26 求数列通项公式（补充）
选择题（10题50分）
1 已知数列 an 前 n 项 Snn+1n+2 n∈N* a4 等
A 130 B 134 C 120 D 132
2 数列 251120x47… 中 x
A 32 B 28 C 27 D 33
3 已知数列 an 满足 a10an+1−an2n a2006 值
A 2004×2003 B 20052 C 2006×2005 D 2005×2004
4 已知数列 an 满足 a13 an+14an+3n∈N*数列 an 通项公式
A 22n−1+1 B 22n−1−1 C 22n+1 D 22n−1
5 果数列 an 满足a12a21 an−1−ananan−1an−an+1anan+1 （ n≥2 ）数列第 10 项
A 1210 B 129 C 110 D 15
6 已知数列 an 满足 a10an+1an+2n a2011 值
A 20112 B 2012×2011 C 2009×2010 D 2010×2011
7 已知数列 an 首项 a11 an+13Sn n≥1 列结正确
A 数列 a2a3⋯an⋯ 等数列 B 数列 an 等数列
C 数列 a2a3⋯an⋯ 等差数列 D 数列 an 等差数列
8 图坐标纸单元格边长 1六点：123456点横坐标分应数列 ann∈N* 第 1357911 项点坐标分应数列 ann∈N* 第 24681012 项规律 a2009+a2010+a2011 等
A 1003 B 1005 C 1006 D 2011
9 数列 an 中a12an+12an+2 a100 值
A 2100−2 B 2101−2 C 2101 D 215
10 已知数列 ann∈N* 中a11an+1an2an+1 an
A 2n−1 B 2n+1 C 12n−1 D 12n+1
二填空题（5题25分）
11 已知数列 an 前 n 项 Sn a24S430n≥2 时an+1+an−12an+1 an 通项公式 an ．
12 正三角形纸片剪成四全等正三角形中样方法剪成四更正三角形……继续结果表：
剪次数1234⋯n正三角形数471013⋯an
an （含 n 代数式表示）．
13 已知数列 an 中a13n≥2 时an4an−1+3通项公式 an ．
14 设 an 首项 1 正项数列 n+1an+12−nan2+an+1an0（n123⋯）通项公式 an ．
15 设数列 an 前 n 项 Sn Sn2an−n a6 ．
三解答题（3题39分）
16 根面数列前项写出该数列通项公式：
（1）12×4−45×798×10−1611×13⋯
（2）1361015⋯
（3）133557799⋯
17 （1）已知数列 an 中a12anan−1+2n−1n≥2求数列 an 通项公式
（2）已知 Sn 数列 an 前 n 项a11Snn2⋅an求数列 an 通项公式．
18 设 Sn 数列 an 前 n 项 Sn32an−1n∈N*数列 bn 通项公式 bn4n+3n∈N*．
（1）求数列 an 通项公式
（2）数列 an bn 公项原数列中先序排成新数列 dn证明数列 dn 通项公式 dn32n+1n∈N*．
答案
第部分
1 A 解析已知 a4S4−S356−45130．
2 A
3 C
4 D 解析提示：an+1+14an+1．
5 D
6 D
7 A 解析a23 数列 a2a3⋯an⋯ 4 公等数列．
8 B 解析提示：数列规律奇数项：1−12−23−3偶数项：1234．
9 B
10 C
解析提示： an+1an2an+1 两边时取倒数 1an+11an+2数列 1an 首项 1公差 2 等差数列．
第二部分
11 n2
解析 an+1+an−12an+1
an+1−anan−an−1+2n≥2．
a3+a12a2+110S4a1+a2+a3+a414+a430
a416．
a4+a22a3+1
a39
a11
a2−a13
数列 an+1−an 首项 3公差 2 等差数列
an−an−13+2n−22n−1n≥2
n≥2 时anan−an−1+an−1−an−2+⋯+a2−a1+a12n−1+2n−3+⋯+1n2
a11 满足式
ann2．
12 3n+1
解析提示：剪剪刀增加 3 三角形．
13 4n−1
解析 an4an−1+3变形 an+14an−1+1令 bnan+1 bn4bn−1 bn b1a1+14 首项q4 公等数列 bn4n an4n−1．
14 1n
