高考专题突破三 高考中数列问题
考试求 1熟练掌握等差等数列前n项公式2掌握非等差数列非等数列求种常见方法3解数列种特殊函数4具体问题情境中发现等差等关系解决相应问题．
数列求种常方法
1．公式法
直接利等差数列等数列前n项公式求．
(1)等差数列前n项公式：
Sn＝＝na1＋d
(2)等数列前n项公式：
Sn＝
2．分组求法项求法
(1)数列干等差数列等数列求数列组成求时分组求法分求相加减．
(2)形an＝(－1)n·f(n)类型常采两项合求解．
3．裂项相消法
(1)数列通项拆成两项差求时中间项相互抵消求．
(2)常见裂项技巧
①＝－
②＝
③＝
④＝－
⑤＝
⑥loga＝loga(n＋1)－logan(n>0)．
4．错位相减法
果数列项等差数列等数列应项积构成数列前n项法求等数列前n项公式法推导
题型 数列数学文化
1．国古代数学名著算法统宗中说：九百九十六斤棉赠分八子做盘缠．次第十七第八数言．务分明次第孝休惹外传．意：996斤棉花分赠送8子女做旅费第1孩子开始次17斤直第8孩子止．分配时定次序分父母兄弟间气引外说闲话．问题中第8孩子分棉花( )
A．184斤 B．176斤 C．65斤 D．60斤
答案 A
解析 题意八子女棉花斤数次构成等差数列设该等差数列{an}公差d前n项Sn第孩子棉花斤数a1题意d＝17S8＝8a1＋×17＝996解a1＝65∴a8＝a1＋(8－1)d＝184
2．张丘建算中女子织布问题：某女子善织布天天织快第2天开始天前天织相量布已知第天织5尺布月(30天计)织390尺布第2天起天前天织少尺布？( )
A B C D
答案 B
解析 题意知天织布少构成等差数列中第天首项a1＝5月30天计S30＝390第2天起天前天织布公差dS30＝30×5＋×d＝390解d＝选B
3．国古代数学典籍九章算术盈足中道两鼠穿墙问题：垣厚十尺两鼠穿初日尺鼠日倍鼠日半问日相逢？述问题中两鼠第天相逢？( )
A．2 B．3 C．4 D．6
答案 C
解析 妨设老鼠老鼠天穿墙厚度数列{an}{bn}
题意知数列{an}首项1公2等数列
数列{bn}首项1公等数列
设前n天两鼠总穿墙厚度Sn
Sn＝＋＝2n－n－1＋1
n＝3时S3＝<10
n＝4时S4＝>10
两老鼠第4天相逢．
4．(2020·潍坊模拟)周髀算中国古代重数学著作记载日月历法曰：阴阳数日月法十九岁章四章部部七十六岁二十部遂遂千百五二十岁…生数皆终万物复苏天更元作纪历．某老年公寓住20位老年龄(正整数)恰遂中年长者已奔百龄(年龄介90～100岁)余19年龄次相差岁年长者年龄( )
A．94岁 B．95岁 C．96岁 D．98岁
答案 B
解析 设年长者年龄t已知余19位老年龄次排列构成公差d＝1等差数列设者年龄a1遂千百五二十岁知遂1 520岁(遂20部部4章章19岁20×4×19＝1 520)．20位老年龄19a1＋d＋t＝1 520整理a1＋9＋＝80t∈N*a1∈N*∈N*t∈(90100)t＝19×5＝95选B
思维升华 数列数学文化解题3步骤
读懂题意
会脱数学文化背景读懂题意
构建模型
题意构建等差数列等数列递推关系式模型
求解模型
利学知识求解数列相关信息求指定项通项公式前n项公式
题型二 等差数列等数列交汇
例1 (2020·南昌质检)设Sn等差数列{an}前n项S7＝49a2＋a8＝18
(1)求数列{an}通项公式
(2)S3a17Sm成等数列求S3m
解 (1)设等差数列{an}公差d
∵Sn等差数列{an}前n项S7＝49a2＋a8＝18
∴⇒解d＝2
∴an＝a4＋(n－4)×d＝2n－1
(2)(1)知Sn＝＝n2
∵S3a17Sm成等数列
∴S3Sm＝a9m2＝332解m＝11
S3m＝S33＝332＝1 089
思维升华 等差等数列基量间关系利方程思想通项公式前n项公式求解．求解时注意性质灵活运．
踪训练1 (2020·中山期末)设Sn数列{an}前n项已知a2＝3an＋1＝2an＋1
(1)证明：{an＋1}等数列
(2)判断nanSn否成等差数列？说明理．
(1)证明 ∵a2＝3a2＝2a1＋1∴a1＝1
