23个典型的数列专题


    23 典型数列专题
    第 1 页
    23 典型数列专题解答
    1等差数列  na 中前三项次
    xxx
    16
    51
    1

    求: 105 a 
    解:等差数列中项公式: 5 1 12 61x x x   
    : 2x 
    首项: 1
    11
    13a x
    公差: 15151
    621212d xx
    数列通项: 1
    113(1) 31212n
    nnaand  : 105
    31053 91212
    na 
    等差数列公式通解
    2前 100 然数(1 100)中 7 余 2 数 S ?
    解:数构成数列: 7(1)275nann
    100 n 数 m :100 7 5m 15m 
    数 S :
    15
    1
    (115)15(75)7515765 2k
    Sn

     
    余数常数问题转化等差数列问题
    3等差数列  na 中前 n 项 nS 1 0a  16 0S  17 0S 
    nS 时 n 
    解:等差数列通项: 1 (1)naand 求公式: 1
    (1)
    2n
    nnSnad 
    : 161
    1615160 2Sad  : 1
    15 02ad 1 70ad: 8 0a 
    17 1
    17 1617 02S a d   : 1 80ad: 9 0a  nS 时 8n 
    通项公式求公式熟啊
    4数列 通项公式 1
    1na
    nn

    
    前 n 项 9nS  求: n 
    解:通项: 1 1
    1nann
    nn
     
    

    :  
    1
    11 1 9
    n
    n
    k
    Skkn

        : 99n 
    相裂项法 23 典型数列专题
    第 2 页
    5等差数列  na 公差 0中 2a 3a 6a 次构成等数列求公 q 
    解:等差数列通项: 1 ( 1 )na a n d   : 32a a d 624a a d
    构成等数列: 2
    3 2 6a a a : 2
    222()(4)adaad
    : 2 2 2
    2 2 2 224a a d d a a d    0d  : 22da
    : 3 22
    222
    3 3a adaq aaa
    
    例中项直接列式导出 d 2a 关系
    6已知等差数列  na 前 n 项 nS 1 1a  11 33S  设 1
    4
    na
    nb  

    求证:  nb 等数列求前 n 项 nT
    证明:通项: 1 ( 1 )na a n d   求公式: 1
    (1)
    2n
    nnSnad 
    : 11
    11101133 2Sd :115533d: 2
    5d 
    : 2231(1)55n
    nan :
    23
    51
    4
    n
    nb

     

    2(1)3
    5
    1
    1
    4
    n
    nb
    

     


    2(1) 3232
    5551 11
    44
    nn
    n
    n
    b
    b
     
     

    首项 1
    1
    4b  公
    2
    51 1
    4
    n
    n
    bq b
     

    等数列通项:
    23
    51
    4
    n
    nb

     

    求公式:
    2
    5
    1 4
    5
    111111 4 11143 1 24
    n
    n
    n n
    qTb q
              

    7 xy 两数列: 12x a a y 1 2 3x b b b y 均等差数列求: 1
    3
    ax
    yb
     

    解:设两等差数列公差分: 1d 2d
    113
    yxa x d    32 4
    yxy b d    23 典型数列专题
    第 3 页
    : 1
    3
    1 ()43
    1 3()4
    yxax
    yb yx
      

    利等差数列等差性质求题
    8已知正项数列  na 前 n 项 nS 满足: 21056nnnSaa 1a 3a 15a 成等数
    列求数列 通项 na 
    解:已知: 2
    +1+1+11056nnnSaa  ①
    21056nnnSaa ②
    ①②: 22
    11110()5()nnnnnaaaaa
    移项合: 22
    11()5()0nnnnaaaa : 11()(5)0nnnnaaaa
    正项数列 1( ) 0nnaa : 1 50nnaa    : 1 5nnaa 
     na 公差 5 等差数列
    设: 1 5(1)naan : 3110aa 151 70aa
    成等数列: 2
    3115aaa : 2
    111(10)(70)aaa
    : 22
    1111 2010070aaaa : 1 2a  : 25(1)53nann
    题等式条件出公差 5等条件确定首项
    9已知数列  na 前 n 项 1 (1)(2)3nSnnn 试求数列 1
    na
    
    
    
