第二章元二次函数方程等式
23二次函数元二次方程等式
232 二次函数元二次方程等式应
目标1理解三二次关系会解元二次等式关恒成立问题
2实际问题中建立元二次等式模型会应解决实际问题
重点利元二次等式解诀恒成立问题实际问题
难点实际问题中建立元二次等式模型
点整合夯基础
知识点简单分式等式解法
填填
关项式等式（）称分式等式
解分式等式总原利等式解原理转化理整式等式（组）求解
（1）
（2）
（3）
（4）
答答
1等式解集
答案：
解析：
原等式化原等式解集
2等式解集
答案：
解析：
原等式解等式解集
答答
3等式恒成立写出成立等价条件？
提示：
知识点三 元二次等式实际应
填填
元二次等式应题解题关键 文字语言 换成 数学语言 实际问题转换成 数学问题
时注意问题答案实际意义增强解决问题信心问题表面形式迷惑
答答
4解等式应题解题步骤什？
提示：（1）阅读理解认真审题握问题中关键量找准等关系
（2）引入数学符号等式表示等关系（表示成函数关系）
（3）解等式（求函数值）
（4）回扣实际问题
典例讲练破题型
类型 简单分式等式解法
例1解列等式
（1）（2）
分析等价转化元二次等式元次等式组
解（1）∵
∴原等式解集
（2）方法：原等式化
∴原等式解集
方法二：原等式化
∴原等式解集
通法提炼
（1）较简单分式等式直接转化元二次等式元二次等式组求解注意分母零
（2）等号右边零较复杂分式等式先移项通分（分母）转化等号右边零然述方法求解
变式训练1（1）列选项中等式成立取值范围（ ）
A
B
C
D
答案：
A
（2）等式：解集
答案：
解析：（1）
解
（2）原等式化解原等式解集
类型二等式恒成立问题
命题视角1：元二次等式实数集恒成立
问题 例2关等式解集求实数取值范围
分析
解（1）时
等式变化解集
等式变解集∴时满足条件
（2）时原等式解集条件
解
综述时圆等式解集
通法提炼
等式意恒成立
等式意恒成立
变式训练2等式切恒成立取值范围
答案：
解析：
时等式恒成立解集∴满足条件
时原等式解集时满足解
综述取值范围
命题视角2：元二次等式某特定范围恒成立问题
例3知恒成立求取值范围
分析
含参数函数某特定范围函数值恒等等常数问题通常利函数值转化
解恒成立转化：
解取值范围
通法提炼
型等式恒成立问题中基类型恒成立（存值）恒成立（存值）
变式训练3等式恒成立求实数取值范围
解：等式恒成立
①时等式恒成立时
②时
∵∴
∴（仅时取等号）∴
综实数取值范围
类型三 元二次等式实际应
例4某农贸公司担元价格收购某农产品元纳税元（称征税率百分点）计划收购万担政府鼓励收购公司收购种农产品决定征税率降低百分点预测收购量增加百分点
（1）写出降税税收（万元）函数关系式
（2）项税收税率调节少原计划税收试确定取值范围
解（1）降低税率税率农产品收购量万担收购总金额万元
题意
（2）原计划税收（万元）
题意
化简解
取值范围
通法提炼
解等式应题步骤
变式训练4某商品件成价元售价元天售出件售价降低成（成）售出商品数量增加成求售价低成价
（1）设该商品天销售额元试求间函数关系式写出取值范围
（2）求该商品天销售额少元求取值范围
解：（1）售价降低成降低商品售价元售出商品数量件题意间函数关系式
售价低成低解
取值范围
（2）题意化简解
取值范围
课堂达标练典
1集合（ ）
A
B
C
D
答案：
B
解析：
∵∴
2已知等式解集空集取值范围（ ）
A
B
C
D
答案：
A
解析：
题意应解选A
3等式解集
答案：
解析：
4已知函数意实数取值范围
答案：
解析：
根题意解
5已知时等式恒成立求取值范围
答案：
见解析
解析：
∵时恒成立
∴时恒成立
令
∵称轴方程
∴∴
∴取值范围
课堂结
——课须掌握四问题
1较简单分式等式直接转化元二次等式元二次等式组求解注意分母零等号右边零较复杂分式等式先移项通分（分母）转化等号右边零然述方法求解
2恒成立问题分离参数种行效方法参数予分离问题会转化函数问题迅速解决然必须参数容易分离作前提分离参数时常述简单结：（1）恒成立（2）恒成立台
3解元二次等式应题关键构造元二次等式模型选择中起关键作未知量表示未知量根题意列出等关系求解
4元二次方程根分布问题注意数形结合开口方称轴位置判式等方面考虑
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侵权予删
