1911矩形性质课培优
单选题
1．矩形具般行四边形具性质（ ）．
A．角线相等 B．角相等 C．边相等 D．角线互相分
2．图矩形ABCD中角线ACBD交点ODE⊥ACE∠ADE：∠EDC＝3：2∠COD度数（ ）
A．54° B．60° C．65° D．72°
3．图矩形中角线相交点点作交点长（ ）
A． B． C． D．
4．图矩形纸片中点中点垂直分线恰点矩形边长度（ ）
A．1 B． C． D．2
5．图矩形绕点逆时针旋转矩形时点恰边（ ）
A． B． C． D．
6．图张矩形纸条点MN分边．现四边形折叠点BC分落点．点恰落边时列结定正确（ ）
A． B． C． D．
7．图矩形中中点点翻折点恰落点处连接图中相等角（外）（ ）
A． B． C． D．
8．图矩形纸片中点点点矩形纸片直线折叠点落点处．点恰落边点处交点四边形面积等（ ）
A． B． C． D．
9．图矩形纸片点边．折叠点落点处．分交点．长（ ）
A．2 B． C． D．
10．图矩形ABCD中点EAD中点∠EBC分线交CD点F．△DEFEF折叠点D恰落BEM点处延长BCEF交点N列四结正确（ ）
A．DF＝CF B．BF⊥EN
C．△BEN等边三角形 D．S△BEF＝3S△DEF
二填空题
11．果次联结四边形ABCD边中点四边形矩形角线ACBD需满足条件____________．
12．图长方形折_______．
13．图矩形中矩形绕点时针旋转矩形边交点延长交点长______．
14．图矩形中角线垂直分线分交点长_____．
15．图矩形中点E边连接折叠点A应点F．点F落分线长________（含m式子表示）．
16．图a长方形纸带∠DEF22°纸带EF折叠成图bBF折叠成图c图c中∠CFE度数________°．
三解答题
17．已知：矩形中点E边连接点A作点F．求证：
18．矩形中分交点分交点F求证：．
19．图矩形ABCD中AB＝3BC＝4点EAD动点△BAEBE矩形部折叠点A应点A1恰落∠BCD分线时求CA1长．
20．已知：图矩形中角线相交点点点．求证：．
21．矩形ABCD中AB6AD8E边BC点(BC重合)点E直角顶点AE右侧作等腰直角△AEF．
（1）图1BE长满足什条件时点F矩形ABCD？
（2）图2点F矩形外连接DFAE∥DF求BE长．
22．图矩形ABCD中角线AC垂直分线分边AB边CD延长线交点MN边AD交点E垂足点O．
（1）求证：△AOM≌△CON
（2）AB＝3AD＝6请直接写出AE长 ．
23．问题呈现：（1）图①次数学折纸活动中张矩形纸片ABCD点EAD点FBC华学张矩形纸片EF翻折四边形交AD点H华认EFH等腰三角形认华判断正确？请说明理．
问题拓展：（2）图②问题呈现条件点C应点落AD时已知DEaCDbCFc写出abc满足数量关系证明结．
问题应：（3）图③行四边形ABCD中AB3AD4．行四边形ABCD角线AC翻折ACEAE交BC点F．点FBC中点行四边形ABCD面积 ．
参考答案
1．A
解：∵矩形边行相等角线互相分相等
行四边形边行相等角线互相分
∴矩形具行四边形具性质角线相等
2．D
解：设∠ADE＝3α∠EDC＝2α
∴3α+2α＝90°
∴α＝18°
∴∠CDE＝2α＝36°
∵DE⊥AC
∴∠DCE＝90°﹣36°＝54°
∵OD＝OC
∴∠DCE＝∠ODC＝54°
∴∠COD＝180°﹣2×54°＝72°
3．A
解：连接图
矩形
线段垂直分线．
设
中
．
解：．
．
4．C
连接CE∵四边形ABCD矩形点中点
∴ADBCCE2AE2∠CDE90°ABCDDE1
∵垂直分线恰点
∴CEBC2
直角三角形CDE中根勾股定理CD
5．C
解：连接．
∵四边形矩形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
6．D
解：梯形MB′C′NMBCN折叠
∴C′NCNA正确
