高考数学难点突破_难点12__等差数列、等比数列的性质运用

难点12 等差数列等数列性质运
等差等数列性质等差等数列概念通项公式前n项公式引申应等差等数列性质解题回避求首项公差公问题整体解决够运算时达运算灵活方便快捷目直受重视高考中直重点考查部分容
●难点磁场
(★★★★★)等差数列{an}前n项30前2m项100求前3m项_________
●案例探究
［例1］已知函数f(x) (x<－2)
(1)求f(x)反函数f－1(x)
(2)设a11 －f－1(an)(n∈N*)求an
(3)设Sna12+a22+…+an2bnSn+1－Sn否存正整数m意n∈N*bn<成立？存求出m值存说明理
命题意图：题道函数数列关综合性题目着重考查学生逻辑分析力属★★★★★级题目
知识托：题融合反函数数列递推公式等差数列基问题数列函数单调性等知识炉结构巧妙形式新颖道精致综合题
错解分析：题首问考查反函数反函数定义域原函数值域易错点(2)问数列{}桥梁求an易突破
技巧方法：(2)问式子4构造等差数列{}求an鸡生蛋求数列通项常技巧(3)问运函数思想
解：(1)设y∵x<－2∴x－
yf－1(x)－ (x>0)
(2)∵
∴{}公差4等差数列
∵a11 +4(n－1)4n－3∵an>0∴an
(3)bnSn+1－Snan+12bn
设g(n) ∵g(n) n∈N*减函数
∴g(n)值g(1)5∴m>5存正整数m6意n∈N*bn<成立
［例2］设等数列{an}项均正数项数偶数项等偶数项4倍第二项第四项积第3项第4项9倍问数列{lgan}前少项？(lg203lg304)
命题意图：题考查等数列基性质数运算法等差数列等数列间联系运算分析力属★★★★★级题目
知识托：题须利等数列通项公式前n项公式合理转化条件求出an进利数运算性质明确数列{lgan}等差数列分析该数列项分布规律解
错解分析：题设条件中关系项关系条件正确转化关键计算易出错数运算性质易混淆方
技巧方法：突破题关键明确等数列项数构成等差数列等差数列中前n项值定该数列中前面正数面负数然正数外等差数列Snn二次函数函数解析式求值
解法：设公q项数2mm∈N*题意

化简
设数列{lgan}前n项Sn
Snlga1+lga1q2+…+lga1qn－1lga1n·q1+2+…+(n－1)
nlga1+n(n－1)·lgqn(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3
(－)·n2+(2lg2+lg3)·n
见n时Sn
5{lgan}前5项
解法二：接前lganlg［108()n－1］lg108+(n－1)lg
∴数列{lgan}lg108首项lg公差等差数列令lgan≥02lg2－(n－4)lg3≥0∴n≤55
n∈N*见数列{lgan}前5项
●锦囊妙计
1等差等数列性质两种数列基规律深刻体现解决等差等数列问题快捷方便工具应意识应
2应性质时注意性质前提条件时需进行适变形
3巧性质减少运算量等差等数列计算中非常重基量法树立目标意识需什求什充分合理运条件时刻注意题目标取巧性质解题相效果
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)等数列{an}首项a1－1前n项SnSn等( )
C2 D－2
二填空题
2(★★★★)已知aba+b成等差数列abab成等数列03(★★★★)等差数列{an}2n+1项中奇数项319偶数项290中间项_________
4(★★★★)已知abc成等数列果axbbyc成等差数列_________
三解答题
5(★★★★★)设等差数列{an}前n项Sn已知a312S12>0S13<0
(1)求公差d取值范围
(2)指出S1S2…S12中值说明理
6(★★★★★)已知数列{an}等差数列公差d≠0{an}中部分项组成数列
aa…a…等数列中b11b25b317
(1)求数列{bn}通项公式
(2)记TnCb1+Cb2+Cb3+…+Cbn求
7(★★★★)设{an}等差数列{bn}等数列a1b11a2+a4b3b2·b4a3分求出{an}{bn}前n项S10T10
8(★★★★★){an}等差数列公差d≠0an≠0(n∈N*)akx2+2ak+1x+ak+20(k∈N*)
(1)求证：k取然数时方程公根
(2)方程根次x1x2…xn…求证：数列等差数列
参考答案
难点磁场
①

