1 .求数列通项方法基思路:求数列通变形代换转化等级差数列等数列
2.求数列通项基方法:累加法累法
累加法
1.适: 广义等差数列 累加法基二方法
2.
两边分相加
例1 已知数列满足求数列通项公式
解法:
例2已知数列中 求数列通项公式
解已知
化简类型(1)
题数学纳法求解
练已知数列满足求数列通项公式 答案:裂项求
二累法
1○ 适: 广义等数列
累法基二方法二
2.
两边分相
例3 已知数列满足求数列通项公式
解:
数列通项公式
例4设首项1正项数列(12 3…)通项公式________
解:已知等式化:
()(n+1)
时
评注:题关二次齐次式通式分解(般情况时求根公式)更明显关系式求出
练已知求数列{an}通项公式
答案:1
三定系数法 适
基思路转化等差数列等数列数列质函数定义域然数集函数
1.形中)型
(1)c1时数列{}等差数列
(2)d0时数列{}等数列
(3)时数列{}线性递推数列通项通定系数法构造辅助数列求
定系数法:设
题设较系数
:
数列构成首项c公等数列
:
规律:递推关系化构造成公c等数列求通项公式
逐项相减法(阶差法):时递推关系中n换成n1两式相减化公c等数列进求通项公式 利类型(1)求通项公式方法较复杂
例5已知数列中求数列通项公式
解法:
首项2公2等数列
解法二:
两式相减数列首项2公2等数列累加法……
练.已知数列中求通项
答案:
2.形: (中q常数n01)
①p1时:累加
②时:
求通项方法三种方:i 两边目求数列构造成等差数列
: 令然类型1累加求通项
ii两边 目求数列构造成等差数列
:
令化然转化类型5解
iii定系数法:目求数列构造成等差数列
设通较系数求出转化等数列求通项
注意:应定系数法时求pq否定系数法会失效
例6已知数列满足求数列通项公式
解法(定系数法):设较系数
数列首项公2等数列
解法二(两边): 两边时:面解法略
解法三(两边): 两边时:面解法略
练(2003天津理)
设常数.证明意≥1
3.形 (中kb常数)
方法1:逐项相减法(阶差法)
方法2:定系数法
通凑配转化
解题基步骤:
1确定kn+b
2设等数列公p
3列出关系式
4较系数求xy
5解数列通项公式
6解数列通项公式
例7 数列中求通项(定系数法)
解:原递推式化
较系数:x6y9式
等数列首项公 :
4.形 (中abc常数)
基思路转化等数列数列质函数定义域然数集函数
例8 已知数列满足求数列通项公式
解:设
较系数
数列首项2公等数列
练 数列中求通项
解: ①
时
两式相减 令
利类型5方法知 ②
累加法 联立 ① ②解出
四.特征方程法 形常数)数列
形常数)二阶递推数列特征根法求通项特征方程…①
①二异根令定常数)
①二重根令定常数)
利求进求
例9 已知数列满足求数列通项
解:特征方程解令
例10 已知数列满足求数列通项
解:特征方程解令
练1.已知数列满足求数列通项
练 2 已知数列满足求数列通项公式
解:设
较系数妨取(取3 结果形式质相)
首项4公3等数列
练3数列中满足求
答案:
类型二:形
分析:递函数
(1)两相异动点pq时递关系式两边分减动点pq两式相中∴
(2)两相动点p递关系式两边减动点p然1中
例11 设数列满足求数列通项公式
分析:类问题常参数法化等数列求解
解:等式两端时加参数t:
令 解t12 代入
相{}首项
公等数列 解
方法2:
两边取倒数
令bb转化累加法求
例12 已知数列满足求数列通项公式
解:令函数两动点
数列首项公等数列
练1:已知满足求通项
答案:
练2已知数列满足求数列通项
答案:
四迭代法 (中pr常数)型
例13 已知数列满足求数列通项公式
解:
数列通项公式
注:题综合利累法数变换法求数列通项公式
五数变换法 适(中pr常数)型 p>0
例14 设正项数列满足(n≥2)求数列通项公式
解:两边取数:设 2公等数列 ∴
练 数列中(n≥2)求数列通项公式
答案:
例15 已知数列满足求数列通项公式
解:
两边取常数
设 (类型四)
较系数
数列首项5公等数列
六倒数变换法 适分式关系递推公式分子项
例15 已知数列满足求数列通项公式
解:求倒数等差数列首项公差
七换元法 适含根式递推关系
例16 已知数列满足求数列通项公式
解:令
代入
化
首项公等数列
八数学纳法 通首项递推关系式求出数列前n项猜出数列通项公式数学纳法加证明
例17 已知数列满足求数列通项公式
解:
猜测面数学纳法证明结
(1)时等式成立
(2)假设时等式成立时
知时等式成立
根(1)(2)知等式成立
九阶差法(逐项相减法)
1递推公式中
分析:已知关系通转化数列递推关系然采相应方法求解
例18 已知数列项均正数前n项满足成等数列求数列通项公式
解:∵意 ⑴
∴n1时解
n≥2时 ⑵
⑴⑵整理:
∵项均正数∴
时时成立
时时成立舍
练已知数列中 求数列通项公式
答案:
2穷递推数列
例19 已知数列满足求通项公式
解: ①
②
②式-①式
③
知代入③
通项公式
十.形型
(1)(p常数)数列{}等积数列周期数列周期2通项分奇数项偶数项讨
(2)f(n)n函数(非常数)时通逐差法两式相分奇偶项分求通项
例20 已知数列求数列通项公式
注:例类似略
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