专题八 立体
第二十四讲 空间量立体
2019 年
1（2019 全国Ⅰ理 18）图直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 底面菱形AA14AB2∠
BAD60°EMN 分 BCBB1A1D 中点．


（1）证明：MN∥面 C1DE
（2）求二面角 AMA1N 正弦值．
2（2019 北京理 16）图四棱锥 P ABCD 中 PA ABCD 面 AD CD
AD BCP 23PA AD CD BC   ．E PD 中点点 F PC 1
3
PF
PC  ．











（Ⅰ）求证：CD PAD 面
（Ⅱ）求二面角 F AE P余弦值
（Ⅲ）设点 G PB 2
3
PG
PB  判断直线 AG 否面 AEF 说明理
3 （ 2019 浙江 19 ） 图 已 知 三 棱 柱 1 1 1ABC A B C 面 11A ACC  面
ABC 90ABC   1130 BAC AA AC ACEF     分 ACA1B1 中点
（1）证明： EF BC
（2）求直线 EF 面 A1BC 成角余弦值


4（2019 江苏 16）图直三棱柱 ABC－A1B1C1 中DE 分 BCAC 中点ABBC．
求证：（1）A1B1∥面 DEC1
（2）BE⊥C1E．

5（2019 全国Ⅲ理 19）图 1 矩形 ADEBRt△ABC 菱形 BFGC 组成面图形
中 AB1BEBF2∠FBC60° ABBC 折起 BE BF 重合连结 DG
图 2
（1）证明：图 2 中 ACGD 四点面面 ABC⊥面 BCGE
（2）求图 2 中二面角 BCGA


6（2019 全国Ⅱ理 17）图长方体 ABCD–A1B1C1D1 底面 ABCD 正方形点 E 棱
AA1 BE⊥EC1


（1）证明：BE⊥面 EB1C1
（2） AEA1E求二面角 B–EC–C1 正弦值
7（2019 北京理 16）图四棱锥 P ABCD 中 PA ABCD 面 AD CD
AD BCP 23PA AD CD BC   ．E PD 中点点 F PC 1
3
PF
PC  ．











（Ⅰ）求证：CD PAD 面
（Ⅱ）求二面角 F AE P余弦值
（Ⅲ）设点 G PB 2
3
PG
PB  判断直线 AG 否面 AEF 说明理
8（ 2019 浙江 19 ） 图 已 知 三 棱 柱 1 1 1ABC A B C 面 11A ACC  面
ABC 90ABC   1130 BAC AA AC ACEF     分 ACA1B1 中点
（1）证明： EF BC
（2）求直线 EF 面 A1BC 成角余弦值


9（2019 全国Ⅲ理 19）图 1 矩形 ADEBRt△ABC 菱形 BFGC 组成面图形
中 AB1BEBF2∠FBC60° ABBC 折起 BE BF 重合连结 DG
图 2
（1）证明：图 2 中 ACGD 四点面面 ABC⊥面 BCGE
（2）求图 2 中二面角 BCGA


10（2019 全国Ⅱ理 17）图长方体 ABCD–A1B1C1D1 底面 ABCD 正方形点 E 棱
AA1 BE⊥EC1

（1）证明：BE⊥面 EB1C1
（2） AEA1E求二面角 B–EC–C1 正弦值
11（全国Ⅰ理 18）图直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 底面菱形AA14AB2∠BAD60°
EMN 分 BCBB1A1D 中点．



（1）证明：MN∥面 C1DE
（2）求二面角 AMA1N 正弦值．
12（2019 北京理 16）图四棱锥 P ABCD 中 PA ABCD 面 AD CD
AD BCP 23PA AD CD BC   ．E PD 中点点 F PC 1
3
PF
PC  ．











（Ⅰ）求证：CD PAD 面
（Ⅱ）求二面角 F AE P余弦值
（Ⅲ）设点 G PB 2
3
PG
PB  判断直线 AG 否面 AEF 说明理
13(2019 天津理 17) 图 AE  面 ABCDCF AE AD BC∥ ∥
1 2AD AB AB AD AE BC    
（Ⅰ）求证： BF ∥面 ADE
（Ⅱ）求直线CE 面 BDE 成角正弦值
（Ⅲ）二面角 E BD F余弦值 1
3
求线段CF 长



20102018 年
解答题
1．（ 2018 全国卷Ⅰ）图四边形 ABCD正方形EF 分 AD BC 中点
DF 折痕 DFC△ 折起点C 达点 P 位置 PF BF ．
(1)证明：面 PEF  面 ABFD
(2)求 DP 面 成角正弦值．
P
FE
DC
BA

2．（2018 北京）图三棱柱 1 1 1ABC A B C 中 1CC  面 ABC DEFG
分 1AA AC 11AC 1BB 中点 5AB BC 1 2AC AA．

C1
B1
A1
G
F
E
D
C
BA

(1)求证： AC ⊥面 BEF
(2)求二面角 1B CD C余弦值
(3)证明：直线 FG 面 BCD相交．
3．(2018 全国卷Ⅱ)图三棱锥 P ABC 中 22AB BC PA PB PC  
4AC  O AC 中点．
(1)证明： PO  面 ABC
(2)点 M 棱 BC 二面角 M PA C 30 求 PC 面 PAM 成角
正弦值．
O
M
P
C
B
A

4．（ 2018 全国卷Ⅲ）图边长 2 正方形 ABCD面半圆弧CD 面垂
直 M 异CD 点．
(1)证明：面 AMD  面 BMC
(2)三棱锥 M ABC 体积时求面 MAB 面 MCD 成二面角正弦值．

M
DC
BA

5．(2018 天津)图 AD BC∥ 2AD BC AD CD EG AD∥ EG AD
CD FG∥ 2CD FG DG  面 ABCD 2DA DC DG   ．
(1) M CF 中点 N EG 中点求证： MN ∥面CDE
(2)求二面角 E BC F正弦值
(3)点 P 线段 DG 直线 BP 面 ADGE 成角60 求线段 DP 长．
N
A
B
C
D
E
FG
M

6．（ 2018 江苏）图正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中 1 2AB AA点 PQ 分 11AB
BC 中点．
A
B
C
Q
P
A1 C1
B1

(1)求异面直线 BP 1AC 成角余弦值
(2)求直线 1CC 面 1AQC 成角正弦值．
7．（ 2017 新课标Ⅰ）图四棱锥 P ABCD 中AB ∥CD 90BAP CDP    ．

DC
BA
P

(1)证明：面 PAB ⊥面 PAD
(2) PA PD AB DC   90APD 求二面角 A PB C余弦值．
8．（ 2017 新课标Ⅱ）图四棱锥 P ABCD 中侧面 PAD 等边三角形垂直底面
三角形 ABCD 1
2AB BC AD 90BAD ABC    E PD 中点．
EM
D
CB
A
P

(1)证明：直线CE ∥面 PAB
(2)点 M 棱 PC 直线 BM 底面 ABCD成角 45 求二面角 M AB D
余弦值
9．（ 2017 新课标Ⅲ）图四面体 ABCD中 ABC 正三角形 ACD 直角三角形
ABD CBD   AB BD ．

A
B
C
D
E

(1)证明：面 ACD ⊥面 ABC
(2) AC 面交 BD 点 E面 AEC 四面体 ABCD分成体积相等两部分
求二面角 D AE C余弦值．
10．（2017 天津）图三棱锥 P ABC 中 PA ⊥底面 ABC 90BAC  ．点 D
EN 分棱 PC BC 中点 M 线段 AD 中点 4PA AC
2AB  ．
（Ⅰ）求证： MN ∥面 BDE
（Ⅱ）求二面角C EM N正弦值
（Ⅲ）已知点 H 棱 直线 NH 直线 BE 成角余弦值 7
21
求线段
AH 长．

11．（2017 北京）图四棱锥 P ABCD 中底面 ABCD正方形面 PAD ⊥
面 点 M 线段 PB PD 面 MAC 6PA PD 4AB  ．
（Ⅰ）求证： 中点
（Ⅱ）求二面角 B PD A
（Ⅲ）求直线 MC 面 BDP 成角正弦值．


12．（ 2016 年北京） 图四棱锥 P ABCD 中面 PAD  面 ABCDPA PD
PA PD AB AD 1AB  2AD  5AC CD

（1）求证： PD 面 PAB
（2）求直线 PB 面 PCD成角正弦值
（3）棱 PA 否存点 M BM 面 PCD？存求 AM
AP
值
存说明理
13．（ 2016 年山东）图示圆台中AC 底面圆O 直径EF 底面圆O
直径 FB 圆台条母线
（I）已知GH 分 EC FB 中点求证：GH ∥面 ABC
（II）已知 EF FB 1
2 AC 23 AB BC ．求二面角 F BC A余弦值

14．（ 2016 年天津）图正方形 ABCD中心O四边形OBEF 矩形面
⊥面 点G AB 中点 2AB BE．
（Ⅰ）求证： EG ∥面 ADF
（Ⅱ）求二面角O EF C正弦值

（Ⅲ）设 H 线段 AF 点 AH 2
3 HF 求直线 BH 面CEF 成角
正弦值
E
CD
A
F
B
O
H
G

15．（ 2015 新课标Ⅰ）图四边形 ABCD菱形 120ABCEF面
侧两点 BE ⊥面 DF ⊥面 BE 2 DF AE ⊥ EC ．
（Ⅰ）证明：面 AEC ⊥面 AFC
（Ⅱ）求直线 AE 直线CF 成角余弦值．

16．（ 2015 福建）图体 ABCDE 中四边形 ABCD矩形 AB ^ 面 BEG
BE ^ EC 2AB BE EC   GF 分线段 BE DC 中点．

（Ⅰ）求证：GF ∥面 ADE
（Ⅱ）求面 AEF 面 BEC 成锐二面角余弦值．
17．(2015 山东)图三棱台 DEF ABC 中 2AB DE GH分 AC BC 中
点．


（Ⅰ）求证： BC 面 FGH
（Ⅱ）CF ⊥面 ABC AB ⊥ BC CF DE ∠ BAC 45 求面 FGH
面 ACFD成角（锐角）．
18．（ 2015 陕西）图1直角梯形 ΑΒCD 中 ΑDΒC
2ΒΑD  1ΑΒΒC
2ΑD  Ε ΑD 中点O AC BE 交点． ΑΒΕ 折起 1A BE
位置图 2 ．

（Ⅰ）证明：CD  面 1AOC
（Ⅱ）面 1A BE  面 BCDE求面 1A BC 面 1ACD 夹角余弦值．
19．（ 2014 新课标 2）图四棱锥 P ABCD 中底面 ABCD矩形PA ⊥面
E PD 中点．
（Ⅰ）证明： PB ∥面 AEC
（Ⅱ）设二面角 D AE C 60°AP 1AD 3 求三棱锥 E ACD 体积．

