人教A版选修2-1第三章3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示达标过关训练

314　空间量正交分解坐标表示
选择题
1．四命题中正确(　　)
A．空间量三定量表示
B．{abc}空间基底abc全零量
C．量a⊥bab量构成空间基底
D．三线量构成空间基底
答案：B
2．已知点A基底{abc}坐标(864)基底a＝i＋jb＝j＋kc＝k＋i点A基底{ijk}坐标(　　)
A．(110) B．(101214)
C．(101) D．(121410)
解析：＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k∴点A基底{ijk}坐标(121410)．
答案：D
3．{e1e2e3}空间量基底a＝e1＋e2＋e3b＝e1＋e2－e3c＝e1－e2＋e3d＝e1＋2e2＋3e3d＝xa＋yb＋zcxyz值分(　　)
A．－1－ B．1
C．－1－ D．－1
解析：题意xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝e1＋2e2＋3e3空间量基定理解
答案：A
4．(2019·陵川高二月考)点P矩形ABCD面外点PA⊥面ABCDMN分PCPD点＝＝满足＝x＋y＋z实数xyz值分(　　)
A．－ B．－
C．－－ D．－－
解析：图示取PC中点E连接NE

＝－＝－(－)＝－－＝－
＝－－(－＋＋)＝－－＋
较知x＝－y＝－z＝
答案：D
5．已知三棱锥P－ABC中PA⊥面ABCAB⊥ACPA＝AB＝AC＝1图建立空间直角坐标系A－xyz设G△PBC重心坐标(　　)

A． B．
C． D．
解析：题意知B(100)C(010)P(001)．

取BC中点MM0
∵G△PBC重心设G坐标(xyz)
＝(xyz－1)＝G
∴＝
答案：D
二填空题
6．图示直三棱柱ABC－A1B1C1中AB⊥ACDE分AA1B1C中点记＝a＝b＝c＝________(abc表示)

解析：＝＋＋＝－＋＋
＝－＋＋(＋)
＝＋(＋)
＝＋＝a＋b
答案：a＋b
7．已知空间基底{abc}m＝a－b＋cn＝x a＋y b＋cmn线x＝______y＝______
解析：∵mn线∴存实数λm＝λn
a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc
解
答案：1　－1
8．正方体ABCD－A1B1C1D1中点EF分底面A1C1侧面CD1中心．＋λ＝0(λ∈R)λ＝________
解析：图连接A1C1C1DEA1C1中点FC1D中点．∴△A1DC1中EF∥A1DEF＝A1D

∴－＝0
∴λ＝－
答案：－
三解答题
9 (2019·孝感市七校联盟期末)图正四棱锥P－ABCD中底面ABCD边长1正方形OACBD交点PO＝1MPC中点．设＝a＝b＝c

(1)量abc表示
(2)图空间直角坐标系中求 坐标．
解：(1)∵＝＋＝＝＝－＝＋
∴＝＋(－)＝＋－(＋)
＝－＋＋＝－a＋b＋c
(2)∵A(000)OPB(100)D(010)
∴a＝＝(100)b＝＝(010)．
∴c＝＝－＝
∴＝－a＋b＋c＝－(100)＋(010)＋1＝－
10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长1点EF分线段A1DACEF⊥A1DEF⊥AC点D坐标原点DADCDD1分作x轴y轴z轴建立空间直角坐标系D－xyz图．

(1)求量坐标
(2)求证：EF∥BD1
解：(1)∵正方体ABCD－A1B1C1D1棱长1设＝e1＝e2＝e3{e1e2e3}单位正交基底．

∵线线
∴设＝λ＝μ
＝＋＋
＝λ＋＋μ
＝λ(＋)＋＋μ(－)
＝(λ＋μ)＋(1－μ)＋λ
＝(λ＋μ)e1＋(1－μ)e2＋λe3
∵EF⊥A1DEF⊥AC⊥⊥
∴·＝0·＝0
∵＝－＝－e1－e3
＝－＝e2－e1
∴[(λ＋μ)e1＋(1－μ)e2＋λe3]·(－e1－e3)＝0
[(λ＋μ)e1＋(1－μ)e2＋λe3]·(e2－e1)＝0
整理
解λ＝－μ＝
∴＝e1＋e2－e3
＝
(2)证明：∵＝＋＝＋＋＝－e1－e2＋e3
∴＝－线．
EFBD1公点∴EF∥BD1
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