    前 n 项 nT 
    解:已知: 1111(1)(2)(1)(24)(1)(21)(1)3662nSn nnn nnn nnn n 
    : 2
    1
    1 ( 1)(2 1)6
    n
    k
    k n n n

       :
    1
    1 (1)2
    n
    k
    kn n

    
    面求公式分成两部分 2
    nan 求 nan 求
    : 2 (1)nannn n : 1 1 1 1
    ( 1) 1na n n n n  


    1
    1 1 1( ) 11 1 1
    n
    n
    k
    nT k k n n
           23 典型数列专题
    第 4 页
    熟悉基求公式裂项求方法
    10已知数列  na 前 n 项 nS首项 1 1a  满足 3 ( 2 )nnS n a 求通项 na 
    解:已知: ①
    113 ( 1 )nnS n a ②
    ①-②: 13 ( 2) ( 1)n n na n a n a    
    移项合: 1(1)(1) nnnana  : 1
    1
    1nn
    naan 
     

    递推:
     
    12
    1
    1 1 1 2 1 1 2 1 2
    1 1 ( 1) ( 1)1 1 2 2
    n n n k
    k
    n n n n n ka a a an n n n n k
    n n n nn n a akk
    
                    
           

    递推进行底
    11果数列 中相邻两项 na 1na 二次方程 2 30nnnxnxc(n123…)两
    根 1 2a  时试求 100 c 
    解:韦达定理: 1 3nnaan   ① 1nnnaac  ②
    ①式: 121()()3nnnnaaaa  : 2 3nnaa  ③
    ③式表明: 13521 kaaaa  2462 kaaaa 公差3 等差数列
    代入①式: 2 5a  等差数列:
    211 (1)( 3)23353kaakkk 
    22(1)( 3)5 332 3kaakkk    
    : 100 23 50152a      101 5 3 51 148a     
    代入②式: 100 100 101 ( 152) ( 148) 22496c a a      
    题韦达定理出  na 等差数列算出首项 na 计算出 nc
    12两穷等数列  nb 公 绝值 1项分23 典型数列专题
    第 5 页
    1
    1nk
    k
    Sa


    
    1
    2nk
    k
    Tb


     切然数: 2
    nnab 求两数列首项公

    解: 1 11
    aS q
    1 21
    bT r
    : 1 1aq 1 2 (1 )br 数列首项
    设两等数列通项公式分:
    11
    1 (1)nn
    naaqqq  ①
    11
    1 2(1)nn
    nbb rrr  ②
    ①②两式代入 采赋值法分令 1n  2n  :
    2
    11ab : 2( 1 ) 2 ( 1 )qr   ③
    2
    22ab : 22(1)2(1)qqrr ④
    ③④: 2rq ⑤
    ⑤式代入③式: 22(1)2(1)qq
    : 1q  式化简:1 2(1 )qq   : 1
    3q 
    代入⑤式: 1
    9r  两数列公
    分代入①式②式:
     
    1
    11 4114(1)41 3333
    nn
    nn
    n naq q

        

    1
    1 81162(1)2 999
    n
    n
    n nbr r

      

    题采赋值法求解
    13已知数列  na 前 n 项 nS 1
    1
    2a  2n  时满足: 120n n na S S 求证:
    数列 1
    nS
    
    
    
    等差数列求  nS 通项公式 nS 
    解: : 1120n n n nSSSS   :
    1
    1120
    nnSS
       23 典型数列专题
    第 6 页

    1
    112
    nnSS
    
    11
    112Sa
    式表明: 1
    nS
    
    
    
    首项 2公差 2 等差数列
    : 1 2 2( 1) 2
    n
    nnS     : 1
    2nS n 1
    1
    2 ( 1 )nS n  

    : 1
    1 1 1
    2 2( 1) 2 ( 1)n n na S S n n n n     

    1 (1)2
    1 (2)2(1)
    n
    n
    a
    nnn
      
    

    注意求化通项方法
    14已知等数列  na 首项 1
    1
    2a  满足: 1010
    3020102(21)0SSS
    (1)求 通项(2)求  nnS 前 n 项 nT
    解:
    30
    30 1
    1
    1
    qSa q
     