解析 n+1an+12−nan2+an+1an0 n+1an+1−nanan+1+an0 an 正数列 an+1annn+1．
n≥2 时
ananan−1an−1an−2⋯a3a2a2a1a1n−1n×n−2n−1×⋯×23×12×11n
n1 时a11 满足通项公式 an1n．
15 63
第三部分
16 （1） an−1n+1n23n−13n+1
（2） annn+12
（3） ann+1+−1n2
17 （1） 方法：（叠加法）
a12anan−1+2n−1n≥2 an−an−12n−1．
anan−an−1+an−1−an−2+an−2−an−3+⋯+a2−a1+a12n−1+2n−3+2n−5+⋯+3+1n2n−1+12n2
方法二：（迭代法）
a12anan−1+2n−1n≥2
anan−1+2n−1an−2+2n−1−1+2n−1an−3+2n−2−1+2n−1−1+2n−12+6+10+⋯+2n−2+2n−1+2n−nn2
ann2
（2） a11Snn2⋅an n≥2 时Sn−1n−12⋅an−1
anSn−Sn−1n2an−n−12an−1⇒anan−1n−1n+1．
ananan−1⋅an−1an−2⋅an−2an−3⋅⋯⋅a3a2⋅a2a1⋅a1n−1n+1⋅n−2n⋅n−3n−1⋯24⋅13⋅12nn+1
18 （1） Sn32an−1n∈N*：
n1 时a1S132a1−1∴ a13
n≥2 时anSn−Sn−132an−1−32an−1−1
∴ an3an−1 anan−13n≥2．
∴ 数列 an 3 首项公 3 等数列．
∴an3⋅3n−13nn∈N*．
（2） （1）知 a1a2 显然数列 bn 中项
∵ a3274×6+3
∴ d127 数列 bn 中第 6 项．
设 ak3k 数列 bn 中第 m 项 3k4m+3km∈N*
ak+13k+13×3k34m+343m+2+1
∴ ak+1 数列 bn 中项．
∵ ak+23k+29×3k94m+349m+6+3
∴ ak+2 数列 bn 中项．
∴ d1a3d2a5d3a7⋯dna2n+1．
∴ 数列 dn 通项公式 dn32n+1n∈N*．
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选择题（10题50分）
1 已知数列 an 前 n 项 Snn+1n+2 n∈N* a4 等
A 130 B 134 C 120 D 132
2 数列 251120x47… 中 x
A 32 B 28 C 27 D 33
3 已知数列 an 满足 a10an+1−an2n a2006 值
A 2004×2003 B 20052 C 2006×2005 D 2005×2004
4 已知数列 an 满足 a13 an+14an+3n∈N*数列 an 通项公式
A 22n−1+1 B 22n−1−1 C 22n+1 D 22n−1
5 果数列 an 满足a12a21 an−1−ananan−1an−an+1anan+1 （ n≥2 ）数列第 10 项
A 1210 B 129 C 110 D 15
6 已知数列 an 满足 a10an+1an+2n a2011 值
A 20112 B 2012×2011 C 2009×2010 D 2010×2011
7 已知数列 an 首项 a11 an+13Sn n≥1 列结正确
A 数列 a2a3⋯an⋯ 等数列 B 数列 an 等数列
C 数列 a2a3⋯an⋯ 等差数列 D 数列 an 等差数列
8 图坐标纸单元格边长 1六点：123456点横坐标分应数列 ann∈N* 第 1357911 项点坐标分应数列 ann∈N* 第 24681012 项规律 a2009+a2010+a2011 等
A 1003 B 1005 C 1006 D 2011
9 数列 an 中a12an+12an+2 a100 值
A 2100−2 B 2101−2 C 2101 D 215
10 已知数列 ann∈N* 中a11an+1an2an+1 an
A 2n−1 B 2n+1 C 12n−1 D 12n+1
二填空题（5题25分）
11 已知数列 an 前 n 项 Sn a24S430n≥2 时an+1+an−12an+1 an 通项公式 an ．
12 正三角形纸片剪成四全等正三角形中样方法剪成四更正三角形……继续结果表：
剪次数1234⋯n正三角形数471013⋯an
an （含 n 代数式表示）．
13 已知数列 an 中a13n≥2 时an4an−1+3通项公式 an ．
