第 二 章 量
专 题 3 等 高 线 定 理 运
秒杀秘籍：等高线定理
图设 1e 2e 面两线量 OP 21 yexe  1 yx 21 ＇＇ eyexOQ  kyx  ＇＇
OQ
k
OP



证明：设 OPOQ  根相似三角形关系知 ：
 1 2 1 2 1 2＇＇OQ xe ye xe ye x e y e       
    yxyx ＇＇ ＇＇
OQ
x y k
OP
  


例 1图面三量OA
 OB
 OC
 中 OA
 OB
 夹角120°OA
 OC
 夹角30°
1OAOB   2 3OC  ． ()OC mOA nOB m n R     m n 值 ．
解析法：连接 AB交OC
 点 D 30DOAOAD     90BOD   3
3ODDA   2 3
3DB 
2 1
3 3ODOAOB    2 3 6OCOD   2 16 4 23 3OCOAOBOAOB       
     6m n 
法二：根等高线定理：
OC k m nOD
+ 根性质 3tan30 3
OD
OB
   2 3 6
3
3
k
例 1 题图 例 2 题图
例 2矩形 ABCD 中 1AB  2AD  动点 P 点 C 圆心 BD 相切圆 AP mAB nAD   
nm  值（）
A． 3 B． 22 C． 5 D． 2
解析图作 BD 行线根相似三角形应高发现行线圆心 C 时候 2 nm
BD 行线 PN 圆 C 相切时点 P 位 1P 点时时 AN
AD
取值
AD
AN 取
值 3 nm  值 3选 A
例 3扇形OAB 中 60AOB   C 弧 AB 动点OC xOA yOB    3x y 取值范
围 ．第 二 章 量
解析图 取点 D 1
3ODOA  3OC xOA yOB xOD yOB        作系列
BD 行直线圆弧相交构造等高线模型易知：点C 点 A 重合时3x y
取值 3点C 位直线 BD 时（点 C 点 B 重合时） 3x y 取值 1
3x y 取值范围 1 3
秒杀秘籍：未知夹角量积
第步：选定基底谓图形中模夹角清楚两量 a b
 
第二步：利加法减法三点线两量 1 1 2 2a b a b       
第三步：利量积知识算出结果．
例 4图正三角形 ABC 中D 边 BC 点 3AB  1BD  ABAD  ．
解析令 AB a  AC b  3a  3b  9cos60 2a b a b     
2 1
3 3AD a b    22 1 2 1 2 1 9 1593 3 3 3 3 3 2 2ABAD a a b a ab            
       ．
例 4 题图 例 5 题图
例 5图边长 1 正三角形 ABC 中 设 2BCBD  3CACE  ADBE   ．
解析令 AB a  AC b  1a  1b  1cos60 2a b a b     
1 1
2 2AD a b       1 2 1 2 2
3 3 3 3 3BEBABC a b a a b               
2 21 1 2 1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 2 6 3 2 12 3 4ADBE a b a b a ab b                    
         ．
例 6图等腰梯形 ABCD 中已知 AB∥DCAB2BC1∠ABC60°点 E F 分线段 BC
DC 2
3BEBC
  1
6DFDC  AEAF
 × 值 ．
解析图令 AB a  BC b  2a  1b  cos120 1a b a b       2
3AEABBE a b       
5 1 7
6 2 12AFABBCCF a b a a b           
        

2 22 7 7 25 2 7 25 2 29
3 12 12 18 3 3 18 3 18AEAF a b a b a ab b                
         ．
例 6 题图 例 7 题图第 二 章 量
例 7已知正方形 ABCD 边长 1点 E AB 边动点 DEDC
 × 值 ．
解析图令 DC a  DA b  1a  1b  cos90 0a b a b      AE a 
DEDAAE a b          2
DEDC a b a a ab              max 1  ．
例 8（2019•天津）四边形 ABCD 中ADBC 2 3AB  5AD  30A   点 E 线段CB
延长线 AEBE BDAE  
 ．
解析AEBE ADBC 30A   等腰三角形 ABE 中 120BEA   2 3AB  2AE 
 2
5BEAD    AEABBE     2
5AEABAD    BDBAADABAD         ()BDAEABAD     
 
2()5ABAD  2 27 2
5 5ABABADAD      

2 27 2| | | |cos5 5ABABADAAD      
 7 3 212 5 2 3 255 2 5
       
1  答案 1 ．
例 9（2019•江苏）图 ABC 中D BC 中点E 边 AB 2BEEA
AD CE 交点 O． 6ABACAOEC   
  AB
AC
值 ．
解析设 ()2AOADABAC      ()AOAEEOAEECAEACAE              
1(1 ) 3AEACABAC          
1
2 3
2
 
