专题强化练6空间向量与立体几何的综合应用 高二上学期数学人教A版选修2-1第三章（Word含答案）


专题强化练6　空间量立体综合应

解答题
1(2018安徽合肥高三二检★★☆)图1矩形ABCD中AB1AD2EAD中点BE△ABE折起△PBE位置图2点P面BCDE射影O落BE

(1)求证BP⊥CE
(2)求二面角BPCD余弦值








2(2019福建长泰中高二期末★★☆)图行四边形ABCD中AB1BD2∠ABD90°△ABD角线BD折起AC2
(1)求证面ABD⊥面BCD
(2)求异面直线BCAD成角余弦值
(3)E线段AC动点线段EC长少时DE面BCD成角正弦值77











3(2019湖北冶中高二月考★★★)图四棱锥PABCD中底面ABCD边长2正方形侧面PAB⊥底面ABCDPA⊥PB
(1)求证面PAD⊥面PBC
(2)三棱锥PABC体积时求二面角BACP余弦值













4 (2020北京丰台高三期末★★★)图三棱柱ABCA1B1C1中AA1⊥面ABC∠BACπ2AA1ABAC1HCC1中点
(1)求证AB⊥A1C
(2)求二面角A1BCA余弦值
(3)问棱A1B1否存点NHN∥面A1BC存求出A1NA1B1值存请说明理











答案全解全析

解答题
1解析　(1)证明∵点P面BCDE射影O落BE
∴PO⊥面BCDE∴PO⊥CE
题意知BE⊥CEPO∩BEO
∴CE⊥面PBE
∵BP⊂面PBE∴BP⊥CE
(2)O坐标原点点O行CD直线x轴点O行BC直线y轴PO直线z轴建立图示空间直角坐标系

易知OBE中点
B12120C12320
D12320P0022
∴CD(100)CP123222PB121222BC(020)
设面PCD法量n1(x1y1z1)
n1·CD0n1·CP0
x1012x132y1+22z10令z12
n10232面PCD法量
设面PBC法量n2(x2y2z2)
n2·PB0n2·BC0x2y22z20y20
令z22n2(202)面PBC法量
∴cosn1·n2|n1||n2|3311
题图知二面角BPCD面角钝角二面角BPCD余弦值3311
2解析　(1) 证明Rt△ABD中ADAB2+BD23
∵四边形ABCD行四边形
∴BCAD3CDAB1AC2
∴△ABC中AB2+BC2AC2
∴AB⊥BC
AB⊥BDBC∩BDB ∴AB⊥面BCDAB⊂面ABD
∴面ABD⊥面BCD
(2)图B坐标原点建立空间直角坐标系

A(001)D(020)C(120)BC(120)DA(021)
cosBC·DA|BC||DA|23×323
∴异面直线BCAD成角余弦值23
(3)DC(100)CA(121)
设CEλCA(λ2λλ)(0≤λ≤1)DEDC+CE(1λ2λλ)
易知面BCD法量n(001) 设DE面BCD成角θ
sin θ|cos||DE·n||DE||n|77
∴|λ|(1λ)2+2λ2+λ277 解λ13(负值舍)
∴CE13CACE23
3解析　(1)证明∵侧面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCDAB四边形ABCD正方形∴BC⊥ABBC⊂面ABCD
∴BC⊥面PAB
AP⊂面PAB∴AP⊥BC
AP⊥PBPB∩BCB
∴AP⊥面PBCAP⊂面PAD
∴面PAD⊥面PBC
(2)VPABCVCAPB13×12×PA×PB×BC13×PA×PB
PA×PB时VPABC
令PAxPBy∵PA⊥PB∴x2+y24
∴VPABC13xy≤13×x2+y2223仅xy2PAPB2时VPABC取值23
图示分取线段ABCD中点OF连接OPOFO坐标原点OPOBOF直线分x轴y轴z轴建立空间直角坐标系Oxyz

A(010)C(012)P(100)
AP(110)AC(022)
设n(xyz)面PAC法量n·AP0n·AC0x+y02y+2z0令x1y1z1
∴n(111)
易知m(100)面ABC法量设二面角BACP面角θθ锐角
∴cos θn·m|n||m|33
4解析　(1)证明AA1⊥面ABCAB⊂面ABCAA1⊥AB
∠BACπ2AC⊥AB
AC∩AA1A
AB⊥面A1AC
A1C⊂面A1ACAB⊥A1C
(2)(1)知ABACAA1两两垂直图建立空间直角坐标系Axyz

AA1ABAC1
A(000)B(100)C(010)A1(001)
AA1⊥面ABC
AA1(001)面ABC法量
设面A1BC法量n(xyz)
A1B(101)A1C(011)
n·A1B0n·A1C0 xz0yz0
令z1x1y1
n(111)
cosAA1·n|AA1|·|n|33
题图知二面角A1BCA锐角余弦值33
(3)假设棱A1B1存点NHN∥面A1BC
设A1NλA1B1(0≤λ≤1)易知A1B1(100)A1N(λ00)
C1(011)HCC1中点H0112
HNHA1+A1Nλ112
HN∥面A1BCHN·nλ1+120解λ12∈[01]
HN⊄面A1BC
棱A1B1存点NHN∥面A1BCA1NA1B112
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