难点13 数列通项求
数列函数概念继续延伸数列通项公式前n项公式作项数n函数函数思想数列中应数列通项纲数列问题终结数列通项研究数列前n项Sn视数列{Sn}通项通项求数列中基重问题数列极限数学纳法着密切联系高考数列问题考查中热点点动态函数观点解决关问题提供行效方法
●难点磁场
(★★★★★)设{an}正数组成数列前n项Sn然数nan2等差中项等Sn2等中项
(1)写出数列{an}前3项
(2)求数列{an}通项公式(写出推证程)
(3)令bn(n∈N*)求 (b1+b2+b3+…+bn－n)
●案例探究
［例1］已知数列{an}公差d等差数列数列{bn}公q(q∈Rq≠1)等数列函数f(x)(x－1)2a1f(d－1)a3f(d+1)b1f(q+1)b3f(q－1)
(1)求数列{an}{bn}通项公式
(2)设数列{cn}前n项Sn切n∈N*an+1成立求
命题意图：题考查等差等数列通项公式前n项公式数列极限运算力综合分析问题力属★★★★★级题目
知识托：题利函数思想题设条件转化方程问题非常明显(2)中条件等式左边视某数列前n项实质该数列前n项数列{an}关系助通项前n项关系求解cn该条件转化突破口
错解分析：题两问环环相扣(1)问基础解方程求基量a1b1dq计算准易出错(2)问中条件正确认识转化关键
技巧方法：题(1)问运函数思想转化方程问题思路较然(2)问鸡生蛋构造新数列{dn}运通项关系求出dn丝丝入扣
解：(1)∵a1f(d－1)(d－2)2a3f(d+1)d2
∴a3－a1d2－(d－2)22d
∵d2∴ana1+(n－1)d2(n－1)b1f(q+1)q2b3f(q－1)(q－2)2
∴q2q∈Rq≠1q－2
∴bnb·qn－14·(－2)n－1
(2)令dnd1+d2+…+dnan+1(n∈N*)
∴dnan+1－an2
∴2cn2·bn8·(－2)n－1∴Sn［1－(－2)n］
∴
［例2］设An数列{an}前n项An (an－1)数列{bn}通项公式bn4n+3
(1)求数列{an}通项公式
(2)数列{an}{bn}公项序排成新数列证明：数列{dn}通项公式dn32n+1
(3)设数列{dn}第n项数列{bn}中第r项Br数列{bn}前r项Dn数列{dn}前n项TnBr－Dn求
命题意图：题考查数列通项公式前n项公式相互关系集合相关概念数列极限逻辑推理力
知识托：利项关系求an题先决(2)问中探寻{an}{bn}相通处须助二项式定理(3)问中利求公式求基知识点
错解分析：证通项dn32n+1an点易忽视寸步难行注意rn关系Tn中含n含r会求极限模糊清
技巧方法：(1)问中项关系常规方法(2)问中3拆解4－1利二项式定理寻找数列通项形式相通处堪称妙笔(3)问中挖掘出nr关系正确表示Br问题便迎刃解
解：(1)An(an－1)知An+1(an+1－1)
∴an+1－an (an+1－an)3a1A1 (a1－1)a13数列3首项公3等数列数列{an}通项公式an3n
(2)∵32n+13·32n3·(4－1)2n3·［42n+C·42n－1(－1)+…+C·4·(－1)+(－1)2n］4n+3
∴32n+1∈{bn}数32n(4－1)2n42n+C·42n－1·(－1)+…+C·4·(－1)+(－1)2n(4k+1)
∴32n{bn}数列{an}{a2n+1}∪{a2n}∴dn32n+1
(3)32n+14·r+3知r
∴Br
●锦囊妙计
1数列中数序性数列定义灵魂注意辨析数列中项数集中元素异研究数列问题时注意函数方法普遍性注意数列方法特殊性
2数列{an}前n 项Sn通项an关系式：an
3求通项常方法
①作新数列法作等差数列等数列
②累差叠加法基形式：an(an－an－1+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1
③纳猜想法
4数列前n项常求法
①重公式
1+2+…+nn(n+1)
12+22+…+n2n(n+1)(2n+1)
13+23+…+n3(1+2+…+n)2n2(n+1)2
②等差数列中Sm+nSm+Sn+mnd等数列中Sm+nSn+qnSmSm+qmSn
③裂项求：数列通项分成两式子代数anf(n+1)－f(n)然累加时抵消中间许项应掌握常见裂项：
④错项相消法
⑤项求法
数列通项方法种样视具体情形选合适方法
●歼灭难点训练
填空题
