第3课时 三角形全等判定(三)(ASAAAS)
命题点 1 利ASA判定两三角形全等
1△ABC△FED中果∠A∠F∠B∠E两三角形全等需添加条件 ( )
AABDE BBCEF CABFE D∠C∠D
2某学块三角形玻璃碎3块现玻璃店配块完全样玻璃省事方法 ( )
A带① B带② C带③ D带①②③
3∠A∠BAEBE点DAC边∠1∠2AEBD相交点O求证△AEC≌△BED
命题点 2 利AAS判定两三角形全等
4∠1∠2∠3∠4OEOFAFBE交点C图中全等三角形 ( )
A1 B2 C3 D4
5甲乙丙三三角形中标出某条件7中△ABC全等 ( )
A甲乙 B乙丙 C乙 D丙
6已知ABAD∠C∠E∠1∠2
求证△ABC≌△ADE
7示△ABC中DBC边点EAD中点点A作BC行线交CE延长线点FAFBD连接BF
求证DBC中点
命题点 3 利SSA判定两三角形全等
81长短两根细木棍端螺钉铰合起长木棍端射线BC端点B重合固定住长木棍摆动短木棍短木棍端落射线BC点CD位置时△ABD△ABC时ABABACAD∠ABD∠ABC△ABD
△ABC全等说明
9阅读题证明程
已知2D△ABC中BC边点EAD点EBEC∠ABE∠ACE求证
∠BAE∠CAE(提示三角形中相等边角相等相等角边相等)
证明△AEB△AEC中
EBEC∠ABE∠ACEAEAE
∴△AEB≌△AEC……第步
∴∠BAE∠CAE……第二步
面证明程否正确正确请写出步推理正确请指出错步写出认正确证明程
命题点 4 ASAAAS实际生活中应
103强河边测河面船B岸码头A间距离做法
①岸边确定点C点CAB直线
②AC垂直方画线段CD取CD中点O
③画DF⊥CD点FOA直线
④线段DF找点E点EOB线
说测出线段EF长船B岸码头A间距离样做道理什
11Rt△ABC中∠C90°AC8BC6PQ边ACBC两动点PD⊥AB点DQE⊥AB点E设点PQ运动时间t秒(t>0)
(1)图①点PQ分AB两点时出发ACBC点C匀速运动运动速度秒1单位长度中点达终点C点停止运动运动程中△APD△QBE否保持全等判断说明理
(2)点P点C出发CA秒3单位长度速度点A匀速运动达点A立刻原速度AC返回点C停止运动点Q点B出发BC秒1单位长度速度点C匀速运动达点C停止运动t值时△APD△QBE全等
第4课时 三角形全等判定(四)(HL)
命题点 1 HL判定两直角三角形全等
1已知AC⊥BD垂足OAOCOABCDRt△AOB≌Rt△COD理( )
AHL BSAS CASA DSSS
2示已知∠C∠D90°添加列选项中条件HL判定Rt△ABCRt△ABD全等 ( )
AACAD BABAB C∠ABC∠ABD D∠BAC∠BAD
37AC⊥BCAD⊥BD垂足分CDHL
Rt△ABC≌Rt△BAD应添加条件 (写)
48已知ABCDAE⊥BDCF⊥BD垂足分EFBFDE求证AB∥CD
命题点 2 两直角三角形全等判定
5列条件判定两直角三角形全等 ( )
A两条直角边应相等
B两锐角应相等
C条直角边锐角分相等
D锐角锐角相邻直角边分相等
6Rt△ABCRt△A＇B＇C＇中∠C∠C＇90°列条件中判定Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇ ( )
AACA＇C＇∠B∠B＇ B∠A∠A＇∠B∠B＇
CABA＇B＇ACA＇C＇ DABA＇B＇∠A∠A＇
7求证条直角边相等条直角边中线相等两直角三角形全等
8AC⊥BC点CAD⊥BD点DADBCCE⊥AB点EDF⊥AB点FCEDF相等什
9△ABC中∠C90°AD分∠BACDE⊥AB点E点FACDBDF
(1)求证CFEB
(2)请判断AEAFEB间数量关系说明理
0
命题点 3 判定两直角三角形全等实际生活中应