题意an＋1≠0＝＝2
∴{an＋1}首项2公2等数列．
(2)解 (1)知an＋1＝2n∴an＝2n－1
∴Sn＝－n＝2n＋1－n－2
∴n＋Sn－2an＝n＋2n＋1－n－2－2(2n－1)＝0
∴n＋Sn＝2annanSn成等差数列．
题型三 数列求
命题点1 分组求项求
例2 已知数列{an}首项a1＝5前n项Sn满足Sn－n2＝n(an－1)．
(1)证明数列{an}等差数列求数列{an}通项公式
(2)设数列{bn}满足bn＝(－1)n·n(an＋2n－4)＋2n求数列{bn}前n项Tn
解 (1)Sn－n2＝n(an－1)Sn＝nan＋n2－n①
n≥2时Sn－1＝(n－1)an－1＋(n－1)2－(n－1)②
①－②(n－1)an－(n－1)an－1＋2(n－1)＝0
n≥2an－an－1＝－2
数列{an}a1＝5首项d＝－2公差等差数列
an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋7
(2)(1)bn＝(－1)nn(an＋2n－4)＋2n＝(－1)n3n＋2n
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－3×1＋2×1)＋(3×2＋2×2)＋(－3×3＋2×3)＋(3×4＋2×4)＋…＋(－1)n3n＋2n＝－3[1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n＋1n]＋2(1＋2＋3＋4＋…＋n)
n奇数时Tn＝－3×＋n(n＋1)＝
n偶数时Tn＝＋n(n＋1)＝
数列{bn}前n项
Tn＝
思维升华 般果{an}等差数列{bn}等数列求数列{an±bn}cn＝前n项Sn时采分组求法求．果cn＝(－1)n·an求cn前n项时采项求法求解．
命题点2 错位相减法求
例3 (12分)(2020·全国Ⅰ)设{an}公1等数列a1a2a3等差中项．
(1)求{an}公
(2)a1＝1求数列{nan}前n项．
规范解答
解 (1)设{an}公q
∵a1a2a3等差中项
∴2a1＝a2＋a3＝a1q＋a1q2a1≠0∴q2＋q－2＝0[2分]
∵q≠1∴q＝－2[4分]
(2)设{nan}前n项Sna1＝1an＝(－2)n－1[6分]
Sn＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1①[7分]
－2Sn＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n(－2)n②[8分]
①－②3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n(－2)n[10分]
＝－n(－2)n＝[11分]
∴Sn＝n∈N*[12分]
第步：根定义法等差(等)中项法通项公式法等判定数列等差(等)数列
第二步：等差(等)数列基知识求通项者递推公式求通项
第三步：根表达式通项特征选择合适方法(分组转化法错位相减法裂项相消法)求
第四步：反思解题程检验易错点规范解题步骤．
命题点3 裂项相消法
例4 (2020·三明质检)已知正项数列{an}前n项Sna1＝1(t＋1)Sn＝a＋3an＋2(t∈R)．
(1)求数列{an}通项公式
(2)数列{bn}满足b1＝1bn＋1－bn＝an＋1求数列前n项Tn
解 (1)a1＝1(t＋1)Sn＝a＋3an＋2
(t＋1)S1＝a＋3a1＋2t＝5
6Sn＝a＋3an＋2①
n≥2时6Sn－1＝a＋3an－1＋2②
①－②6an＝a＋3an－a－3an－1
(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0
an>0an－an－1＝3
a1＝1
{an}首项1公差3等差数列
an＝3n－2(n∈N*)．
(2)bn＋1－bn＝an＋1b1＝1
bn－bn－1＝an(n≥2n∈N*)
n≥2时
bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
