专题五 利导数证明函数等式（二）
专题总结利导数证明含两未知数函数等式常见方法希学收获提升利导数证明函数等式力．
模块1 整理方法 提升力
两未知数函数等式问题关键两未知数化未知数常见证明方法4种：
方法1：利换元法化未知数
方法2：利未知数间关系消元化未知数
方法3：分离未知数构造函数利函数单调性证明
方法4：利元法构造函数证明
数均值等式链
两正数数均值定义：数均值等式链：．
数均值等式链指数形式：中．
例1
已知函数．
（1）讨单调性
（2）存两极值点证明：．
解析（1）定义域．
①递减．
②时递减．
③时递减递增．
综述时递减时递减递增．
证明（2）法1：（1）知存两极值点．两极值点满足妨设．
．构造函数（1）知递减等式获证．
法2：（1）知存两极值点．两极值点满足妨设．
．
设构造函数递增命题获证．
法3：仿法1令构造函数（1）知递减等式获证．
点评间关系利关系式等式进行消元化含未知数等式．法1消留法2消留证等式等价该等式含法1法2简单．
等价等式容易联想数均值等式等式进步改造通换元化含未知数等式．
例2
已知函数．
（1）设讨曲线曲线（）公点数
（2）设较说明理．
解析（1）公点数等价公点数．令递减递增值．时时．
时没公点没公点时公点公点时两公点两公点．
（2）结：证明．
法1：
．令证．构造函数递增．命题获证．
法2：
．令证该等式等价．
构造函数令递增递增．命题获证．
法3：．令等式
令等式关常等式命题获证．
点评第（2）问等式含两未知数解题思路利换元法两未知数化未知数常见换元手法．证等式数均值等式指数形式法3通换元转化数均值等式进行证明．
例3
已知函数．
（1）讨函数单调性
（2）设果意求取值范围．
解析（1）定义域．．
时递增时递减时递增递减．
（2）妨设（1）知递减意等价意．
法1：（分离未知数构造函数）．
构造函数需证明减函数．
减函数恒成立
．令．递减递增时值取值范围．
法2：（元法）元构造函数（）
．令开口方称轴抛物线．
①时递减．
②时两根妨设．．意妨设递减递增成立．
综述取值范围．
点评二元等式三种方法解决分离未知数构造函数进利函数单调性进行证明二利换元法二元化元三中元成元进求导法1分离未知数构造函数法法2元法．
例4
已知函数两零点．
（1）求取值范围
（2）设两零点证明：．
解析（1）法1：两零点等价两交点．递增递减．时时时时．时两交点取值范围．
法2：．
①时零点．
②时递减递增．时两零点．
③时．
（i）时递增递减．没两零点．
（ii）时恒成立递增没两零点．
（iii）时递增递减．
时没两零点．
综述取值范围．
证明（2）法1：（极值点偏移）构造函数
（）令递增．
妨设（1）知．递减．
法2：（极值点偏移）构造函数（）递增．
妨设（1）知．递增．
点评函数区间极值点方程解分极值函数极值点左右增减速度函数图象具称性常常极值点情况出现极值点偏移．极值点偏移问题解题循着处理策略：
①构造元差函数
②差函数求导判断函数符号确定单调性
③结合判断符号确定关系
④（）结合单调性（）（）．
模块2 练巩固 整合提升
练1：已知函数图象点（然数底数）处切线斜率．
（1）求实数值
（2）意恒成立求值
（3）时证明：．
解析（1）．
（2）（1）知意恒成立意恒成立．
时猜想值面进行证明．
令递减递增命题获证整数值．
证明（3）
．
法1：（分离未知数构造函数）
．
构造函数令恒成立递增恒成立
递增．等式获证．
法2：（元法）元构造函数．函数递增．
等式获证．
练2：已知函数．
（1）求函数值
（2）设证明：．
解析（1）函数定义域．递增递减时值值．
证明（2）元构造函数．
设中．增函数．．
设中．时减函数．
综述．
练3：设函数两零点．
（1）求实数取值范围
（2）证明：．
解析（1）两零点两交点．递增递减．时时实数取值范围．
证明（2）法1：（化二元元）题意．
令式等价关常等式证明：构造递增命题获证．
法2：（化二元元）题意设
法1．
法3：（极值点偏移）令函数两零点该问题极值点偏移问题极值点需改问题转化极值点偏移问题．
递增递减．
构造函数（）递增．递减命题获证．