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23二次函数元二次方程等式
232 二次函数元二次方程等式应
目标1理解三二次关系会解元二次等式关恒成立问题
2实际问题中建立元二次等式模型会应解决实际问题
重点利元二次等式解诀恒成立问题实际问题
难点实际问题中建立元二次等式模型
点整合夯基础
知识点简单分式等式解法
填填
关项式等式（）称分式等式
解分式等式总原利等式解原理转化理整式等式（组）求解
（1）
（2）
（3）
（4）
答答
1等式解集
答案：
解析：
原等式化原等式解集
2等式解集
答案：
解析：
原等式解等式解集
答答
3等式恒成立写出成立等价条件？
提示：
知识点三 元二次等式实际应
填填
元二次等式应题解题关键 文字语言 换成 数学语言 实际问题转换成 数学问题
时注意问题答案实际意义增强解决问题信心问题表面形式迷惑
答答
4解等式应题解题步骤什？
提示：（1）阅读理解认真审题握问题中关键量找准等关系
（2）引入数学符号等式表示等关系（表示成函数关系）
（3）解等式（求函数值）
（4）回扣实际问题
典例讲练破题型
类型 简单分式等式解法
例1解列等式
（1）（2）
分析等价转化元二次等式元次等式组
解（1）∵
∴原等式解集
（2）方法：原等式化
∴原等式解集
方法二：原等式化
∴原等式解集
通法提炼
（1）较简单分式等式直接转化元二次等式元二次等式组求解注意分母零
（2）等号右边零较复杂分式等式先移项通分（分母）转化等号右边零然述方法求解
变式训练1（1）列选项中等式成立取值范围（ ）
A
B
C
D
答案：
A
（2）等式：解集
答案：
解析：（1）
解
（2）原等式化解原等式解集
类型二等式恒成立问题
命题视角1：元二次等式实数集恒成立
问题 例2关等式解集求实数取值范围
分析
解（1）时
等式变化解集
等式变解集∴时满足条件
（2）时原等式解集条件
解
综述时圆等式解集
通法提炼
等式意恒成立
等式意恒成立
变式训练2等式切恒成立取值范围
答案：
解析：
时等式恒成立解集∴满足条件
时原等式解集时满足解
综述取值范围
命题视角2：元二次等式某特定范围恒成立问题
例3知恒成立求取值范围
分析
含参数函数某特定范围函数值恒等等常数问题通常利函数值转化
解恒成立转化：
解取值范围
通法提炼
型等式恒成立问题中基类型恒成立（存值）恒成立（存值）
变式训练3等式恒成立求实数取值范围
解：等式恒成立
①时等式恒成立时
②时
∵∴
∴（仅时取等号）∴
综实数取值范围
类型三 元二次等式实际应
例4某农贸公司担元价格收购某农产品元纳税元（称征税率百分点）计划收购万担政府鼓励收购公司收购种农产品决定征税率降低百分点预测收购量增加百分点
（1）写出降税税收（万元）函数关系式
（2）项税收税率调节少原计划税收试确定取值范围
解（1）降低税率税率农产品收购量万担收购总金额万元
题意
（2）原计划税收（万元）
题意
化简解
取值范围
通法提炼
解等式应题步骤
变式训练4某商品件成价元售价元天售出件售价降低成（成）售出商品数量增加成求售价低成价
（1）设该商品天销售额元试求间函数关系式写出取值范围
（2）求该商品天销售额少元求取值范围
解：（1）售价降低成降低商品售价元售出商品数量件题意间函数关系式
售价低成低解
取值范围
（2）题意化简解
取值范围
课堂达标练典
1集合（ ）
A
B
C
D
答案：
B
解析：
∵∴
2已知等式解集空集取值范围（ ）
A
B
C
D
答案：
A
解析：
题意应解选A
3等式解集
答案：
解析：
4已知函数意实数取值范围
答案：
解析：
根题意解
5已知时等式恒成立求取值范围
答案：
见解析
解析：
∵时恒成立
∴时恒成立
令
∵称轴方程
∴∴
∴取值范围
课堂结
——课须掌握四问题
1较简单分式等式直接转化元二次等式元二次等式组求解注意分母零等号右边零较复杂分式等式先移项通分（分母）转化等号右边零然述方法求解
2恒成立问题分离参数种行效方法参数予分离问题会转化函数问题迅速解决然必须参数容易分离作前提分离参数时常述简单结：（1）恒成立（2）恒成立台
3解元二次等式应题关键构造元二次等式模型选择中起关键作未知量表示未知量根题意列出等关系求解
4元二次方程根分布问题注意数形结合开口方称轴位置判式等方面考虑
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