    20
    20 1
    1
    1
    qSa q
     

    10
    10 1
    1
    1
    qSa q
     
    代入面等式:
    10301020102(1)(21)(1)(1)0qqq
    化简: 10102010102(1)(21)(1)10qqq
    : 10 10 10 20 10 10 102(1 )2 2(1 )(1 )10q q q q       
    整理: 10201020qq: 1
    2q 

    1
    1
    1
    111
    222
    n
    n
    n naa q

      

    1
    11
    1
    111 (1)222
    n
    nn
    n naa q

     

    注意求化通项方法
    第 14 题第(2)问解答:
    (2)A等数列: 1
    2
    an n 求公式:
    11
    112 112 21 2
    n
    Sn n

     


    : 1(1 )
    221 1 1 1
    n n n n kT kS k knk kkk k k k
            
       
    23 典型数列专题
    第 7 页
    1> ( 1 )
    21
    n nnk
    k
    


    2> 23
    123 222221
    n n
    n knR kk
     
    

    : 2 3 1
    2 3 42 2 1 2 2 2 221
    n n
    n knR kk

           
    

    ②①:
    223311
    21324311()()()()222222222n nnn
    nnnR 
    
    231
    1231122222 nn
    n
    
    11 122 2(1)21 22221 2
    n
    nnnn
    nnn 


    综合 1> 2>: (1)2 222211
    n
    nnknnnTkn kkk
     
    

    (2)B等数列: 1 1(1) 2
    n
    n na 
    求公式:
    11()11111 ( 1)2 [1( 1)]12333 221() 2
    n
    n
    nSn nn
      
    

    : 11[1 ( 1)]( 1)333 221111
    kknnnn kkkTkSnk kkkkkk
       
    

    1> ( 1)
    361
    n k n n
    k
    


    2> 23
    11 1 2 3( 1) ( 1)33 2 2 2221
    kn
    n n
    n knU kk
             

    : 1 2 1
    1 1 2 32 ( 1)3 1 2 2 2
    n
    n n
    nU 
          

    ③+④:
    1 2 2 1 1
    1 2 1 3 2 13 1 ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)3 2 2 2 2 2 2 2
    nn
    n n n n
    n n nU 
      

    21
    1 1 1 11 ( 1) ( 1)3 2 2 2 2
    nn
    nn
    n

            
    23 典型数列专题
    第 8 页
    21
    111111(1)(1)322232
    nn
    nn
    n

    

    (1)1112 (1)13321() 2
    n
    n n
    n
    n
    
    
    
    2(1)1[1](1)9232
    n
    n
    nn
    n 
    : 2(1)[1](1)322
    n
    n
    n nn
    nU  
    : 1(1)2(1)(1)[1](1)336322 211
    n
    kn
    nn
    nnkkn nnTn kkk
     
    

    15等差数列  2l og nx 第 m 项等 k第 k 项等 m(中 mk )求数列  nx 前
    mk 项
    解:等差数列通项: 221loglog+(n1)dnxx
    : 221loglog(1)mxkxmd ①
    2 2 1log log ( 1)kx m x k d    ②
    两式相减: ()kmmkd : 1d 
    首项: 21log1xmk 
    通项: 2log1(1)nxmknmkn
    通项: 2mkn
    nx 
    前 项求:
    1111222121 1221 2
    mkm km km k
    mk mkS
    
     
      

    求公差求首项求通项关键
    16果数列  na 中 1
    5
    6a 
    1
    1
    11
    32
    n
    nnaa


    
    求通项 na 
    解:整式递推数列定系数法
    令: 1
    1
    111( )[( ) ]232
    nn
    nnaa
      : 1
    1 1 1 1 1()()()3 3 2 2 2 3 6 2
    n n n
    n n na a a  
         

    1
    1
    1 1 1 1 1
    3 2 3 2 2
    nn
    n n na a a


                 
    较: 3  23 典型数列专题
    第 9 页
    令: 1
    11
    13()2
    n
    nnba 
     : 13 ( )2
    n
    nnba 1
    11
    15323() 2623ba 
    : 1 1
    3
    n
    n
    b
    b
       nb 首项 1
    2
    3b  公 1
    3q  等数列
    通项: 1212()()333
    n
    n nb 
    :  na 通项: 1233() 232
    n
    nn nnab
    定系数法确定新构建等数列通项
    17设数列 1 4a  2n  时满足: 1321nnaan  求通项 na 
    解:整式递推数列定系数法
    令: 13[(1)]nnancanc
    : 1133333232nnnaancncanc 
    较: 1  1c 
    令: 1nnnbancan  : 11nnban 111 1 6ba   
    :  nb 首项 1 6b  公 3 等数列
    11
    1 6323nnn
    nbbq 
    : 1231 n
    nnabnn
    定系数法构造等数列?
    18设数列 1 1a  2 2a  满足: 2132nnnaaa*()nN 求通项
    解:题二阶递推数列解:
    定系数法:令: 211 ()nnnnaaaa 
    : 2111 ()nnnnnnaaaaaa  
    较系数: 3
    2
    