＝an＋an－1＋…＋a2＋b1＝
b1＝1适合式bn＝(n∈N*)．
＝
＝·＝·
Tn＝·
＝·
＝
思维升华 裂项法求时注意正负项相消时消项保留项切漏写未消项未消项前称特点实质造成正负相消法根源目．
踪训练2 (1)已知项均正数等差数列{an}中a1＋a2＋a3＝15a1＋2a2＋5a3＋13构成等数列{bn}前三项．
①求数列{an}{bn}通项公式
②求数列{anbn}前n项Tn
解 ①设等差数列公差d
已知a1＋a2＋a3＝3a2＝15a2＝5
(5－d＋2)(5＋d＋13)＝100
解d＝2d＝－13(舍)a1＝a2－d＝3
∴an＝a1＋(n－1)×d＝2n＋1
b1＝a1＋2＝5b2＝a2＋5＝10
∴q＝2∴bn＝5·2n－1
②①知anbn＝(2n＋1)·5·2n－1
＝5·(2n＋1)·2n－1
∵Tn＝5[3＋5×2＋7×22＋…＋(2n＋1)×2n－1]
2Tn＝5[3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n]
两式相减
－Tn＝5[3＋2×2＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n＋1)×2n]
＝5[(1－2n)2n－1]
Tn＝5[(2n－1)2n＋1]．
(2)(2020·河北衡水中学模拟)已知数列{an}满足a1＝4n≥2时(n－1)an＝n(an－1＋2n－2)．
①求证：数列等差数列
②记bn＝求数列{bn}前n项Sn
①证明 n≥2时(n－1)an＝n(an－1＋2n－2)
式两边n(n－1)＝
－＝2
数列＝4首项2公差等差数列．
②解 ①＝4＋2(n－1)＝2n＋2
an＝2n(n＋1)
bn＝＝
Sn＝＋
＝＝
课时精练
1．已知等差数列{an}前n项Sn等数列{bn}前n项Tna1＝b1＝3a4＝b2S4－T2＝12
(1)求数列{an}{bn}通项公式
(2)求数列{an＋bn}前n项．
解 (1)a1＝b1a4＝b2
S4－T2＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(b1＋b2)＝a2＋a3＝12
设等差数列{an}公差d
a2＋a3＝2a1＋3d＝6＋3d＝12d＝2
an＝3＋2(n－1)＝2n＋1
设等数列{bn}公q
题意知b2＝a4＝9b2＝b1q＝3q＝9
q＝3bn＝3n
(2)an＋bn＝(2n＋1)＋3n
{an＋bn}前n项(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝(3＋5＋…＋2n＋1)＋(3＋32＋…＋3n)＝＋＝n(n＋2)＋
2．已知等数列{an}前n项Sn满足4S5＝3S4＋S6a3＝9
(1)求数列{an}通项公式an
(2)设bn＝(2n－1)·an求数列{bn}前n项Tn
解 (1)设数列{an}公q
4S5＝3S4＋S6S6－S5＝3S5－3S4
a6＝3a5∴q＝3∴an＝9·3n－3＝3n－1
(2)bn＝(2n－1)·an＝(2n－1)·3n－1
∴Tn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1
∴3Tn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n
∴－2Tn＝1＋2·31＋2·32＋…＋2·3n－1－(2n－1)·3n
＝－2＋(2－2n)·3n
∴Tn＝1－＝(n－1)·3n＋1
3．已知数列{an}中a1＝1a2＝2an＋1＝3an－2an－1(n≥2n∈N*)．设bn＝an＋1－an
(1)证明：数列{bn}等数列
(2)设cn＝求数列{cn}前n项Sn
(1)证明 an＋1＝3an－2an－1(n≥2n∈N*)bn＝an＋1－an
＝＝
＝＝2
b1＝a2－a1＝2－1＝1
数列{bn}1首项2公等数列．
(2)解 (1)知bn＝1×2n－1＝2n－1