10工师傅三角尺列方法画角分线∠AOB两边分取点MNOMON两全等三角尺1示方式摆放两直角边交点P画射线OPOP分∠AOB请说明中道理
11明敏两起做数学作业敏题读2①示CD⊥ABBE⊥AC时没题读完说题定求证∠B∠C太容易证法CD⊥AB
BE⊥AC∠ADC∠AEB90°公角∠DAC∠EAB△DAC≌△EAB全等三角形应角相等∠B∠C
明说敏错未弄清题条件结CD⊥ABBE⊥AC公角∠DAC
∠EAB条件推理错误画图②显然△DAC△EAB全等说题证明∠B∠C证明BECD
(1)根敏读题判定∠B∠C推理正确正确请进行正确推理
(2)根明说证明BECD必然敏丢题中条件请敏丢条件找回根找出条件写出证明BECD程
(3)判定两三角形全等问题中什启发
典题讲评答案详析
1C [解析] ABDEBCEF均应边ABFE应边添加ABFE利ASA证明两三角形全等
2C
3证明∵AEBD相交点O
∴∠AOD∠BOE
∵△AOD△BOE中∠A∠B
∴∠BEO∠2
∵∠1∠2
∴∠1∠BEO∴∠AEC∠BED
△AEC△BED中∠A∠BAEBE∠AEC∠BED
∴△AEC≌△BED
4B [解析] △OAF△OBE中∠1∠2∠4∠3OFOE
△OAF≌△OBEOAOBAEBF
△ECA△FCB中
∠1∠2∠ECA∠FCB(顶角相等)AEBF
△ECA≌△FCB
5B
6证明∵∠1∠2∴∠1+∠EAC∠2+∠EAC∠BAC∠DAE
△ABC△ADE中∠C∠E∠BAC∠DAEABAD
∴△ABC≌△ADE(AAS)
7证明∵AF∥BC∴∠AFE∠DCE
∵EAD中点∴AEDE
△AEF△DEC中∠AFE∠DCE∠AEF∠DECAEDE
∴△AEF≌△DEC(AAS)∴AFDC
∵AFBD∴DCBDDBC中点
8两边中边角分相等两三角形定全等
9解正确错第步正确证明程
∵△BEC中EBEC∴∠EBC∠ECB
∵∠ABE∠ACE
∴∠ABC∠ACB∴ABAC
△AEB△AEC中AEAEEBECABAC
∴△AEB≌△AEC∴∠BAE∠CAE
10解道理
理∵AC⊥CDDF⊥CD∴∠C∠D90°
∵OCD中点∴CODO
△ACO△FDO中∠C∠DCODO∠AOC∠FOD
∴△ACO≌△FDO(ASA)
∴AOFO∠A∠F
△ABO△FEO中∠A∠FAOFO∠AOB∠FOE
∴△ABO≌△FEO(ASA)∴ABEF
测出EF长船B岸码头A间距离
11解(1)△APD△QBE保持全等
理∵PD⊥ABQE⊥AB
∴∠ADP∠QEB90°
∵∠C90°
∴∠A+∠APD∠A+∠B90°
∴∠APD∠B
题意知APQBt
△ADP△QEB中∠APD∠B∠ADP∠QEBAPQB
∴△ADP≌△QEB
(2)①0②83≤t≤163时点P点A点C运动AP3t8QBt△ADP≌△QEBAPQB3t8t解t4
综述t值24时△APD△QBE全等
典题讲评答案详析
1A 2A
3答案唯ACBDBCAD
4证明∵AE⊥BDCF⊥BD
∴∠AEB∠CFD90°
∵BFDE∴BF+EFDE+EFBEDF
Rt△AEBRt△CFD中ABCDBEDF
∴Rt△AEB≌Rt△CFD(HL)∴∠B∠D
∴AB∥CD
5B
6B [解析] A根全等三角形判定方法AAS判定△ABC≌△A＇B＇C＇选项符合题意B根AAA判定Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇选项符合题意C根全等三角形判定方法HL判定Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇选项符合题意D根全等三角形判定方法AAS判定△ABC≌△A＇B＇C＇选项符合题意
7解已知图△ABC△DEF中∠B∠E90°BCEFCM△ABCAB边中线FN△DEFDE边中线CMFN
求证△ABC≌△DEF
