离散数学课后习题答案左孝凌版


    dintin@gmailcom 1
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    1112
    (1) 解:
    a) 命题真值 T
    b) 命题
    c) 命题真值根具体情况确定
    d) 命题
    e) 命题真值 T
    f) 命题真值 T
    g) 命题真值 F
    h) 命题
    i) 命题
    (2) 解:
    原子命题:爱北京天安门
    复合命题:果练健美操出外旅游拉
    (3) 解:
    a) (┓P ∧R)→Q
    b) Q→R
    c) ┓P
    d) P→┓Q
    (4) 解:
    a)设Q参加舞会R时间P天雨
    Q↔ (R∧┓P)参加舞会仅时间天雨
    b)设R电视Q吃苹果
    R∧Q电视边吃苹果
    c) 设Q数奇数R数 2
    (Q→R)∧(R→Q)数奇数 2整数 2整奇数
    (5) 解:
    a) 设P:王强身体Q:王强成绩P∧Q
    b) 设P:李书Q:李听音乐P∧Q
    c) 设P:气候Q:气候热P∨Q
    d) 设P: ab偶数Q:a+b 偶数P→Q
    e) 设P:四边形 ABCD 行四边形Q:四边形 ABCD 边行P↔Q
    f) 设P:语法错误Q:程序错误R:停机(P∨ Q)→ R
    (6) 解:
    a) P天气炎热Q正雨 P∧Q
    b) P天气炎热R湿度较低 P∧R
    c) R天正雨S湿度高 R∨S
    d) A刘英山B李进山 A∧B
    e) M老王革新者N李革新者 M∨N
    f) L电影M电影 ┓L→┓M
    g) P电视Q外出 R睡觉 P∧Q∧Rdintin@gmailcom 2
    h) P控制台字机作输入设备Q控制台字机作输出设备P∧Q
    13
    (1)解:
    a) 合式公式没规定运算符次序(规定运算符次序作合式公式)
    b) 合式公式
    c) 合式公式(括弧配)
    d) 合式公式(RS间缺少联结词)
    e) 合式公式
    (2)解:
    a)A合式公式(A∨B)合式公式(A→(A∨B)) 合式公式程简记:
    A(A∨B)(A→(A∨B))
    理记
    b)A┓A(┓A∧B)((┓A∧B)∧A)
    c)A┓AB(┓A→B)(B→A)((┓A→B)→(B→A))
    d)AB(A→B)(B→A)((A→B)∨(B→A))
    (3)解:
    a)((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C))
    b)((B→A)∨(A→B))
    (4)解:
    a) c) 式进行代换 c) 中 Q 代换 P(P→P)代换 Q
    d) a) 式进行代换 a) 中 P→(Q→P)代换 Q
    e) b) 式进行代换 R代换 PS代换 QQ代换 RP代换 S
    (5)解:
    a) P 没写信 R 信途中丢失 PQ
    b) P 张三Q 李四R (P∧Q)→R
    c) P 划船 Q 跑步 ┓(P∧Q)
    d) P Q 唱歌R 伴奏 P→(Q↔R)
    (6)解:
    P占空间 Q质量 R断变化 S物质
    起初张:(P∧Q∧R) ↔ S
    张:(P∧Q↔S)∧(S→R)
    开头张张点:认 P∧Q必时 R开头时没样张
    (7)解:
    a) P 午雨 Q电影 R家里读书 S家里报(┓P→Q)∧(P→(R∨S))
    b) P 天进城Q天雨┓Q→P
    c) P 走 Q留Q→P
    14
    (4)解:a)
    PQRQ∧RP∧(Q∧R)P∧Q(P∧Q)∧R
    ∨dintin@gmailcom 3
    TTT
    TTF
    TFT
    TFF
    FTT
    FTF
    FFT
    FFF
    T
    F
    F
    F
    T
    F
    F
    F
    T
    F
    F
    F
    F
    F
    F
    F
    T
    T
    F
    F
    F
    F
    F
    F
    T
    F
    F
    F
    F
    F
    F
    F
    P∧(Q∧R) ⇔ (P∧Q)∧R
    b)
    PQRQ∨RP∨(Q∨R)P∨Q(P∨Q)∨R
    TTT
    TTF
    TFT
    TFF
    FTT
    FTF
    FFT
    FFF
































    P∨(Q∨R) ⇔ (P∨Q)∨R
