第六章 §6.1 数列的概念与简单表示法

§61　数列概念简单表示法
考试求　1解数列概念种简单表示方法(列表图象通项公式)2解数列变量正整数类特殊函数．

1．数列关概念
(1)数列定义：定次序排列列数作数列数列中数作数列项．
(2)数列通项公式
果数列{an}第n项n间关系式子表示成an＝f(n)公式作数列通项公式．
已知数列{an}前n项Snan＝
(3)数列递推公式
果数列相邻两项项间关系式子表示式子作数列递推公式．
2．数列函数
数列作定义域正整数集N＋(限子集)函数变量次取值时该函数应列函数值数列．
3．数列分类
分类标准
类型
满足条件
项数
穷数列
项数限
穷数列
项数限
项项间

关系
递增数列
an＋1>an
中n∈N＋
递减数列
an＋1常数列
an＋1＝an

4．数列表示法
数列三种表示法分列表法图象法解析法．
微思考
1．数列项项数概念？
提示　．数列项指数列中某确定数项数指数列项应位置序号．
2．数列作种特殊函数特殊性体现什方？
提示　体现定义域数列定义域正整数集N＋(限子集{123…n})．

题组　思考辨析
1．判断列结否正确(请括号中√×)
(1)数列通项公式唯．(　×　)
(2)数列第n项公式表达．(　×　)
(3)2222…构成数列．(　×　)
(4)果数列{an}前n项Sn意n∈N＋an＋1＝Sn＋1－Sn(　√　)
题组二　教材改编
2．数列…通项公式an＝________
答案　an＝n∈N＋
3．已知数列a1＝2an＝1－(n≥2)．a2 022＝________
答案　－1
解析　a1＝2a2＝1－＝a3＝1－2＝－1a4＝1＋1＝2数列{an}满足an＝an＋3a2 022＝a3＝－1
4．已知数列{an}通项公式an＝n2－λn＋1{an}递增数列实数λ取值范围________．
答案　(－∞3)
解析　题意an＋1>an(n＋1)2－λ(n＋1)＋1>n2－λn＋1
化简λ<2n＋1n∈N＋∴λ<3
题组三　易错纠
5．已知数列{an}前n项Sn＝－2n2＋1{an}通项公式an＝________
答案　
解析　n＝1时a1＝S1＝－1n≥2时an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋1＋2(n－1)2－1＝－4n＋2a1＝－1适合式an＝
6．an＝－n2＋9n＋10数列{an}前n项Sn时n值________．
答案　910
解析　Sn需数列中正数项相加需an>0－n2＋9n＋10>0
－1
题型 anSn关系求通项公式
1．已知数列{an}前n项Sn＝n2＋2nan＝________
答案　2n＋1
解析　n＝1时a1＝S1＝3n≥2时an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1a1＝3适合式∴an＝2n＋1
2．已知数列{an}中Sn前n项Sn＝2an＋1数列通项公式an＝________
答案　－2n－1
解析　n＝1时a1＝S1＝2a1＋1∴a1＝－1
n≥2时Sn＝2an＋1①
Sn－1＝2an－1＋1②
①－②Sn－Sn－1＝2an－2an－1an＝2an－2an－1
an＝2an－1(n≥2)∴{an}首项a1＝－1q＝2等数列．
∴an＝a1·qn－1＝－2n－1
3．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2nan＝________
答案　
解析　n＝1时a1＝21＝2
∵a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n①
∴a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－1(n≥2)②
①－②(2n－1)·an＝2n－2n－1＝2n－1
∴an＝(n≥2)．
显然n＝1时满足式∴an＝
4．设Sn数列{an}前n项a1＝－1an＋1＝SnSn＋1列结正确________．
①an＝
②an＝
③Sn＝－
④数列等差数列
答案　②③④
解析　∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn两边Sn＋1·Sn－＝－1∴－1首项d＝－1等差数列
＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n∴Sn＝－
n≥2时an＝Sn－Sn－1＝－＋＝
a1＝－1适合式∴an＝
思维升华　(1)已知Sn求an常方法利an＝转化关an关系式．
(2)Snan关系问题求解思路
方1：利an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化含SnSn－1关系式求解．
方2：利Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化含anan－1关系式求解．
题型二数列递推关系式求通项公式
命题点1　累加法
例1　数列{an}中a1＝2an＋1＝an＋lnan等(　　)
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
答案　A
解析　an＋1－an＝ln ＝ln(n＋1)－ln n
a2－a1＝ln 2－ln 1
a3－a2＝ln 3－ln 2
a4－a3＝ln 4－ln 3
……
an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)
