学 目 标
核 心 素 养
1掌握等式性质.(重点)
2.利等式性质进行数式较等式证明.(难点)
3.通类等式等式性质探索两者间性差异
1通等式性质判断证明培养逻辑推理力.
2.助等式性质求范围问题提升数学运算素养
1.等式性质
(1) 性质1 果a=bb=a
(2) 性质2 果a=bb=ca=c
(3) 性质3 果a=ba±c=b±c
(4) 性质4 果a=bac=bc
(5) 性质5 果a=bc≠0=
2.等式基性质
(1)称性:a>b⇔b<a
(2)传递性:a>bb>c⇒a>c
(3)加性:a>b⇔a+c>b+c
(4)性:a>bc>0⇒ac>bca>bc<0⇒ac<bc
(5)加法法:a>bc>d⇒a+c>b+d
(6)法法:a>b>0c>d>0⇒ac>bd
(7)方法:a>b>0⇒an>bn>0(n∈Nn≥2).
1.a>bc>d列等关系中定成立( )
A.a-b>d-c B.a+d>b+c
C.a-c>b-c D.a-c<a-d
B [根等式性质.]
2.a>b等价等式( )
A.|a|>|b| B.a2>b2
C>1 D.a3>b3
D [利赋值法.令a=-5b=0AB正确满足a>b令a=-3b=-1C正确满足a>b选D]
3.设xA.x2
C.x2
B [∵xa2∵x2-ax=x(x-a)>0∴x2>axax-a2=a(x-a)>0∴ax>a2∴x2>ax>a2]
利等式性质判断命题真假
例1 实数abc列命题中真命题( )
A.a>bac2>bc2
B.a>b>0>
C.a<b<0>
D.a>b>a>0b<0
[思路点拨] 题利等式性质直接判断命题真假采特殊值法判断.
D [法:∵c2≥0∴c=0时
ac2=bc2A假命题
a>b>0ab>0⇒>⇒>
B假命题
⇒>
C假命题
ab<0
∵a>b∴a>0b<0D真命题.
法二:特殊值排法.
取c=0ac2=bc2A错.
取a=2b=1==1
<B错.取a=-2b=-1
==2<C错.]
运等式性质判断时注意等式成立条件弱化条件尤想然意捏造性质解关等式选择题时采特殊值法进行排注意取值定遵循原:满足题设条件二取值简单便验证计算
1.列命题正确( )
A.a2>b2a>b
B.>a<b
C.ac>bca>b
D.<a<b
D [A错例(-3)2>22B错例>C错例c=-2a=-3b=2时ac>bca<b]
利等式性质证明简单等式
例2 a>b>0c<d<0e<0求证:>
[思路点拨] 结合等式基性质分析证等式结构理导出证明结果.
[证明] ∵c<d<0∴-c>-d>0
∵a>b>0∴a-c>b-d>0
∴(a-c)2>(b-d)2>0
两边
<
e<0∴>
例条件变情况求证:>
[证明] ∵c<d<0∴-c>-d>0
∵a>b>0∴a-c>b-d>0
∴0<<
∵e<0∴>
利等式性质证明等式注意事项
(1)利等式性质推证明等式解决类问题定理解基础记准记熟等式性质注意解题中灵活准确加应
(2)应等式性质进行推导时应注意紧扣等式性质成立条件省略条件跳步推导更意构造性质法
2.已知a>be>fc>0求证:f-ac
∵e>f∴e+ac>f+bc
∴e-bc>f-ac∴f-ac
[探究问题]
1.明学做题时进行变形:
∵2∴<<
∵-6∴-2<<4
认正确?什?
提示:正确.等式两边正数等号方变负数等号方改变题中知道-62.-6提示:正确.等式具加性.相减解题时充分利条件运等式性质进行等价变形意创造性质.
3.知道面推理变形错?
∵2∴-4∵-2∴0∴-3-2提示:利等式范围确定某等式范围注意:等式两边相加(相)种转化等价变形.题中2例3 已知1<a<42<b<8试求a-b取值范围.
[思路点拨] 等式性质找-b范围进求出a-b取值范围.
[解] 1<a<42<b<8
-8<-b<-2
1-8<a-b<4-2
-7<a-b<2
<<<<=2
<<2
求含字母数(式子)取值范围时注意题设中条件二正确等式性质尤两方等式加减
3.已知-≤α<β≤求取值范围.
[解] ∵已知-≤α<β≤
∴-≤<-<≤
两式相加-<<
∵-<≤
∴-≤-<
∴-≤<
知α<β∴<0
-≤<0
1.应等式性质时定搞清成立前提条件强化弱化成立条件.
2.注意箭头单双说条性质否具逆性
1.思考辨析
(1)a>bac>bc定成立.( )
(2)a+c>b+da>bc>d( )
[提示] (1)错误.等式性知等式两端正数时等号方变a>bac>bc定成立.
(2)错误.取a=4c=5b=6d=2满足a+c>b+d满足a>b
[答案] (1)× (2)×
2.果a>b>0c>d>0列等式中正确( )
A.a-d>b-c B.-<-
C.a+d>b+c D.ac>bd
C [已知等式性质a+c>b+d
a-d>b-cA正确
c>d>0>>0
a>b>0>-<-B正确
显然D正确正确选项C]
3.-1<α<β<1列式中恒成立( )
A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1
C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1
A [-1<α<1-1<β<1
-1<-β<1
∴-2<α-β<2α<β
知-2<α-β<0]
4.bc-ad≥0bd>0求证:≤
[证明] bc-ad≥0ad≤bc
bd>0≤+1≤+1≤
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