    c)
    PQRQ∨RP∧(Q∨R)P∧QP∧R(P∧Q)∨(P∧R)
    TTT
    TTF
    TFT
    TFF
    FTT
    FTF
    FFT
    FFF








































    P∧(Q∨R) ⇔ (P∧Q)∨(P∧R)
    d)
    PQ ┓P ┓Q ┓P∨┓Q ┓(P∧Q) ┓P∧┓Q ┓(P∨Q)
    TT
    TF
    FT
    FF
    F
    F
    T
    T
    F
    T
    F
    T
    F
    T
    T
    T
    F
    T
    T
    T
    F
    F
    F
    T
    F
    F
    F
    T
    ┓(P∧Q) ⇔┓P∨┓Q ┓(P∨Q) ⇔┓P∧┓Q
    (5)解:表问填方公式 F1~F6表达
    PQR F1 F2 F3 F4 F5 F6dintin@gmailcom 4
    TTTTFTTFF
    TTFFFTFFF
    TFTTFFTTF
    TFFFTFTTF
    FTTTFFTTF
    FTFTFFFTF
    FFTTFTTTF
    FFFFTFTTT
    F1(Q→P)→R
    F2(P∧┓Q∧┓R)∨(┓P∧┓Q∧┓R)
    F3(P←→Q)∧(Q∨R)
    F4(┓P∨┓Q∨R)∧(P∨┓Q∨R)
    F5(┓P∨┓Q∨R)∧(┓P∨┓Q∨┓R)
    F6┓(P∨Q∨R)
    (6)
    Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
    FFTFTFTFTFTFTFTFT
    TFFTTFFTTFFTTFFTT
    FFFFFTTTTFFFFTTTT
    TFFFFFFFFTTTTTTTT
    解:表关公式
    1F 2┓(P∨Q) 3┓(Q→P) 4┓P
    5┓(P→Q) 6┓Q 7┓(P↔Q) 8┓(P∧Q)
    9P∧Q 10P↔Q 11Q 12P→Q
    13P 14Q→P 15P∨Q 16T
    (7) 证明:
    a) A→(B→A)⇔ ┐A∨(┐B∨A)
    ⇔ A∨(┐A∨┐B)
    ⇔ A∨(A→┐B)
    ⇔┐A→(A→┐B)
    b) ┐(A↔B) ⇔┐((A∧B)∨(┐A∧┐B))
    ⇔┐((A∧B)∨┐(A∨B))
    ⇔(A∨B)∧┐(A∧B)
    ┐(A↔B) ⇔┐((A→B)∧(B→A))
    ⇔┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))
    ⇔┐((┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A))
    ⇔┐((┐A∧┐B)∨(B∧A))
    ⇔┐(┐(A∨B))∨(A∧B)
    ⇔(A∨B)∧┐(A∧B)
    c) ┐(A→B) ⇔ ┐(┐A∨B) ⇔A∧┐B
    d) ┐(A↔B)⇔┐((A→B)∧(B→A))
    ⇔┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))
    ⇔(A∧┐B)∨(┐A∧B)
    e) (((A∧B∧C)→D)∧(C→(A∨B∨D)))
    ⇔(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐C∨(A∨B∨D))
    ⇔(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐(┐A∧┐B∧C)∨D)dintin@gmailcom 5
    ⇔ (┐(A∧B∧C)∧┐(┐A∧┐B∧C))∨D
    ⇔((A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C))→D
    ⇔ (((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧C)→D
    ⇔ ((C∧(A↔B))→D)
    f) A→(B∨C) ⇔ ┐A∨(B∨C)
    ⇔ (┐A∨B)∨C
    ⇔┐(A∧┐B)∨C
    ⇔ (A∧┐B)→C
    g) (A→D)∧(B→D)⇔(┐A∨D)∧(┐B∨D)
    ⇔(┐A∧┐B)∨D
    ⇔ ┐(A∨B)∨D
    ⇔ (A∨B)→D
    h) ((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))