式分相加an－a1＝ln n－ln 1
an＝2＋ln n(n≥2)a1＝2适合
an＝2＋ln n(n∈N＋)．
命题点2　累法
例2　已知数列{an}前n项Sn首项a1＝1满足3Sn＝(n＋2)anan＝________
答案　
解析　∵3Sn＝(n＋2)an①
3Sn－1＝(n＋1)an－1(n≥2)②
①－②3an＝(n＋2)an－(n＋1)an－1
＝
∴an＝···…··a1＝×××…××1＝
n＝1时满足an＝∴an＝
　例2中{an}满足2(n＋1)·a＋(n＋2)·an·an＋1－n·a＝0an>0a1＝1an＝____________
答案　n·2n－1
解析　2(n＋1)·a＋(n＋2)·an·an＋1－n·a＝0
n(2a＋an·an＋1－a)＋2an(an＋an＋1)＝0
∴n(an＋an＋1)(2an－an＋1)＋2an(an＋an＋1)＝0
(an＋an＋1)[(2an－an＋1)·n＋2an]＝0
an>0∴2n·an＋2an－n·an＋1＝0
∴＝
a1＝1∴n≥2时
an＝··…···a1
＝×××…×××1
＝2n－1·n
n＝1时a1＝1适合式∴an＝n·2n－1
思维升华　(1)根形an＋1＝an＋f(n)(f(n)求函数)递推关系式求通项公式时常累加法求出an－a1n关系式进an通项公式．
(2)根形an＋1＝an·f(n)(f(n)求积函数)递推关系式求通项公式时常累法求出n关系式进an通项公式．
踪训练1　(1)数列{an}中a1＝3an＋1＝an＋通项公式an＝________
答案　4－
解析　∵an＋1－an＝＝－
∴n≥2时an－an－1＝－
an－1－an－2＝－
……
a2－a1＝1－
∴式相加an－a1＝1－
∴an＝4－a1＝3适合式∴an＝4－
(2)已知a1＝2an＋1＝2nan数列{an}通项公式an＝________
答案　
解析　∵＝2n∴n≥2时＝2n－1＝2n－2
……
＝22＝2
∴an＝··…···a1
＝2n－1·2n－2·…·22·2·2
＝21＋2＋3＋…＋(n－1)·2
＝＝
a1＝2满足式
∴an＝
题型三数列性质
命题点1　数列单调性
例3　已知数列{an}通项公式an＝数列{an}递减数列实数k取值范围(　　)
A．(3＋∞) B．(2＋∞)
C．(1＋∞) D．(0＋∞)
答案　D
解析　an＋1－an＝－＝数列{an}递减数列知意n∈N＋an＋1－an＝<0
k>3－3n意n∈N＋恒成立k∈(0＋∞)．
思维升华　解决数列单调性问题三种方法
(1)作差较法根an＋1－an符号判断数列{an}递增数列递减数列常数列．
(2)作商较法根(an>0an<0)1关系进行判断．
(3)函数法．
命题点2　数列周期性
例4　(2020·广元联考)已知数列{an}an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)称数列{an}凸数列．已知数列{bn}凸数列b1＝1b2＝－2{bn}前2 022项(　　)
A．0 B．1 C．－5 D．－1
答案　A
解析　∵bn＋2＝bn＋1－bnb1＝1b2＝－2
∴b3＝b2－b1＝－2－1＝－3
b4＝b3－b2＝－1
b5＝b4－b3＝－1－(－3)＝2
b6＝b5－b4＝2－(－1)＝3
b7＝b6－b5＝3－2＝1
∴{bn}周期6周期数列
S6＝1－2－3－1＋2＋3＝0
∴S2 022＝S337×6＝0
思维升华　解决数列周期性问题
根出关系式求出数列干项通观察纳出数列周期进求关项值者前n项．
命题点3　数列值
例5　已知数列{an}满足a1＝28＝2值(　　)
A B．4－1　C D
答案　C
解析　an＋1－an＝2n累加an＝n2－n＋28
∴＝n＋－1
设f(x)＝x＋知f(x)(0]减少(＋∞)增加
n∈N＋＝<＝选C
思维升华　求数列项项常方法
(1)函数法利函数求值．
(2)利(n≥2)确定项利(n≥2)确定项．
(3)较法：an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0an＋1>an数列{an}递增数列数列{an}项a1an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0an＋1踪训练2　(1)已知数列{an}通项公式an＝数列(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
答案　A
解析　an＋1－an＝－＝>0∴an＋1>an∴选A
(2)已知数列{an}满足an＋2＝an＋1－ann∈N＋a1＝1a2＝2a2 021等(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案　A
解析　题意数列{an}满足an＋2＝an＋1－an
a1＝1a2＝2
n＝1时a3＝a2－a1＝2－1＝1
n＝2时a4＝a3－a2＝1－2＝－1
n＝3时a5＝a4－a3＝－1－1＝－2
n＝4时a6＝a5－a4＝－2－(－1)＝－1
n＝5时a7＝a6－a5＝－1－(－2)＝1
n＝6时a8＝a7－a6＝1－(－1)＝2
……
数列{an}6周期周期数列
a2 021＝a336×6＋5＝a5＝－2
选A
(3)数列{an}中an＝(n＋1)n数列{an}项第________项．
答案　67
解析　＝＝×≥1
n≤6n≤6时an＋1≥an
n>6时an＋1课时精练

