m3

10　[解析] 三视图知该体圆柱圆锥组合体体积V＝π×12×4＋π×22×2＝
11．[2014·天津卷] 阅读图1­3示框图运行相应程序输出S值________．

11．－4　[解析] 程序框图易知S＝(－2)3＋(－2)2＝－4
12．[2014·天津卷] 函数f(x)＝lg x2单调递减区间________．
12．(－∞0)　[解析] 函数f(x)＝lg x2单调递减区间需满足x2>0y＝x2单调递减x∈(－∞0)．
13．[2014·天津卷] 已知菱形ABCD边长2∠BAD＝120°点EF分边BCDCBC＝3BEDC＝λDF·＝1λ值________．
13．2　[解析] 建立图示坐标系A(－10)B(0－)C(10)D(0)．设E(x1y1)F(x2y2)＝3(1)＝3(x1y1＋)E＝λ(1－)＝λ(x2y2－)F
∵AE·AF＝·＝－＝1∴λ＝2

14．[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝函数y＝f(x)－a|x|恰4零点实数a取值范围________．
14．(12)　[解析] 坐标系分作出y＝f(x)y＝a|x|图图示y＝a|x|y＝f(x)图
相切时联立整理x2＋(5－a)x＋4＝0Δ＝(5－a)2－4×1×4＝0解a＝1a＝9(舍)∴y＝a|x|y＝f(x)图四交点时1
15．[2014·天津卷] 某校夏令营3名男学ABC3名女学XYZ年级情况表：

年级
二年级
三年级
男学
A
B
C
女学
X
Y
Z
现6名学中机选出2参加知识竞赛(选性相)．
(1)表中字母列举出结果
(2)设M事件选出2年级恰1名男学1名女学求事件M发生概率．
15．解：(1)6名学中机选出2参加知识竞赛结果{AB}{AC}{AX}{AY}{AZ}{BC}{BX}{BY}{BZ}{CX}{CY}{CZ}{XY}{XZ}{YZ}15种．
(2)选出2年级恰1名男学1名女学结果{AY}{AZ}{BX}{BZ}{CX}{CY}6种．
事件M发生概率P(M)＝＝
16．[2014·天津卷] △ABC中角ABC边分abc已知 a－c＝bsin B＝sin C
(1)求cos A值
(2)求cos值．
16．解：(1)△ABC中＝sin B＝sin Cb＝ca－c＝ba＝2c
cos A＝＝＝
(2)△ABC中cos A＝sin A＝cos 2A＝2cos2A－1＝－sin 2A＝2sin A·cos A＝
cos＝cos 2A·cos＋sin 2A·sin＝
17．[2014·天津卷] 图1­4示四棱锥P ­ ABCD底面ABCD行四边形BA＝BD＝AD＝2PA＝PD＝EF分棱ADPC中点．


(1)证明：EF∥面PAB
(2)二面角P­AD­B60°
(i)证明：面PBC⊥面ABCD
(ii)求直线EF面PBC成角正弦值．

17．解：(1)证明：图示取PB中点M连接MFAMFPC中点MF∥BCMF＝BC已知BC∥ADBC＝ADEAD中点MF∥AEMF＝AE四边形AMFE行四边形EF∥AMAM⊂面PABEF⊄面PABEF∥面PAB
(2)(i)证明：连接PEBEPA＝PDBA＝BDEAD中点PE⊥ADBE⊥AD∠PEB二面角P ­ AD ­B面角．△PAD中PA＝PD＝AD＝2解PE＝2△ABD中BA＝BD＝AD＝2解BE＝1△PEB中PE＝2BE＝1∠PEB＝60˚余弦定理解PB＝∠PBE＝90˚BE⊥PBBC∥ADBE⊥ADBE⊥BCBE⊥面PBCBE⊂面ABCD面PBC⊥面ABCD
(ii)连接BF(i)知BE⊥面PBC∠EFB直线EF面PBC成角．PB＝已知∠ABP直角MB＝PB＝AM＝EF＝BE＝1直角三角形EBF中sin∠EFB＝＝直线EF面PBC成角正弦值
18．[2014·天津卷] 设椭圆＋＝1(a＞b＞0)左右焦点分F1F2右顶点A顶点B已知|AB|＝|F1F2|
(1)求椭圆离心率
(2)设P椭圆异顶点点线段PB直径圆点F1点F2直线l该圆相切点M|MF2|＝2求椭圆方程．
18．解：(1)设椭圆右焦点F2坐标(c0)．|AB|＝|F1F2|a2＋b2＝3c2b2＝a2－c2＝
椭圆离心率e＝
(2)(1)知a2＝2c2b2＝c2
椭圆方程＋＝1
设P(x0y0)．F1(－c0)B(0c)＝(x0＋cy0)＝(cc)．
已知·＝0(x0＋c)c＋y0c＝0
c≠0x0＋y0＋c＝0①
点P椭圆
＋＝1②
①②3x＋4cx0＝0点P椭圆顶点x0＝－c代入①y0＝点P坐标
设圆圆心T(x1y1)x1＝＝－cy1＝＝c进圆半径r＝＝c
已知|TF2|2＝|MF2|2＋r2|MF2|＝2＋＝8＋c2
解c2＝3
求椭圆方程＋＝1
19．[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝x2－ax3(a＞0)x∈R
(1)求f(x)单调区间极值
(2)意x1∈(2＋∞)存x2∈(1＋∞)f(x1)·f(x2)＝1求a取值范围．
19．解：(1)已知f′(x)＝2x－2ax2(a>0)．令f′(x)＝0解x＝0x＝
x变化时f′(x)f(x)变化情况表：
x
(－∞0)
0



f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)

0



f(x)单调递增区间单调递减区间(－∞0)
x＝0时f(x)极值极值f(0)＝0
x＝时f(x)极值极值f＝
(2)f(0)＝f＝0(1)知x∈时f(x)>0x∈时f(x)<0
设集合A＝{f(x)|x∈(2＋∞)}集合B＝意x1∈(2＋∞)存x2∈(1＋∞)f(x1)·f(x2)＝1等价A⊆B显然0∉B面分三种情况讨：
(i)>20(ii)1≤≤2≤a≤时f(2)≤0时f(x)(2＋∞)单调递减A＝(－∞
f(2))A⊆(－∞0)．f(1)≥0f(x)(1＋∞)取值范围包含(－∞0)(－∞0)⊆BA⊆B
(iii)<1a>时f(1)<0时f(x)(1＋∞)单调递减B＝A＝(－∞f(2))AB子集．
综a取值范围
20．[2014·天津卷] 已知qn均定1然数设集合M＝{012…q－1}集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1xi∈Mi＝12…n}．
(1)q＝2n＝3时列举法表示集合A
(2)设st∈As＝a1＋a2q＋…＋anqn－1t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1中aibi∈Mi＝12…n证明：an＜bns＜t
20．解：(1)q＝2n＝3时M＝{01}A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22xi∈Mi＝123}A＝{01234567}．
(2)证明：st∈As＝a1＋a2q＋…＋anqn－1t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1aibi∈Mi＝12…nans－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(an－1－bn－1)qn－2＋(an－bn)qn－1
≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－qn－1
＝－qn－1
＝－1<0
s

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