20．（ 2014 山东）图四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中底面 ABCD 等腰梯形
60 DAB 22AB CDM 线段 AB 中点．

M
A1
AB
B1
D1 C1
DC

（Ⅰ）求证： 1 1 1C M A ADD面
（Ⅱ） 1CD 垂直面 ABCD 13CD 求 面 11CDM 面 成
角（锐角）余弦值．
21．（2014 辽宁）图 ABC BCD 面互相垂直 2AB BC BD  
0120ABC DBC    EF 分 ACDC 中点．
（Ⅰ）求证： EF BC
（Ⅱ）求二面角 E BF C正弦值．
A
D
CB
F
E

22． (2014 新课标 1)图三棱锥 1 1 1ABC A B C 中侧面 11BB C C 菱形 1AB B C ．
(Ⅰ) 证明： 1AC AB
（Ⅱ） 1AC AB o
1 60CBB AB BC 求二面角 1 1 1AABC余弦值．

23．（ 2014 福建）行四边形 ABCD 中 1AB BD CD   AB BD CD BD
ABD BD 折起面 ABD  面 BCD图．

BD
C
A
M

（Ⅰ）求证： AB  CD
（Ⅱ） M AD 中点求直线 AD 面 MBC 成角正弦值．
24．（2014 浙江）图四棱锥 BCDEA 中面 ABC 面 BCDE
90CDE BED    2AB CD 1DE BE 2AC  ．
（Ⅰ）证明： DE 面 ACD
（Ⅱ）求二面角 EADB  ．
A
D
EB
C

25．（ 2014 广东）图 4四边形 ABCD正方形 PD 面 ABCD 030DPC
AF PC 点 FFE CD交 PD 点 E．
（Ⅰ）证明：CF ADF 面
（Ⅱ）求二面角 D AF E余弦值．

26．(2014 湖南)图四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 棱长相等 AC BD O
1 1 1 1 1ACBDO 四边形 1 1 1 1ACC A BDD B四边形 均矩形．

(1)证明： 1 OO ABCD 底面
(2) 1160 CBA C OB D   求二面角 余弦值．
O1
O
B1
BC
DA
A1
C1
D1

27．（ 2014 陕西）四面体 ABCD 三视图图示 AB 中点 E 作行 AD BC
面分交四面体棱 CADCBD 点 HGF．
俯视图
左视图视图
1
2
2
A
B
CD
F
G
H
E

（Ⅰ）证明：四边形 EFGH 矩形
（Ⅱ）求直线 AB 面 夹角 正弦值．
28．（2013 新课标Ⅰ）图三棱柱 1 1 1ABC A B C 中CA CB 1AB AA 1BAA 60°．

（Ⅰ）证明 1AB AC
（Ⅱ）面 ABC ⊥面 11AA B B AB CB 求直线 1AC面 11BB C C 成角
正弦值．
29．（ 2013 新课标Ⅱ）图直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中 DE分 1AB BB 中点

1
2
2AA AC CB AB  


E
D
C
B
A
A1
B1
C1

（Ⅰ）证明： 1BC 面 1ACD
（Ⅱ）求二面角 1DACE正弦值．
30．（2013 广东）图 1等腰直角三角形 ABC 中 90A   6BC  DE分
AC AB 点 2CD BEO BC 中点 ADE DE 折起图 2
示四棱锥 A BCDE 中 3AO 

（Ⅰ） 证明 AO 面 BCDE
（Ⅱ） 求二面角 A CD B面角余弦值
31．(2013 陕西)图 四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 底面 ABCD正方形O 底
面中心 1AO⊥面 1 2AB AA 
O
D1
B1
C1
D
A
C
B
A1

（Ⅰ）证明： 1AC⊥面 11BB D D
（Ⅱ）求面 1OCB 面 夹角 ．

32．（ 2013 湖北）图 AB 圆O 直径点C 圆O 异 AB点直线 PC 
面 ABC EF 分 PA PC 中点．

（Ⅰ）记面 BEF 面 ABC 交线l 试判断直线l 面 PAC 位置关系
加证明
（Ⅱ）设（I）中直线 l 圆 交点 D点Q 满足 1
2DQ CP ．记直
线 PQ 面 ABC 成角 异面直线 PQ EF 成角 二面角
E l C  求证：sin sin sin   ．
33．(2013 天津) 图 四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中侧棱 1AA⊥底面 ABCDAB DC∥
AB AD 1AD CD 1 2AA ABE 棱 1AA 中点．
B
CC1
B1
DD1
A1A
E

（Ⅰ）证明 11B C CE
（Ⅱ）求二面角 11B CE C正弦值
（Ⅲ）设点 M 线段 1CE直线 AM 面 11ADD A 成角正弦值 2
6
求
线段 长．
34．（ 2012 新课标）图直三棱柱 111 CBAABC  中 1
1
2AC BC AA D 棱 1AA
中点 BDDC 1 ．


（Ⅰ）证明： BCDC 1 （Ⅱ）求二面角 11 CBDA  ．
35．（ 2012 福建）图长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 1 1AA ADE CD 中点

（Ⅰ）求证： 11B E AD
（Ⅱ）棱 1AA 否存点 P DP ∥面 1B AE ？存求 AP 行
存求 长存说明理．[
（Ⅲ）二面角 11ABEA 30°求 AB 长．
36．（ 2012 浙江）图四棱锥 P ABCD 中底面边长 23菱形 120BAD  
PA 面 ABCD 26PA  MN 分 PB PD 中点．

（Ⅰ）证明： MN 面
（Ⅱ）点 A 作 AQ PC 垂足点Q求二面角 A MN Q面角余弦值．
37．（2011 新课标）图四棱锥 P ABCD 中底面 ABCD行四边形 60DAB  
A
CB
1B
1A
D
1C

2AB AD PD 底面 ABCD．

（Ⅰ）证明： PA BD
（Ⅱ） PD AD 求二面角 A PB C余弦值．
38．（2011 安徽）图 ABCDEFG 面体面 ABED 面 AGFD 垂直点O
线段 AD 1 2OA ODOAB OAC ODE ODF 正三角形．
（Ⅰ）证明直线 BC ∥ EF
（Ⅱ）求棱锥 F OBED 体积．

39．（2011 江苏）图四棱锥 ABCDP  中面 PAD  面 AB AD
BAD 60°EF 分 AP AD 中点．
求证：（Ⅰ）直线 EF ∥面 PCD
（Ⅱ）面 BEF  面 PAD ．

40．(2010 广东)图 ¼AEC 半径 a 半圆 AC 直径点 E »AC 中点点 B
点C 线段 AD 三等分点面 AEC 外点 F 满足 5FB FD a 6EF a ．


（Ⅰ）证明： EB FD
（Ⅱ）已知点 QR线段 FE FB 点 2
3FQ FE 2
3FR FB 求面 BED
面 RQD 成二面角正弦值．
41．（ 2010 新课标）图已知四棱锥 P ABCD 底面等腰梯形 AB CD∥
AC BD 垂足 H PH 四棱锥高 E AD 中点

（Ⅰ）证明： PE BC
（Ⅱ） 60APB ADB    求直线 PA 面 PEH 成角正弦值．
42．（ 2010 天津）图长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 EF 分棱 BC 1CC
点 2CF AB CE 1 1 2 4AB AD AA  ．

（Ⅰ）求异面直线 EF 1AD成角余弦值

（Ⅱ）证明 AF  面 1A ED
（Ⅲ）求二面角 1A ED F正弦值．
专题八 立体
第二十四讲 空间量立体
答案部分
2019 年
1解析：（1）连结B1CME．
ME分BB1BC中点ME∥B1CME 1
2 B1C．
NA1D中点ND A1D．
题设知A1B1 P DCB1C PA1DME P ND
四边形MNDE行四边形MN∥ED．
MN  面EDC1MN∥面C1DE．
（2）已知DE⊥DA．
D坐标原点 DA
uuur 方x轴正方建立图示空间直角坐标系Dxyz
NM
DC
BA
D1 C1
B1A1
z
y
x

(200)AA1(204)(1 32)M(102)N 1 (00 4)AA
uuur
1 ( 1 3 2)AM   
uuuur

1 ( 10 2)AN  
uuur
1 ( 10 2)AN  
uuur
．
设 ()x y zm 面A1MA法量 1
1
0
0
AM
AA
 

uuuur
uuur
m
m

3 2 0
40
x y z
z
   

． 取 ( 310)m ．
设 ()pqrn 面A1MN法量
1
0
0
MN
AN
 

uuur
uuur

．
n
n

30
20
q
pr
  

．取 (20 1)n ．
2 3 15cos | | 525
    
‖
mnmn mn

二面角 1A MA N正弦值 10
5
．
2解析：（I） PA 面 ABCD PA CD
AB CD CD  面 PAD
（II） A 作 AD 垂线交 BC 点 M 面 PA AM PA AD
图建立空间直角坐标系 Axyz A（000）B（210）C（220）
D（020）P（002） E PD 中点 E（011）
 011AE 
uuur
 22 2PC 
uuur
 002AP 
uuur

1 2 2 23 3 3 3PF PC   
uuur uuur
224333AF AP PF    
uuur uuur uuur

设面 AEF 法量  x y zn
0
0
AE
AF
  
uuuv
uuuv
n
n

0
2 2 4 03 3 3
yz
x y z
   

令 z1 y1x1  1 11  n
面 PAD 法量  100p 3cos 3
  
np< n p > np

二面角 FAEP 锐角余弦值 3
3

z
y
x
B
G
P
FE
D
CM
A

（III）直线 AG 面 AEF 点 G PB 2 3
PG
PB   2 1 2 PB   
uur

2 4 2 43 3 3 3PG PB    
uuur uur
4 2 23 3 3AG AP PG    
uuur uuur uuur

（II）知面 AEF 法量  1 11  n
4220333AG   
uuur
n 直线 AG 面 AEF
3解析：方法：
（I）连接A1EA1AA1CEAC中点A1E⊥AC
面A1ACC1⊥面ABCA1E 面A1ACC1
面A1ACC1∩面ABCAC
A1E⊥面ABCA1E⊥BC
A1F∥AB∠ABC90°BC⊥A1F
BC⊥面A1EF
EF⊥BC

（Ⅱ）取BC中点G连接EGGFEGFA1行四边形．
A1E⊥面ABCAE1⊥EG行四边形EGFA1矩形．
（I）BC⊥面EGFA1面A1BC⊥面EGFA1
EF面A1BC射影直线A1G
连接A1G交EFO∠EOG直线EF面A1BC成角（补角）
妨设AC4Rt△A1EG中A1E2 3 EG
OA1G中点 1 15
22
AGEO OG  