1．已知数列前4项2020纳该数列通项(　　)
A．an＝(－1)n－1＋1 B．an＝
C．an＝2sin D．an＝cos(n－1)π＋1
答案　C
解析　n＝1234进行验证an＝2sin 合题意．
2．数列{an}满足a1＝1an＋1－an－1＝2nan等(　　)
A．2n＋n－2 B．2n－1＋n－1
C．2n＋1＋n－4 D．2n＋1＋2n－2
答案　A
解析　∵an＋1－an＝2n＋1
∴a2－a1＝21＋1a3－a2＝22＋1a4－a3＝23＋1…an－an－1＝2n－1＋1(n≥2)式相加
an－a1＝21＋…＋2n－1＋(n－1)
＝＋n－1＝2n＋n－3
∴an＝2n＋n－2选A
3．数列中果意n∈N＋anan＋1an＋2＝k(k常数)数列做等积数列k做数列公积．已知数列{an}等积数列a1＝1a2＝2公积8a1＋a2＋…＋a2 021等(　　)
A．4 711 B．4 712　C．4 714 D．4 715
答案　C
解析　题意知anan＋1an＋2＝8
意n∈N＋an≠0
a1a2a3＝8∴a3＝＝4
anan＋1an＋2＝8an＋1an＋2an＋3＝8
∴anan＋1an＋2＝an＋1an＋2an＋3
∴an＋3＝an
∵2 021＝3×673＋2
a1＋a2＋…＋a2 021＝673(a1＋a2＋a3)＋a1＋a2
＝673×7＋1＋2＝4 714
选C
4．已知数列{an}通项公式an＝n2－11n＋a5数列{an}项实数a取值范围(　　)
A．[－40－25] B．[－400]
C．[－2525] D．[－250]
答案　B
解析　已知条件a5数列{an}项