cn＝
cn＝＝
Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝
＝＝
4．(2020·黄山模拟)已知递增等差数列{an}前n项SnS1＝1S2S3－1S4成等数列．
(1)求数列{an}通项公式
(2)已知bn＝求数列{bn}前2n项T2n
解 (1)S1＝1知等差数列{an}首项1Sn＝n＋d
S2S3－1S4成等数列(S3－1)2＝S2S4
(2＋3d)2＝(2＋d)(4＋6d)解d＝2d＝－
等差数列{an}递增数列知d>0d＝2
an＝1＋2(n－1)＝2n－1
(2)bn＝＝
＝(－1)n
T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n
＝－＋－＋＋…－＋
＝－＋＝－
5．(2020·天津)已知{an}等差数列{bn}等数列a1＝b1＝1a5＝5(a4－a3)b5＝4(b4－b3)．
(1)求{an}{bn}通项公式
(2)记{an}前n项Sn求证：SnSn＋2(3)意正整数n设cn＝求数列{cn}前2n项．
(1)解 设等差数列{an}公差d等数列{bn}公q
∵a1＝1a5＝5(a4－a3)∴1＋4d＝5d∴d＝1
∴{an}通项公式an＝n
∵b1＝1b5＝4(b4－b3)q≠0
∴q4＝4(q3－q2)解q＝2
∴{bn}通项公式bn＝2n－1
(2)证明 (1)Sn＝
∴SnSn＋2＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)
S＝(n＋1)2(n＋2)2
∴SnSn＋2－S＝－(n＋1)(n＋2)<0
∴SnSn＋2(3)解 n奇数时
cn＝＝＝－
n偶数时cn＝＝
意正整数n
2k－1＝＝－1
2k＝＝＋＋＋…＋①
①×2k＝＋＋…＋＋②
①－②2k＝＋＋…＋－
＝－－
∴2k＝－
2k＝2k－1＋2k＝－－
∴数列{cn}前2n项－－
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考试求 1熟练掌握等差等数列前n项公式2掌握非等差数列非等数列求种常见方法3解数列种特殊函数4具体问题情境中发现等差等关系解决相应问题．
数列求种常方法
1．公式法
直接利等差数列等数列前n项公式求．
(1)等差数列前n项公式：
Sn＝＝na1＋d
(2)等数列前n项公式：
Sn＝
2．分组求法项求法
(1)数列干等差数列等数列求数列组成求时分组求法分求相加减．
(2)形an＝(－1)n·f(n)类型常采两项合求解．
3．裂项相消法
(1)数列通项拆成两项差求时中间项相互抵消求．
(2)常见裂项技巧
①＝－
②＝
③＝
④＝－
⑤＝
⑥loga＝loga(n＋1)－logan(n>0)．
4．错位相减法
果数列项等差数列等数列应项积构成数列前n项法求等数列前n项公式法推导
题型 数列数学文化
1．国古代数学名著算法统宗中说：九百九十六斤棉赠分八子做盘缠．次第十七第八数言．务分明次第孝休惹外传．意：996斤棉花分赠送8子女做旅费第1孩子开始次17斤直第8孩子止．分配时定次序分父母兄弟间气引外说闲话．问题中第8孩子分棉花( )
A．184斤 B．176斤 C．65斤 D．60斤
答案 A
解析 题意八子女棉花斤数次构成等差数列设该等差数列{an}公差d前n项Sn第孩子棉花斤数a1题意d＝17S8＝8a1＋×17＝996解a1＝65∴a8＝a1＋(8－1)d＝184
2．张丘建算中女子织布问题：某女子善织布天天织快第2天开始天前天织相量布已知第天织5尺布月(30天计)织390尺布第2天起天前天织少尺布？( )
A B C D
答案 B
解析 题意知天织布少构成等差数列中第天首项a1＝5月30天计S30＝390第2天起天前天织布公差dS30＝30×5＋×d＝390解d＝选B
3．国古代数学典籍九章算术盈足中道两鼠穿墙问题：垣厚十尺两鼠穿初日尺鼠日倍鼠日半问日相逢？述问题中两鼠第天相逢？( )
A．2 B．3 C．4 D．6
答案 C
解析 妨设老鼠老鼠天穿墙厚度数列{an}{bn}