    ⇔(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C))
    ⇔ (┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨C
    ⇔(┐(A∧B) ∧┐(┐D∧B))∨C
    ⇔┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨C
    ⇔ ((A∨┐D)∧B)→C
    ⇔ (B∧(D→A))→C
    (8)解:
    a) ((A→B) ↔ (┐B→┐A))∧C
    ⇔ ((┐A∨B) ↔ (B∨┐A))∧C
    ⇔ ((┐A∨B) ↔ (┐A∨B))∧C
    ⇔T∧C ⇔C
    b) A∨(┐A∨(B∧┐B)) ⇔ (A∨┐A)∨(B∧┐B) ⇔T∨F ⇔T
    c) (A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C)
    ⇔ (A∨┐A) ∧(B∧C)
    ⇔T∧(B∧C)
    ⇔B∧C
    (9)解:1)设 CTATBF满足 A∨C⇔B∨C A⇔B 成立
    2)设 CFATBF满足 A∧C⇔B∧C A⇔B 成立
    3)题意知┐A┐B真值相 AB真值相
    题 15
    (1) 证明:
    a) (P∧(P→Q))→Q
    ⇔ (P∧(┐P∨Q))→Q
    ⇔(P∧┐P)∨(P∧Q)→Q
    ⇔(P∧Q)→Q
    ⇔┐(P∧Q)∨Q
    ⇔┐P∨┐Q∨Q
    ⇔┐P∨T
    ⇔T
    b) ┐P→(P→Q)
    ⇔P∨(┐P∨Q)
    ⇔ (P∨┐P)∨Qdintin@gmailcom 6
    ⇔T∨Q
    ⇔T
    c) ((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)
    (P→Q)∧(Q→R)⇒(P→R)
    (P→Q)∧(Q→R)重言式
    d) ((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))↔(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)
    ((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))
    ⇔((a∨c)∧b)∨(c∧a)
    ⇔((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a))
    ⇔(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a)
    ((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))↔(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) 重言式
    (2) 证明:
    a)(P→Q)⇒P→(P∧Q)
    解法 1:
    设P→QT
    (1) PT QT P∧QT P→(P∧Q)T
    (2) PF QF P∧QFP→(P∧Q)T
    命题证
    解法 2:
    设P→(P∧Q)F PT(P∧Q)F必 PTQF P→QF
    解法 3:
    (P→Q) →(P→(P∧Q))
    ⇔┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q))
    ⇔┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q))
    ⇔T
    (P→Q)⇒P→(P∧Q)
    b)(P→Q)→Q⇒P∨Q
    设P∨QF PF QF
    P→QT(P→Q)→QF
    (P→Q)→Q⇒P∨Q
    c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))⇒R→Q
    设R→QF RT QF P∧┐PF
    Q→(P∧┐P)TR→(P∧┐P)F
    R→(R→(P∧┐P))F(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))F
    (Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))⇒R→Q 成立
    (3) 解:
    a) P→Q表示命题果 8偶数糖果甜
    b) a)逆换式 Q→P表示命题果糖果甜 8偶数
    c) a)反换式┐P→┐Q表示命题果 8偶数糖果甜
    d) a)逆反式┐Q→┐P表示命题果糖果甜 8偶数
    (4) 解:
