排列组合二项式定理·二项式定理应·教案
教学目标
1利二项式定理二项式系数性质解决某关组合数恒等式证明似计算求余数证明某整余数问题等
2渗透类联想思想方法运思想处理问题
3培养学生运算力分析力综合力．
教学重点难点
数学门工具学数学目应样建立起解决问题数学知识间联系（似计算问题二项式定理没联系样联系)节课难点重点．
教学程设计
师：已学二项式定理二项式系数请家6分时间完成三道题
(1)（1ｘ3)（１+x)１０展开式中ｘ5系数少
（2）求（1＋xx2）6展开式中含x5项．
（全体学生参加笔试练)
６分钟投影仪公布三题解答
（1)原式(1+ｘ)10x3(1＋ｘ）10知x５系数（1＋x）
（2)原式[1+(x－ｘ２）]６1＋6（ｘx2)+1５（ｘx2)2+20（xx2)３+1５（xｘ2）4+６（xx2）5＋(xx２）６
中含x5项：２0·3x5＋15(4）ｘ5+6ｘ56x5
师：解（1）（2)两题运变换化思想第(2)题三项式化二项式创造二项式定理条件．
第（3）题解法根恒等式概念ab取数时等式成立．根题结构特征选择ab取值种概念解题思想常
面二项式定理应．
师请学想想例１样解？
生甲结构观察练第(3)题相似处组合数系数成等数列否根二项式定理令a１b＝3证明
师请学根生甲讲写出证明．
（找位学板演)
证明：（ａ+b)ｎ展开式中令a１b3
师：显然适选取ａb值解类题关键练题
练
生乙题例1类点组合数运算点缺
考虑二项式定理解应原题做变换
师：分析透彻种敢想会想精神位学培养首先敢字见题目生疏采取放弃态度敢分析善分析敢创新善创新
请家解题程写笔记
(教师请名学板演)
（a+b)6展开式中令ａ＝1b3
师：解题程(a+b)6展开式中令 ａ1b3写起希学接励完成练
练
师家议道题二项式定理解
生丙：初步观察节课学刁(a+b)n展开式
解决．注意组合数代数值余弦值正弦值注意正项
…)ｒ4ｍ+1(m012…)负项出现ｒ4ｍ+2（ｍ０12…）r＝4ｍ+3(m012…)虚数单位i性质：
i4m＝1ｉ4m+1＝ｉi4m+21i4m+３＝－i（m∈Z)．
想（ａ+ｂ）ｎ展开式中令ａ1b＝i
师：分析道理请学生丙学意见进行演算．
(教师找位学板演）
证明设i虚数单位（a+ｂ)n展开式中令a1ｂｉ中
方面
根复数相等定义
师：认真分析题结构运类联想思想方法帮助找解题思路面研究二项式定理数字计算方面应．
例2 计算1．9975（精确０．001）
生丁道题二项式定理计算必须1．９97作1+0997样1９97５（１+0997)5
师计算简单？
生戊：1９９75化(20．0０3）5展开精确00０1必项计算
师生戊谈方法家笔记计算．
(教师找位学板演）
解19９7５＝（２0０03）5
＝２5５×24×０003+１0×23×00０3210×22×０003＋…
|T6|<|T5|<|T4｜≈1．０8×１06｜T4|＋T5＋Ｔ6|＜０000０04
1．99７5≈320．24＋0000 7２≈３1７61
师1９９6年全国高考样道应题：
(投影仪示出老师读题)
某现耕1０ ０0０公顷规划１0年粮食单产现增加２2均粮食占量现提高10％果口年增长率1％耕均年减少少公顷（精确1公顷)
稍候教师问：
谁想出解法请讲讲
生设该区现口P粮食单产M吨公顷耕均年减少x公顷．
十年耕亩数：104－10x
十年总产量：M×（1＋２2）(1041０ｘ)．
十年口P×(1+１％)10
题意等式
师：实际计算时会遇(1+0．０1）10计算问题请全体学笔记迅速计算出．