题意知数列{an}首项1公2等数列
数列{bn}首项1公等数列
设前n天两鼠总穿墙厚度Sn
Sn＝＋＝2n－n－1＋1
n＝3时S3＝<10
n＝4时S4＝>10
两老鼠第4天相逢．
4．(2020·潍坊模拟)周髀算中国古代重数学著作记载日月历法曰：阴阳数日月法十九岁章四章部部七十六岁二十部遂遂千百五二十岁…生数皆终万物复苏天更元作纪历．某老年公寓住20位老年龄(正整数)恰遂中年长者已奔百龄(年龄介90～100岁)余19年龄次相差岁年长者年龄( )
A．94岁 B．95岁 C．96岁 D．98岁
答案 B
解析 设年长者年龄t已知余19位老年龄次排列构成公差d＝1等差数列设者年龄a1遂千百五二十岁知遂1 520岁(遂20部部4章章19岁20×4×19＝1 520)．20位老年龄19a1＋d＋t＝1 520整理a1＋9＋＝80t∈N*a1∈N*∈N*t∈(90100)t＝19×5＝95选B
思维升华 数列数学文化解题3步骤
读懂题意
会脱数学文化背景读懂题意
构建模型
题意构建等差数列等数列递推关系式模型
求解模型
利学知识求解数列相关信息求指定项通项公式前n项公式
题型二 等差数列等数列交汇
例1 (2020·南昌质检)设Sn等差数列{an}前n项S7＝49a2＋a8＝18
(1)求数列{an}通项公式
(2)S3a17Sm成等数列求S3m
解 (1)设等差数列{an}公差d
∵Sn等差数列{an}前n项S7＝49a2＋a8＝18
∴⇒解d＝2
∴an＝a4＋(n－4)×d＝2n－1
(2)(1)知Sn＝＝n2
∵S3a17Sm成等数列
∴S3Sm＝a9m2＝332解m＝11
S3m＝S33＝332＝1 089
思维升华 等差等数列基量间关系利方程思想通项公式前n项公式求解．求解时注意性质灵活运．
踪训练1 (2020·中山期末)设Sn数列{an}前n项已知a2＝3an＋1＝2an＋1
(1)证明：{an＋1}等数列
(2)判断nanSn否成等差数列？说明理．
(1)证明 ∵a2＝3a2＝2a1＋1∴a1＝1
题意an＋1≠0＝＝2
∴{an＋1}首项2公2等数列．
(2)解 (1)知an＋1＝2n∴an＝2n－1
∴Sn＝－n＝2n＋1－n－2
∴n＋Sn－2an＝n＋2n＋1－n－2－2(2n－1)＝0
∴n＋Sn＝2annanSn成等差数列．
题型三 数列求
命题点1 分组求项求
例2 已知数列{an}首项a1＝5前n项Sn满足Sn－n2＝n(an－1)．
(1)证明数列{an}等差数列求数列{an}通项公式
(2)设数列{bn}满足bn＝(－1)n·n(an＋2n－4)＋2n求数列{bn}前n项Tn
解 (1)Sn－n2＝n(an－1)Sn＝nan＋n2－n①
n≥2时Sn－1＝(n－1)an－1＋(n－1)2－(n－1)②
①－②(n－1)an－(n－1)an－1＋2(n－1)＝0
n≥2an－an－1＝－2
数列{an}a1＝5首项d＝－2公差等差数列
an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋7
(2)(1)bn＝(－1)nn(an＋2n－4)＋2n＝(－1)n3n＋2n
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－3×1＋2×1)＋(3×2＋2×2)＋(－3×3＋2×3)＋(3×4＋2×4)＋…＋(－1)n3n＋2n＝－3[1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n＋1n]＋2(1＋2＋3＋4＋…＋n)
n奇数时Tn＝－3×＋n(n＋1)＝
n偶数时Tn＝＋n(n＋1)＝
数列{bn}前n项
Tn＝
思维升华 般果{an}等差数列{bn}等数列求数列{an±bn}cn＝前n项Sn时采分组求法求．果cn＝(－1)n·an求cn前n项时采项求法求解．
命题点2 错位相减法求
例3 (12分)(2020·全国Ⅰ)设{an}公1等数列a1a2a3等差中项．
(1)求{an}公