解
选B
5．已知数列{an}中前n项SnSn＝an值(　　)
A．－3 B．－1 C．3 D．1
答案　C
解析　∵Sn＝an
∴n≥2时an＝Sn－Sn－1＝an－an－1
化＝＝1＋
函数y＝区间(1＋∞)减少
n＝2时取值2
∴值3
6．已知数列{an}通项公式an＝a1·a2·…·an≤a1·a2·…·akn∈N＋恒成立正整数k值(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
答案　A
解析　an＝n≤5时an>1n≥6时an<1
题意知a1·a2·…·ak{an}前n项积值k＝5选A
7．数列{an}前n项Sn＝3n2－2n＋1数列{an}通项公式an＝________
答案　
解析　n＝1时a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2
n≥2时
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5显然n＝1时满足式．
数列{an}通项公式an＝
8．(2020·北京市昌区模拟)设数列{an}前n项Sn意n∈N＋an＋1>anSn≥S6请写出满足条件数列{an}通项公式an＝________
答案　n－6(n∈N＋)(答案唯)
解析　意n∈N＋an＋1>an数列{an}递增
意n∈N＋Sn≥S6S6
前6项均负数前5项负数第6项0
满足条件数列{an}通项公式an＝n－6(n∈N＋)(答案唯)．
9．已知数列{an}中a1a2a3·…·an＝n2(n∈N＋)a9＝________
答案　
解析　∵a1a2·…·a8＝82＝64①
a1·a2·…·a9＝92＝81②
②÷①a9＝
10．已知数列通项an＝(n∈N＋)数列{an}项第________项．
答案　5
解析　an＝数列{an}项必an<0<03n－16<0n11．已知数列{an}前n项Sn求数列{an}通项公式．
(1)Sn＝2n－1n∈N＋
(2)Sn＝2n2＋n＋3n∈N＋*
解　(1)∵Sn＝2n－1(n∈N＋)
∴n＝1时a1＝S1＝2－1＝1
n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1
检验n＝1时符合式
∴an＝2n－1(n∈N＋)．
(2)∵Sn＝2n2＋n＋3(n∈N＋)
∴n＝1时a1＝S1＝2×12＋1＋3＝6
n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n＋3－[2(n－1)2＋(n－1)＋3]＝4n－1
检验n＝1时符合式
∴an＝
12．数列{an}中an＝－2n2＋9n＋3
(1)－107该数列中某项？第项？
(2)求数列中项．
解　(1)令an＝－107－2n2＋9n＋3＝－1072n2－9n－110＝0
解n＝10n＝－(舍)．a10＝－107
(2)an＝－2n2＋9n＋3＝－22＋
n∈N＋项a2＝13

13．项均正数数列{an}中意mn∈N＋am＋n＝am·ana6＝64a9等(　　)
A．256 B．510　C．512 D．1 024
答案　C
解析　项均正数数列{an}中意mn∈N＋am＋n＝am·ana6＝a3·a3＝64a3＝8a9＝a6·a3＝64×8＝512
选C
14．已知数列{an}前n项Sn满足4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an数列{an}通项公式(　　)
A．(2n＋1)2－1 B．(2n＋1)2　C．8n2 D．(n＋1)3
答案　D
解析　4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an中
令n＝18(a1＋1)＝9a1a1＝8
4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an①
4n·(Sn－1＋1)＝(n＋1)2an－1(n≥2)②
①－②4an＝an－an－1
an＝an－1an＝an－1
an＝××…××a1
＝××…××8
＝(n＋1)3(n≥2)
a1＝8满足式
数列{an}通项公式(n＋1)3
选D

15．设数列{an}前n项Sn满足Sn＝(－1)nan＋S1＋S3＋S5等(　　)
A．0 B C D
答案　D
解析　数列{an}前n项Sn满足Sn＝(－1)nan＋
n偶数时Sn＝Sn－Sn－1＋
Sn－1＝S1＋S3＋S5＝＋＋＝
选D
16．已知数列{an}递增等数列a1＋a4＝9a2a3＝8设Sn数列{an}前n项数列前n项Tn等式λ≤Tn意n∈N＋恒成立求实数λ值．
解　∵数列{an}递增等数列
a1＋a4＝9a2a3＝8a1a4＝a2a3
∴a1a4方程x2－9x＋8＝0两根a1解方程x2－9x＋8＝0
a1＝1a4＝8
∴q3＝＝＝8解q＝2
∴an＝a1qn－1＝2n－1
∴Sn＝＝＝2n－1
令bn＝＝
＝－
∴数列{bn}前n项
Tn＝1－＋－＋－＋…＋－
＝1－正整数集增加
∴Tn≥T1＝
∵λ≤Tn切n∈N＋成立∴λ≤
∴实数λ值
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第六章 §6.1　数列的概念与简单表示法

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