（教师请学板演)
师：真迅速啊请学课道高考题完成．
(答案规划该区耕均年减少4公顷)
现讨新问题
例３ 果天星期意然数n23n+3＋７n＋5天天星期？
生庚先题转化数学问题题实际寻求意然数n2３ｎ+3+7ｎ＋57余数
受似计算题目启发23n+38n+1（7＋1)ｎ+1样运
数７ｎ7倍数余数1加5６
师：请学笔记完成题解答
(教师请名学板演）
解：２3n+３+7n＋5＝8n+１＋7n＋5＝(7+1）ｎ＋１+7n+５
23ｎ+3+7ｎ+５7余数6
意然数ｎ23n+3＋7ｎ＋5天星期日
师请位学笔记完成样题：777７1１9整？
（教师教室巡视3分钟找学生黑板板演)
解：7７77１(7６＋1)77
761９整7777－11９整
师：请生辛谈谈样想解法？
生辛幂计算问题二项式定理解决果777７改成(１9+58)７7显然展开式中项5877然易判断否19整想7７７71385776９5整必1９整767７差1欲证７777119整需证(76+1）7776整．解法
师二项式定理解决方运算问题幂问题考虑二项式定理．面解综合运题
例4 求证：３n＞２n1（n+2）（n∈Nn≥２)．
师然学先谈谈想法．
生壬觉道题二项式定理解左式右式发生联系3换成2+1．
注意
① 2n＋n·2n１＝2n1（2＋n）2ｎ－1（n＋2)
② n≥2右式少三项
样3ｎ＞2n１（n+2)(n∈Ｎn≥2）
生癸根题设条件n∈Nｎ≥２数学纳法应证明．
师：观察题时思维起点题解法生×学方运算点考虑想二项式定理生×学题设条件n∈Ｎ考虑想数学纳法家养成惯遇题角度观察思考更解法思考问题更全面．
二项式定理证明生×学已讲清楚证明程家课笔记整理现请学笔记完成数学纳法证明
（教师请名学板演）
证明：①n2时左式＝3２9右式２2－1（2+2）＝２×48显然9＞8等式成立
②假设nk(ｋ∈Nｋ≥2）时等式成立3k＞2k1(ｋ＋2）nk+1时
左式3k+13·3ｋ>3·２k－1（k＋2)＝3ｋ·2ｋ1+3·2k．
右式2(k+１)1［(k＋1)+2］＝2k(ｋ+３）＝ｋ·2k＋３·2k
左式右式（3k·２k1＋3·2ｋ)(k·2k+3·２ｋ）
＝3k·2k１－2ｋ·2k－1k·2k１＞0．
左式>式nk+１时等式成立
①②等式n≥２ｎ∈N成立．
师培养综合力学笔记演算道题：
设n∈Nn＞1求证：
（证明程中运公式：n正数a1a2…aｎ总
(教师教室巡视２分钟找名学黑板板演第(1）题3分钟找名学板演第(2)题)
师：位学谈谈题应样分析？
生寅第(1)题左式右式没直接联系应分转化
列前n项求公式2n１．证明
第（2）题左式右式没直接联系根题目出公式
师根式子结构想关知识思考方法分析问题种重方法解题实践中掌握．
节课讨二项式定理应包括组合数计算似计算整求余数计算数学知识综合应然二项式定理运止涉方运算(指数然数转化然数）二项式定理．认真分析题结构类联想转化重找解题途径思考方法希引起学重视．
作业
1课题：P25３题三十6７10
2．课题P２56复参考题九：１5(2）
3补充题
课堂教学设计说明
1．开始练起着承启作．三题复二项式定理性质考查数学基思想等价变换未知转化已知取特殊值利节课进行培养学生预复学惯．
2学生动手动脑动口真正知识学手培养思维力计算力表达力分析问题解决问题力课堂教学定学生体体现体参．
3学生回答会教案写样标准教师势利导帮助学生提高分析力
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教学目标