1(★★★★★)设zn()n(n∈N*)记Sn｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+…+｜zn+1－zn｜Sn_________
2(★★★★★)作边长a正三角形切圆圆作新接正三角形新正三角形作切圆继续圆周长面积分_________
二解答题
3(★★★★)数列{an}满足a12意n∈N*an＞0(n+1)an2+an·an+1－
nan+120知数列{bn}通项bn2n－1+1
(1)求数列{an}通项an前n项Sn
(2)求数列{bn}前n项Tn
(3)猜想SnTn关系说明理
4(★★★★)数列{an}中a18a42满足an+22an+1－an(n∈N*)
(1)求数列{an}通项公式
(2)设Sn｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜求Sn
(3)设bn(n∈N*)Tnb1+b2+……+bn(n∈N*)否存整数m意n∈N*均Tn＞成立？存求出m值存说明理
5(★★★★★)设数列{an}前n项SnSn(m+1)－man意正整数n成立中m常数m＜－1
(1)求证：{an}等数列
(2)设数列{an}公qf(m)数列{bn}满足：b1a1bnf(bn－1)(n≥2n∈N*)试问m值时成立？
6(★★★★★)已知数列{bn}等差数列b11b1+b2+…+b10145
(1)求数列{bn}通项bn
(2)设数列{an}通项anloga(1+)(中a＞0a≠1)记Sn数列{an}前n项试较Snlogabn+1证明结
7(★★★★★)设数列{an}首项a11前n项Sn满足关系式：3tSn－(2t+3)Sn－13t(t＞0n234…)
(1)求证：数列{an}等数列
(2)设数列{an}公f(t)作数列{bn}b11bnf()(n234…)求数列{bn}通项bn
(3)求：b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1
参考答案
难点磁场
解析：(1)题意n1时S1a1
∴解a12n2时S2a1+a2a12代入整理(a2－2)216a2＞0解a26n3时S3a1+a2+a3
a12a26代入整理(a3－2)264a3＞0解a310该数列前3项2610
(2）解法：(1）猜想数列{an}通项公式an4n－2面数学纳法证明{an}通项公式an4n－2(n∈N*）
①n1时4×1－22(1)中已求出a12述结成立
②假设nk时结成立ak4k－2题意ak4k－2代入式解2kSk2k2题意Sk+1Sk+ak+1Sk2k2代入()22(ak+1+2k2)整理ak+12－4ak+1+4－16k20ak+1＞0解ak+12+4kak+12+4k4(k+1)－2nk+1时述结成立根①②述结然数n∈N*成立
解法二：题意知(n∈N*)整理Sn(an+2)2Sn+1(an+1+2)2∴an+1Sn+1－Sn［(an+1+2)2－(an+2)2］整理(an+1+an）(an+1－an－4)0题意知an+1+an≠0∴an+1－an4数列{an}等差数列中a12公差d4∴ana1+(n－1)d2+4(n－1)通项公式an4n－2
解法三：已知(n∈N*)①②②式整理Sn+1－2·+2－Sn0解数列{an}正项数列{Sn}首项公差等差数列 +(n－1) nSn2n2
anan4n－2(n∈N*)
(3)令cnbn－1cn
歼灭难点训练
答案：1+
2解析：题意正三角形边长构成等数列{an}an正三角形切圆构成等数列{rn}rna
∴圆周长c2π(r1+r2+…+rn) a2
面积Sπ(n2+r22+…+rn2)a2
答案：周长πa面积a2
二3解：(1）解an2nSnn2+n
(2)Tn2n+n－1
(3)Tn－Sn2n－n2－1验证知n1时T1S1n2时T2＜S2n3时T3＜S3n4时T4＜S4n5时T5＞S5n6时T6＞S6猜想n≥5时Tn＞Sn2n＞n2+1
数学纳法证明(略）
4解：(1）an+22an+1－anan+2－an+1an+1－an知{an}成等差数列
d－2∴an10－2n
(2)an10－2n≥0n≤5n≤5时Sn－n2+9nn＞5时Snn2－9n+40Sn
(3)bn
Tn＞总成立需＜T1成立m＜8m∈Z适合条件m值7
5解：(1）已知Sn+1(m+1)－man+1①Sn(m+1)－man②①－②an+1man－man+1(m+1)an+1man意正整数n成立