证明Rt△BCMRt△EFN中CMFNBCEF
∴Rt△BCM≌Rt△EFN(HL)
∴BMEN
∵CM△ABCAB边中线FN△DEFDE边中线
∴ABDE
△ABC△DEF中ABDE∠B∠EBCEF
∴△ABC≌△DEF(SAS)
条直角边相等条直角边中线相等两直角三角形全等
8解CEDF
理∵AC⊥BCAD⊥BD
∴∠ACB∠BDA90°
Rt△ABCRt△BAD中BCADABBA
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)
∴ACBD∠CAB∠DBA
∵CE⊥ABDF⊥AB
∴∠CEA∠DFB90°
△ACE△BDF中
∠CAE∠DBF∠CEA∠DFBACBD
∴△ACE≌△BDF(AAS)
∴CEDF
9解(1)证明∵AD分∠BAC
∴∠CAD∠EAD
∵DE⊥AB
∴∠DEA90°∠C
△ACD△AED中
∠CAD∠EAD∠C∠DEAADAD
∴△ACD≌△AED
∴DCDE
Rt△DCFRt△DEB中DFDBDCDE
∴Rt△DCF≌Rt△DEB
∴CFEB
(2)AF+EBAE
理∵△ACD≌△AED
∴ACAE
AF+CFAE
∵CFEB
∴AF+EBAE
10解题意∠OMP∠ONP90°
Rt△OPMRt△OPN中OPOPOMON
∴Rt△OPM≌Rt△OPN(HL)
∴∠POM∠PONOP分∠AOB
11解(1)判定∠B∠C敏推理正确
正确推理CD⊥ABBE⊥AC∠ADC∠AEB90°∵公角∠DAC∠EAB∠B90°
∠EAB∠C90°∠DAC∴∠B∠C
(2)答案唯丢条件ABAC
证明∵CD⊥ABBE⊥AC
∴∠ADC∠AEB90°
△DAC△EAB中∠ADC∠AEB∠DAC∠EABACAB
∴△DAC≌△EAB(AAS)∴BECD
(3)判定两三角形全等缺少元素边已知条件中少组边应相等
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命题点 1 利ASA判定两三角形全等
1△ABC△FED中果∠A∠F∠B∠E两三角形全等需添加条件 ( )
AABDE BBCEF CABFE D∠C∠D
2某学块三角形玻璃碎3块现玻璃店配块完全样玻璃省事方法 ( )
A带① B带② C带③ D带①②③
3∠A∠BAEBE点DAC边∠1∠2AEBD相交点O求证△AEC≌△BED
命题点 2 利AAS判定两三角形全等
4∠1∠2∠3∠4OEOFAFBE交点C图中全等三角形 ( )
A1 B2 C3 D4
5甲乙丙三三角形中标出某条件7中△ABC全等 ( )
A甲乙 B乙丙 C乙 D丙
6已知ABAD∠C∠E∠1∠2
求证△ABC≌△ADE
7示△ABC中DBC边点EAD中点点A作BC行线交CE延长线点FAFBD连接BF
求证DBC中点
命题点 3 利SSA判定两三角形全等
81长短两根细木棍端螺钉铰合起长木棍端射线BC端点B重合固定住长木棍摆动短木棍短木棍端落射线BC点CD位置时△ABD△ABC时ABABACAD∠ABD∠ABC△ABD
△ABC全等说明
9阅读题证明程
已知2D△ABC中BC边点EAD点EBEC∠ABE∠ACE求证
∠BAE∠CAE(提示三角形中相等边角相等相等角边相等)
证明△AEB△AEC中
EBEC∠ABE∠ACEAEAE
∴△AEB≌△AEC……第步
∴∠BAE∠CAE……第二步
面证明程否正确正确请写出步推理正确请指出错步写出认正确证明程
命题点 4 ASAAAS实际生活中应
103强河边测河面船B岸码头A间距离做法
①岸边确定点C点CAB直线
②AC垂直方画线段CD取CD中点O
③画DF⊥CD点FOA直线
④线段DF找点E点EOB线
说测出线段EF长船B岸码头A间距离样做道理什
11Rt△ABC中∠C90°AC8BC6PQ边ACBC两动点PD⊥AB点DQE⊥AB点E设点PQ运动时间t秒(t>0)
