51递推公式求通项公式方法总结
<教师备案>
．已知数列递推公式求取通项公式数列中类常见题型类题型果单纯某具体题目求解方法灵活变构造技巧性强类题目强规律性存着解决问题通法讲高中数学中常见类题型解决通法做总结方便学生学涉具体某题目独特解法技巧．
．教师课时需注意：
⑴ 确保学生基础知识熟练基等差等数列通项．
⑵ 明确数列产生衍生数列：等等数列中会着项号变化变化．点面第次讲辅助数列时候提定举例子学生体会．
⑶ 教师清晰解高中阶段递推关系求通项核心思想通代数变形递推式转化等差数列等数列递推式．
⑷ 高中阶段递推数列转化等差等数列进行求通项外部分递推数列周期数列．周期数列．
考点1： 叠加法
知识点睛
数列递推公式求通项公式方法：（）
方法1．叠加法：数列递推公式通项．
<教师备案>知道等差数列通叠加法求通项公式数列形递推式求样方法求递推式变形
……
式相加
．
典精讲
铺垫已知数列满足求．
解析
．
例1 ⑴已知数列满足求．
⑵已知数列满足（）求．
⑶已知数列满足求．
⑷数列中（ ）
A． B． C． D．
解析 ⑴
．
⑵ ．
⑶ ．
⑷ A
点评 运叠加法时特注意项数计算时项数容易出错．正确写出累加首项末项重．
考点2： 叠法
知识点睛
数列递推公式求通项公式方法：（）
方法2．叠法：数列递推公式通项．
<教师备案>知道叠法求等数列通项数列形递推式积求时候样方法求递推式变形成
……
式相．
典精讲
铺垫已知数列中求．
解析
．
例2 ⑴已知数列中数列通项公式（ ）
A． B． C． D．
⑵已知数列中求数列通项公式．
⑶已知数列中求．
解析 ⑴ B．
⑵ ．
⑶ ．
考点3： 构造法
知识点睛
数列递推公式求通项公式方法：（）
方法3．构造法：
⑴ 数列递推公式设成立解等数列．
⑵ （中关项式函数）
设中次数相等项式函数项系数定通较项系数确定定系数等数列
⑶ 中．
①等差数列
②设
两边时：．
<教师备案> 构造法思想通观察递推公式形式进行合适代数恒等变换构造出较熟悉等差等数列者类似等差数列（叠加）类似等数列（叠）．处理递推形式出数列
阶递推两种：⑴⑵．
两种递推形式处理方式：
⑴
等数列递推公式作发现常数考虑构造等数列令解表达式解表达式
例3⑴种形式．
⑵
①时数列求时叠加法情形
②时
ⅰ．等差数列样分解：
令解值
成等数列通项公式．
例3⑵种形式．
ⅱ．成等数列时
两边数列等差数列
定系数法：设
两边时：
前边递推式中叠加法求通项公式面递推式中（ⅰ）中定系数法等差数列．
例3⑶种形式．
典精讲
例3 ⑴数列中时求．
⑵数列中．求．
追问果递推关系中出现更复杂函数该进行配凑？
：数列中．求．
⑶已知数列满足求．
解析 ⑴ ．
⑵ ．
追问
．
⑶ ．
挑战十分钟⑴ 数列中求通项公式．
⑵ 数列中求通项公式．
⑶ 数列中求通项公式．
解析 ⑴ ．
⑵ ．
⑶ ．
例4 数列中求数列通项公式．
解析 ．
点评题例3区例3说完全部班套公式题需先代数变形变成套公式形式两道例题整体思想然递推式左右两边变化出形式类似代数式换元形成（类似）等差（类似）等数列．
考点4： 倒数法
知识点睛
数列递推公式求通项公式方法：（）
方法4．倒数法：数列递推公式两边式子取倒数然转化方法3情形．
<教师备案> 阶递推形式构造法等差数列等数列叠加法叠法处理数列外高中数学中常常会遇递推形式分式递推数列．样数列形式前次分式函数非常相似样递推形式取倒数分子没实现变量分离形式数列满足递推式通叠加法（）构造法（）求通项．
典精讲
例5 ⑴已知数列满足_________．
⑵已知数列中求数列通项公式．
解析 ⑴
⑵
52 两种形式处理
考点5： 前项通项
知识点睛
1．已知求直接公式：
2．已知关系两种处理方式：
⑴ 题目中换转化关递推关系通项公式转通项公式．
⑵ 分写出表达式两式相减转化关递推关系．
注意：通项前提成立注意验证情况．
<教师备案>关系式求通项高中阶段重点前面讲次涉讲结合前面求通项方法进行简单总结．例6种方法较行例7两种方法．
典精讲
铺垫已知数列中求数列通项公式．