2 2 2 3cos 25
EO OG EGEOG EO OG
  
．
直线EF面A1BC成角余弦值 3
5
．
方法二：
（Ⅰ）连接A1EA1AA1CEAC中点A1E⊥AC
面A1ACC1⊥面ABCA1E 面A1ACC1
面A1ACC1∩面ABCACA1E⊥面ABC
图点E原点分射线ECEA1yz轴正半轴建立空间直角坐标系E–xyz

妨设AC4
A1（002 3 ）B（10） 1( 332 3)B 33( 2 3)22FC(020)
33( 2 3)22EF  ( 310)BC  ．
0EF BC EF BC ．
（Ⅱ）设直线EF面A1BC成角
（Ⅰ） 1 (02 2 3)AC 
设面A1BC法量 ()x y zn

1
0
0
BC
AC
  
n
n

30
30
xy
yz
  


取 (1 31)n 4sin cos 5
EF
EF
EF


    

n
n
n

直线 EF 面 A1BC 成角余弦值 3
5
4证明：（ 1） DE 分 BCAC 中点
ED∥AB
直三棱柱 ABCA1B1C1 中AB∥A1B1
A1B1∥ED
ED⊂面 DEC1A1B1  面 DEC1
A1B1∥面 DEC1
（2） ABBCE AC 中点 BE⊥AC
三棱柱 ABCA1B1C1 直棱柱 CC1⊥面 ABC
BE⊂面 ABC CC1⊥BE
C1C⊂面 A1ACC1AC⊂面 A1ACC1C1C∩ACC
BE⊥面 A1ACC1
C1E⊂面 A1ACC1 BE⊥C1E

32（2019 全国Ⅲ理 19）图 1 矩形 ADEBRt△ABC 菱形 BFGC 组成面图形
中 AB1BEBF2∠FBC60° ABBC 折起 BE BF 重合连结 DG
图 2
（1）证明：图 2 中 ACGD 四点面面 ABC⊥面 BCGE
（2）求图 2 中二面角 BCGA


5解析（1）已知AD BECG BEAD CGADCG确定面A
CGD四点面．
已知AB  BEAB BCAB 面BCGE．
AB  面ABC面ABC 面BCGE．
（2）作EH BC垂足H．EH 面BCGE面BCGE 面ABCEH
面ABC．
已知菱形BCGE边长2∠EBC60°求BH1EH 3 ．
H坐标原点 HC 方x轴正方建立图示空间直角坐标系 –H xyz

A（–110）C（100）G（20 3 ）CG （10） AC （2
–10）．
设面ACGD法量n（xyz）
0
0
CG
AC
  
n
n
3 0
2 0
xz
xy
  

取n（36– 3 ）．
面BCGE法量取m（010） 3cos | || | 2
   nmnm nm
．
二面角B–CG–A30°．
6解析：（1）已知
11BC  面
11ABB A BE  面
11ABB A
BE ．
1BE EC BE 面 11EB C ．
（2）（1）知 1 90BEB  ．题设知 11Rt RtABE A B E△ △ 45AEB  
AE AB 1 2AA AB ．
D 坐标原点 DA 方x轴正方||DA 单位长建立图示空间直角坐
标系Dxyz
z
y
x
C（010）B（110） 1C（012）E（101） (100)CB  (1 11)CE 
1 (002)CC  ．
设面EBC法量n（xyx）
0
0
CB
CE
  
n
n
0
0
x
x y z

   

取n (0 1 1)
设面 1ECC 法量m（xyz）
1 0
0
CC
CE
  
m
m
2 0
0
z
x y z

   

取m（110）．
1cos | || | 2
   nmnm nm
．
二面角
1B EC C正弦值 3
2
．
7解析：（I） PA 面 ABCD PA CD
AB CD CD  面 PAD
（II） A 作 AD 垂线交 BC 点 M 面 PA AM PA AD
图建立空间直角坐标系 Axyz A（000）B（210）C（220）
D（020）P（002） E PD 中点 E（011）
 011AE 
uuur
 22 2PC 
uuur
 002AP 
uuur

1 2 2 23 3 3 3PF PC   
uuur uuur
224333AF AP PF    
uuur uuur uuur

设面 AEF 法量  x y zn
0
0
AE
AF
  
uuuv
uuuv
n
n

0
2 2 4 03 3 3
yz
x y z
   

令 z1 y1x1  1 11  n
面 PAD 法量  100p 3cos 3
  
np< n p > np

二面角 FAEP 锐角余弦值 3
3

z
y
x
B
G
P
FE
D
CM
A

（III）直线 AG 面 AEF 点 G PB 2 3
PG
PB   2 1 2 PB   
uur

2 4 2 43 3 3 3PG PB    
uuur uur
4 2 23 3 3AG AP PG    
uuur uuur uuur

（II）知面 AEF 法量  1 11  n
4220333AG   
uuur
n 直线 AG 面 AEF
8解析：方法：
（I）连接A1EA1AA1CEAC中点A1E⊥AC
面A1ACC1⊥面ABCA1E 面A1ACC1
面A1ACC1∩面ABCAC
A1E⊥面ABCA1E⊥BC
A1F∥AB∠ABC90°BC⊥A1F
BC⊥面A1EF
EF⊥BC

（Ⅱ）取BC中点G连接EGGFEGFA1行四边形．
A1E⊥面ABCAE1⊥EG行四边形EGFA1矩形．
（I）BC⊥面EGFA1面A1BC⊥面EGFA1
EF面A1BC射影直线A1G
连接A1G交EFO∠EOG直线EF面A1BC成角（补角）
妨设AC4Rt△A1EG中A1E2 3 EG
OA1G中点 1 15
22
AGEO OG  

2 2 2 3cos 25
EO OG EGEOG EO OG
  
．
直线EF面A1BC成角余弦值 3
5
．
方法二：
（Ⅰ）连接A1EA1AA1CEAC中点A1E⊥AC
面A1ACC1⊥面ABCA1E 面A1ACC1
面A1ACC1∩面ABCACA1E⊥面ABC
图点E原点分射线ECEA1yz轴正半轴建立空间直角坐标系E–xyz

妨设AC4
A1（002 3 ）B（10） 1( 332 3)B 33( 2 3)22FC(020)
33( 2 3)22EF  ( 310)BC  ．
0EF BC EF BC ．
（Ⅱ）设直线EF面A1BC成角
（Ⅰ） 1 (02 2 3)AC 
设面A1BC法量 ()x y zn

1
0
0
BC
AC
  
n
n

30
30
xy
yz
  


取 (1 31)n 4sin cos 5
EF
EF
EF


    

n
n
n

直线EF面A1BC成角余弦值 3
5
9解析（1）已知AD BECG BEAD CGADCG确定面A
CGD四点面．
已知AB  BEAB BCAB 面BCGE．
AB  面ABC面ABC 面BCGE．
（2）作EH  BC垂足H．EH  面BCGE面BCGE 面ABCEH
面ABC．
已知菱形BCGE边长2∠EBC60°求BH1EH 3 ．
H坐标原点 HC 方x轴正方建立图示空间直角坐标系 –H xyz

A（–110）C（100）G（20 3 ）CG （10） AC （2
–10）．
设面ACGD法量n（xyz）
0
0
CG
AC
  
n
n
3 0
2 0
xz
xy
  

取n（36– 3 ）．
面BCGE法量取m（010） 3cos | || | 2
   nmnm nm
．
二面角B–CG–A30°．
10解析：（1）已知
11BC  面
11ABB A BE  面
11ABB A
BE ．
1BE EC BE 面 11EB C ．
（2）（1）知 1 90BEB  ．题设知 11Rt RtABE A B E△ △ 45AEB  
AE AB 1 2AA AB ．
D 坐标原点 DA 方x轴正方||DA 单位长建立图示空间直角坐
标系Dxyz
z
y
x
C（010）B（110） 1C（012）E（101） (100)CB  (1 11)CE 
1 (002)CC  ．
设面EBC法量n（xyx）
0
0
CB
CE
  
n
n
0
0
x
x y z

   

取n (0 1 1)
设面 1ECC 法量m（xyz）
1 0
0
CC
CE
  
m
m
2 0
0
z
x y z

   

取m（110）．
1cos | || | 2
   nmnm nm
．
二面角 1B EC C正弦值 3
2
．
11解析：（1）连结B1CME．
ME分BB1BC中点ME∥B1CME 1
2 B1C．
NA1D中点ND A1D．
题设知A1B1 P DCB1C PA1DME P ND
四边形MNDE行四边形MN∥ED．
MN  面EDC1MN∥面C1DE．
（2）已知DE⊥DA．
D坐标原点 DA
uuur 方x轴正方建立图示空间直角坐标系Dxyz
NM
DC
BA
D1 C1
B1A1
z
y
x

(200)AA1(204)(1 32)M(102)N 1 (00 4)AA
uuur
1 ( 1 3 2)AM   
uuuur

1 ( 10 2)AN  
uuur
1 ( 10 2)AN  
uuur
．
设 ()x y zm 面A1MA法量 1
1
0
0
AM
AA
 

uuuur
uuur
m
m

3 2 0
40
x y z
z
   

． 取 ( 310)m ．
设 ()pqrn 面A1MN法量
1
0
0
MN
AN
 

uuur
uuur

．
n
n

30
20
q
pr
  

．取 (20 1)n ．
2 3 15cos | | 525
    
‖
mnmn mn

二面角 1A MA N正弦值 10
5
．
12解析：（I） PA 面 ABCD PA CD
AB CD CD  面 PAD
（II） A 作 AD 垂线交 BC 点 M 面 PA AM PA AD
图建立空间直角坐标系 Axyz A（000）B（210）C（220）
D（020）P（002） E PD 中点 E（011）
 011AE 
uuur
 22 2PC 
uuur
 002AP 
uuur

1 2 2 23 3 3 3PF PC   
uuur uuur
224333AF AP PF    
uuur uuur uuur

设面 AEF 法量  x y zn
0
0
AE
AF
  
uuuv
uuuv
n
n

0
2 2 4 03 3 3
yz
x y z
   

令 z1 y1x1  1 11  n
面 PAD 法量  100p 3cos 3
  
np< n p > np

二面角 FAEP 锐角余弦值 3
3

z
y
x
B
G
P
FE
D
CM
A

（III）直线 AG 面 AEF 点 G PB 2 3
PG
PB   2 1 2 PB   
uur

2 4 2 43 3 3 3PG PB    
uuur uur
4 2 23 3 3AG AP PG    
uuur uuur uuur

（II）知面 AEF 法量
4220333AG   
uuur
n 直线 AG 面 AEF


13解析 题意建立 A 原点分 AB AD AE 方 x 轴 y 轴 z 轴
正方空间直角坐标系图示 (000) (100) (120) (010)ABCD
(002)E设 ( 0)CF h h>  12Fh
（Ⅰ）题意 (100)AB  面 ADE 法量 (02 )BF h 0BF AB
直线 BF 面 ADE BF ∥面 ADE
（Ⅱ）题意 ( 110) ( 102) ( 1 22)BD BE CE      
设 ()x y zn 面 BDE 法量 0
0
BD
BE
  
n
n
0
20
xy
xz
  
  
妨令 1z 
(221)n 4cos 9| || |
CECE
CE
  nn
n

直线CE 面 BDE 成角正弦值 4
9
（Ⅲ）设 ()x y zm 面 BDF 法量 0
0
BD
BF
  
m
m
0
20
xy
y hz
  
 