∴∠1∠2B′MBMB′C′ BC2cm
∵CD∥AB
∴∠3∠1
∴∠2∠3B正确
∵四边形矩形
∴∠C90°
Rt△B′C′N中
勾股定理B′N2（B′C′）2+（C′N）2
∵
∴
∴
∵∠2∠3
∴C正确
∵D错误．
7．B
解：∵C着翻折
∴∠C´MN∠CMNMCMC´NCNC´CC´⊥MN
∴∠C´MN+∠CMN∠C´MC∠MBC´+∠BC´M
∵中点
∴BMMCMC´
∴∠MBC´∠BC´M
∴∠C´MN∠CMN∠BC´M∠MBC´
∵矩形中AD∥BC
∴∠AC´B∠MBC´
∴∠AC´B∠MBC´∠CMN
∵∠CMN+∠CNM90°
∴∠DCC´∠CMN
∵NC´NC
∴∠CC´N∠C´CN∠CMN
8．D
解：∵四边形ABCD矩形
∴
∵
∴
设
∴
∵
∴
∴
∴
∵∠
∴∠
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
设
∴
∴
解
∴
∵
∴四边形面积
9．B
∵四边形ABCD矩形
∴
根折叠性质：
中
∴
∴
∴
设
∴
∴
中勾股定理：
解：
10．C
解：∵四边形ABCD矩形
∴∠D＝∠BCD＝90°
折叠性质：∠EMF＝∠D＝90°DF＝MF
FM⊥BECF⊥BC
∵BF分∠EBC
∴CF＝MF
∴DF＝CF
选项A正确
∵AD∥BN
∴∠N∠DEF
折叠性质∠DEF∠MEF
∴∠N∠MEF
∴BEBN
∵CD分∠EBC
∴BF⊥EN
选项B正确
∵BE＝BN
∴△BEN等腰三角形
∠ABE度数未知法求△BEN角度数
∴△BEN定等边三角形
选项C错误
∵FM⊥BECF⊥BCBF分∠EBC
∴∠BFM＝∠BFC
∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM
∴BE＝3EM
∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF
选项D正确．
11．AC⊥BD
证明：∵四边形EFGH矩形
∴∠FEH＝90°
∵点EF分ADAB边中点
∴EF三角形ABD中位线
∴EF∥BD
∴∠FEH＝∠OMH＝90°
∵点EH分ADCD边中点
∴EH三角形ACD中位线
∴EH∥AC
∴∠OMH＝∠COB＝90°
AC⊥BD．
12．
解：长方形折
13．
图连接点作
设矩形中
中
中
14．
连接设交点
∵中垂线
∴
∵四边形矩形
∴
∴
中
∴
∴
∴
∴
中
中．
15．
解：折叠性质：
∵四边形ABCD矩形
∴ADBC
∴
∵CE分∠BCD
∴
∴
∴
∴
知△BFC等腰直角三角形
∴
∴
∴Rt△ABE中
16．114°
∵∠DEF 22°
长方形ABCD边ADBC
∴∠EFB∠DEF22°
折叠 ∠EFB处折叠3层
∴∠CFE180° 3∠EFB
180°—3 × 22°
114°
17．证明：∵四边形矩形
∴
∴
∵
∴
中
∴
∴
∴
18．证明：∵四边形矩形
∴
分分
．
19．2±1
解：图点A1作A1M⊥BCA1N⊥CD
∵四边形ABCD矩形CA1分∠BCD
∴∠BCD＝90°∠MCA1＝∠MA1C＝45°
∴△MA1C等腰直角三角形
∴MA1＝MC
设MA1＝MC＝x
BM＝4﹣x
折叠性质：BA1＝BA＝3
△BMA1中勾股定理：x2+（4﹣x）2＝32
解：x＝2±
∴CA1＝x＝2±1
∴CA1长2±1．
20．见解析
证明：∵四边形ABCD矩形
∴CA＝DBOA＝CAOB＝DB
∴OA＝OB
∵AE⊥BD点EBF⊥AC点F
∴∠AEO＝∠BFO＝90°
∵∠AOE＝∠BOF
△AEO△BFO中
∴△AEO≌△BFO（AAS）
∴AE＝BF．
21．（1）BE长应满足0解：（1）点FCD边时图1
∵四边形ABCD矩形
∴∠B∠C90°
∵EF⊥AE∠AEF90°
∴∠AEB∠EFC
∵EFAE
∴△ABE≌△ECF（AAS）
