专题二 函数零点问题
函数零点作函数方程图象交汇点充分体现函数方程联系蕴含丰富数形结合思想．诸方程根问题存性问题交点问题等终转化函数零点问题进行处理函数零点问题成年高考新生长点热点形式逐渐样化备受青睐．
模块1 整理方法 提升力
函数零点问题解题策略般转化两函数图象交点．
两函数选择3种情况：曲斜曲两曲（凸性般相反）．中曲情况常见．
分离参数法处理零点问题常见方法质选择曲两函数部分题目直接考虑函数图象轴交点情况质选择曲两函数部分题目利零点存性定理结合函数单调性处理零点质选择曲两函数．
函数凸性
1．凸函数定义
设函数定义区间函数意两点总仅时取等号称凸函数．
2．凸函数定义
设函数定义区间函数意两点总仅时取等号称凸函数．
3．凸函数相关定理
定理：设函数区间导函数凸函数
递增函数子区间恒零．
4．凸函数相关定理
定理：设函数区间导函数凸函数递减函数子区间恒零．
例1
已知函数．
（1）讨单调性
（2）两零点求取值范围．
解析（1）．
①时递减．
②时递减递增．
（2）法1：①时（1）知递减两零点．
②时令递增时没两零点．
时零点零点．
综述取值范围．
法2：．令令递增
时时
时时
递增递减．时
时．两零点两交点取值范围．
法3：设
令
令
递增时
时
递增递减．时时．两零点两交点取值范围．
法4：设
．令两零点等价两交点．递增递减时．斜率定点直线．
相切时候设切点
消
．令
显然增函数时切点斜率．两交点时取值范围．
法5：令两零点图象两交点．
两函数图象交点．令递减
递增
相切点切点外图象总图象方．
（1）知．
时图象点横坐标固定动坐标变原倍图象时图象没交点．时图象图象时图象1交点．时图象点横坐标固定动坐标变原倍图象时图象两交点．
综述取值范围．
法6：令两零点图象两交点．
递增递减时．
（1）知凸函数
凸函数．相切时设切点
消．令显然增函数时切点．图象两交点时取值范围．
点评函数零点问题解题策略转化两函数图象交点三种方式中（曲斜曲两曲）常见曲．法1直接考虑函数图象轴交点情况法2分离参数法法3换元3种方法质曲中法3指数换成数然没法2简单提示某函数许通换元降低函数解决难度．法4斜曲情况直线曲线相切时值重分界值．法5法6两曲情况法6法5简单原法5两曲凸性相法6两曲凸性相反．
函数零点问题函数图象说明求高解法2中先增减极值状态会影响取值范围必须说清楚两趋势情况终答案．
例2
设函数设．
（1）求
（2）证明：仅零点（记）．
解析（1）…①．
…②①②
．
证明（2）零点存性定理知少存零点．递增零点．
．．
点评函数满足两条件：连续断零点存性定理函数少1零点．零点存性定理高中阶段较弱定理首先该定理两条件缺次算满足两条件零点结究竟少零点确定．零点存性定理常单调性综合处理函数零点问题种方法．
例3
已知函数．
（1）设极值点求讨单调性
（2）时证明：．
解析（1）极值点解．定义域递增
时时递减递增．
证明（2）法1：定义域递增．时时唯实根时时递减递增时取值．
．时时等号成立条件显然等号成立．
综述时．
法2：时证明证明时．
递增．唯实根．时时递减递增时取值．
．．
综述时．
法3：时证明（）证明时．
（）（）（）两等号时成立（）时．
点评法1法2中出现具体数值法求解求出范围种零点称隐性零点．法2法1简单利函数单调性命题加强转化研究特例函数问题降低题目难度．
法2中表达式涉超越式值计算需隐性零点满足式子进行变形两式子然进行反代超越式转化初等式．反代处理隐性零点问题常策略．
法3关常等式证明程相快捷简单．凸性相反寻找两函数公切线实现隔离放缩事实两函数公切线．（等式证明问题详见专题四）
模块2 练巩固 整合提升
练1：设函数．
（1）讨导函数零点数
（2）证明：时．
解析（1）定义域．
零点数根数交点数．
递增时时没交点时交点．
综述时零点数时零点数．
证明（2）（1）知唯零点时时递减递增时取值值．
．
练2：设函数（常数然数底数）．
（1）时求函数单调区间
（2）函数存两极值点求取值范围．
解析（1）函数定义域
．时时时．递减区间递增区间．
（2）函数存两极值点两根．
法1：问题两根．设．
时递增存两根．
时值
．两根解．
综述取值范围．
法2：问题两根两交点．
时时．时．画出图象知两交点取值范围．
练3：已知函数直线：点曲线相切．
（1）求切线方程
（2）等式恒成立求值
（3）设函数唯零点求证：．
解析（1）设直线函数相切点切线方程切线点解切线方程．
（2）设．时时时取极值值．原等式成立值．
证明（3）题设条件知函数（）令单调递增．时
时唯实根设时时唯极值值．时时．函数唯零点充条件值（）．设单调递增零点存性定理知．