妨令 1y  211 h

m
题意
2
24| | 1cos | || | 3432
h
h
    

mnmn mn
解 8
7h  检验符合题意
线段CF 长 8
7






20102018 年

1．解析(1)已知 BF ⊥ PF ⊥ EF ⊥面 PEF．
BF  面 ABFD 面 PEF ⊥面 ．
(2)作 PH ⊥ 垂足 H．(1) PH ⊥面 ．
H 坐标原点HF 方 y 轴正方||BF 单位长建立图示空间直
角坐标系 H xyz ．
H
z
y
x
P
F
E
DC
BA

(1) DE ⊥ PE ． DP 2 1 PE 3 ．
PF 1 EF 2 PE ⊥ PF ．
3
2PH 3
2EH ．
(000)H 3(00 )2P 3( 1 0)2D 33(1 )22DP
3(00 )2HP  面 法量．
设 DP 面 ABFD 成角
3
34sin | | 4| | | | 3
HP DP
HP DP
   

．
面 成角正弦值 3
4
．
2．解析(1)三棱柱 1 1 1ABC A B C 中
∵ 1CC ⊥面 ABC
∴四边形 11A ACC 矩形．
EF 分 AC 11AC 中点
∴ ⊥ EF ．
∵ AB BC ．
∴ ⊥ BE
∴ ⊥面 BEF ．
(2)(1)知 ⊥ ⊥ BE ∥ ．
⊥面 ∴ ⊥面 ．
∵  面 ∴ ⊥ ．
图建立空间直角坐称系 E xyz ．
z
yx
C1
B1
A1
G
F
E
D
C
BA

题意 (020)B( 100)C  (101)D(002)F(021)G．
∴ (2 0 1)CD
uuur
(1 2 0)CB
uur

设面 BCD法量 ()abc n
∴ 0
0
CD
CB
 

uuur
uur
n
n
∴ 20
20
ac
ab

 

令 2a  1b  4c 
∴面 BCD法量 (2 1 4)  n
∵面 1CDC 法量 (0 2 0)EB
uur

∴ 21cos 21| || |
EBEB
EB
   
uuruur
uurnn
n
．
图二面角 1B CD C钝角二面角 余弦值 21
21 ．
(3)面 法量 (2 1 4)  n ∵ (021)G(002)F
∴ (0 2 1)GF 
uuur
∴ 2GF  
uuur
n ∴ n GF
uuur
垂直
∴GF 面 行面 ∴ 面 相交．
3．解析(1) 4AP CP AC   O AC 中点OP AC 23OP  ．
连结OB ． 2
2AB BC AC ABC△ 等腰直角三角形
OB AC 1 22OB AC．
2 2 2OP OB PB知 PO OB ．
OP OB OP AC 知 PO  面 ABC ．
(2)图O 坐标原点OB
uuur
方 x 轴正方建立空间直角坐标系O xyz ．
z
y
x
A
B
C
P
M
O

已知 (000)O(200)B(0 20)A(020)C(002 3)P
(022 3)AP
uuur
取面 PAC 法量 (200)OB 
uuur
．
设 ( 2 0)(0 2)≤M a a a ( 4 0)AM a a
uuur
．
设面 PAM 法量 ()x y zn ．
0 0AP AM   
uuur uuur
nn 2 2 3 0
(4 ) 0
yz
ax a y
    
取 ( 3( 4) 3 )a a a  n

2 2 2
2 3( 4)cos
2 3( 4) 3
aOB
a a a

  
uuur
n ．已知 3| cos | 2OB 
uuur
n ．

2 2 2
2 3 | 4| 3 22 3( 4) 3
a
a a a

  
．解 4a  （舍） 4
3a  ．
8 3 4 3 4()3 3 3  n ． (02 2 3)PC 
uuur
3cos 4PC 
uuur
n ．
PC 面 PAM 成角正弦值 3
4
．
4．解析(1)题设知面CMD⊥面 ABCD交线CD ．
BC ⊥  面 ⊥面 ⊥ DM ．
M CD 异CD 点 DC 直径 DM ⊥CM ．
CM C DM ⊥面 BMC．
DM 面 AMD面 ⊥面 ．
(2) D 坐标原点 DA 方 x 轴正方建立图示空间直角坐标系
D xyz ．
z
y
x
AB
CD
M

三棱锥 M ABC 体积时 M 中点．
题设 (000)D(200)A(220)B(020)C(011)M
( 211)AM  (020)AB  (200)DA 
设 ()x y zn 面 MAB 法量
0
0
AM
AB
  
n
n
2 0
2 0
x y z
y
   
 

取 (102)n ．
DA 面 MCD 法量
5cos 5| || |
DADA
DA
nn
n

25sin 5DA n
面 MAB 面 MCD 成二面角正弦值 25
5
．
5．解析题意建立 D 原点分 DA DC DG 方 x 轴 y 轴
z 轴正方空间直角坐标系（图） (000)D(200)A(120)B
(020)C(202)E(012)F(002)G 3(0 1)2M(102)N．
z
y
x
M
GF
E
D
C
B
A
N

(1)证明：题意 (020)DC  (202)DE  ．设 0 ()x y zn 面CDE 法
量 0
0
0
0
DC
DE
  


n
n

20
2 2 0
y
xz

 

妨令 1z  0 (10 1)n ．
3(1 1)2MN  0 0MN n
直线 MN  面CDE ∥面 ．
(2)题意 ( 100)BC  (1 2 2)BE (0 12)CF  ．
设 ()x y zn 面 BCE 法量
0
0
BC
BE
  


n
n

0
220
x
x y z

   


妨令 1z  (011)n ．
设 ()x y zm 面 BCF 法量
0
0
BC
BF
  


m
m

0
20
x
yz

  


妨令 1z  (021)m ．
3 10cos | || | 10
  mnmn mn
10sin 10 mn ．
二面角 E BC F正弦值 10
10
．
(3)设线段 DP 长 h ([02]h )点 P 坐标(00 )h ( 1 2 )BP h  ．
易知 (020)DC  面 ADGE 法量
2
2cos
5
BP DC
BP DC
BP DC h

    


题意
2
23sin 60 25h


解 3 [02]3h  ．
线段 DP 长 3
3
．
6．解析图正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中设 AC 11AC 中点分O 1O
OB OC 1OO OC 1OO OB 1{}OB OC OO 基底建立空间直角坐标
系O xyz ．
1 2AB AA
1 1 10 10 300 010 0 1()()()()(2 302 012)()ABCABC．
O1
O
z
y
x
A
B
C
Q
P
A1 C1
B1

(1) P 11AB 中点 31( 2)22P 
1
31( 2) (02222 )BP AC
1
1
1
||| 1 4 | 3 10| cos | 20| | | | 5 2 2
BP ACBP AC
BP AC
   
 
．
异面直线 BP AC1 成角余弦值 3 10
20
．
(2) Q BC 中点 31( 0)22Q
33( 0)22AQ  11(022) (002)AC CC．
设 n（xyz）面 AQC1 法量

1
0
0
AQ
AC




n
n

33022
2 2 0
xy
yz
 
 

妨取 ( 3 11)n
设直线 CC1 面 AQC1 成角
1
1
1
||25sin | cos |
| | | 552
CCCC
CC |
 
 
 nn
n

直线 CC1 面 AQC1 成角正弦值 5
5
．
7．解析（1）已知 90BAP CDP     AB⊥APCD⊥PD．
AB∥CD AB⊥PD AB⊥面 PAD．
AB  面 PAB面 PAB⊥面 PAD．
（2）面 PAD 做 PF AD 垂足 F
（1）知 AB 面 PAD AB PF PF  面 ABCD．
F 坐标原点 FA 方 x 轴正方||AB 单位长建立图示空间
直角坐标系 F xyz ．
F
z
y
x
DC
BA
P

（1）已知 2( 00)2A 2(00 )2P 2( 10)2B 2( 10)2C  ．
22( 1 )22PC    ( 200)CB  22( 0 )22PA 
(010)AB  ．
设 ()x y zn 面 PCB 法量
0
0
PC
CB
  
n
n

22022
20
x y z
x
   
 

取 (0 1 2)  n ．
设 ()x y zm 面 PAB 法量
0
0
PA
AB
  
m
m

22022
0
xz
y
 
 

取 (101)n ．
3cos | || | 3
  <>nmnm nm

二面角 A PB C余弦值 3
3 ．
8．解析（1）取 PA 中点 F连结 EF BF ． E PD 中点 EF AD∥
1
2EF AD ． 90BAD ABC    BC AD∥ 1
2BC AD
EF BC∥ 四边形 BCEF 行四边形CE BF∥ BF  面 PAB CE 
面 CE ∥面 ．
（2）已知 BA AD A 坐标原点 AB 方 x 轴正方||AB 单位
长建立图空间直角坐标系 A xyz (000)A(100)B(110)C
(01 3)P(10 3)PC (100)AB  ．
z
y
x
F
P
AB
C
D
ME

设 ()M x y z (0 1)x ( 1 )BM x y z ( 1 3)PM x y z   ．
BM 底面 ABCD 成角 45 (001)n 底面 法量
| cos | sin 45BM n
2 2 2
| | 2
2( 1)
z
x y z

  

2 2 2( 1) 0x y z    ． ①
M 棱 PC 设 PM PC
x  1y  33z  ． ②
①②解
21 2
1
6
2
x
y
z
 
 

 
（舍）
21 2
1
6
2
x
y
z
 
 

 

26(1 1 )22M  26(1 1 )22AM  ．
设 0 0 0()x y zm 面 ABM 法量
0
0
AM
AB
  
m
m
0 0 0
0
(2 2) 2 6 0
0
x y z
x
     

取 (0 62)m 10cos | || | 5
  mnmn mn
．
二面角 M AB D余弦值 10
5
．
9．解析（1）题设 ABD CBD   AD DC ．
ACD 直角三角形 090ACD
取 AC 中点O连接 DO BO DO AC DO AO ．
ABC 正三角形 BO AC ．
DOB 二面角 D AC B面角．
Rt AOB 中 222BO AO AB．
AB BD 2 2 2 2 2 2BO DO BO AO AB BD     90DOB．
面 ACD  面 ABC ．
（2）题设（1）知OA OB OD 两两垂直O 坐标原点OA 方 x 轴
正方 OA 单位长建立图示空间直角坐标系O xyz
O
x
y
z
E
D
C
B
A