(1)图①点PQ分AB两点时出发ACBC点C匀速运动运动速度秒1单位长度中点达终点C点停止运动运动程中△APD△QBE否保持全等判断说明理
(2)点P点C出发CA秒3单位长度速度点A匀速运动达点A立刻原速度AC返回点C停止运动点Q点B出发BC秒1单位长度速度点C匀速运动达点C停止运动t值时△APD△QBE全等
第4课时 三角形全等判定(四)(HL)
命题点 1 HL判定两直角三角形全等
1已知AC⊥BD垂足OAOCOABCDRt△AOB≌Rt△COD理( )
AHL BSAS CASA DSSS
2示已知∠C∠D90°添加列选项中条件HL判定Rt△ABCRt△ABD全等 ( )
AACAD BABAB C∠ABC∠ABD D∠BAC∠BAD
37AC⊥BCAD⊥BD垂足分CDHL
Rt△ABC≌Rt△BAD应添加条件 (写)
48已知ABCDAE⊥BDCF⊥BD垂足分EFBFDE求证AB∥CD
命题点 2 两直角三角形全等判定
5列条件判定两直角三角形全等 ( )
A两条直角边应相等
B两锐角应相等
C条直角边锐角分相等
D锐角锐角相邻直角边分相等
6Rt△ABCRt△A＇B＇C＇中∠C∠C＇90°列条件中判定Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇ ( )
AACA＇C＇∠B∠B＇ B∠A∠A＇∠B∠B＇
CABA＇B＇ACA＇C＇ DABA＇B＇∠A∠A＇
7求证条直角边相等条直角边中线相等两直角三角形全等
8AC⊥BC点CAD⊥BD点DADBCCE⊥AB点EDF⊥AB点FCEDF相等什
9△ABC中∠C90°AD分∠BACDE⊥AB点E点FACDBDF
(1)求证CFEB
(2)请判断AEAFEB间数量关系说明理
0
命题点 3 判定两直角三角形全等实际生活中应
10工师傅三角尺列方法画角分线∠AOB两边分取点MNOMON两全等三角尺1示方式摆放两直角边交点P画射线OPOP分∠AOB请说明中道理
11明敏两起做数学作业敏题读2①示CD⊥ABBE⊥AC时没题读完说题定求证∠B∠C太容易证法CD⊥AB
BE⊥AC∠ADC∠AEB90°公角∠DAC∠EAB△DAC≌△EAB全等三角形应角相等∠B∠C
明说敏错未弄清题条件结CD⊥ABBE⊥AC公角∠DAC
∠EAB条件推理错误画图②显然△DAC△EAB全等说题证明∠B∠C证明BECD
(1)根敏读题判定∠B∠C推理正确正确请进行正确推理
(2)根明说证明BECD必然敏丢题中条件请敏丢条件找回根找出条件写出证明BECD程
(3)判定两三角形全等问题中什启发
典题讲评答案详析
1C [解析] ABDEBCEF均应边ABFE应边添加ABFE利ASA证明两三角形全等
2C
3证明∵AEBD相交点O
∴∠AOD∠BOE
∵△AOD△BOE中∠A∠B
∴∠BEO∠2
∵∠1∠2
∴∠1∠BEO∴∠AEC∠BED
△AEC△BED中∠A∠BAEBE∠AEC∠BED
∴△AEC≌△BED
4B [解析] △OAF△OBE中∠1∠2∠4∠3OFOE
△OAF≌△OBEOAOBAEBF
△ECA△FCB中
∠1∠2∠ECA∠FCB(顶角相等)AEBF
△ECA≌△FCB
5B
6证明∵∠1∠2∴∠1+∠EAC∠2+∠EAC∠BAC∠DAE
△ABC△ADE中∠C∠E∠BAC∠DAEABAD
∴△ABC≌△ADE(AAS)
7证明∵AF∥BC∴∠AFE∠DCE
∵EAD中点∴AEDE
△AEF△DEC中∠AFE∠DCE∠AEF∠DECAEDE
∴△AEF≌△DEC(AAS)∴AFDC
∵AFBD∴DCBDDBC中点
8两边中边角分相等两三角形定全等
9解正确错第步正确证明程
∵△BEC中EBEC∴∠EBC∠ECB
∵∠ABE∠ACE