    
    
     

      成元二次方程两根韦达定理方程:
    2 3 2 0xx   正采特征根法特征方程
    述方程解: 1 2: 2 1两组解推出数列通项结果23 典型数列专题
    第 10 页
    样 取 2 1
    令: 1nnnb a a  121nnnb a a 121 1b a a  
    : 1 2n
    n
    b
    b   nb 首 项 1 公 2 等数列通项:
    11
    1 2nn
    nb b q    : 1
    1 2 n
    nnnaab 
      : 1
    1 2n
    nnaa 
     
    定系数法令: 1
    1 2(2)nn
    nnarpar 
     
    : 1
    1 222(24)2nnn
    nnnapaprrpaprr 
     
    较: 1p  1
    2r 
    令: 11222 2
    nnn
    nnnncaraa  : 1
    1120nca   
    : 111 0nnncccc
    : 120n
    nnac   : 12 n
    na 
    现特征根法求解:
    特征方程: 2 320xx 两根: 1 1x  2 2x 
    代入特征根法二异根解: 1 12212 2nnn
    nac xc xcc
    1 1a  2 2a  代入式确定 1c 2c
    : 112 12acc 2
    212 22acc 解: 2
    1
    2c  1 0c 
    : 1
    1 1 2 2 1 2 22n n n n
    na c x c x c c      
    二阶递推数列采特征根法较简洁
    19已知正项数列  na 满足: 1
    1 (4)2nnnaaa 求通项 na 
    解: 2
    1
    11(4 ) ( 2) 222n n n na a a a       : 2
    1
    12(2) 2nnaa  
    令: 112nnba: 2nnba 1121ba    2
    1 1b 
    代入式: 2
    1
    1
    2nnbb   
    : 2
    21
    11
    22bb   
    23 典型数列专题
    第 11 页
    23
    2
    32
    1111
    2222bb

    67
    2
    43
    1 1 1 1
    2 2 2 2bb                            

    1415
    2
    54
    1111
    2222bb

    ……
    11212
    2
    1
    111 2222
    nn
    nnbb
    

     


    121222 2
    n
    nnab

     

    递推数列递推法 :取数做
    20已知数列  na 中 1 2a  满足: 1
    21
    46
    n
    n
    n
    aa a
     
    *()nN 求通项 na 
    解: 1
    21
    46
    n
    n
    n
    aa a
     
    化简: 116 2 1 0n n n na a a a    ①
    动点法解动点方程: 21
    46
    xx x
     

    : 24410xx 方程根二重根: 12
    1
    2xx
    二重根动点解:
    112
    11
    nn
    caxax
    
    (c 定常数) ②
    通分化简:      2 1 1 2 1 1n n n na x a x c a x a x     
    : 11
    1 1 1 1
    2 2 2 2n n n na a c a a
                           

    :    114 2 4 2 4 0n n n nca a c a c a c      ③
    ③式①式: 1c 
    令: 1
    11
    1
    11
    1
    2
    n
    n
    n
    b axa



     

    2
    11
    1
    2
    n
    n
    n
    b ax a
     
    1
    1
    12
    1 5
    2
    b
    a
    


    代入②式: 1 1nnbb  23 典型数列专题
    第 12 页
    :  nb 首项 2
    5
    公差 1 等差数列 : 253(1)55n
    nbn 
    代入: 1
    1
    2
    n
    n
    b
    a


    : 11511053135
    2532106106n
    n
    nna bnnn
     

    动点法根二重根时构造等差数列解
    21已知数列  na 中 1 3a  满足: 1
    42
    1
    n
    n
    n
    aa a
     