∵m常数m＜－1
∴{}等数列
(2)n1时a1m+1－ma1∴a11b1
(1)知qf(m)∴bnf(bn－1) (n∈N*n≥2)
∴∴{}等差数列∴3+(n－1)n+2
(n∈N*)
6解：(1)设数列{bn}公差d题意：解b11d3
∴bn3n－2
(2)bn3n－2知Snloga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)
loga［(1+1)(1+)…(1+)］logabn+1loga
较Snlogabn+1先较(1+1)(1+)…(1+)
取n1时(1+1)＞
取n2时(1+1)(1+)＞…
推测(1+1)(1+)…(1+)＞ ①
①式成立数函数性质判定：
a＞1时Sn＞logabn+1 ②
0＜a＜1时Sn＜logabn+1 ③
面数学纳法证明①式
(ⅰ)n1时已验证①式成立
(ⅱ)假设nk时(k≥1）①式成立：
nk+1时
说①式nk+1时成立
(ⅰ）(ⅱ）知①式正整数n成立
证：
a＞1时Sn＞logabn+10＜a＜1时Sn＜logabn+1
7解：(1)S1a11S21+a23t(1+a2)－(2t+3)3t
∴a2
3tSn－(2t+3)Sn－13t ①
3tSn－1－(2t+3)Sn－23t ②
①－②3tan－(2t+3)an－10
∴n234…{an}首项1公等数列
(2)f(t) bnf()+bn－1
见{bn}首项1公差等差数列
bn1+(n－1)
(3)bn知{b2n－1}{b2n}首项分1公差均等差数列b2n
∴b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1
b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+…+b2n(b2n－1－b2n+1)
－ (b2+b4+…+b2n)－·n(+)－ (2n2+3n)
文档香网(httpswwwxiangdangnet)户传
《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档
数列函数概念继续延伸数列通项公式前n项公式作项数n函数函数思想数列中应数列通项纲数列问题终结数列通项研究数列前n项Sn视数列{Sn}通项通项求数列中基重问题数列极限数学纳法着密切联系高考数列问题考查中热点点动态函数观点解决关问题提供行效方法
●难点磁场
(★★★★★)设{an}正数组成数列前n项Sn然数nan2等差中项等Sn2等中项
(1)写出数列{an}前3项
(2)求数列{an}通项公式(写出推证程)
(3)令bn(n∈N*)求 (b1+b2+b3+…+bn－n)
●案例探究
［例1］已知数列{an}公差d等差数列数列{bn}公q(q∈Rq≠1)等数列函数f(x)(x－1)2a1f(d－1)a3f(d+1)b1f(q+1)b3f(q－1)
(1)求数列{an}{bn}通项公式
(2)设数列{cn}前n项Sn切n∈N*an+1成立求
命题意图：题考查等差等数列通项公式前n项公式数列极限运算力综合分析问题力属★★★★★级题目
知识托：题利函数思想题设条件转化方程问题非常明显(2)中条件等式左边视某数列前n项实质该数列前n项数列{an}关系助通项前n项关系求解cn该条件转化突破口
错解分析：题两问环环相扣(1)问基础解方程求基量a1b1dq计算准易出错(2)问中条件正确认识转化关键
技巧方法：题(1)问运函数思想转化方程问题思路较然(2)问鸡生蛋构造新数列{dn}运通项关系求出dn丝丝入扣
解：(1)∵a1f(d－1)(d－2)2a3f(d+1)d2
∴a3－a1d2－(d－2)22d
∵d2∴ana1+(n－1)d2(n－1)b1f(q+1)q2b3f(q－1)(q－2)2
∴q2q∈Rq≠1q－2
∴bnb·qn－14·(－2)n－1
(2)令dnd1+d2+…+dnan+1(n∈N*)
∴dnan+1－an2
∴2cn2·bn8·(－2)n－1∴Sn［1－(－2)n］
∴
［例2］设An数列{an}前n项An (an－1)数列{bn}通项公式bn4n+3
(1)求数列{an}通项公式
(2)数列{an}{bn}公项序排成新数列证明：数列{dn}通项公式dn32n+1
(3)设数列{dn}第n项数列{bn}中第r项Br数列{bn}前r项Dn数列{dn}前n项TnBr－Dn求