1利二项式定理二项式系数性质解决某关组合数恒等式证明似计算求余数证明某整余数问题等
2渗透类联想思想方法运思想处理问题
3培养学生运算力分析力综合力．
教学重点难点
数学门工具学数学目应样建立起解决问题数学知识间联系（似计算问题二项式定理没联系样联系)节课难点重点．
教学程设计
师：已学二项式定理二项式系数请家6分时间完成三道题
(1)（1ｘ3)（１+x)１０展开式中ｘ5系数少
（2）求（1＋xx2）6展开式中含x5项．
（全体学生参加笔试练)
６分钟投影仪公布三题解答
（1)原式(1+ｘ)10x3(1＋ｘ）10知x５系数（1＋x）
（2)原式[1+(x－ｘ２）]６1＋6（ｘx2)+1５（ｘx2)2+20（xx2)３+1５（xｘ2）4+６（xx2）5＋(xx２）６
中含x5项：２0·3x5＋15(4）ｘ5+6ｘ56x5
师：解（1）（2)两题运变换化思想第(2)题三项式化二项式创造二项式定理条件．
第（3）题解法根恒等式概念ab取数时等式成立．根题结构特征选择ab取值种概念解题思想常
面二项式定理应．
师请学想想例１样解？
生甲结构观察练第(3)题相似处组合数系数成等数列否根二项式定理令a１b＝3证明
师请学根生甲讲写出证明．
（找位学板演)
证明：（ａ+b)ｎ展开式中令a１b3
师：显然适选取ａb值解类题关键练题
练
生乙题例1类点组合数运算点缺
考虑二项式定理解应原题做变换
师：分析透彻种敢想会想精神位学培养首先敢字见题目生疏采取放弃态度敢分析善分析敢创新善创新
请家解题程写笔记
(教师请名学板演)
（a+b)6展开式中令ａ＝1b3
师：解题程(a+b)6展开式中令 ａ1b3写起希学接励完成练
练
师家议道题二项式定理解
生丙：初步观察节课学刁(a+b)n展开式
解决．注意组合数代数值余弦值正弦值注意正项
…)ｒ4ｍ+1(m012…)负项出现ｒ4ｍ+2（ｍ０12…）r＝4ｍ+3(m012…)虚数单位i性质：
i4m＝1ｉ4m+1＝ｉi4m+21i4m+３＝－i（m∈Z)．
想（ａ+ｂ）ｎ展开式中令ａ1b＝i
师：分析道理请学生丙学意见进行演算．
(教师找位学板演）
证明设i虚数单位（a+ｂ)n展开式中令a1ｂｉ中
方面
根复数相等定义
师：认真分析题结构运类联想思想方法帮助找解题思路面研究二项式定理数字计算方面应．
例2 计算1．9975（精确０．001）
生丁道题二项式定理计算必须1．９97作1+0997样1９97５（１+0997)5
师计算简单？
生戊：1９９75化(20．0０3）5展开精确00０1必项计算
师生戊谈方法家笔记计算．
(教师找位学板演）
解19９7５＝（２0０03）5
＝２5５×24×０003+１0×23×00０3210×22×０003＋…
|T6|<|T5|<|T4｜≈1．０8×１06｜T4|＋T5＋Ｔ6|＜０000０04
1．99７5≈320．24＋0000 7２≈３1７61
师1９９6年全国高考样道应题：
(投影仪示出老师读题)
某现耕1０ ０0０公顷规划１0年粮食单产现增加２2均粮食占量现提高10％果口年增长率1％耕均年减少少公顷（精确1公顷)
稍候教师问：
谁想出解法请讲讲
生设该区现口P粮食单产M吨公顷耕均年减少x公顷．
十年耕亩数：104－10x
十年总产量：M×（1＋２2）(1041０ｘ)．
十年口P×(1+１％)10
题意等式
师：实际计算时会遇(1+0．０1）10计算问题请全体学笔记迅速计算出．
