复课： 数列求
知识梳理
1．等差等数列求公式
公含字母时定讨．
2．错位相减法求：：已知成等差成等求．
3．分组求：数列项分成干项转化等差等数列求．
4．合求：：求．
5．裂项相消法求：数列通项拆成两项差正负相消剩首尾干项．
常见拆项：
（理科）．
6．倒序相加法求：等差数列求公式推导．
7．求法：纳猜想法奇偶法等．
二典考题
1公式求例1．（浙江）公差等差数列中已知成等数列．
（1）求
（2）求．
分析第问注意准确利等差等数列定义求解第二问注意绝值时项正负讨．
解答（1）已知：
（2）（1）知时
①时
②时
综述： ．
点评题考查等差数列等数列概念等差数列通项公式求公式等基础知识时考查运算求解力．
变式训练：
（重庆文）设数列满足：．
（1）求通项公式前项
（2）已知等差数列前项求．
解答
（1）题设知首项公等数列．
（2）
．
2倒序相加法例2．已知函数．
（1）证明：
（2）数列通项公式求数列前项
（3）设数列满足：（2）中满足意意正整数恒成立试求值．
分析第（1）问先利指数相关性质化简证明左边右边第（2）问注意利（1）中结构造倒序求第（3）问已知条件求出值等式转化值问题求解．
解答（1）
．
（2）（1）知
两式相加
．
（3）知意
．
数列单调递增数列．
关递增时．
．
题意知解值．
点评解题时某前具称性数列运倒序相加法求．
变式训练：
已知函数．
（1）证明：
（2）求值．
解答（1）
（2）利第（1）题已证明结知
令
两式相加：
．
3错位相减法例3．（山东理)设等差数列前项．
（1）求数列通项公式
（2）设数列前项 (常数)．令求数列前项．
分析第（1）问利等差数列通项公式前项公式列方程组求解第（2）问先利关系求出进公错位相减法求出．
解答（1）设等差数列首项公差
解 ．
．
（2）题意知：
时
．
两式相减
整理．
数列数列前项．
点评错位相减法求时应注意：
（1）善识题目类型特等数列公负数时情形
（2）写出表达式时应特注意两式错项齐便步准确写出表达式
（3）利错位相减法转化等数列求时公参数（字母）般情况先参数加讨分公等两种情况分求．
变式训练：
(山东文)设等差数列前项．
（1）求数列通项公式
（2）设数列满足 求前项．
解答（1）例3．（1）．
（2）已知
时
时
结合知．
两式相减
．
4裂项相消法例4．(广东)设项均正数数列前项满足构成等数列．
（1）证明：
（2）求数列通项公式
（3）证明：切正整数．
分析题考查利关系求出进裂项相消法求出然采放缩方法证明等式．
解答
（1）时
（2）时
时公差等差数列．
构成等数列解
(1)知
首项公差等差数列．
数列通项公式．
（3）
．
点评
（1）利裂项相消法求时应注意抵消定剩第项项前剩两项干项通项裂项时需调整前面系数裂开两项差系数积原通项相等．
（2）般情况等差数列外根式分母时考虑利分母理化相消求．
变式训练：
（纲卷文）等差数列中
（1）求通项公式
（2）设．
解答（1）设等差数列公差
．
解．
通项公式．
（2）
．
5分组求法例5．（安徽）设数列满足意
函数 满足
（1）求数列通项公式
（2）求数列前项．
分析知数列等差数列．
解答（1）
等差数列．
．
（2）
．
点评题考查分组求法具体求解程中定注意观察数列通项构成特点分成等差等求式子分组求出．
变式训练：
（2012山东）等差数列中．
（1）求数列通项公式
（2）意数列中落入区间项数记求数列前项．
解答（1）
．
（2）意
．
．
6奇偶项求例6．（2011山东）等数列中分表第二三行中某数中两数表列．
（1）求数列通项公式
（2）数列满足：求数列前项．
第列
第二列
第三列
第行
第二行
第三行
分析根等数列定义先判断出求出通项求时分奇偶讨．
解答（1）题意知等数列公
数列通项公式．
（2）解法：
时
．
时
解法二：令
．
点评解法分奇数偶数进行化简求解法二直接采公错位相减法进行求时公 ．题意图考查数列概念性质求通项公式数列求基方法．
变式训练：
已知数列求．
解答
．
三解法结
1．数列求关键分析数列通项公式结构特征具体解决求问题中善数列通项入手观察数列通项公式结构特征变化规律根通项公式形式准确迅速选择方法形成抓通项寻规律定方法数列求思路解决类试题诀窍．
2．般非等差（）数列求题通常解题思路：果数列转化等差数列等数列公式法果数列项次数系数规律般错位相减法倒序相加法解决果项写成两项差般裂项法果求出通项拆项分组法果通项公式中含项分奇偶项求法．
四试牛刀
1．数列前项( )
A． B． C． D．
2．数列前项等( )
A． B． C． D．
3．数列中前项项数( )
A． B． C． D．
4．（2013纲）已知数列满足前项等( )
A． B． C． D．
5．设首项公等数列前项( )
A． B． C． D．
6．（2013新课标）设等差数列前项( )
A． B． C． D．
7． ．
8．已知数列前项 ．
9（2013江西）某住宅区计划植树少棵第天植棵天植树棵树前天倍需少天数等 ．
10 ．
11．(2013江苏）正项等数列中满足正整数 值 ．
12．正项数列前项满足
（1）求数列通项公式
（2）令数列前项证明意
参考答案：
1．B 2．B 3．C 4．C 5．D 6．C
7． 8． 9． 10
11．
值
12．（1）
正项数列
时
综数列通项
（2）证明
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知识梳理