②
解法：Sm30S2m100代入Snna1+d：


解法二：知求S3m需求m［a1+］②－①ma1+ d70∴S3m210
解法三：等差数列{an}前n项公式知Sn关n二次函数SnAn2+Bn(AB常数）Sm30S2m100代入
∴S3mA·(3m)2+B·3m210
解法四：S3mS2m+a2m+1+a2m+2+…+a3mS2m+(a1+2md)+…+(am+2md)S2m+(a1+…+am)+m·2mdS2m+Sm+2m2d
解法知d代入S3m210
解法五：根等差数列性质知：SmS2m－SmS3m－S2m成等差数列：2(S2m－Sm)Sm+(S3m－S2m)
∴S3m3(S2m－Sm)210
解法六：∵Snna1+d
∴a1+d
∴点(n )直线y+a1串点三点(m)(2m )(3m )线易S3m3(S2m－Sm)210
解法七：令m1S130S2100a130a1+a2100∴a130a270
∴a370+(70－30)110
∴S3a1+a2+a3210
答案：210
歼灭难点训练
1解析：利等数列性质题意a1－1q≠1
∴根等数列性质知S5S10－S5S15－S10…成等数列公q5∴q5－q－
∴
答案：B
二2解析：解出ab解数等式
答案：(－∞8)
3解析：利S奇S偶解
答案：第11项a1129
4解法：赋值法
解法二：
baqcaq2x(a+b)a(1+q)y(b+c)aq(1+q)
2
答案：2
三5(1)解：题意：
解公差d取值范围－＜d＜－3
(2)解法：d＜0知a1>a2>a3>…>a12>a13S1S2…S12中Sk值条件：ak≥0ak+1＜0
∵a312∴∵d＜0∴2－＜k≤3－
∵－＜d＜－3∴＜－＜455＜k＜7
k正整数k6S1S2…S12中S6
解法二：d＜0a1>a2>…>a12>a131≤k≤12中然数kak≥0
ak+1＜0SkS1S2…S12中值等差数列性质mnpq∈N*m+np+q时am+anap+aq：2a7a1+a13S13＜0∴a7＜0a7+a6a1+a12S12>0∴a6≥－a7>0S1S2…S12中S6
解法三：题意：
时Sn
∵－＜d＜－3∴6＜(5－)＜65正整数中n6时［n－ (5－)］2S6
点评：该题第(1)问通建立等式组求解属基求难度高入手容易第(2)问难度较高求{Sn}中值Sk1≤k≤12思路知道Sk值充条件ak≥0ak+1＜0思路三视Snn二次函数助配方法求解考查等价转化数学思想逻辑思维力计算力较体现高考试题注重力考查特点思路二通等差数列性质等性探寻数列分布规律找出分水岭解
6解：(1)题意知a52a1·a17(a1+4d)2a1(a1+16d)a1d2d2
∵d≠0∴a12d数列{}公q3
∴a1·3n－1 ①
a1+(bn－1)d ②
①②a1·3n－1·a1∵a12d≠0∴bn2·3n－1－1
(2)TnCb1+Cb2+…+CbnC (2·30－1)+C·(2·31－1)+…+C(2·3n－1－1)(C+C·32+…+C·3n)－(C+C+…+C)［(1+3)n－1］－(2n－1) ·4n－2n+

7解：∵{an}等差数列{bn}等数列∴a2+a42a3b2·b4b32
已知a2+a4b3b2·b4a3∴b32a3a3b32
b32b32∵b3≠0∴b3a3
a11a3知{an}公差d－
∴S1010a1+d－
b11b3知{bn}公qq－

8证明：(1）∵{an}等差数列∴2ak+1ak+ak+2方程akx2+2ak+1x+ak+20变(akx+ak+2)(x+1)0
∴k取然数时原方程公根－1
(2）原方程根xk





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