(2)a1＝1求数列{nan}前n项．
规范解答
解 (1)设{an}公q
∵a1a2a3等差中项
∴2a1＝a2＋a3＝a1q＋a1q2a1≠0∴q2＋q－2＝0[2分]
∵q≠1∴q＝－2[4分]
(2)设{nan}前n项Sna1＝1an＝(－2)n－1[6分]
Sn＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1①[7分]
－2Sn＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n(－2)n②[8分]
①－②3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n(－2)n[10分]
＝－n(－2)n＝[11分]
∴Sn＝n∈N*[12分]
第步：根定义法等差(等)中项法通项公式法等判定数列等差(等)数列
第二步：等差(等)数列基知识求通项者递推公式求通项
第三步：根表达式通项特征选择合适方法(分组转化法错位相减法裂项相消法)求
第四步：反思解题程检验易错点规范解题步骤．
命题点3 裂项相消法
例4 (2020·三明质检)已知正项数列{an}前n项Sna1＝1(t＋1)Sn＝a＋3an＋2(t∈R)．
(1)求数列{an}通项公式
(2)数列{bn}满足b1＝1bn＋1－bn＝an＋1求数列前n项Tn
解 (1)a1＝1(t＋1)Sn＝a＋3an＋2
(t＋1)S1＝a＋3a1＋2t＝5
6Sn＝a＋3an＋2①
n≥2时6Sn－1＝a＋3an－1＋2②
①－②6an＝a＋3an－a－3an－1
(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0
an>0an－an－1＝3
a1＝1
{an}首项1公差3等差数列
an＝3n－2(n∈N*)．
(2)bn＋1－bn＝an＋1b1＝1
bn－bn－1＝an(n≥2n∈N*)
n≥2时
bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
＝an＋an－1＋…＋a2＋b1＝
b1＝1适合式bn＝(n∈N*)．
＝
＝·＝·
Tn＝·
＝·
＝
思维升华 裂项法求时注意正负项相消时消项保留项切漏写未消项未消项前称特点实质造成正负相消法根源目．
踪训练2 (1)已知项均正数等差数列{an}中a1＋a2＋a3＝15a1＋2a2＋5a3＋13构成等数列{bn}前三项．
①求数列{an}{bn}通项公式
②求数列{anbn}前n项Tn
解 ①设等差数列公差d
已知a1＋a2＋a3＝3a2＝15a2＝5
(5－d＋2)(5＋d＋13)＝100
解d＝2d＝－13(舍)a1＝a2－d＝3
∴an＝a1＋(n－1)×d＝2n＋1
b1＝a1＋2＝5b2＝a2＋5＝10
∴q＝2∴bn＝5·2n－1
②①知anbn＝(2n＋1)·5·2n－1
＝5·(2n＋1)·2n－1
∵Tn＝5[3＋5×2＋7×22＋…＋(2n＋1)×2n－1]
2Tn＝5[3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n]
两式相减
－Tn＝5[3＋2×2＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n＋1)×2n]
＝5[(1－2n)2n－1]
Tn＝5[(2n－1)2n＋1]．
(2)(2020·河北衡水中学模拟)已知数列{an}满足a1＝4n≥2时(n－1)an＝n(an－1＋2n－2)．
①求证：数列等差数列
②记bn＝求数列{bn}前n项Sn
①证明 n≥2时(n－1)an＝n(an－1＋2n－2)
式两边n(n－1)＝
－＝2
数列＝4首项2公差等差数列．
②解 ①＝4＋2(n－1)＝2n＋2
an＝2n(n＋1)
bn＝＝
Sn＝＋
＝＝
课时精练
1．已知等差数列{an}前n项Sn等数列{bn}前n项Tna1＝b1＝3a4＝b2S4－T2＝12
(1)求数列{an}{bn}通项公式