命题意图：题考查数列通项公式前n项公式相互关系集合相关概念数列极限逻辑推理力
知识托：利项关系求an题先决(2)问中探寻{an}{bn}相通处须助二项式定理(3)问中利求公式求基知识点
错解分析：证通项dn32n+1an点易忽视寸步难行注意rn关系Tn中含n含r会求极限模糊清
技巧方法：(1)问中项关系常规方法(2)问中3拆解4－1利二项式定理寻找数列通项形式相通处堪称妙笔(3)问中挖掘出nr关系正确表示Br问题便迎刃解
解：(1)An(an－1)知An+1(an+1－1)
∴an+1－an (an+1－an)3a1A1 (a1－1)a13数列3首项公3等数列数列{an}通项公式an3n
(2)∵32n+13·32n3·(4－1)2n3·［42n+C·42n－1(－1)+…+C·4·(－1)+(－1)2n］4n+3
∴32n+1∈{bn}数32n(4－1)2n42n+C·42n－1·(－1)+…+C·4·(－1)+(－1)2n(4k+1)
∴32n{bn}数列{an}{a2n+1}∪{a2n}∴dn32n+1
(3)32n+14·r+3知r
∴Br
●锦囊妙计
1数列中数序性数列定义灵魂注意辨析数列中项数集中元素异研究数列问题时注意函数方法普遍性注意数列方法特殊性
2数列{an}前n 项Sn通项an关系式：an
3求通项常方法
①作新数列法作等差数列等数列
②累差叠加法基形式：an(an－an－1+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1
③纳猜想法
4数列前n项常求法
①重公式
1+2+…+nn(n+1)
12+22+…+n2n(n+1)(2n+1)
13+23+…+n3(1+2+…+n)2n2(n+1)2
②等差数列中Sm+nSm+Sn+mnd等数列中Sm+nSn+qnSmSm+qmSn
③裂项求：数列通项分成两式子代数anf(n+1)－f(n)然累加时抵消中间许项应掌握常见裂项：
④错项相消法
⑤项求法
数列通项方法种样视具体情形选合适方法
●歼灭难点训练
填空题
1(★★★★★)设zn()n(n∈N*)记Sn｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+…+｜zn+1－zn｜Sn_________
2(★★★★★)作边长a正三角形切圆圆作新接正三角形新正三角形作切圆继续圆周长面积分_________
二解答题
3(★★★★)数列{an}满足a12意n∈N*an＞0(n+1)an2+an·an+1－
nan+120知数列{bn}通项bn2n－1+1
(1)求数列{an}通项an前n项Sn
(2)求数列{bn}前n项Tn
(3)猜想SnTn关系说明理
4(★★★★)数列{an}中a18a42满足an+22an+1－an(n∈N*)
(1)求数列{an}通项公式
(2)设Sn｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜求Sn
(3)设bn(n∈N*)Tnb1+b2+……+bn(n∈N*)否存整数m意n∈N*均Tn＞成立？存求出m值存说明理
5(★★★★★)设数列{an}前n项SnSn(m+1)－man意正整数n成立中m常数m＜－1
(1)求证：{an}等数列
(2)设数列{an}公qf(m)数列{bn}满足：b1a1bnf(bn－1)(n≥2n∈N*)试问m值时成立？
6(★★★★★)已知数列{bn}等差数列b11b1+b2+…+b10145
(1)求数列{bn}通项bn
(2)设数列{an}通项anloga(1+)(中a＞0a≠1)记Sn数列{an}前n项试较Snlogabn+1证明结
7(★★★★★)设数列{an}首项a11前n项Sn满足关系式：3tSn－(2t+3)Sn－13t(t＞0n234…)
(1)求证：数列{an}等数列
(2)设数列{an}公f(t)作数列{bn}b11bnf()(n234…)求数列{bn}通项bn
(3)求：b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1
参考答案
难点磁场
解析：(1)题意n1时S1a1
∴解a12n2时S2a1+a2a12代入整理(a2－2)216a2＞0解a26n3时S3a1+a2+a3