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函数零点作函数方程图象交汇点充分体现函数方程联系蕴含丰富数形结合思想．诸方程根问题存性问题交点问题等终转化函数零点问题进行处理函数零点问题成年高考新生长点热点形式逐渐样化备受青睐．
模块1 整理方法 提升力
函数零点问题解题策略般转化两函数图象交点．
两函数选择3种情况：曲斜曲两曲（凸性般相反）．中曲情况常见．
分离参数法处理零点问题常见方法质选择曲两函数部分题目直接考虑函数图象轴交点情况质选择曲两函数部分题目利零点存性定理结合函数单调性处理零点质选择曲两函数．
函数凸性
1．凸函数定义
设函数定义区间函数意两点总仅时取等号称凸函数．
2．凸函数定义
设函数定义区间函数意两点总仅时取等号称凸函数．
3．凸函数相关定理
定理：设函数区间导函数凸函数
递增函数子区间恒零．
4．凸函数相关定理
定理：设函数区间导函数凸函数递减函数子区间恒零．
例1
已知函数．
（1）讨单调性
（2）两零点求取值范围．
解析（1）．
①时递减．
②时递减递增．
（2）法1：①时（1）知递减两零点．
②时令递增时没两零点．
时零点零点．
综述取值范围．
法2：．令令递增
时时
时时
递增递减．时
时．两零点两交点取值范围．
法3：设
令
令
递增时
时
递增递减．时时．两零点两交点取值范围．
法4：设
．令两零点等价两交点．递增递减时．斜率定点直线．
相切时候设切点
消
．令
显然增函数时切点斜率．两交点时取值范围．
法5：令两零点图象两交点．
两函数图象交点．令递减
递增
相切点切点外图象总图象方．
（1）知．
时图象点横坐标固定动坐标变原倍图象时图象没交点．时图象图象时图象1交点．时图象点横坐标固定动坐标变原倍图象时图象两交点．
综述取值范围．
法6：令两零点图象两交点．
递增递减时．
（1）知凸函数
凸函数．相切时设切点
消．令显然增函数时切点．图象两交点时取值范围．
点评函数零点问题解题策略转化两函数图象交点三种方式中（曲斜曲两曲）常见曲．法1直接考虑函数图象轴交点情况法2分离参数法法3换元3种方法质曲中法3指数换成数然没法2简单提示某函数许通换元降低函数解决难度．法4斜曲情况直线曲线相切时值重分界值．法5法6两曲情况法6法5简单原法5两曲凸性相法6两曲凸性相反．
函数零点问题函数图象说明求高解法2中先增减极值状态会影响取值范围必须说清楚两趋势情况终答案．
例2
设函数设．
（1）求
（2）证明：仅零点（记）．
解析（1）…①．
…②①②
．
证明（2）零点存性定理知少存零点．递增零点．
．．
点评函数满足两条件：连续断零点存性定理函数少1零点．零点存性定理高中阶段较弱定理首先该定理两条件缺次算满足两条件零点结究竟少零点确定．零点存性定理常单调性综合处理函数零点问题种方法．
例3
已知函数．
（1）设极值点求讨单调性
（2）时证明：．
解析（1）极值点解．定义域递增
时时递减递增．
证明（2）法1：定义域递增．时时唯实根时时递减递增时取值．
．时时等号成立条件显然等号成立．
综述时．
法2：时证明证明时．
递增．唯实根．时时递减递增时取值．
．．
综述时．
法3：时证明（）证明时．
（）（）（）两等号时成立（）时．
点评法1法2中出现具体数值法求解求出范围种零点称隐性零点．法2法1简单利函数单调性命题加强转化研究特例函数问题降低题目难度．
法2中表达式涉超越式值计算需隐性零点满足式子进行变形两式子然进行反代超越式转化初等式．反代处理隐性零点问题常策略．
法3关常等式证明程相快捷简单．凸性相反寻找两函数公切线实现隔离放缩事实两函数公切线．（等式证明问题详见专题四）
模块2 练巩固 整合提升
练1：设函数．
（1）讨导函数零点数
（2）证明：时．
解析（1）定义域．
零点数根数交点数．
递增时时没交点时交点．
综述时零点数时零点数．
证明（2）（1）知唯零点时时递减递增时取值值．
．
练2：设函数（常数然数底数）．
（1）时求函数单调区间
（2）函数存两极值点求取值范围．
解析（1）函数定义域
．时时时．递减区间递增区间．
（2）函数存两极值点两根．
法1：问题两根．设．
时递增存两根．
时值
．两根解．
综述取值范围．
法2：问题两根两交点．
时时．时．画出图象知两交点取值范围．
练3：已知函数直线：点曲线相切．
（1）求切线方程
（2）等式恒成立求值
（3）设函数唯零点求证：．
解析（1）设直线函数相切点切线方程切线点解切线方程．
（2）设．时时时取极值值．原等式成立值．
证明（3）题设条件知函数（）令单调递增．时
时唯实根设时时唯极值值．时时．函数唯零点充条件值（）．设单调递增零点存性定理知．
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