(2)求数列{an＋bn}前n项．
解 (1)a1＝b1a4＝b2
S4－T2＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(b1＋b2)＝a2＋a3＝12
设等差数列{an}公差d
a2＋a3＝2a1＋3d＝6＋3d＝12d＝2
an＝3＋2(n－1)＝2n＋1
设等数列{bn}公q
题意知b2＝a4＝9b2＝b1q＝3q＝9
q＝3bn＝3n
(2)an＋bn＝(2n＋1)＋3n
{an＋bn}前n项(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝(3＋5＋…＋2n＋1)＋(3＋32＋…＋3n)＝＋＝n(n＋2)＋
2．已知等数列{an}前n项Sn满足4S5＝3S4＋S6a3＝9
(1)求数列{an}通项公式an
(2)设bn＝(2n－1)·an求数列{bn}前n项Tn
解 (1)设数列{an}公q
4S5＝3S4＋S6S6－S5＝3S5－3S4
a6＝3a5∴q＝3∴an＝9·3n－3＝3n－1
(2)bn＝(2n－1)·an＝(2n－1)·3n－1
∴Tn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1
∴3Tn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n
∴－2Tn＝1＋2·31＋2·32＋…＋2·3n－1－(2n－1)·3n
＝－2＋(2－2n)·3n
∴Tn＝1－＝(n－1)·3n＋1
3．已知数列{an}中a1＝1a2＝2an＋1＝3an－2an－1(n≥2n∈N*)．设bn＝an＋1－an
(1)证明：数列{bn}等数列
(2)设cn＝求数列{cn}前n项Sn
(1)证明 an＋1＝3an－2an－1(n≥2n∈N*)bn＝an＋1－an
＝＝
＝＝2
b1＝a2－a1＝2－1＝1
数列{bn}1首项2公等数列．
(2)解 (1)知bn＝1×2n－1＝2n－1
cn＝
cn＝＝
Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝
＝＝
4．(2020·黄山模拟)已知递增等差数列{an}前n项SnS1＝1S2S3－1S4成等数列．
(1)求数列{an}通项公式
(2)已知bn＝求数列{bn}前2n项T2n
解 (1)S1＝1知等差数列{an}首项1Sn＝n＋d
S2S3－1S4成等数列(S3－1)2＝S2S4
(2＋3d)2＝(2＋d)(4＋6d)解d＝2d＝－
等差数列{an}递增数列知d>0d＝2
an＝1＋2(n－1)＝2n－1
(2)bn＝＝
＝(－1)n
T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n
＝－＋－＋＋…－＋
＝－＋＝－
5．(2020·天津)已知{an}等差数列{bn}等数列a1＝b1＝1a5＝5(a4－a3)b5＝4(b4－b3)．
(1)求{an}{bn}通项公式
(2)记{an}前n项Sn求证：SnSn＋2
(1)解 设等差数列{an}公差d等数列{bn}公q
∵a1＝1a5＝5(a4－a3)∴1＋4d＝5d∴d＝1
∴{an}通项公式an＝n
∵b1＝1b5＝4(b4－b3)q≠0
∴q4＝4(q3－q2)解q＝2
∴{bn}通项公式bn＝2n－1
(2)证明 (1)Sn＝
∴SnSn＋2＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)
S＝(n＋1)2(n＋2)2
∴SnSn＋2－S＝－(n＋1)(n＋2)<0
∴SnSn＋2
cn＝＝＝－
n偶数时cn＝＝
意正整数n
2k－1＝＝－1
2k＝＝＋＋＋…＋①
①×2k＝＋＋…＋＋②
①－②2k＝＋＋…＋－
＝－－
∴2k＝－
2k＝2k－1＋2k＝－－
∴数列{cn}前2n项－－
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