人教A版选修2-1第三章3.1.3空间向量的数量积运算达标过关训练

313　空间量数量积运算
选择题
1．ab均非零量a·b＝|a||b|ab线(　　)
A．充分必条件
B．必充分条件
C．充条件
D．充分必条件
解析：a·b＝|a||b|cos〈ab〉＝|a||b|cos〈ab〉＝1∴ab线反ab线a·b＝－|a||b|
答案：A
2．列命题中正确命题数(　　)
①＝|a|
②m(λa)·b＝(mλ)a·b(mλ∈R)
③a·(b＋c)＝(b＋c)·a
④(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：量数量积运算律知四命题正确．
答案：D
3．(2019·蚌埠第二中学高二月考)已知空间四边形ABCD中∠ACD＝∠BDC＝90°AB＝2CD＝1ABCD成角(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：根已知∠ACD＝∠BDC＝90°
·＝·＝0
∴·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1
∴cos〈〉＝＝
∴ABCD成角60°
答案：C
4．正三棱柱ABC－A1B1C1棱长均2EF分ABA1C1中点EF长(　　)
A．2 B．
C． D．
解析：图示设＝a＝b＝c|a|＝|b|＝|c|＝2〈ab〉＝60°〈ac〉＝90°〈bc〉＝90°

∵＝＋＋＝－＋AA1＋＝－a＋c＋b
∴||2＝a2＋c2＋b2＋2－a·c＋b·c－a·b
＝×4＋4＋×4＋2
＝1＋4＋1－1＝5∴||＝EF长
答案：C
5．图直三棱柱ABC－A1B1C1中AB＝BC＝AA1∠ABC＝90°点EF分棱ABBB1中点直线EFBC1成角(　　)

A．45° B．60°
C．90° D．120°
解析：·＝·(＋)
＝(＋)·(＋)
＝(·＋·＋·＋·)
＝(0＋0＋0＋2)
＝||2
设||＝1·＝||＝||＝
∴cos〈〉＝＝＝
∴异面直线EFBC1成角60°
答案：B
二填空题
6．图已知△ABC面α∠BAC＝90°DA⊥面α直线CADB位置关系________．

解析：·＝·(＋)
＝·＋·
＝0＋0＝0
∴⊥
答案：垂直
7．(2019·晋中市高二期末)图示直二面角α－AB－β棱AB两点ACBD分二面角两面垂直AB线段AB＝4AC＝6BD＝8CD长________．

解析：∵＝＋＋＝－＋
∴2＝(－＋)2＝2＋2－2·＋2＋2·－2·
＝16＋36＋64＝116
∴||＝2
答案：2
8．(2019·鄂东南九校联考)四面体OABC中棱OAOBOC两两垂直OA＝1OB＝2OC＝3G△ABC重心·(＋＋)＝________
解析：＝＋＝＋(＋)
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋＋
∴·(＋＋)＝＋＋·(＋＋)
＝2＋2＋2＝
答案：
三解答题
9．(2019·鄂东南九校联考)已知正四面体D－ABC中棱长1△ABC重心G求DG长．
解：图连接AG延长交BC点M连接DM
∵G△ABC重心
∴＝＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(＋)－＝(＋＋)(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6
∴||＝
10．图PA垂直矩形ABCD面MN分ABPC中点．

(1)求证：MN⊥CD
(2)∠PDA＝45°求证：MN⊥面PCD
证明：(1)设＝a＝b＝c
＝＋＋
＝＋－
＝＋－(＋＋)
＝(＋)＝(b＋c)＝－＝－a
∴·＝(b＋c)·(－a)
＝－(a·b＋a·c)．
∵四边形ABCD矩形PA⊥面ABCD
∴a⊥ba⊥c∴a·b＝0a·c＝0
∴·＝0∴⊥MN⊥CD
(2)(1)知MN⊥CD＝(b＋c)
∵＝－＝b－c
∴·＝(b＋c)·(b－c)＝(|b|2－|c|2)．
∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥AD
∠PDA＝45°
∴PA＝AD|b|＝|c|
∴·＝0
∴⊥MN⊥PD
CD∩PD＝DCDPD⊂面PCD
∴MN⊥面PCD
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