    求通项 na 
    解: 1
    42
    1
    n
    n
    n
    aa a
     
    化简: 11420nnnnaaaa ①
    动点法解动点方程: 42
    1
    xx x
     

    : 2 3 2 0xx方程根二异根: 1 1x  2 2x 
    设二异根解式满足: 111
    122
    nn
    nn
    axax
    axax 

    
    : 1
    1
    11
    22
    nn
    nn
    aa
    aa

    

    化简:       1112212 10n nnna aaa 
    : 11
    221 2011nnnna aaa 
    
    

    较①③两式: 3
    2 
    令: 111
    1
    121
    1
    2
    nn
    n
    nn
    axab axa
    

    
    
    : 1
    2
    n
    n
    n
    ab a
     
    1
    1
    1
    1 22
    ab a
    

    代入②式: 1
    3
    2nnbb 
    :  nb 首项 1 2b  公 3
    2  等数列

    1 1
    2
    332 22
    n n
    n nb
     

     
    代入 1
    2
    n
    n
    n
    ab a
     

    12
    12
    212 32
    132
    nn
    n
    n nn
    n
    ba b
    
    
     

    动点法根二异根时构造等数列求
    22已知数列 中 1 5a  满足: 1
    23n
    n
    n
    aa a
     求通项 na 
    解: 1
    23n
    n
    n
    aa a
     化简: 1 2 3 0n n na a a    ①
    动点法解动点方程: 23xx x
     23 典型数列专题
    第 13 页
    : 2 2 3 0xx   方程二异根: 1 1x  2 3x 
    设二异根解式满足: 111
    122
    nn
    nn
    axax
    axax 

    
    : 1
    1
    11
    33
    nn
    nn
    aa
    aa

    

    化简: 11
    331 3011nnnnaaaa 
    
    

    较①③两式 3 
    令: 1
    1
    1
    1
    3
    n
    n
    n
    ab a



     
    : 1
    3
    n
    n
    n
    ab a
     
    1
    1
    1
    1 33
    ab a
    

    代入②式: 1 3nnbb 
    :  nb 首项 1 3b  公 3  等数列
    :    113313 nnn
    nb 
    代入 1
    3
    n
    n
    n
    ab a
     
    : 31
    1
    n
    n
    n
    ba b
     
    :  
     
    1 1
    1
    131
    131
    n n
    n n na
     

    
    
     
     
    11
    1
    31
    31
    nn
    n nna
    

    
    

    动点法二异根时构造等数列求
    23已知数列  na 中 1 4a  满足:
    2
    1 2( 1)
    n
    n
    n
    aa a  
    2n
    n
    n
    ab a
     求通项 nb 
    解: 2 21n
    n
    nn
    ab aa
       : 11
    2
    n
    n
    b
    a
     2
    1n
    n
    a b 

    代入
    2
    1 2( 1)
    n
    n
    n
    aa a  
    :  
      
    2
    2
    2
    1
    42
    1 1222
    1111 1221211
    n n
    nnnn n
    nn
    b b
    bbbb b
    bb

    
       

    : 2
    1nnbb 
    : 1
    1
    1
    2 4 2 1
    42
    ab a
       
    2
    2
    21
    1
    2bb

    4
    2
    32
    1
    2bb
    23 典型数列专题
    第 14 页
    8
    2
    43
    1
    2bb 

    16
    2
    54
    1
    2bb

    ……
    1
    1
    2
    2
    1 2
    11
    2 2
    n
    nnnbb

    
     

    递推找规律
    吧中数列题
    吧题 1设数列  na 中项 0证明  na 等差数列充条件
    *nN :
    1223111
    111
    nnn
    n
    aaaaaaaa 
    
    证明:  na 等差数列设: 1 ( 1)na a n d  
    0d  时: 121 naaa 
    成立
    0d  时 1
    111
    11111 kk
    kkkkkk
    aa
    a ada adaa

    
     

    1111
    1111nn
    kkkkkka adaa
    

    12231
    1 11 1111
    kka aa aa ad 
     11
    111
    naad 
    

    11
    11
    1 n
    n
    aa
    d a a


    
    1 1 1 1
    1
    nn
    nd n
    d a a a a
      
    充分条件成立 23 典型数列专题
    第 15 页

    1223111
    111
    nnn
    n
    aaaaaaaa 
     1 2 1 na a a    时满足式
    时 na 公差 0 等差数列
    121 na a a  互相等时设
    1kkkd a a 式变:
    1
    111 111
    11111nnn kk
    kkk kkkkkkkk
    aa
    a ada adaa