(100)A(0 30)B( 100)C  (001)D．
题设知四面体 ABCE 体积四面体 ABCD 体积 1
2
E 面
ABC 距离 D 面 距离 DB 中点 31(0 )22E．
( 101)AD  ( 200)AC  31( 1 )22AE 
设   xyzn 面 DAE 法量 AD
AE
  
0
0
n
n

xz
x y z
     
0
31022

取 3(1 1)3n
设 m 面 AEC 法量
0
0
AC
AE
  
m
m
理 (0 1 3)m
cos 7
7
nmnm nm
二面角 D AE C余弦值 7
7 ．
10．解析图 A 原点分 AB AC AP 方 x 轴y 轴z 轴正方建
立空间直角坐标系．题意
(000)A(200)B(040)C(004) (002)D(022)E(001)M
(120)N．

（Ⅰ）证明： DE (020) DB (20 2) ．设 ()x y zn 面 BDE 法量
0
0
DE
DB
  
n
n
20
2 2 0
y
xz

 
．妨设 1z  (101)n ． MN （12 1 ）
0MN n ．
MN  面 BDE MN面 BDE．
（Ⅱ）易知 1 (100)n 面 CEM 法量．设 2 ()x y zn 面 EMN 法
量 2
2
0
0
EM
MN
  
n
n
(0 2 1)EM    (12 1)MN  20
20
yz
x y z
  
   
．妨
设 1y  2 ( 41 2)  n ．
12
12
12
4cos || | 21
   nnnn | n n
12
105sin 21 nn ．
二面角 C—EM—N 正弦值 105
21
．
（Ⅲ）题意设 AHh（ 04h≤ ≤ ） H（00h）进 ( 1 2 )NH h  
( 222)BE  ．已知
2
| | | 2 2 | 7| cos | 21| || | 5 2 3
NH BE hNH BE
NH BE h
    

整理
210 21 8 0hh   解 8
5h  1
2h  ．
线段 AH 长 8
5
1
2
．
11．解析（Ⅰ）设 AC BD 交点 E连接 ME ．
PD∥面 MAC面 MAC 面 PBD ME PD ME∥ ．
ABCD正方形 E BD 中点 PBC 中知 M PB 中点．

（Ⅱ）取 AD 中点O连接OP OE ．
PA PD OP AD ．
面 PAD  面 ABCDOP  面 PAD OP 面 ．
OE 面 OP OE ．
正方形OE AD ．
图建立空间直角坐标系O xyz (00 2)P(200)D( 240)B 
(4 40)BD  (20 2)PD ．
设面 BDP 法量 ()x y zn 0
0
BD
PD
  
n
n

4 4 0
2 2 0
xy
xz
 
．
令 1x  1y  2z  ． (11 2)n ．
面 PAD 法量 (010)p 1cos | || | 2
<>npnp np
．
题知二面角 B PD A锐角
3
 ．

（Ⅲ）题意知 2( 12 )2M  (240)D 2(32 )2MC ．
设直线 MC 面 BDP 成角 | | 2 6sin | cos | 9| || |
MCMC
MC
   <>nn
n
．
直线 面 成角正弦值 26
9
．
12．解析(1)∵面 PAD 面 ABCD AD 面 PAD  面 ABCD
∵ AB  AD AB  面 ABCD ∴ AB  面 PAD
∵ PD  面 PAD ∴ AB  PD
PD  PA ∴ PD  面 PAB
(2)取 AD 中点O连结CO PO
∵ 5CD AC ∴CO  AD
∵ PA PD ∴ PO  AD
O 原点图建系易知 (0 0 1)P(11 0)B(0 1 0)D (2 0 0)C
O
x
y
z
P
A
B
C
D

(11 1)PB (0 1 1)PD   (2 0 1)PC ( 2 1 0)CD   
设 n 面 PDC 法量令 00( 1)n x y ．
0 1 1120
n PD n
n PC
     
PB 面 PCD 夹角
1 11 32sin cos 31 1 1 34
n PBn PB
n PB

     
  

(3)假设存 M 点 BM∥面 PCD 设 AM
AP   0 ＇ ＇M y z
(2)知  010A  001P  0 11AP   110B  0 ＇ 1 ＇AM y z
 01 AM AP M    
∴  1 BM   
∵ BM∥面 PCD n PCD 法量
∴ 0BM n 1 02     ∴ 1 4
∴综存 M 点 1
4
AM
AP  时 M 点求．
13．解析(Ⅰ)连结 FC 取 中点 M连结 GM HM GM EF EF
底面 GM 底面 GM 底面 GM 面 ABC
MH BC BC 面 MH 面 MH 面 面
GHM 面 GH  面GHM GH 面 ．

(Ⅱ) 连结OB

AB BC OBA OO 原点分 OA OB OO zyx
轴建立空间直角坐标系．

1 232EF FB AC   AB BC ．
3)( 22  FOBOBFOO
(2 300)A( 2 300)C  (02 30)B(0 33)F
面 FBC 中量 (0 33)BF  (2 32 30)CB 
面 法量 1 ( 3 31)n 
面 ABC 法量 2 (001)n 
E F
B
A
C
O
O
x
y
z
E F
B
A
C
G H
设二面角 F BC A 

7
7
7
1cos
21
21 


nn
nn ．
二面角 余弦值
7
7 ．
14．解析(1)证明：找 AD 中点 I连结 FI ∵矩形OBEF∴ EF OB∥
∵GI 中点∴GI ABD 中位线∴GI BD∥ 1
2GI BD
∵ O 正方形 ABCD中心∴ 1
2OB BD ∴ EF GI∥ EF GI ．
∴四边形 EFIG 行四边形∴ EG FI∥
∵ FI  面 ADF∴ EG ∥面 ADF
(2)O EF C正弦值图示建立空间直角坐标系O xyz
I
z
y
x
A
B
CD
E
F
G
H
O

 0 2 0B   2 0 0C  0 2 2E   0 0 2F
设面CEF 法量  1n x y z
   
   
1
1
0 2 0 2 0
2 0 2 2 2 0
n EF x y z y
n CF x y z x z
     
       



：
2
0
1
x
y
z
 
 
 
∴  1 2 0 1n 
∵OC  面OEF∴面OEF 法量  2 1 0 0n 
12
12
12
2 6cos 331
nn
nn
nn

    


2
12
63sin 1 33nn    

(3)∵ 2
3AH HF ∴  2 2 2 2 42 0 2 05 5 5 5AH AF    

设  H x y z
∴   2 2 42055AH x y z    
：
32
5
0
4
5
x
y
z
 
 

 


3 2 4255BH 

1
2
1
64
755cos 21223 5
BH n
BH n
BH n

    


15．解析（Ⅰ）连接 BD 设 BD AC G 连接 EG FG EF ．

菱形 ABCD中妨设 1GB 120ABC 3AG GC
BE 面 ABCD AB BC 知 AE EC
∵ AE EC ∴ 3EG EG AC
Rt EBG 中 2BE 2
2DF ． Rt FDG 中 6
2FG ．
直角梯形 BDFE 中 2BD 2BE 2
2DF 32
2EF
∴ 2 2 2EG FG EF∴ EG  FG
∵ AC ∩ G∴ 面 AFC
∵ 面 AEC ∴面 面 ．
（Ⅱ）图G 坐标原点分 GB GC 方 x 轴y 轴正方||GB 单
位长度建立空间直角坐标系 Gxyz（Ⅰ） A(0－ 3 0)E(10 2 )
F(－10 2
2 )C(00)
∴ AE （1） CF （－1－ ）．
3cos 3| || |
   AE CFAE CF
AE CF
．
直线 AE CF 成角余弦值 3
3
．
16．解析解法：（Ⅰ）图取 AE 中点 H连接 HG HD

G BE 中点 1 2GH AB GH AB
F CD 中点 1 2DF CD
四边形 ABCD 矩形 AB ∥CD AB CD
GH ∥ DF GH DF ．
四边形 HGFD 行四边形GF ∥ DH
DH ADE GF ADE面 面 GF ∥面 ADE．
（Ⅱ）图面 BEG 点 B 作 BQ ∥ EC BE CE BQ BE ．

AB  面 BEC AB  BE AB  BQ ．
B 原点分 BE BQ BA 方 x 轴 y 轴 z 轴正方
建立空间直角坐标系 A(002)B(000)E(200)F(221)
 面 BEC A(B 002)面 法量
设 ()n x y z 面 AEF 法量． (20 2)AE  (22 1)AF 
AE 0 2 2 0
2 2 0AF 0
n x z
x y zn
      


取 2z (2 12)n  ．
A 4 2cos A 3 2 3| | | A |
nBnB
nB
   

面 AEF 面 BEC 成锐二面角余弦值 2
3
．
解法二：（Ⅰ）图取 中点 M连接 MG MF

G BE 中点知GM AE
AE ADE GM ADE面 面
面 ADE．
矩形 ABCD 中 MF分 AB CD 中点 MF AD ．
AD ADE MF ADE面 面 MF ADE面 ．
GM MF M GM  GMF MF GMF面 面
GMF面 面 ADE
GF GMF 面 GF ADE面
（Ⅱ）解法．
17．解析（Ⅰ）证法：连接 CDDG设 OGFCD  连接OH ．
三棱台 ABCDEF  中 DEAB 2 G AC 中点
GCDFGCDF 
四边形 DFCG 行四边形
O CD 中点 H BC 中点OH ∥ BD
OH 面 FGH BD 面 BD ∥面 ．
证法二：三棱台 ABCDEF  中 EFBC 2 H BC 中点
BH ∥ EF BH EF 四边形 BHFE 行四边形
BE ∥ HF
ABC 中G AC 中点 H BC 中点GH ∥ AB
HHFGH  面 FGH ∥面 ABED
BD 面 ABED BD ∥面 FGH ．
（Ⅱ）解法：设 2AB 1CF
三棱台 ABCDEF  中G AC 中点
GCACDF  2
1 四边形 DGCF 行四边形
DG ∥ FC FC 面 ABC DG 面
中 BCAB  45BAC G AC 中点
GCGBBCAB  GDGCGB 两两垂直
G 坐标原点建立图示空间直角坐标系 xyzG 
z
x
y
H
G
F
E
D
B
CA

)100()020()002()000(DCBG
)020()02
2
2
2(FH
)020()02
2
2
2( GFGH 
设 )( zyxn  面 FGH 法量