 
 
 

1
2
1
4


 
 
 1 1 ()2 4AOADABAC     
1
3ECACAEABAC         1 16 6 ()()4 3AOECABACABAC          

2 23 1 2()2 3 3ABABACAC      

2 21 3
2 2ABABACAC      
 
2 21 3
2 2ABACABABACAC        
   2 21 3
2 2ABAC  
2
2 3AB
AC



 3AB
AC
 ．答案 3
例 9（2019•浙江）已知正方形 ABCD 边长 1． ( 1i i  23456) 取遍
1 时 1 2 3 4 5 6| |ABBCCDDAACBD               值 值 ．
解析正方形 ABCD 边长 1 ABADAC    BDADAB    0ABAD  

1 2 3 4 5 6| |ABBCCDDAACBD              
1 2 3 4 5 5 6 6| |ABADABADABADADAB                     
1 3 5 6 2 4 5 6| ()() |ABAD                2 2
1 3 5 6 2 4 5 6()()              
( 1i i  23456) 取遍 1 1 3 5 6 0       2 4 5 6 0       取 5 6 1   1 3 1  
2 1   4 1  求值 0 1 3 5 6      2 4 5 6      值 4取 2 1  4 1  
5 6 1   1 1  3 1   求值 2 5 ．答案 0 2 5 ．第 二 章 量
等 高 线 专 题 训 练
1．（2019•咸阳二模）已知G ABC 重心 GC xAB yAC x y R     x y  （）
A． 1 B．1 C． 1
3 D． 1
3

2．（2019•潍坊期中）已知 O ABC 点 0OAOBOC      点 M OBC （含边界）
AMABAC     2  取值范围（）
A． 5(1)2 B．(12)C． 2(1)3 D． 1(1)2
3．（2019•武昌模拟）已知点 C 扇形 AOB 弧 AB 意点 120AOB  
()OCOAOBR          取值范围（）
A．[ 2 2]B．(1 2]C．[1 2]D．[1 2]
4．（2019•武汉期中）定两长度 1 面量OA
 OB
 夹角 90 点 C O 圆心圆
弧 AB 运动 OC xOA yOB    中 x y R 3 5x y 值（）
A． 34 B．5 C． 37 D．6
5．（2019•湖北模拟）图圆 O 边长 2 3 等边三角形 ABC 切圆 BC 边相切点 D点 M
圆意点()BM xBA yBD x y R     2x y 值（）
A． 2 B． 3 C．2 D． 2 2
6．（2019•岳麓月考）已知 ABC 角
3A  O ABC 面点满足| | | | | |OAOBOC 
设 AO mAB nAC    m n 值（）
A． 2
3 B．1 C． 4
3 D．2
第 5 题图 第 7 题图 第 8 题图
7．（2019•濮阳模拟）图面两单位量OA
 OB
 夹角 60 OC
 OA
 OB
 量
夹角 30 | | 2 3OC  OCOAOB       值（）
A．2 B．4 C． 2 3 D． 4 3
8．（2019•萍乡模）图已知| | | | 1OAOB   | | 2OC  4tan 3AOB   45BOC   OC mOA nOB   
m
n
等（）
A． 5
7 B． 7
5 C． 3
7 D． 7
3第 二 章 量
高 考 真 题 训 练
1．（2018•新课标Ⅰ） ABC 中AD BC 边中线E AD 中点 EB  （）
A． 3 1
4 4ABAC 
B． 1 3
4 4ABAC 
C． 3 1
4 4ABAC 
D． 1 3
4 4ABAC 
2．（2015•新课标Ⅰ）设 D ABC 面点 3BCCD  （）
A． 1 4
3 3ADABAC    
B． 1 4
3 3ADABAC   
C． 4 1
3 3ADABAC   
D． 4 1
3 3ADABAC   
3．（2014•新课标Ⅰ）设 DEF 分 ABC 三边 BCCAAB 中点 EBFC   （）
A．AD