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专题总结利导数证明含两未知数函数等式常见方法希学收获提升利导数证明函数等式力．
模块1 整理方法 提升力
两未知数函数等式问题关键两未知数化未知数常见证明方法4种：
方法1：利换元法化未知数
方法2：利未知数间关系消元化未知数
方法3：分离未知数构造函数利函数单调性证明
方法4：利元法构造函数证明
数均值等式链
两正数数均值定义：数均值等式链：．
数均值等式链指数形式：中．
例1
已知函数．
（1）讨单调性
（2）存两极值点证明：．
解析（1）定义域．
①递减．
②时递减．
③时递减递增．
综述时递减时递减递增．
证明（2）法1：（1）知存两极值点．两极值点满足妨设．
．构造函数（1）知递减等式获证．
法2：（1）知存两极值点．两极值点满足妨设．
．
设构造函数递增命题获证．
法3：仿法1令构造函数（1）知递减等式获证．
点评间关系利关系式等式进行消元化含未知数等式．法1消留法2消留证等式等价该等式含法1法2简单．
等价等式容易联想数均值等式等式进步改造通换元化含未知数等式．
例2
已知函数．
（1）设讨曲线曲线（）公点数
（2）设较说明理．
解析（1）公点数等价公点数．令递减递增值．时时．
时没公点没公点时公点公点时两公点两公点．
（2）结：证明．
法1：
．令证．构造函数递增．命题获证．
法2：
．令证该等式等价．
构造函数令递增递增．命题获证．
法3：．令等式
令等式关常等式命题获证．
点评第（2）问等式含两未知数解题思路利换元法两未知数化未知数常见换元手法．证等式数均值等式指数形式法3通换元转化数均值等式进行证明．
例3
已知函数．
（1）讨函数单调性
（2）设果意求取值范围．
解析（1）定义域．．
时递增时递减时递增递减．
（2）妨设（1）知递减意等价意．
法1：（分离未知数构造函数）．
构造函数需证明减函数．
减函数恒成立
．令．递减递增时值取值范围．
法2：（元法）元构造函数（）
．令开口方称轴抛物线．
①时递减．
②时两根妨设．．意妨设递减递增成立．
综述取值范围．
点评二元等式三种方法解决分离未知数构造函数进利函数单调性进行证明二利换元法二元化元三中元成元进求导法1分离未知数构造函数法法2元法．
例4
已知函数两零点．
（1）求取值范围
（2）设两零点证明：．
解析（1）法1：两零点等价两交点．递增递减．时时时时．时两交点取值范围．
法2：．
①时零点．
②时递减递增．时两零点．
③时．
（i）时递增递减．没两零点．
（ii）时恒成立递增没两零点．
（iii）时递增递减．
时没两零点．
综述取值范围．
证明（2）法1：（极值点偏移）构造函数
（）令递增．
妨设（1）知．递减．
法2：（极值点偏移）构造函数（）递增．
妨设（1）知．递增．
点评函数区间极值点方程解分极值函数极值点左右增减速度函数图象具称性常常极值点情况出现极值点偏移．极值点偏移问题解题循着处理策略：
①构造元差函数
②差函数求导判断函数符号确定单调性
③结合判断符号确定关系
④（）结合单调性（）（）．
模块2 练巩固 整合提升
练1：已知函数图象点（然数底数）处切线斜率．
（1）求实数值
（2）意恒成立求值
（3）时证明：．
解析（1）．
（2）（1）知意恒成立意恒成立．
时猜想值面进行证明．
令递减递增命题获证整数值．
证明（3）
．
法1：（分离未知数构造函数）
．
构造函数令恒成立递增恒成立
递增．等式获证．
法2：（元法）元构造函数．函数递增．
等式获证．
练2：已知函数．
（1）求函数值
（2）设证明：．
解析（1）函数定义域．递增递减时值值．
证明（2）元构造函数．
设中．增函数．．
设中．时减函数．
综述．
练3：设函数两零点．
（1）求实数取值范围
（2）证明：．
解析（1）两零点两交点．递增递减．时时实数取值范围．
证明（2）法1：（化二元元）题意．
令式等价关常等式证明：构造递增命题获证．
法2：（化二元元）题意设
法1．
法3：（极值点偏移）令函数两零点该问题极值点偏移问题极值点需改问题转化极值点偏移问题．
递增递减．
构造函数（）递增．递减命题获证．
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