a12a26代入整理(a3－2)264a3＞0解a310该数列前3项2610
(2）解法：(1）猜想数列{an}通项公式an4n－2面数学纳法证明{an}通项公式an4n－2(n∈N*）
①n1时4×1－22(1)中已求出a12述结成立
②假设nk时结成立ak4k－2题意ak4k－2代入式解2kSk2k2题意Sk+1Sk+ak+1Sk2k2代入()22(ak+1+2k2)整理ak+12－4ak+1+4－16k20ak+1＞0解ak+12+4kak+12+4k4(k+1)－2nk+1时述结成立根①②述结然数n∈N*成立
解法二：题意知(n∈N*)整理Sn(an+2)2Sn+1(an+1+2)2∴an+1Sn+1－Sn［(an+1+2)2－(an+2)2］整理(an+1+an）(an+1－an－4)0题意知an+1+an≠0∴an+1－an4数列{an}等差数列中a12公差d4∴ana1+(n－1)d2+4(n－1)通项公式an4n－2
解法三：已知(n∈N*)①②②式整理Sn+1－2·+2－Sn0解数列{an}正项数列{Sn}首项公差等差数列 +(n－1) nSn2n2
anan4n－2(n∈N*)
(3)令cnbn－1cn
歼灭难点训练
答案：1+
2解析：题意正三角形边长构成等数列{an}an正三角形切圆构成等数列{rn}rna
∴圆周长c2π(r1+r2+…+rn) a2
面积Sπ(n2+r22+…+rn2)a2
答案：周长πa面积a2
二3解：(1）解an2nSnn2+n
(2)Tn2n+n－1
(3)Tn－Sn2n－n2－1验证知n1时T1S1n2时T2＜S2n3时T3＜S3n4时T4＜S4n5时T5＞S5n6时T6＞S6猜想n≥5时Tn＞Sn2n＞n2+1
数学纳法证明(略）
4解：(1）an+22an+1－anan+2－an+1an+1－an知{an}成等差数列
d－2∴an10－2n
(2)an10－2n≥0n≤5n≤5时Sn－n2+9nn＞5时Snn2－9n+40Sn
(3)bn
Tn＞总成立需＜T1成立m＜8m∈Z适合条件m值7
5解：(1）已知Sn+1(m+1)－man+1①Sn(m+1)－man②①－②an+1man－man+1(m+1)an+1man意正整数n成立
∵m常数m＜－1
∴{}等数列
(2)n1时a1m+1－ma1∴a11b1
(1)知qf(m)∴bnf(bn－1) (n∈N*n≥2)
∴∴{}等差数列∴3+(n－1)n+2
(n∈N*)
6解：(1)设数列{bn}公差d题意：解b11d3
∴bn3n－2
(2)bn3n－2知Snloga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)
loga［(1+1)(1+)…(1+)］logabn+1loga
较Snlogabn+1先较(1+1)(1+)…(1+)
取n1时(1+1)＞
取n2时(1+1)(1+)＞…
推测(1+1)(1+)…(1+)＞ ①
①式成立数函数性质判定：
a＞1时Sn＞logabn+1 ②
0＜a＜1时Sn＜logabn+1 ③
面数学纳法证明①式
(ⅰ)n1时已验证①式成立
(ⅱ)假设nk时(k≥1）①式成立：
nk+1时
说①式nk+1时成立
(ⅰ）(ⅱ）知①式正整数n成立
证：
a＞1时Sn＞logabn+10＜a＜1时Sn＜logabn+1
7解：(1)S1a11S21+a23t(1+a2)－(2t+3)3t
∴a2
3tSn－(2t+3)Sn－13t ①
3tSn－1－(2t+3)Sn－23t ②
①－②3tan－(2t+3)an－10
∴n234…{an}首项1公等数列
(2)f(t) bnf()+bn－1
见{bn}首项1公差等差数列
bn1+(n－1)
(3)bn知{b2n－1}{b2n}首项分1公差均等差数列b2n
∴b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1
b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+…+b2n(b2n－1－b2n+1)
－ (b2+b4+…+b2n)－·n(+)－ (2n2+3n)
文档香网(httpswwwxiangdangnet)户传
《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档