（教师请学板演)
师：真迅速啊请学课道高考题完成．
(答案规划该区耕均年减少4公顷)
现讨新问题
例３ 果天星期意然数n23n+3＋７n＋5天天星期？
生庚先题转化数学问题题实际寻求意然数n2３ｎ+3+7ｎ＋57余数
受似计算题目启发23n+38n+1（7＋1)ｎ+1样运
数７ｎ7倍数余数1加5６
师：请学笔记完成题解答
(教师请名学板演）
解：２3n+３+7n＋5＝8n+１＋7n＋5＝(7+1）ｎ＋１+7n+５
23ｎ+3+7ｎ+５7余数6
意然数ｎ23n+3＋7ｎ＋5天星期日
师请位学笔记完成样题：777７1１9整？
（教师教室巡视3分钟找学生黑板板演)
解：7７77１(7６＋1)77
761９整7777－11９整
师：请生辛谈谈样想解法？
生辛幂计算问题二项式定理解决果777７改成(１9+58)７7显然展开式中项5877然易判断否19整想7７７71385776９5整必1９整767７差1欲证７777119整需证(76+1）7776整．解法
师二项式定理解决方运算问题幂问题考虑二项式定理．面解综合运题
例4 求证：３n＞２n1（n+2）（n∈Nn≥２)．
师然学先谈谈想法．
生壬觉道题二项式定理解左式右式发生联系3换成2+1．
注意
① 2n＋n·2n１＝2n1（2＋n）2ｎ－1（n＋2)
② n≥2右式少三项
样3ｎ＞2n１（n+2)(n∈Ｎn≥2）
生癸根题设条件n∈Nｎ≥２数学纳法应证明．
师：观察题时思维起点题解法生×学方运算点考虑想二项式定理生×学题设条件n∈Ｎ考虑想数学纳法家养成惯遇题角度观察思考更解法思考问题更全面．
二项式定理证明生×学已讲清楚证明程家课笔记整理现请学笔记完成数学纳法证明
（教师请名学板演）
证明：①n2时左式＝3２9右式２2－1（2+2）＝２×48显然9＞8等式成立
②假设nk(ｋ∈Nｋ≥2）时等式成立3k＞2k1(ｋ＋2）nk+1时
左式3k+13·3ｋ>3·２k－1（k＋2)＝3ｋ·2ｋ1+3·2k．
右式2(k+１)1［(k＋1)+2］＝2k(ｋ+３）＝ｋ·2k＋３·2k
左式右式（3k·２k1＋3·2ｋ)(k·2k+3·２ｋ）
＝3k·2k１－2ｋ·2k－1k·2k１＞0．
左式>式nk+１时等式成立
①②等式n≥２ｎ∈N成立．
师培养综合力学笔记演算道题：
设n∈Nn＞1求证：
（证明程中运公式：n正数a1a2…aｎ总
(教师教室巡视２分钟找名学黑板板演第(1）题3分钟找名学板演第(2)题)
师：位学谈谈题应样分析？
生寅第(1)题左式右式没直接联系应分转化
列前n项求公式2n１．证明
第（2）题左式右式没直接联系根题目出公式
师根式子结构想关知识思考方法分析问题种重方法解题实践中掌握．
节课讨二项式定理应包括组合数计算似计算整求余数计算数学知识综合应然二项式定理运止涉方运算(指数然数转化然数）二项式定理．认真分析题结构类联想转化重找解题途径思考方法希引起学重视．
作业
1课题：P25３题三十6７10
2．课题P２56复参考题九：１5(2）
3补充题
课堂教学设计说明
1．开始练起着承启作．三题复二项式定理性质考查数学基思想等价变换未知转化已知取特殊值利节课进行培养学生预复学惯．
2学生动手动脑动口真正知识学手培养思维力计算力表达力分析问题解决问题力课堂教学定学生体体现体参．
3学生回答会教案写样标准教师势利导帮助学生提高分析力
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