0
0
n GH
n GF
  

0
20
xy
yz
 

面 法量 )211( n
GB 面 ACFD 法量 200GB （）
21cos 2| | | | 22
GB nGB n
GB n
  


面 FGH 面 ACFD 成角（锐角） 60 ．
解法二：作 ACHM  点 M作 GFMN  点 N连接 NH ．
MN
H
AC
B
D
E
F
G

FC 面 ABC FCHM 
CACFC  HM 面 ACFD
NHGF  MNH 求角
BGC 中 MH ∥ BG 12
22MH BG
GCFGNM  ~
GF
GM
FC
MN 
6
6MN
HM 面 ACFD MN 面 MNHM 
3tan  MN
HMMNH  60MNH
面 FGH 面 ACFD 成角（锐角） 60 ．
18．解析（Ⅰ）图 1 中 1AB BC 2AD E AD 中点
 BAD
2
 BE  AC ．
图 2 中 BE  1OA  OC ．  面 1AOC．
CD ∥  面 ．

（Ⅱ）已知面 1A BE 面 BCDE（Ⅰ）知 BE   ．
1AOC 二面角 1 CA BE 面角 1OC 2A ．
图O 原点建立空间直角坐标系
11 1A B A E BC ED BC ED
2( 00)2B 2( 00)3E  1
2(00 )2A 2(0 0)2C．
22BC( 0)22 1
22A C(0 )22 CD BE ( 200) ．
设面 1BCA 法量 1 1 1 1()n x y z 面 1CDA 法量 2 2 2 2()n x y z
面 面 夹角
1
11
0
0
n BC
n AC
  
11
11
0
0
xy
yz
  
 
取 1 (111)n
2
21
0
0
n CD
n AC
  
2
22
0
0
x
yz

 
取 2 (011)n 
12
26cos | cos | 332
nn     


面 面 夹角余弦值 6
3
．
19．解析（Ⅰ）连接 BD 交 AC 点O连结 EO ．
ABCD矩形O BD 中点．
E PD 中点 EO ∥ PB ．
EO  面 AEC PB  面 PB ∥面 ．
（Ⅱ） PA  面 ABCD 矩形 AB AD AP 两两垂直．
图 A 坐标原点 AB 方 x 轴正方 AP 单位长建立空间直角
坐标系 A xyz
x
y
z
O
A
BC
D
P
E

(0 30)D 31(0 )22E 31(0 )22AE  ．
设 ( 00)( 0)B m m  ( 30)Cm ( 30)AC m ．
设 1 ()x y zn 面 法量
1
1
0
0
AC
AE
  
n
n

3 0
31022
mx y
yz
 

取 1
3( 1 3)mn ．
2 (100)n 面 DAE 法量
题设 12
1cos 2nn 2
31
3 4 2m 
解 3
2m  ．
E PD 中点三棱锥 E ACD 高 1
2
．
三棱锥 体积 1 1 3 1 333 2 2 2 8V       ．
20． 解析（Ⅰ）证明：∵四边形 ABCD等腰梯形 2AB CD
AB MA∥ CD MA 连接 1AD
1111 DCBAABCD  四棱柱 11 DCCD 11DCCD 
M AB 中点 1AM
AMCD  AMCD 
11 DCAM 11DCAM 
11DAMC 行四边形 11 MCAD
111 ADDAMC 面 111 ADDAAD 面 111 ADDAAD 面 ．
（Ⅱ）方法： （Ⅰ）知 面 11DCM 面 ABCD AB
作 ABCN  连接 ND1
NCD1 求二面角 1C AB C面角．
Rt BNC 中 1BC  060NBC
2
3CN
22
11
15
2ND CD CN  
1Rt D CN 中 1
1
5cos 5
CND NC DN   ．
方法二：连接 AC MC （Ⅰ）知CD AM∥ CD AM
∴ AMCD 行四边形． BC AD MC题意 60ABC DAB   
MBC 正三角形．
2 2 3AB BC CA   ∴CA CB ．
x
z
y
M
A1
AB
B1
D1 C1
DC

C 原点CD x 轴CP y 轴 1CD z 轴建立空间坐标系
)02
32
1()300()301( 11 MDC 
)32
32
1()001( 111  MDDC
设面 MDC 11 法量 )( 111 zyxn 






032
3
2
1
0
111
1
zyx
x
)120(1n
显然面 ABCD 法量 )001(2 n
5
5
5
1cos
21
21
21 
nn
nnnn
显然二面角锐角
面 MDC 11 面 ABCD 成角余弦值
5
5
1
1
3
352cos 515 15
2
NCD CN DN     
21．解析（Ⅰ）（方法）∵ BC BD DF FC
120CBD  ∴ΔBCF RT 三角形
FCBF  ．理∵ BC BA AE EC
120ABC   ΔBCE 三角形
BE EC ∴ΔBCF  ΔBCE
E 作 EO BC 垂足O连接OF
证出 EOC FOC  

2EOC FOC     FO BC ．
证出 BC  面 EOF EF 面 EF BC ．
BC
D
A
F
E
O

（方法二）题意 B 坐标原点面 DBC 作垂直 BC 直线 x 轴
直线 y 轴面 ABC 作垂直 直线 z 轴建立图示空
问直角坐标系．易  000B(0 1 3)A 
x
y
z
BC
D
A
F
E

( 3 10)D  (020)C． 13(0 )22E
31( 0)22F∴ 33( 0 )22EF 
(020)BC  0EF BC 
∴ EF BC EF BC ．
（Ⅱ）图中面 BFC 法量 1 (001)n ．设面 BEF 法量
2 ()x y zn 31( 0)22BF  13(0 )22BE 
2
2
0
0
BF
BE
  
n
n
中 2 (0 31)n ．
设二面角 E BF C 题意知 锐角
2
12
12
1cos cos
5
     1nnnn nn
2 2 5sin 55
 
求二面角正弦值 25
5
．
22．解析（Ⅰ）连接 1BC 交 1BCO点 连接 AO侧面 11BB C C菱形
1 1 1 1B C BC O B C BC 中点
11AB B C B C ABO 面
1AO ABO B C AO 面
11 B O CO AC AB

（Ⅱ） 11AC AB O B C AO CO 中点
AB BC BOA BOC   
1OA OB OA OB OB 两两相互垂直
O OB x OB坐标原点 方 轴正方 单位长
O xyz建立图示空间直角坐标系 ．
z
x y
O

1160 CBB CBB AB BC     等边三角形
1
1 1 1 1 1
3 3 3(0 0 ) (10 0) (0 0) (0 0)3 3 3
3 3 3 3(0 ) (10 ) ( 1 0)3 3 3 3
ABBC
AB A B AB B C BC

        


11
1
11
()
3300 33
0 3 03
(1 3 3)
x y z AA B
yzAB
AB xz

    

设 面 法量


取
n
n
n
n

11
1 1 1
11
0
0
(1 3 3)
ABABC
BC
m
  

设 面 法量
理取
mm
m
1cos 7
nmnm nm
1 1 1
17AABC二面角 余弦值
23．解析：（Ⅰ） ABD  面 BCD面 ABD 面 BCD BD AB面
ABD AB BD AB 面 BCD CD  面 BCD AB CD ．
（Ⅱ）点 B 面 BCD作 BE BD 图．
（Ⅰ）知 AB 面 BCD BE  面 BCD AB BE AB BD． B 坐
标原点分 BE BD BA 方 x 轴 y 轴 z 轴正方建立空间直角坐标系．
z
y
x
BD
C
A
M

题意 11(000) (110) (010) (001) (0 )22BCDAM．
11(110) (0 ) (01 1)22BC BM AD    ．
设面 MBC 法量 0 0 0()n x y z ．
0
0
n BC
n BM
 


00
00
0
1 02
xy
yz
 
．
取 0 1z  面 MBC 法量 (1 11)n  ．
设直线 AD 面 MBC 成角
6sin cos 3
n AD
n AD
n AD


    
直线 AD 面 MBC 成角正弦值 6
3
．
24．解析（Ⅰ）直角梯形 BCDE 中 1DE BE 2CD  2BD BC
2 2AC AB 2 2 2AB AC BC AC BC
面 ABC 面 AC 面
AC DE DE DC DE 面 ACD．
（Ⅱ）方法：作 BF AD AD 交点 F点 作 FG DE
AE 交点G连结 BG （Ⅰ）知 DE AD FG AD
BFG 二面角 EADB  面角直角梯形 中
2 2 2CD BD BC BD BC
面 面 BD  面 ABC BD AB
面 ： AC CD Rt ACD中
2AC  6AD 

Rt AED 中 1DE  7AE 
Rt ABD 中 2BD  2AB  6AD 
23
3BF  2
3AF AD 2
3GF 
ABE ABG 中利余弦定理分 5 7 2cos 14 3BAE BG  
BFG 中
2 2 2 3cos 22
GF BF BGBFG BF GF
  


6BFG 二面角 EADB 
6
 ．
方法二： D 原点分射线 DE DC xy轴正半轴建立空间直角坐标系
D xyz 图示题意知点坐标：
x
z
yD
B
A
E
C

         000 100 020 02 2 110DECAB
设面 ADE 法量  1 1 1m x y z 面 ABD 法量  2 2 2n x y z
算  0 2 2AD       110 1 2 2DB AE   
0
0
m AD
m AE
  
11
1 1 1
0 2 2 0
2 2 0
yz
x y z
   
  
取  01 2m 
0
0
n AD
n BD
  
22
22
0 2 2 0
0
yz
xy
    
取  11 2n 
3cos 2
mn
mn
mn

    题意知
求二面角锐角二面角 ．
25．解析（Ⅰ） PD  面 ABCD
PD AD CD AD PD CD D
AD面 PCD
AD PC AF PC
PC面 ADFCF ADF 面
（Ⅱ）设 1AB  Rt PDC 中 1CD  030DPC
2PC 3PD  （Ⅰ）知CF DF
3
2DF 227
2AF AD DF  
221
2CF AC AF    FE CD
1
4
DE CF
PD PC   3
4DE理 33
44EF CD

图示 D 原点建立空间直角坐标系 (001)A
3( 00)4E 3 3( 0)44F( 300)P(010)C
设 ()m x y z 面 AEF 法量 m AE
m EF
  

3( 00)4
3(0 0)4
AE
EF
 



3 04
3 04
m AE x z
m EF y
    
  
令 4x  3z  (40 3)m 
（Ⅰ）知面 ADF 法量 ( 310)PC 
设二面角 D AF E面角 知 锐角
||cos | cos |
| | | |
m PCm PC
m PC
    

 4 3 2 57
1919 2


求．
26．解析（Ⅰ）图四边形 11ACC A 矩形 1CC AC ．理 1DD BD ．
1CC ∥ 1DD 1CC BD ． AC BD O 1CC  底面 ABCD．题
设知 1OO∥ 1CC． 1OO 底面 ．
（Ⅱ）解法 图 1O 作 11O H OB H
H