解析
．
例6 已知数列中意正整数求通项．
解析 ．
点评题属换进转化关递推关系通项公式转通项公式．果表达式相减话难求出通项．
例7 设正数组成数列前项然数等差中项等等中项求数列通项公式．
解析
．
备选（2010阳二模理20）
已知递增数列前项．
⑴ 求数列通项
⑵ 否存成立？存写出组符合条件 值存请说明理．
解析 ⑴．
⑵ 满足条件正整数存证明：
假设存．
．
整理 ………①
显然左边整数①式成立．
满足条件正整数存．
<教师备案> 数列递推公式般形式时通项公式求出．
分两种情况：
①时．
首项公等数列．
②时存满足较系数．
见二次方程两根通解方程求值进步推导表达式．种方法称特征根法．
面竞赛题样方法高中样二阶递推式作求道题仅供学余力学选做．
（2009年全国高中数学联合竞赛试）
已知实数方程两实根数列 满足
⑴ 求数列通项公式（表示）
⑵ 求前项．
解析 ⑴ 韦达定理知
整理
令．公等数列．
数列首项：．
．
．
①时变．整理．
数列成公差等差数列首项．
．
数列通项公式
②时
．
整理．
数列成公等数列
首项．．
数列通项公式．
⑵ 时．
⑴结果数列通项公式
前项
两式相减整理．
<教师备案> 题老师提斐波契数列递推公式二阶递推式特征根法求通项公式．
实战演练
演练1已知数列中 _______．
解析
．
演练2数列中．_______．
解析
．
演练3数列中．求通项公式．
解析 ．
演练4⑴ 已知数列满足求．
⑵ 数列中求．
解析 ⑴ ．
⑵ ．
演练5已知数列满足：求．
解析 ．
演练6数列中前项成等差数列求通项公式．
解析．
千世界
（2012年北京高中数学联赛试）
已知数列项均非零实数意正整数关系成立：
问否存满足条件穷数列存求出样穷数列通项公式存说明理．
解析时
∵ ①
∴ ②
①②：
③
项均非零③式两边约掉：
④
∴ ⑤
④⑤：
∴
∵∴时时
∴．
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51递推公式求通项公式方法总结
<教师备案>
．已知数列递推公式求取通项公式数列中类常见题型类题型果单纯某具体题目求解方法灵活变构造技巧性强类题目强规律性存着解决问题通法讲高中数学中常见类题型解决通法做总结方便学生学涉具体某题目独特解法技巧．
．教师课时需注意：
⑴ 确保学生基础知识熟练基等差等数列通项．
⑵ 明确数列产生衍生数列：等等数列中会着项号变化变化．点面第次讲辅助数列时候提定举例子学生体会．
⑶ 教师清晰解高中阶段递推关系求通项核心思想通代数变形递推式转化等差数列等数列递推式．
⑷ 高中阶段递推数列转化等差等数列进行求通项外部分递推数列周期数列．周期数列．
考点1： 叠加法
知识点睛
数列递推公式求通项公式方法：（）
方法1．叠加法：数列递推公式通项．
<教师备案>知道等差数列通叠加法求通项公式数列形递推式求样方法求递推式变形
……
式相加
．
典精讲
铺垫已知数列满足求．
解析
．
例1 ⑴已知数列满足求．
⑵已知数列满足（）求．
⑶已知数列满足求．
⑷数列中（ ）
A． B． C． D．
解析 ⑴
．
⑵ ．
⑶ ．
⑷ A
点评 运叠加法时特注意项数计算时项数容易出错．正确写出累加首项末项重．
考点2： 叠法
知识点睛
数列递推公式求通项公式方法：（）
方法2．叠法：数列递推公式通项．
<教师备案>知道叠法求等数列通项数列形递推式积求时候样方法求递推式变形成
……
式相．
典精讲
铺垫已知数列中求．
解析
．
例2 ⑴已知数列中数列通项公式（ ）
A． B． C． D．
⑵已知数列中求数列通项公式．
⑶已知数列中求．
解析 ⑴ B．
⑵ ．
⑶ ．
考点3： 构造法
知识点睛
数列递推公式求通项公式方法：（）
方法3．构造法：
⑴ 数列递推公式设成立解等数列．
⑵ （中关项式函数）
设中次数相等项式函数项系数定通较项系数确定定系数等数列
⑶ 中．
①等差数列
②设
两边时：．
<教师备案> 构造法思想通观察递推公式形式进行合适代数恒等变换构造出较熟悉等差等数列者类似等差数列（叠加）类似等数列（叠）．处理递推形式出数列