∴CEAB6
∴BEBCCE2
∴点F矩形ABCDBE长应满足0（2）图2AE∥DFEF⊥DF
延长DFC交点N点F作FM⊥BC点M．
理证△ABE≌△EMF．
设BExEMAB6FMBExEC8x．
∵EF⊥DF
∴∠DFE∠DCB90°
∴∠FEC∠CDF．
∵CDABEM△FME∠DCN90°．
∴△EFM≌△DNC(ASA)
∴NCFMxENEC+NC8NMENEM2．
Rt△FMN中FN2x2＋22
Rt△EFM中EF2x2＋62
Rt△EFN中FN2＋EF2EN2
x2+22＋x2＋6282
解(舍)BE
22．（1）证明见解析（2）．
解：（1）∵MNAC垂直分线
∴AO＝CO∠AOM＝∠CON＝90°
∵四边形ABCD矩形
∴AB∥CD
∴∠M＝∠N
△AOM△CON中
∴△AOM≌△CON（AAS）
（2）图示连接CE
∵MNAC垂直分线
∴CE＝AE
设AE＝CE＝xDE＝6﹣x
∵四边形ABCD矩形
∴∠CDE＝90°CD＝AB＝3
∴Rt△CDE中CD2+DE2＝CE2
32+（6﹣x）2＝x2
解x＝
AE长．
23．（1）华判断正确见解析（2）见解析（3）
解：（1）华判断正确．
矩形ABCD中 AD∥BC∴∠HEF∠EFC．
折叠∠HFE∠EFC
∴∠HFE∠HEF
∴HEHF
∴△EFH等腰三角形
（2）．
矩形ABCD中∠D90°
折叠
问题呈现．
Rt△中
∴．
（3）∵四边形ABCD行四边形AB3AD4
∴CD3BC4∠B∠D
折叠性质知ECCDAEAD4∠E∠D
∴ECAB∠B∠E
∵点FBC中点
∴BFCF
∵∠AFB∠EFC
∴△AFB≌△EFC（AAS）
∴AFFEAE×42．
∴BFAF2
图点F作FH⊥ABH
AHBHAB×3
Rt△BHF中HF
∴S△ABFAB•HF×3×
∴S▱ABCD4S△ABF4×．
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单选题
1．矩形具般行四边形具性质（ ）．
A．角线相等 B．角相等 C．边相等 D．角线互相分
2．图矩形ABCD中角线ACBD交点ODE⊥ACE∠ADE：∠EDC＝3：2∠COD度数（ ）
A．54° B．60° C．65° D．72°
3．图矩形中角线相交点点作交点长（ ）
A． B． C． D．
4．图矩形纸片中点中点垂直分线恰点矩形边长度（ ）
A．1 B． C． D．2
5．图矩形绕点逆时针旋转矩形时点恰边（ ）
A． B． C． D．
6．图张矩形纸条点MN分边．现四边形折叠点BC分落点．点恰落边时列结定正确（ ）
A． B． C． D．
7．图矩形中中点点翻折点恰落点处连接图中相等角（外）（ ）
A． B． C． D．
8．图矩形纸片中点点点矩形纸片直线折叠点落点处．点恰落边点处交点四边形面积等（ ）
A． B． C． D．
9．图矩形纸片点边．折叠点落点处．分交点．长（ ）
A．2 B． C． D．
10．图矩形ABCD中点EAD中点∠EBC分线交CD点F．△DEFEF折叠点D恰落BEM点处延长BCEF交点N列四结正确（ ）
A．DF＝CF B．BF⊥EN
C．△BEN等边三角形 D．S△BEF＝3S△DEF
二填空题
11．果次联结四边形ABCD边中点四边形矩形角线ACBD需满足条件____________．
12．图长方形折_______．
13．图矩形中矩形绕点时针旋转矩形边交点延长交点长______．
14．图矩形中角线垂直分线分交点长_____．
15．图矩形中点E边连接折叠点A应点F．点F落分线长________（含m式子表示）．
16．图a长方形纸带∠DEF22°纸带EF折叠成图bBF折叠成图c图c中∠CFE度数________°．
三解答题
17．已知：矩形中点E边连接点A作点F．求证：
18．矩形中分交点分交点F求证：．