连接 1HC （Ⅰ）知 底面 底面 1 1 1 1ABCD
11AC ．四棱柱 ABCD 棱长
相等四边形 菱形 1 1 1 1ACBD
1 1 1 1AC BDD B 面 1 1 1AC OB
1 1 1OB O HC 面 进 11OB C H ．
11C HO 二面角 11C OB D面角．
妨设 AB2． 60OCBA 3OB  117OC OB．
11tR OO B 中易知 1 1 1
1
1
32 7
OO O BOH OB
． 11 1OC 
22
1 1 1 1
12 191 77CHOCOH     ．
1
11
1
32 2 577cos 1919
7
OHC HO CH    ．
二面角 11C OB D余弦值 2 57
19
．
解法 2 四棱柱 ABCD 1 1 1 1ABCD 棱长相等四边形 菱
形 AC BD ． 1OO 底面 OBOC 1OO 两两垂直．
z
x y

图 O 坐标原点OBOC 直线分 x 轴 y 轴 z 轴建立空间
直角坐标系．妨设 AB2． 60OCBA 3OB  1OC  相关
点坐标：O(000) 1( 302)B 1(012)C．
易知 1 (010)n  面 11BDD B 法量．
设 2 ()n x y z 面 11OB C 法量 21
21
0
0
n OB
n OC
  
3 2 0
2 0
xz
yz
  

取 3z  2 2 3xy 2 (22 3 3)n ．
设二面角 11C OB D 易知 锐角
12COS COS n n    12
12
23
19
nn
nn
  
．
二面角 余弦值 ．
27．解析：（Ⅰ）该四面体三视图知：
BD DC BD AD AD DC 2 1BD DC AD  
题设 BC ∥面 EFGH
面 面 BDC FG
面 EFGH 面 ABC EH
BC ∥ FG BC ∥ EH FG ∥ EH ．
理 EF ∥ AD HG ∥ EF ∥ HG ．
四边形 行四边形
BD AD AD DC BD DC D  
AD  面 BDC
AD BC
BC ∥ ∥
EF FG
四边形 矩形
（Ⅱ）图 D 坐标原点建立空间直角坐标系
H
G
F
E
D
C
B
A
z
y
x

(000)D(001)A(200)B(020)C
(001)DA  ( 220)BC 
设面 法量 ()n x y z
∥ ∥
0 0n DA n BC    
z 0
2x+2y 0



取 (110)n 


28．解析（Ⅰ）取 AB 中点 E
连结 CE 1AB 1AE
2 10sin | cos | | 5| | | | 52
BA nBA n
BA n
       
 
∵AB 1AA 1BAA 060 ∴ 1BAA 正三角形
∴ 1AE⊥AB ∵CACB ∴CE⊥AB
∵ 1CE A E E∴AB⊥面 1CEA
∴AB⊥ 1AC

（Ⅱ）（Ⅰ）知 EC⊥AB 1EA ⊥AB
∵面 ABC⊥面 11ABB A 面 ABC∩面 AB∴EC⊥面 ∴EC⊥
∴EAEC 两两相互垂直 E 坐标原点 EA 方 x 轴正方| |
单位长度建立图示空间直角坐标系O xyz

题设知 A(100) 1A(0 3 0)C(00 )B(－100) BC （10）
1BB 1AA (－10 ) 1AC(0－)
设 n ()x y z 面 11CBB C 法量

1
0
0
BC
BB
  
n
n
30
30
xz
xy
 

取 （11）
∴ 1cos ACn 1
1 |
AC
AC
n
| n ||
10
5

∴直线 A1C 面 BB1C1C 成角正弦值 ．
29．解析（Ⅰ）连结 1AC 交 1AC点 O连结 DO O 中点
D AB 中点 OD∥ 1BC OD 面 1ACD
 面 1BC 面
（Ⅱ） 1AA ACCB 2
2 AB 设：AB 2a ACCB 2a
AC⊥BC直棱柱点 C 坐标原点分直线 CACB
1CC x 轴y 轴z 轴建立空间直角坐标系图
z
x
y
F
E
D
C
B
A
A1
B1
C1

(000)C 1( 2 0 2 )A a a 22( 0)22
aaD 2(0 2 )2
aEa
1 ( 2 0 2 )CA a a 22( 0)22
aaCD  2(0 2 )2
aCE a
1
2( 2 2 )2
aA E a a   设面 法量 ()n x y z
0n CD 1 0n CA解 y x z   令 1x  面
法量 (1 1 1)n    理面 1ACE 法量 (21 2)m 
cos nm  3
3
6sin 3nm 
二面角 D 1ACE 正弦值 6
3
．
30．解析（Ⅰ）图 1 中易 3 3 2 2 2OC AC AD  
连结 OD OE OCD 中余弦定理
222 cos45 5OD OC CD OC CD     
翻折变性知 22AD 
2 2 2A O OD A D A O OD 
理证 A O OE  OD OE O AO 面 BCDE．
（Ⅱ）传统法O 作OH CD 交CD 延长线 H连结 AH

面 A H CD 
A HO 二面角 A CD B面角．
结合图 1 知H AC 中点 32
2OH  2230
2A H OH OA  
15cos 5
OHA HO AH
   二面角 面角余弦值 15
5
．
量法O 点原点建立空间直角坐标系O xyz 图示

 00 3A  0 30C   1 20D 
 03 3CA   12 3DA 
设  n x y z 面 A CD 法量
0
0
n CA
n DA
  
3 3 0
2 3 0
yz
x y z
 
   
解
3
yx
zx
 
令 1x   1 1 3n 
(Ⅰ) 知  00 3OA  面CDB 法量
3 15cos 535
n OAn OA
n OA
   


二面角 A CD B面角余弦值 15
5
．
31．解析：（Ⅰ）解法 题意易知 1OA OB OA 两两垂直 O 原点建立直角坐标
系图：

       
1
1
1
2
1
100 010 111 (0 10) 001
AB AA
OA OB OA
ABCDA

   
  

 1 1 2 111 A B AB B 易
1 ( 10 1) (0 20)AC BD    
1 ( 101)BB 
1 1 10 0AC BD AC BB    

1 1 1AC BD AC BB  
1 1 1 AC BB D D面
解法二： 11AO ABCD AO BD  面
ABCD 正方形
BD AC 1 BD AOC面 1 BD AC
1OA AC 中垂线
11 2 2A A AC AC    2 2 2
11AC AA AC  
1AAC 直角三角形 11AA AC
11BB AA
11AC BB 1 1 1 AC BB D D面
（Ⅱ） 1 ( )OCB n x y z设面 法量
1( 100) ( 111)OC OB   
1
0
0
n OC x
n OB x y z
          
0

x
yz
 
取 (01 1)n 
（Ⅰ）知 1 1 1( 10 1)AC BB D D   面 法量
1
11cos | cos | 222
n AC     


0 23
   ＝
32．解析（Ⅰ）直线 l ∥面 PAC 证明：
连接 EF EF 分 PA PC 中点 EF AC ．
EF  面 ABC AC  面 ABC EF 面 ABC ．
EF  面 BEF 面 BEF 面 ABC l EF l ．
l  面 PAC 面 直线 面 PAC ．
（Ⅱ）（综合法）图 1连接 BD （Ⅰ）知交线l 直线 BD l AC ．

AB O 直径 AC BC l BC ．
已知 PC  面 ABC l  面 ABC PC l ．
PC BC C l  面 PBC ．
连接 BE BF BF  面 PBC l BF ．
CBF 二面角 E l C 面角 CBF ．
1
2DQ CP 作 DQ CP 1
2DQ CP ．
连接 PQ DF F CP 中点 2CP PF DQ PF
四边形 DQPF 行四边形 PQ ∥ FD ．
连接CD PC  面 ABC CD FD 面 ABC 射影
CDF 直线 PQ 面 ABC 成角 CDF ．
BD  面 PBC BD BF 知 BDF 锐角
异面直线 PQ EF 成角 BDF 
Rt △ DCF Rt △ FBD Rt △ BCF 中分
sin CF
DF  sin BF
DF  sin CF
BF 
sin sin sinCF BF CF
BF DF DF      sin sin sin   ．
（Ⅱ）（量法）图 2 1
2DQ CP 作 DQ CP 1
2DQ CP ．
连接 PQ EF BE BF BD （Ⅰ）知交线l 直线 BD ．
点 C 原点量 CA CB CP 直线分 x y z 轴建立图示空间直
角坐标系

设 2CA a CB b CP c  
(0 0 0) ( 0 0) (0 0) (0 0 2 ) ( )C Aa Bb P cQabc
1( 0 ) (0 0 )2E a c F c ．
1( 0 0)2FE a ()QP a b c   (0 )BF b c

2 2 2
||cos
| | | |
FE QP a
FE QP abc
 
 

22
2
2 2 2
sin 1 cos bc
abc
  

．
取面 ABC 法量 (0 0 1)m
2 2 2
||sin
| | | |
QP c
QP abc
 
 
m
m

设面 BEF 法量 ()x y zn
0
0
FE
BF
  
n
n

1 02
0
ax
by cz
 
  
取 (0 )cbn ．

22
||| cos | | | | |
b
bc
  
mn
mn
2
22
sin 1 cos c
bc
  

．

22
2 2 2 2 2 2 2 2
sin sin sinb c c c
a b c b c a b c
     
    

sin sin sin   ．
33．解析解法 图点 A 原点建立空间直角坐标系
x
z
y
B
CC1
B1
DD1
A1A
E

题意 A(000)B(002)C(101)B1(022)C1(121)E(01
0)
（Ⅰ）易 11BC （101） CE （111） 11 0B C CE 11B C CE ．
（Ⅱ） 1BC（121）．设面 1B CE 法量  x y zm 1 0
0
BC
CE
  
m
m

20
0
x y z
x y z
  
   
消 x y+2z 0妨令 z1法量 m （32
1）．（Ⅰ）知 11B C CE 1 1 1CC B C 11BC  面 1CEC 11BC （1
01）面 法量．
11
11
11
4 2 7cos 7| || | 14 2
BCBC
BC
     

mm
m

11
21sin 7BC m
二面角 B1－CE－C1 正弦值 21
7
．
（Ⅲ） AE （010） 1EC (1l1)设  1 EM EC    01≤ ≤
  1AM AE EM       ．取 AB （002）面 11ADD A 法
量设 直线 AM 面 11ADD A 成角

2
sin cos
3 2 1
AM AB
AM AB
AM AB



    
 


2
2
63 2 1




解 1
3  2AM 
34．解析（Ⅰ） Rt DAC 中 AD AC ： 45ADC 
理： 1 1 145 90A DC CDC    
： 1 1 1DC DC DC BD DC    面 1BCD DC BC
（Ⅱ） 11DC BC CC BC BC    面 11ACC A BC AC
取 11AB 中点O点 作OH BD 点 H连接 11COCH
1 1 1 1 1 1 1ACBCCOAB   面 1 1 1ABC  面 1A BD 1CO面
1OH BD C H BD   ：点 H 点 D 重合
1C DO 二面角 11 CBDA  面角
设 AC a 1
2
2
aCO 1 1 12 2 30C D a C O C DO     
二面角 30
35．解析（Ⅰ） A 原点 1AB AD AA 方分
x 轴 y 轴 z 轴正方建立空间直角坐标系(图)．