阶递推两种：⑴⑵．
两种递推形式处理方式：
⑴
等数列递推公式作发现常数考虑构造等数列令解表达式解表达式
例3⑴种形式．
⑵
①时数列求时叠加法情形
②时
ⅰ．等差数列样分解：
令解值
成等数列通项公式．
例3⑵种形式．
ⅱ．成等数列时
两边数列等差数列
定系数法：设
两边时：
前边递推式中叠加法求通项公式面递推式中（ⅰ）中定系数法等差数列．
例3⑶种形式．
典精讲
例3 ⑴数列中时求．
⑵数列中．求．
追问果递推关系中出现更复杂函数该进行配凑？
：数列中．求．
⑶已知数列满足求．
解析 ⑴ ．
⑵ ．
追问
．
⑶ ．
挑战十分钟⑴ 数列中求通项公式．
⑵ 数列中求通项公式．
⑶ 数列中求通项公式．
解析 ⑴ ．
⑵ ．
⑶ ．
例4 数列中求数列通项公式．
解析 ．
点评题例3区例3说完全部班套公式题需先代数变形变成套公式形式两道例题整体思想然递推式左右两边变化出形式类似代数式换元形成（类似）等差（类似）等数列．
考点4： 倒数法
知识点睛
数列递推公式求通项公式方法：（）
方法4．倒数法：数列递推公式两边式子取倒数然转化方法3情形．
<教师备案> 阶递推形式构造法等差数列等数列叠加法叠法处理数列外高中数学中常常会遇递推形式分式递推数列．样数列形式前次分式函数非常相似样递推形式取倒数分子没实现变量分离形式数列满足递推式通叠加法（）构造法（）求通项．
典精讲
例5 ⑴已知数列满足_________．
⑵已知数列中求数列通项公式．
解析 ⑴
⑵
52 两种形式处理
考点5： 前项通项
知识点睛
1．已知求直接公式：
2．已知关系两种处理方式：
⑴ 题目中换转化关递推关系通项公式转通项公式．
⑵ 分写出表达式两式相减转化关递推关系．
注意：通项前提成立注意验证情况．
<教师备案>关系式求通项高中阶段重点前面讲次涉讲结合前面求通项方法进行简单总结．例6种方法较行例7两种方法．
典精讲
铺垫已知数列中求数列通项公式．
解析
．
例6 已知数列中意正整数求通项．
解析 ．
点评题属换进转化关递推关系通项公式转通项公式．果表达式相减话难求出通项．
例7 设正数组成数列前项然数等差中项等等中项求数列通项公式．
解析
．
备选（2010阳二模理20）
已知递增数列前项．
⑴ 求数列通项
⑵ 否存成立？存写出组符合条件 值存请说明理．
解析 ⑴．
⑵ 满足条件正整数存证明：
假设存．
．
整理 ………①
显然左边整数①式成立．
满足条件正整数存．
<教师备案> 数列递推公式般形式时通项公式求出．
分两种情况：
①时．
首项公等数列．
②时存满足较系数．
见二次方程两根通解方程求值进步推导表达式．种方法称特征根法．
面竞赛题样方法高中样二阶递推式作求道题仅供学余力学选做．
（2009年全国高中数学联合竞赛试）
已知实数方程两实根数列 满足
⑴ 求数列通项公式（表示）
⑵ 求前项．
解析 ⑴ 韦达定理知
整理
令．公等数列．
数列首项：．
．
．
①时变．整理．
数列成公差等差数列首项．
．
数列通项公式
②时
．
整理．
数列成公等数列
首项．．
数列通项公式．
⑵ 时．
⑴结果数列通项公式
前项
两式相减整理．
<教师备案> 题老师提斐波契数列递推公式二阶递推式特征根法求通项公式．
实战演练
演练1已知数列中 _______．
解析
．
演练2数列中．_______．
解析
．
演练3数列中．求通项公式．
解析 ．
演练4⑴ 已知数列满足求．
⑵ 数列中求．
解析 ⑴ ．
⑵ ．
演练5已知数列满足：求．
解析 ．
演练6数列中前项成等差数列求通项公式．
解析．
千世界
（2012年北京高中数学联赛试）
已知数列项均非零实数意正整数关系成立：
问否存满足条件穷数列存求出样穷数列通项公式存说明理．
解析时
∵ ①
∴ ②
①②：
③
项均非零③式两边约掉：
④
∴ ⑤
④⑤：
∴
∵∴时时
∴．
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