     
       

    11
    111111
    111
    11n
    nnn
    nnn kkk
    kkk
    aannnn
    a aa aaa ddd

    
    
    
    


    1 1 11
    11
    1 1 1 11n
    nnk k k k nkk
    kk
    nn
    d a a aadd  
    
          


    112121
    11
    1111111 0nn
    nnkk
    kk
    nn
    daddadadd
    
    
        

    *nN 成立:
    21
    110
    dd
    
    32
    110
    dd
    …
    1
    1
    1 0n
    k
    k
    n
    d d

    


    1
    1 0n
    nk
    k
    n
    dd

    


    : 11
    12 n
    n
    aad d d n
        
    : 等差数列 必条件成立 23 典型数列专题
    第 16 页
    吧题 2:正整数 a 存正整数 ( )b c b c  2 2 2abc成等差数列
    证明:设: b m a c n a ( )m n N 
    : 成等差数列: 2 2 22b a c: 2221mn ①
    ①式: 2 1n  偶数n 奇数 设: 21nk()kN
    代入①式: 2 2 22 (2 1) 1 4 4 2m k k k     
    : 222 2 1m k k   ②
    ②式: m 奇数 设: 21mj()jN
    代入②式: 22(21)221jkk : 22441221jjkk
    : 2 ( 1) ( 1)j j k k   ③
    ③式 4 种情况:
    1> jk偶数时 ( 1) ( 1)jk   2 jk 0jk
    2> 奇数时 jk 2(1)1jk 1jk
    3> j 奇数 k 偶数时 1jk 2(1)jk
    : 12(1)123jkjj : 3j  4k 
    : 212315mj 212417nk
    : 5b ma a 7c na a
    4> 偶数 奇数时 1jk 21jk
    :212jkj : 2j  3k
    符合
    综合述 4 条:1> 2>满足()bc 4>满足()jkN  3>满足求
    : 5ba 7ca 证毕
    吧题 3:设数列 na 满足 2
    1
    1( 1)4nnaa中 1 1a  *()nN
    求证: 12n
    na  23 典型数列专题
    第 17 页
    证明:设: 1n
    na   : 1
    n
    na  
    代入 2
    1
    1 ( 1)4nnaa:代入 2
    141nnaa: 1241nn 
    等式两边 n :
    4 1 122nn
    nn      : 2 
    代入 : 12 n
    na  证毕
    吧题 4:已知数列  na 意正整数 n : 1
    11
    nn
    naann
     1 0a  求该数列
    通项 na 
    解: 等号两边时 ( 1)n  :
    1 1111
    1(1)1
    nn
    n
    aaa
    nnn nnnn
     
    

    : 1 111
    11
    n
    n
    a a
    nnnn
     
    
    : 1 11
    1
    nnaa
    nn
     


    令: 1n
    n
    ab
    n
     : 1
    1
    1
    1
    n
    n
    ab
    n


    

    1
    1
    101 1
    11
    ab 
    代入①式: 111 1nnnbbbb
    :  nb 首项 1公 1 等数列
    : 1 1n
    n
    ab
    n
    : 1nan
    数列通项: 等差数列
    吧题 5:已知数列 意正整数 n : 12 (21)n
    n
    aaa nan
      1
    1
    3a 
    求该数列通项
    解: 12 (2 1)nn
    n
    a a a S na
    nn
          : (2 1)nnS n n a ① 23 典型数列专题
    第 18 页
    ①式: 111 (1)[2(1)1](1)(23)nnnSnnanna ②
    ①②式: 11(21)(1)(23)nnnnnaSSnnanna
    : 2
    1( 1)(2 3) (2 1) ( 1)(2 1)n n nn n a n n a n n a       

    1
    (1)(23)23
    (1)(21)21
    n
    n
    a nnn
    annn
    
    

    ④式:
    132
    11221
    23 25 27(1)(3)
    21212331
    nnn
    nn
    aaaa annn
    aaaaannn

    
    
    

    : 1
    1 22
    331
    (21)(21) 4141n
    aaa
    nn nn
    
     


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