    a) 果天雨
    设P:天雨Q:P→Q
    逆换式 Q→P表示命题果天雨
    逆反式┐Q→┐P表示命题果天雨
    b) 仅走留dintin@gmailcom 7
    设S:走R:留R→S
    逆换式 S→R表示命题:果走留
    逆反式┐S→┐R表示命题:果走留
    c) 果获更帮助完成务
    设E:获更帮助H:完成务E→H
    逆换式 H→E表示命题:完成务获更帮助
    逆反式┐H→┐E表示命题:完成务获更帮助
    (5) 试证明 P↔QQ逻辑蕴含 P
    证明:解法 1:
    题求证明(P↔Q) ∧Q⇒P
    设(P↔Q) ∧QT(P↔Q)TQ T↔定义必 P T
    (P↔Q) ∧Q⇒P
    解法 2:
    体题知证((P↔Q)∧Q)→P 永真式
    ((P↔Q)∧Q)→P
    ⇔ (((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∧Q)→P
    ⇔ (┐((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∨┐Q) ∨P
    ⇔ (((┐P∨┐Q) ∧(P∨Q)) ∨┐Q) ∨P
    ⇔ ((┐Q∨┐P∨┐Q) ∧(┐Q∨P∨Q)) ∨P
    ⇔ ((┐Q∨┐P) ∧T) ∨P
    ⇔┐Q∨┐P∨P
    ⇔┐Q∨T
    ⇔T
    (6) 解:
    P:学 Q:数学格 R:热衷玩扑克
    果学数学会格: P→┐Q
    果热衷玩扑克学 ┐R→P
    数学格Q
    热衷玩扑克 R
    题符号化:(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q⇒R
    证:
    证法 1:((P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q)→R
    ⇔ ┐((┐P∨┐Q)∧(R∨P)∧Q) ∨R
    ⇔ (P∧Q)∨(┐R∧┐P)∨┐Q∨R
    ⇔ ((┐Q∨P)∧(┐Q∨Q))∨((R∨┐R)∧(R∨┐P))
    ⇔ ┐Q∨P∨R∨┐P
    ⇔ T
    证效
    证法 2:设(P→┐Q)∧(┐R→P)∧QT
    QT(P→┐Q) T PF
    (┐R→P)T RT
    题证效
    (7) 解:
    P:6偶数 Q:72 R:5素数
    果 6偶数 72 P→┐Q
    5素数 72 ┐R∨Qdintin@gmailcom 8
    5素数 R
    6奇数 ┐P
    题符号化:(P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R ⇒┐P
    证:
    证法 1:((P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)→┐P
    ⇔ ┐((┐P∨┐Q) ∧(┐R∨Q) ∧R) ∨┐P
    ⇔ ((P∧Q) ∨(R∧┐Q) ∨┐R) ∨┐P
    ⇔ ((┐P∨P) ∧(┐P∨Q)) ∨((┐R∨R) ∧(┐R∨┐Q))
    ⇔ (┐P∨Q) ∨(┐R∨┐Q)
    ⇔T
    证效实际符合实际意义
    证法 2:(P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧RT
    RT┐R∨Q T QT
    P→┐QT┐PT
    (8) 证明:
    a) P⇒(┐P→Q)
    设PT┐PF┐P→QT
    b) ┐A∧B∧C⇒C
    假定┐A∧B∧CT CT
    c) C⇒A∨B∨┐B
    A∨B∨┐B永真 C⇒A∨B∨┐B 成立
    d) ┐(A∧B) ⇒┐A∨┐B
    设┐(A∧B)T A∧BF
    ATBF┐AF┐BT┐A∨┐BT
    AFBT┐AT┐BF┐A∨┐BT
    AFBF┐AT┐BT┐A∨┐BT
    命题证
    e) ┐A→(B∨C)D∨E(D∨E)→┐A⇒B∨C
    设┐A→(B∨C)D∨E(D∨E)→┐AT
    D∨ET(D∨E)→┐AT┐AT
    ┐A→(B∨C)T B∨CT命题证
    f) (A∧B)→C┐D┐C∨D⇒┐A∨┐B
    设(A∧B)→C┐D┐C∨DT┐DT┐C∨DT CF
    (A∧B)→CT A∧BF┐A∨┐BT命题证
    (9)解:
    a) 果勇气胜
    P:勇气 Q:胜
    原命题:P→Q 逆反式:┐Q→┐P 表示:果失败说明没勇气
    b) 仅累胜
    P:累 Q:胜
    原命题:Q→P 逆反式:┐P→┐Q 表示:果累失败
    题 16
    (1)解:
    a) (P∧Q)∧┐P⇔(P∧┐P)∧Q⇔┐(T∨Q)