∴∠ABC∠ACB∴ABAC
△AEB△AEC中AEAEEBECABAC
∴△AEB≌△AEC∴∠BAE∠CAE
10解道理
理∵AC⊥CDDF⊥CD∴∠C∠D90°
∵OCD中点∴CODO
△ACO△FDO中∠C∠DCODO∠AOC∠FOD
∴△ACO≌△FDO(ASA)
∴AOFO∠A∠F
△ABO△FEO中∠A∠FAOFO∠AOB∠FOE
∴△ABO≌△FEO(ASA)∴ABEF
测出EF长船B岸码头A间距离
11解(1)△APD△QBE保持全等
理∵PD⊥ABQE⊥AB
∴∠ADP∠QEB90°
∵∠C90°
∴∠A+∠APD∠A+∠B90°
∴∠APD∠B
题意知APQBt
△ADP△QEB中∠APD∠B∠ADP∠QEBAPQB
∴△ADP≌△QEB
(2)①0
综述t值24时△APD△QBE全等
典题讲评答案详析
1A 2A
3答案唯ACBDBCAD
4证明∵AE⊥BDCF⊥BD
∴∠AEB∠CFD90°
∵BFDE∴BF+EFDE+EFBEDF
Rt△AEBRt△CFD中ABCDBEDF
∴Rt△AEB≌Rt△CFD(HL)∴∠B∠D
∴AB∥CD
5B
6B [解析] A根全等三角形判定方法AAS判定△ABC≌△A＇B＇C＇选项符合题意B根AAA判定Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇选项符合题意C根全等三角形判定方法HL判定Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇选项符合题意D根全等三角形判定方法AAS判定△ABC≌△A＇B＇C＇选项符合题意
7解已知图△ABC△DEF中∠B∠E90°BCEFCM△ABCAB边中线FN△DEFDE边中线CMFN
求证△ABC≌△DEF
证明Rt△BCMRt△EFN中CMFNBCEF
∴Rt△BCM≌Rt△EFN(HL)
∴BMEN
∵CM△ABCAB边中线FN△DEFDE边中线
∴ABDE
△ABC△DEF中ABDE∠B∠EBCEF
∴△ABC≌△DEF(SAS)
条直角边相等条直角边中线相等两直角三角形全等
8解CEDF
理∵AC⊥BCAD⊥BD
∴∠ACB∠BDA90°
Rt△ABCRt△BAD中BCADABBA
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)
∴ACBD∠CAB∠DBA
∵CE⊥ABDF⊥AB
∴∠CEA∠DFB90°
△ACE△BDF中
∠CAE∠DBF∠CEA∠DFBACBD
∴△ACE≌△BDF(AAS)
∴CEDF
9解(1)证明∵AD分∠BAC
∴∠CAD∠EAD
∵DE⊥AB
∴∠DEA90°∠C
△ACD△AED中
∠CAD∠EAD∠C∠DEAADAD
∴△ACD≌△AED
∴DCDE
Rt△DCFRt△DEB中DFDBDCDE
∴Rt△DCF≌Rt△DEB
∴CFEB
(2)AF+EBAE
理∵△ACD≌△AED
∴ACAE
AF+CFAE
∵CFEB
∴AF+EBAE
10解题意∠OMP∠ONP90°
Rt△OPMRt△OPN中OPOPOMON
∴Rt△OPM≌Rt△OPN(HL)
∴∠POM∠PONOP分∠AOB
11解(1)判定∠B∠C敏推理正确
正确推理CD⊥ABBE⊥AC∠ADC∠AEB90°∵公角∠DAC∠EAB∠B90°
∠EAB∠C90°∠DAC∴∠B∠C
(2)答案唯丢条件ABAC
证明∵CD⊥ABBE⊥AC
∴∠ADC∠AEB90°
△DAC△EAB中∠ADC∠AEB∠DAC∠EABACAB
∴△DAC≌△EAB(AAS)∴BECD
(3)判定两三角形全等缺少元素边已知条件中少组边应相等
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