1．等差等数列求公式
公含字母时定讨．
2．错位相减法求：：已知成等差成等求．
3．分组求：数列项分成干项转化等差等数列求．
4．合求：：求．
5．裂项相消法求：数列通项拆成两项差正负相消剩首尾干项．
常见拆项：
（理科）．
6．倒序相加法求：等差数列求公式推导．
7．求法：纳猜想法奇偶法等．
二典考题
1公式求例1．（浙江）公差等差数列中已知成等数列．
（1）求
（2）求．
分析第问注意准确利等差等数列定义求解第二问注意绝值时项正负讨．
解答（1）已知：
（2）（1）知时
①时
②时
综述： ．
点评题考查等差数列等数列概念等差数列通项公式求公式等基础知识时考查运算求解力．
变式训练：
（重庆文）设数列满足：．
（1）求通项公式前项
（2）已知等差数列前项求．
解答
（1）题设知首项公等数列．
（2）
．
2倒序相加法例2．已知函数．
（1）证明：
（2）数列通项公式求数列前项
（3）设数列满足：（2）中满足意意正整数恒成立试求值．
分析第（1）问先利指数相关性质化简证明左边右边第（2）问注意利（1）中结构造倒序求第（3）问已知条件求出值等式转化值问题求解．
解答（1）
．
（2）（1）知
两式相加
．
（3）知意
．
数列单调递增数列．
关递增时．
．
题意知解值．
点评解题时某前具称性数列运倒序相加法求．
变式训练：
已知函数．
（1）证明：
（2）求值．
解答（1）
（2）利第（1）题已证明结知
令
两式相加：
．
3错位相减法例3．（山东理)设等差数列前项．
（1）求数列通项公式
（2）设数列前项 (常数)．令求数列前项．
分析第（1）问利等差数列通项公式前项公式列方程组求解第（2）问先利关系求出进公错位相减法求出．
解答（1）设等差数列首项公差
解 ．
．
（2）题意知：
时
．
两式相减
整理．
数列数列前项．
点评错位相减法求时应注意：
（1）善识题目类型特等数列公负数时情形
（2）写出表达式时应特注意两式错项齐便步准确写出表达式
（3）利错位相减法转化等数列求时公参数（字母）般情况先参数加讨分公等两种情况分求．
变式训练：
(山东文)设等差数列前项．
（1）求数列通项公式
（2）设数列满足 求前项．
解答（1）例3．（1）．
（2）已知
时
时
结合知．
两式相减
．
4裂项相消法例4．(广东)设项均正数数列前项满足构成等数列．
（1）证明：
（2）求数列通项公式
（3）证明：切正整数．
分析题考查利关系求出进裂项相消法求出然采放缩方法证明等式．
解答
（1）时
（2）时
时公差等差数列．
构成等数列解
(1)知
首项公差等差数列．
数列通项公式．
（3）
．
点评
（1）利裂项相消法求时应注意抵消定剩第项项前剩两项干项通项裂项时需调整前面系数裂开两项差系数积原通项相等．
（2）般情况等差数列外根式分母时考虑利分母理化相消求．
变式训练：
（纲卷文）等差数列中
（1）求通项公式
（2）设．
解答（1）设等差数列公差
．
解．
通项公式．
（2）
．
5分组求法例5．（安徽）设数列满足意
函数 满足
（1）求数列通项公式
（2）求数列前项．
分析知数列等差数列．
解答（1）
等差数列．
．
（2）
．
点评题考查分组求法具体求解程中定注意观察数列通项构成特点分成等差等求式子分组求出．
变式训练：
（2012山东）等差数列中．
（1）求数列通项公式
（2）意数列中落入区间项数记求数列前项．
解答（1）
．
（2）意
．
．
6奇偶项求例6．（2011山东）等数列中分表第二三行中某数中两数表列．
（1）求数列通项公式
（2）数列满足：求数列前项．
第列
第二列
第三列
第行
第二行
第三行
分析根等数列定义先判断出求出通项求时分奇偶讨．
解答（1）题意知等数列公
数列通项公式．
（2）解法：
时
．
时
解法二：令
．
点评解法分奇数偶数进行化简求解法二直接采公错位相减法进行求时公 ．题意图考查数列概念性质求通项公式数列求基方法．
变式训练：
已知数列求．
解答
．
三解法结
1．数列求关键分析数列通项公式结构特征具体解决求问题中善数列通项入手观察数列通项公式结构特征变化规律根通项公式形式准确迅速选择方法形成抓通项寻规律定方法数列求思路解决类试题诀窍．
2．般非等差（）数列求题通常解题思路：果数列转化等差数列等数列公式法果数列项次数系数规律般错位相减法倒序相加法解决果项写成两项差般裂项法果求出通项拆项分组法果通项公式中含项分奇偶项求法．
四试牛刀
1．数列前项( )
A． B． C． D．
2．数列前项等( )
A． B． C． D．
3．数列中前项项数( )
A． B． C． D．
4．（2013纲）已知数列满足前项等( )
A． B． C． D．
5．设首项公等数列前项( )
A． B． C． D．
6．（2013新课标）设等差数列前项( )
A． B． C． D．
7． ．
8．已知数列前项 ．
9（2013江西）某住宅区计划植树少棵第天植棵天植树棵树前天倍需少天数等 ．
10 ．
11．(2013江苏）正项等数列中满足正整数 值 ．
12．正项数列前项满足
（1）求数列通项公式
（2）令数列前项证明意
参考答案：
1．B 2．B 3．C 4．C 5．D 6．C
7． 8． 9． 10
11．
值
12．（1）
正项数列
时
综数列通项
（2）证明
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