设 AB a (000)A(010)D 1(011)D102
aE


1( 01)Ba 1 (011)AD  1 1 12
aBE   
1 ( 01)AB a
102
aAE  
．
∵ 11 0 1 1 ( 1) 1 02
aAD B E          ∴ 11B E AD
（Ⅱ）假设棱 AA1 存点 0(00 )Pz DP∥面 1B AE ．时 0(0 1 )DP z ．
设面 法量 n(xyz)．
∵  面 ∴ 1ABn AEn
0
02
ax z
ax y
 

取 1x  面 法量 1 2
a a  
n ．
DP 面 DPn 0 02
a az解 0
1
2z  ．
DP  面 ∴存点 P满足 DP 面 时 AP1
2．
（Ⅲ）连接 A1DB1C长方体 ABCDA1B1C1D1 AA1AD1 AD1  A1D．
∵B1CA1D∴AD1 B1C．
（Ⅰ）知 B1E AD1 B1C∩B1EB1
∴AD1 面 DCB1A1．∴ 1AD 面 A1B1E 法量时 (011)．
设 n 成角 θ
1
2
21
2cos
21 4
a an AD
n AD a a


 
．
∵二面角 AB1EA1 30°
∴ cos cos30 
2
3
32
2521 4
a
a



解 2a  AB 长 2．
36．解析（Ⅰ） MN 分 PB PD 中点 MN PBD 中位线
MN BD MN 面 ABCD MN 面
（Ⅱ）方法：连接 AC 交 BD OO 原点 OC OD 直线 xy轴建
立空间直角坐标系Oxyz 图示．

菱形 中 120BAD  
2 3 3 6AC AB BD AB   
PA 面 PA AC
直角 PAC 中 2 3 2 6AC PA AQ PC   2 4QC PQ
知点坐标
33( 300) (0 30) ( 300) (030) ( 302 6) ( 6)22ABCDPM    
3 3 3 2 6( 6)( 0 )2 2 3 3NQ ．
设 ()x y zm 面 AMN 法量 3 3 3 3( 6) ( 6)2 2 2 2AM AN  
知
33 6022
33 6022
x y z
x y z
   
   
取 1z  (2 20 1)m ．
设 ()x y zn 面QMN 法量
5 3 3 6 5 3 3 6( ) ( )6 2 3 6 2 3QM AN     知
5 3 3 6 06 2 3
5 3 3 6 06 2 3
x y z
x y z
   
   
取 5z  (2 205)n
33cos 33
  
mnmn | m | | n |
二面角 A MN Q面角余弦值 33
33
方法二：菱形 ABCD中 120BAD  
3AC AB BC CD DA BD AB    
PA 面
PA AB PA AC PA AD  
PB PC PD
PBC PDC  
MN 分 PB PD 中点
MQ NQ 11
22AM PB PD AN  
取线段 MN 中点 E连接 AE EQ AE MN EQ MN
AEQ 二面角 面角
2 3 2 6AB PA
AMN 中 13 32AM AN MN BD    33
2AE 
直角 PAC 中 AQ PC 2 2 2 4AQ QC PQ  
PBC 中
2 2 2 5cos 26
PB PC BCBPC PB PC
  

222 cos 5MQ PM PQ PM PQ BPC     
等腰 MQN 中 5 3MQ NQ MN  
2 2 2 33cos 2 33
AE QE AQAEQ AE QE
  
二面角 A MN Q面角余弦值 33
33
37． 解析（Ⅰ） 60 2DAB AB AD    余弦定理 3BD AD
222BD AD AB BD  AD
PD  底面 ABCD BD  PD
BD  面 PAD． PA  BD
（Ⅱ）图 D 坐标原点AD 长单位长射线 DA x 轴正半轴建立空间
直角坐标系 D xyz

 100A  0 30B  1 30C   001P．
( 1 30) (0 3 1) ( 100)AB PB BC     
uuuv uuv uuuv

设面 PAB 法量 ()x y zn 0
0
AB
PB
 

uuur
uur
n
n


30
30
xy
yz
  


取 n ( 31 3)
设面 PBC 法量 m
0
0
PB
BC
 

uur
uuur
m
m

取 m （01 3 ）
4 2 7cos 727
  mn
二面角 APBC 余弦值 27
7 ．
38．解析（Ⅰ）（综合法）证明：设 G 线段 DA EB 延长线交点． OAB ODE
正三角形OB ∥ DE2
1 OGOD2
理设G 线段 DA 线段 FC 延长线交点 2 ODGO
G G 线段 DA 延长线 G G 重合．
GED GFD 中 OC DF2
1 知 B C 分 GE
GF 中点 BC GEF 中位线 BC∥EF．
（量法）点 F 作 ADFQ  交 AD 点 Q连 QE面 ABED  面 ADFC
知 FQ 面 ABED Q 坐标原点QE x 轴正QD y 轴正QF
z 轴正建立图示空间直角坐标系．
条件知 )2
32
30()02
32
3()300()003(  CBFE
33( 0 ) ( 303)22BC EF    2BCEF  BC∥EF．

（Ⅱ） OB1OE2
2
360  EOBSEOB 知 OED 边长 2 正三角形
3OEDS 2
33 OEDEOBOBEDSSS
点 F 作 FQ  AD交 AD 点 Q面 ABED 面 ACFD 知FQ 四棱锥
F—OBED 高 FQ 3 2
3
3
1  OBEDOBEDFSFQV
39． 证明（Ⅰ）△ PAD 中 EF 分 APAD 中点 EFPD．
EF 面 PCDPD 面 PCD直线 EF面 PCD．

（Ⅱ）连结 DB ABAD∠BAD60° ABD 正三角形 F AD
中点 BF  AD．面 PAD 面 ABCDBF 面 ABCD面 PAD
面 ABCDAD BF 面 PAD． BF 面 BEF面 BEF 面
PAD．
40． 证明：（Ⅰ）连结CF ¼AEC 半径 a 半圆 AC 直径点 E »AC
中点 EB AC ．
RT BCE 中 2 2 2 2 2EC BC BE a a a     ．
BDF 中 5BF DF a 等腰三角形
点C 底边 BD 中点CF BD ．
CEF 中 2 2 2 2 2 2( 2 ) (2 ) 6CE CF a a a EF    
Rt CF EC ．
CE BD CICF  面 BED
EB 面 CF EB．
EB CF AC CF CI EB  面 BDF
FD  面 EB FD ．

（Ⅱ）设面 BED 面 RQD 交线 DG ．
2
3FQ FE 2
3FR FB 知 QR EB ．
EB 面 BDE∴ QR 面
面 I 面 RQD DG
∴ QR DG EB ．
（Ⅰ）知 BE  面 BDF∴ DG 面
DR DB  面 ∴ DG DR DG DQ
∴ RDB 面 面 成二面角面角．
Rt BCF 中 2 2 2 2( 5 ) 2CF BF BC a a a    
22sin
55
FC aRBD BF a
    2 1cos 1 sin
5
RBD RBD     ．
BDR 中 知 15
33
aBR FB
余弦定理 222 cosRD BD BR BD BR RBD    
225 5 1 29(2 ) ( ) 2 23 3 35
aaa a a      
正弦定理
sin sin
BR RD
RDB RBD

5 29
33
2sin
5
aa
RDB 

2 29sin 29RDB ．
面 BED 面 RQD 成二面角正弦值 2 29
29
．
41．解析： H 原点 HA HB HP 分 x y z 轴线段 HA 长单位长 建
立空间直角坐标系图 (100) (010)AB

（Ⅰ）设 ( 00) (00 )( 0 0)C m P n m n 1(0 0) ( 0)22
mD m E
1( ) ( 10)22
mPE n BC m   
0022
mmPE BC     PE BC
（Ⅱ）已知条件 33 133m n C    ( 00)
3 1 3(0 0) ( 0) (001)3 2 6DEP
设 ()n x y x 面 PEH 法量 0
0
HE
HP
  
n
n

13026
0
xy
z
 
 

取 (1 30)n (10 1)PA  2cos 4PA n
直线 PA 面 PEH 成角正弦值 2
4
．
42．解析方法：图示建立空间直角坐标系
点 A 坐标原点设 1AB  题意 (020)D(121)F 1(004)A 31 02E



（Ⅰ）易 10 12EF  
1 (02 4)AD
1
1
1
3cos 5
EF A DEF A D
EF A D
  
异面直线 EF 1AD成角余弦值 3
5
（Ⅱ）已知 (121)AF  1
31 42EA   
11 02ED 

AF · 1EA 0·ED 0． 1AF EA AF ED 1EA ED E
AF 面 1A ED ．
（Ⅲ）设面 EFD 法量 ()u x y z 0
0
u EF
u ED
  


1 02
1 02
yz
xy
 
  
妨令 x 1 (12 1）u ．（Ⅱ）知
AF 面 1A ED 法量． 2cos 3| || |
u AFu AF
u AF

5sin 3u AF
二面角 1A EDF 正弦值 5
3
．
方法二：（Ⅰ）设 AB1 AD2AA14CF1．CE 1
2
连接 B1CBC1设 B1C BC1 交点 M易知 A1D∥B1C
1
CE CF 1CB CC 4
知 EF∥BC1 BMC 异面直线 EF A1D 成角
易知 BMCM 1
1 B C 52
2 2 2 3cos 25
BM CM BCBMC BM CM
  
异面直线 FE A1D 成角余弦值 3
5
（Ⅱ）连接 AC设 AC DE 交点 N 1
2
CD EC
BC AB Rt DCE Rt CBA
CDE BCA   90CDE CED    90BCA CED   
AC⊥DE CC1⊥DE 1CC AC C DE⊥面 ACF AF⊥DE．连
接 BF理证 B1C⊥面 ABF AF⊥B1C AF⊥A1D 1DE A D D
AF⊥面 A1ED．
（Ⅲ）连接 A1NFN（Ⅱ）知 DE⊥面 ACF NF 面 ACF A1N  面
ACF DE⊥NFDE⊥A1N 1A NF 二面角 A1EDF 面角
易知 Rt CNE Rt CBA CN EC
BC AC 5AC  5
5CN 
22
1
30
5Rt NCF NF CF CN Rt A AN   中 中
22
11
4 30
5NA A A AN  
连接 A1C1A1F 22
1 1 1 1 1 1 14RtACF AF AC CF   中
2 2 2
11
11
1
2cos 23
A N FN A FRt A NF A NF A N FN
   
中．
1
5sin 3A NF二面角 A1DEF 正弦值 5
3
．

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