19．图矩形ABCD中AB＝3BC＝4点EAD动点△BAEBE矩形部折叠点A应点A1恰落∠BCD分线时求CA1长．
20．已知：图矩形中角线相交点点点．求证：．
21．矩形ABCD中AB6AD8E边BC点(BC重合)点E直角顶点AE右侧作等腰直角△AEF．
（1）图1BE长满足什条件时点F矩形ABCD？
（2）图2点F矩形外连接DFAE∥DF求BE长．
22．图矩形ABCD中角线AC垂直分线分边AB边CD延长线交点MN边AD交点E垂足点O．
（1）求证：△AOM≌△CON
（2）AB＝3AD＝6请直接写出AE长 ．
23．问题呈现：（1）图①次数学折纸活动中张矩形纸片ABCD点EAD点FBC华学张矩形纸片EF翻折四边形交AD点H华认EFH等腰三角形认华判断正确？请说明理．
问题拓展：（2）图②问题呈现条件点C应点落AD时已知DEaCDbCFc写出abc满足数量关系证明结．
问题应：（3）图③行四边形ABCD中AB3AD4．行四边形ABCD角线AC翻折ACEAE交BC点F．点FBC中点行四边形ABCD面积 ．
参考答案
1．A
解：∵矩形边行相等角线互相分相等
行四边形边行相等角线互相分
∴矩形具行四边形具性质角线相等
2．D
解：设∠ADE＝3α∠EDC＝2α
∴3α+2α＝90°
∴α＝18°
∴∠CDE＝2α＝36°
∵DE⊥AC
∴∠DCE＝90°﹣36°＝54°
∵OD＝OC
∴∠DCE＝∠ODC＝54°
∴∠COD＝180°﹣2×54°＝72°
3．A
解：连接图
矩形
线段垂直分线．
设
中
．
解：．
．
4．C
连接CE∵四边形ABCD矩形点中点
∴ADBCCE2AE2∠CDE90°ABCDDE1
∵垂直分线恰点
∴CEBC2
直角三角形CDE中根勾股定理CD
5．C
解：连接．
∵四边形矩形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
6．D
解：梯形MB′C′NMBCN折叠
∴C′NCNA正确
∴∠1∠2B′MBMB′C′ BC2cm
∵CD∥AB
∴∠3∠1
∴∠2∠3B正确
∵四边形矩形
∴∠C90°
Rt△B′C′N中
勾股定理B′N2（B′C′）2+（C′N）2
∵
∴
∴
∵∠2∠3
∴C正确
∵D错误．
7．B
解：∵C着翻折
∴∠C´MN∠CMNMCMC´NCNC´CC´⊥MN
∴∠C´MN+∠CMN∠C´MC∠MBC´+∠BC´M
∵中点
∴BMMCMC´
∴∠MBC´∠BC´M
∴∠C´MN∠CMN∠BC´M∠MBC´
∵矩形中AD∥BC
∴∠AC´B∠MBC´
∴∠AC´B∠MBC´∠CMN
∵∠CMN+∠CNM90°
∴∠DCC´∠CMN
∵NC´NC
∴∠CC´N∠C´CN∠CMN
8．D
解：∵四边形ABCD矩形
∴
∵
∴
设
∴
∵
∴
∴
∴
∵∠
∴∠
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
设
∴
∴
解
∴
∵
∴四边形面积
9．B
∵四边形ABCD矩形
∴
根折叠性质：
中
∴
∴
∴
设
∴
∴
中勾股定理：
解：
10．C
解：∵四边形ABCD矩形
∴∠D＝∠BCD＝90°
折叠性质：∠EMF＝∠D＝90°DF＝MF
FM⊥BECF⊥BC
∵BF分∠EBC
∴CF＝MF
∴DF＝CF
选项A正确
∵AD∥BN
∴∠N∠DEF
折叠性质∠DEF∠MEF
∴∠N∠MEF
∴BEBN
∵CD分∠EBC
∴BF⊥EN
选项B正确
∵BE＝BN
∴△BEN等腰三角形
∠ABE度数未知法求△BEN角度数
∴△BEN定等边三角形
选项C错误
∵FM⊥BECF⊥BCBF分∠EBC
∴∠BFM＝∠BFC
∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM
∴BE＝3EM
∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF
选项D正确．
11．AC⊥BD
证明：∵四边形EFGH矩形
∴∠FEH＝90°
∵点EF分ADAB边中点
∴EF三角形ABD中位线
∴EF∥BD
∴∠FEH＝∠OMH＝90°
∵点EH分ADCD边中点
∴EH三角形ACD中位线
∴EH∥AC
∴∠OMH＝∠COB＝90°
AC⊥BD．
12．
解：长方形折
13．
图连接点作
设矩形中
中
中
14．
连接设交点
∵中垂线
∴
∵四边形矩形
∴
∴
中
∴
∴
∴
∴
中
中．
15．
解：折叠性质：
∵四边形ABCD矩形
∴ADBC
∴
∵CE分∠BCD
∴
∴
∴
∴
知△BFC等腰直角三角形
∴
∴
∴Rt△ABE中
16．114°
∵∠DEF 22°
长方形ABCD边ADBC
∴∠EFB∠DEF22°
折叠 ∠EFB处折叠3层
∴∠CFE180° 3∠EFB
180°—3 × 22°
114°
17．证明：∵四边形矩形
∴
∴
∵
∴
中
∴
∴
∴
18．证明：∵四边形矩形
∴
分分
．
19．2±1
解：图点A1作A1M⊥BCA1N⊥CD
∵四边形ABCD矩形CA1分∠BCD
∴∠BCD＝90°∠MCA1＝∠MA1C＝45°
∴△MA1C等腰直角三角形
∴MA1＝MC
设MA1＝MC＝x
BM＝4﹣x
折叠性质：BA1＝BA＝3
△BMA1中勾股定理：x2+（4﹣x）2＝32
解：x＝2±
∴CA1＝x＝2±1
∴CA1长2±1．
20．见解析
证明：∵四边形ABCD矩形
∴CA＝DBOA＝CAOB＝DB
∴OA＝OB
∵AE⊥BD点EBF⊥AC点F
∴∠AEO＝∠BFO＝90°
∵∠AOE＝∠BOF
△AEO△BFO中
∴△AEO≌△BFO（AAS）
∴AE＝BF．
21．（1）BE长应满足0
∵四边形ABCD矩形
∴∠B∠C90°
∵EF⊥AE∠AEF90°
∴∠AEB∠EFC
∵EFAE
∴△ABE≌△ECF（AAS）
∴CEAB6
∴BEBCCE2
∴点F矩形ABCDBE长应满足0
延长DFC交点N点F作FM⊥BC点M．
理证△ABE≌△EMF．
设BExEMAB6FMBExEC8x．
∵EF⊥DF
∴∠DFE∠DCB90°
∴∠FEC∠CDF．
∵CDABEM△FME∠DCN90°．
∴△EFM≌△DNC(ASA)
∴NCFMxENEC+NC8NMENEM2．
Rt△FMN中FN2x2＋22
Rt△EFM中EF2x2＋62
Rt△EFN中FN2＋EF2EN2
x2+22＋x2＋6282
解(舍)BE
22．（1）证明见解析（2）．
解：（1）∵MNAC垂直分线
∴AO＝CO∠AOM＝∠CON＝90°
∵四边形ABCD矩形
∴AB∥CD
∴∠M＝∠N
△AOM△CON中
∴△AOM≌△CON（AAS）
（2）图示连接CE
∵MNAC垂直分线
∴CE＝AE
设AE＝CE＝xDE＝6﹣x
∵四边形ABCD矩形
∴∠CDE＝90°CD＝AB＝3
∴Rt△CDE中CD2+DE2＝CE2
32+（6﹣x）2＝x2
解x＝
AE长．
23．（1）华判断正确见解析（2）见解析（3）
解：（1）华判断正确．
矩形ABCD中 AD∥BC∴∠HEF∠EFC．
折叠∠HFE∠EFC
∴∠HFE∠HEF
∴HEHF
∴△EFH等腰三角形
（2）．
矩形ABCD中∠D90°
折叠
问题呈现．
Rt△中
∴．
（3）∵四边形ABCD行四边形AB3AD4
∴CD3BC4∠B∠D
折叠性质知ECCDAEAD4∠E∠D
∴ECAB∠B∠E
∵点FBC中点
∴BFCF
∵∠AFB∠EFC
∴△AFB≌△EFC（AAS）
∴AFFEAE×42．
∴BFAF2
图点F作FH⊥ABH
AHBHAB×3
Rt△BHF中HF
∴S△ABFAB•HF×3×
∴S▱ABCD4S△ABF4×．
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