B． 1
2 AD

C．BC

D． 1
2 BC

4．（2009•山东）设 P ABC 面点 2BCBABP    （）
A． 0PAPB    B． 0PCPA    C． 0PBPC    D． 0PAPBPC     
5．（2008•辽宁）已知四边形 ABCD 三顶点 (02)A( 1 2)B   (31)C 2BCAD  顶点 D 坐
标（）
A． 7(2)2 B． 1(2)2
 C．(32)D．(13)
6．（2008•全国卷Ⅰ） ABC 中AB c  AC b  ．点 D 满足 2BDDC  AD  （）
A． 2 1
3 3b c  B． 5 2
3 3c b  C． 2 1
3 3b c  D． 1 2
3 3b c 
7．（2008•辽宁）已知 OAB 面三点直线 AB 点 C满足 2 0ACCB   OC
 等
（）
A． 2OAOB  B． 2OAOB   C． 2 1
3 3OAOB  D． 1 2
3 3OAOB  
8．（2008•广东）行四边形 ABCD 中AC BD 交点 OE 线段 OD 中点AE 延长线 CD
交点 F． AC a  BD b  AF  （）
A． 1 1
4 2a b  B． 2 1
3 3a b  C． 1 1
2 4a b  D． 1 2
3 3a b 
9．（2007•全国卷Ⅱ） ABC 中已知 D AB 边点 2ADDB  1
3CDCACB     （）
A． 2
3 B． 1
3 C． 1
3
 D． 2
3

10．（2016•天津）已知 ABC 边长 1 等边三角形点 DE 分边 ABBC 中点连接 DE
延长点 F 2DEEF AFBC  值（）第 二 章 量
A． 5
8
 B． 1
4 C． 1
8 D． 11
8
11．（2015•四川）设四边形 ABCD 行四边形| | 6AB  | | 4AD  点 MN 满足 3BMMC  2DNNC 
AMNM   （）
A． 20 B．15 C．9 D． 6
12．（2012•天津） ABC 中 90A   1AB  2AC  ．设点 PQ 满足 APAB  (1 )AQAC  
R  ． 2BQCP      （）
A． 1
3 B． 2
3 C． 4
3 D． 2
13．（2018•天津）图面图形中已知 1OM  2ON  120MON   2BMMA  2CNNA 
BCOM  值（）
A． 15 B． 9 C． 6 D． 0
13 题图 14 题图
14．（2010•天津）图 ABC 中ADAB 3BCBD  | | 1AD  ACAD   （）
A． 2 3 B． 3
2 C． 3
3 D． 3
15．（2017•新课标Ⅲ）矩形 ABCD 中 1AB  2AD  动点 P 点 C 圆心 BD 相切圆．
APABAD       值（）
A． 3 B． 2 2 C． 5 D． 2
16．（2017•新课标Ⅱ）已知 ABC 边长 2 等边三角形P 面 ABC 点 ()PAPBPC   
值（）
A． 2 B． 3
2
 C． 4
3
 D． 1
17．（2006•安徽）行四边形 ABCD 中AB a
  AD b  3ANNC  M BC 中点 MN 
（ a b 表示）．
18．（2015•北京） ABC 中点 MN 满足 2AMMC  BNNC  MN xAB yAC    x 
y  ．
19．（2007•天津） ABC 中 2AB  3AC  D 边 BC 中点 ADBC   ．第 二 章 量
20．（2009•安徽）定两长度1面量 OA
 OB
 夹角120 ．图示点 C O
圆心 1 半径圆弧 AB 变动． OC xOA yOB    中 x y R x y 值 ．
19 题图 20 题图 21 题图 22 题图
21．（2007•天津）图 ABC 中 120BAC   2AB  1AC  D 边 BC 点 2DCBD 
ADBC  
 ．
22．（2007•江西）图 ABC 中点 O BC 中点．点 O 直线分交直线 ABAC 两
点 MN AB mAM  AC nAN  m n 值 ．
23．（2013•新课标Ⅰ）已知两单位量 a b
 夹角 60 (1 )c ta t b     ． 0b c   t  ．
24．（2013•天津）行四边形 ABCD 中 1AD  60BAD   E CD 中点． 1ACBE   AB
长 ．
25．（2013•新课标Ⅱ）已知正方形 ABCD 边长 2E CD 中点 AEBD   ．
26．（2017•天津） ABC 中 60A   3AB  2AC  ． 2BDDC  ()AEACABR     
4ADAE     值 ．
27．（2015•天津）等腰梯形 ABCD 中已知 ABDC 2AB  1BC  60ABC   点 E F 分
线段 BC DC 2
3BEBC  1
6DFDC  AEAF  值 ．
28．（2015•天津）等腰梯形 ABCD 中已知 ABDC 2AB  1BC  60ABC   ．动点 E F 分
线段 BC DC BEBC  1
9DFDC  AEAF  值 ．
29．（2014•天津）已知菱形 ABCD 边长 2 120BAD   点 EF 分边 BCDC 3BCBE
DCDF 1AEAF    值 ．
30．（2017•江苏）图面量 OA
 OB
 OC
 模分 11
2 OA
 OC
 夹角 tan 7  OB
 OC
 夹角 45．
()OC mOA nOB m n R     m n  ．

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