14 设 an 首项 1 正项数列 n+1an+12−nan2+an+1an0（n123⋯）通项公式 an ．
15 设数列 an 前 n 项 Sn Sn2an−n a6 ．
三解答题（3题39分）
16 根面数列前项写出该数列通项公式：
（1）12×4−45×798×10−1611×13⋯
（2）1361015⋯
（3）133557799⋯
17 （1）已知数列 an 中a12anan−1+2n−1n≥2求数列 an 通项公式
（2）已知 Sn 数列 an 前 n 项a11Snn2⋅an求数列 an 通项公式．
18 设 Sn 数列 an 前 n 项 Sn32an−1n∈N*数列 bn 通项公式 bn4n+3n∈N*．
（1）求数列 an 通项公式
（2）数列 an bn 公项原数列中先序排成新数列 dn证明数列 dn 通项公式 dn32n+1n∈N*．
答案
第部分
1 A 解析已知 a4S4−S356−45130．
2 A
3 C
4 D 解析提示：an+1+14an+1．
5 D
6 D
7 A 解析a23 数列 a2a3⋯an⋯ 4 公等数列．
8 B 解析提示：数列规律奇数项：1−12−23−3偶数项：1234．
9 B
10 C
解析提示： an+1an2an+1 两边时取倒数 1an+11an+2数列 1an 首项 1公差 2 等差数列．
第二部分
11 n2
解析 an+1+an−12an+1
an+1−anan−an−1+2n≥2．
a3+a12a2+110S4a1+a2+a3+a414+a430
a416．
a4+a22a3+1
a39
a11
a2−a13
数列 an+1−an 首项 3公差 2 等差数列
an−an−13+2n−22n−1n≥2
n≥2 时anan−an−1+an−1−an−2+⋯+a2−a1+a12n−1+2n−3+⋯+1n2
a11 满足式
ann2．
12 3n+1
解析提示：剪剪刀增加 3 三角形．
13 4n−1
解析 an4an−1+3变形 an+14an−1+1令 bnan+1 bn4bn−1 bn b1a1+14 首项q4 公等数列 bn4n an4n−1．
14 1n
解析 n+1an+12−nan2+an+1an0 n+1an+1−nanan+1+an0 an 正数列 an+1annn+1．
n≥2 时
ananan−1an−1an−2⋯a3a2a2a1a1n−1n×n−2n−1×⋯×23×12×11n
n1 时a11 满足通项公式 an1n．
15 63
第三部分
16 （1） an−1n+1n23n−13n+1
（2） annn+12
（3） ann+1+−1n2
17 （1） 方法：（叠加法）
a12anan−1+2n−1n≥2 an−an−12n−1．
anan−an−1+an−1−an−2+an−2−an−3+⋯+a2−a1+a12n−1+2n−3+2n−5+⋯+3+1n2n−1+12n2
方法二：（迭代法）
a12anan−1+2n−1n≥2
anan−1+2n−1an−2+2n−1−1+2n−1an−3+2n−2−1+2n−1−1+2n−12+6+10+⋯+2n−2+2n−1+2n−nn2
ann2
（2） a11Snn2⋅an n≥2 时Sn−1n−12⋅an−1
anSn−Sn−1n2an−n−12an−1⇒anan−1n−1n+1．
ananan−1⋅an−1an−2⋅an−2an−3⋅⋯⋅a3a2⋅a2a1⋅a1n−1n+1⋅n−2n⋅n−3n−1⋯24⋅13⋅12nn+1
18 （1） Sn32an−1n∈N*：
n1 时a1S132a1−1∴ a13
n≥2 时anSn−Sn−132an−1−32an−1−1
∴ an3an−1 anan−13n≥2．
∴ 数列 an 3 首项公 3 等数列．
∴an3⋅3n−13nn∈N*．
（2） （1）知 a1a2 显然数列 bn 中项
∵ a3274×6+3
∴ d127 数列 bn 中第 6 项．
设 ak3k 数列 bn 中第 m 项 3k4m+3km∈N*
ak+13k+13×3k34m+343m+2+1
∴ ak+1 数列 bn 中项．
∵ ak+23k+29×3k94m+349m+6+3
∴ ak+2 数列 bn 中项．
∴ d1a3d2a5d3a7⋯dna2n+1．
∴ 数列 dn 通项公式 dn32n+1n∈N*．
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