    b) (P→(Q∨┐R)) ∧┐P∧Qdintin@gmailcom 9
    ⇔ (┐P∨(Q∨┐R))∧┐P∧Q
    ⇔(┐P∧┓P∧Q)∨(Q∧┓P∧Q)∨(┓R∧┓P∧Q)
    ⇔(┓P∧Q)∨(┓P∧Q)∨(┓P∧┓R∧Q)
    ⇔┓P∧Q
    ⇔┐(P∨┐Q)
    c) ┐P∧┐Q∧(┐R→P)
    ⇔┐P∧┐Q∧(R∨P)
    ⇔(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧P)
    ⇔(┐P∧┐Q∧R)∨F
    ⇔┐P∧┐Q∧R
    ⇔┐(P∨Q∨┐R)
    (2) 解:
    a)┐P⇔ P↓P
    b)P∨Q⇔┐(P↓Q) ⇔ (P↓Q)↓(P↓Q)
    c)P∧Q⇔┐P↓┐Q⇔ (P↓P)↓(Q↓Q)
    (3)解:
    P→(┐P→Q)
    ⇔┐P∨(P∨Q)
    ⇔T
    ⇔┐P∨P
    ⇔ (┐P↑┐P)↑(P↑P)
    ⇔P↑(P↑P)
    P→(┐P→Q)
    ⇔┐P∨(P∨Q)
    ⇔T
    ⇔┐P∨P
    ⇔┐(┐P↓P)
    ⇔┐((P↓P)↓P)
    ⇔((P↓P)↓P)↓((P↓P)↓P)
    (4)解:
    P↑Q
    ⇔┐(┐P↓┐Q)
    ⇔┐((P↓P)↓(Q↓Q))
    ⇔ ((P↓P)↓(Q↓Q))↓((P↓P)↓(Q↓Q))
    (5)证明:
    ┐(B↑C)
    ⇔┐(┐B∨┐C)
    ⇔ ┐B↓┐C
    ┐(B↓C)
    ⇔┐(┐B∧┐C)
    ⇔┐B↑┐C
    (6)解:联结词↑↓满足结合律举例:
    a)出组指派:PTQFRF(P↑Q)↑RTP↑(Q↑R)F
    (P↑Q)↑RP↑(Q↑R)
    b)出组指派:PTQFRF(P↓Q) ↓RTP↓(Q↓R)F

    ⇔dintin@gmailcom 10


    (P↓Q)↓RP↓(Q↓R)
    (7)证明:
    设变元 PQ连结词↔┐作 PQ:PQ┐P┐QP↔QP↔PQ↔QQ↔P
    P↔Q⇔Q↔PP↔P⇔Q↔Q实际:
    PQ┐P┐QP↔QP↔P(T)(A)
    ┐作(A)类扩公式类(包括原公式类):
    PQ┐P┐Q┐(P↔Q)TFP↔Q(B)
    ↔作(A)类:
    P↔QP↔┐P⇔FP↔┐Q⇔┐(P↔Q)P↔(P↔Q)⇔QP↔(P↔P)⇔P
    Q↔┐P⇔┐(P↔Q)Q↔┐Q⇔FQ↔(P↔Q)⇔PQ↔T⇔Q
    ┐P↔┐Q⇔P↔Q┐P↔(P↔Q)⇔┐Q┐P↔T⇔┐P
    ┐Q↔(P↔Q)⇔┐P┐Q↔T⇔┐Q
    (P↔Q)↔(P↔Q)⇔P↔Q
    (A)类运算(B)类中
    (B)类┐运算:
    ┐P┐QPQP↔QFT
    ┐(P↔Q)
    (B)类中
    (B)类↔运算:
    P↔QP↔┐P⇔FP↔┐Q⇔┐(P↔Q)P↔┐(P↔Q)⇔┐QP↔T⇔PP↔F⇔┐PP↔(P↔Q)⇔Q
    Q↔┐P⇔┐(P↔Q)Q↔┐Q⇔FQ↔┐(P↔Q)⇔┐PQ↔T⇔QQ↔F⇔┐QQ↔(P↔Q)⇔P
    ┐P↔┐Q⇔P↔Q┐P↔┐(P↔Q)⇔Q┐P↔T⇔┐P ┐P↔F⇔P┐P↔(P↔Q)⇔┐Q
    ┐Q↔┐(P↔Q)⇔P┐Q↔T⇔┐Q ┐Q↔T⇔┐Q┐Q↔(P↔Q)⇔┐P
    ┐(P↔Q)↔T⇔┐(P↔Q)┐(P↔Q)↔F⇔P↔Q┐(P↔Q)↔(P↔Q)⇔F
    T↔F⇔FT↔(P↔Q)⇔ P↔Q
    F↔(P↔Q)⇔ ┐(P↔Q)
    (P↔Q)↔(P↔Q)⇔P↔Q
    (B)类↔运算结果(B)中
    证明:↔┐两连结词反复作两变元公式中结果产生(B)类中公式总仅八公式{↔┐}
    功完备更联结词组
    已证{↔┐}联结词组 PQ⇔ ┐(P↔Q)命题公式中联结词仅{ ┐}表达必{↔
    ┐}表达逆真{ ┐}必联结词组
    (8)证明{∨}{∧}{→}联结词组
    证明:{∨}{∧}{→}联结词
    ┐P⇔(P∨P∨……)
    ┐P⇔(P∧P∧……)
    ┐P⇔P→(P→(P→……)
    命题变元指派 T等价式左边 F右边 T等价表达式矛盾
    {∨}{∧}{→}联结词
    (9)证明{┐→}{┐}联结词组
    证明:{┐∨}联结词组 P∨Q⇔┐P→Q
    {┐→}功完备联结词组{┐}{→}功完备联结词组
    {┐→}联结词组
    P→Q⇔┐(PQ){┐}功完备联结词组{┐}{ }功完备联结词组
    {┐}联结词组
    →c

    →c →c →c
    →cdintin@gmailcom 11
    题 17
    (1) 解:
    P∧(P→Q)
    ⇔P∧(┐P∨Q)
    ⇔ (P∧┐P)∨(P∧Q)
    P∧(P→Q)
    ⇔ (P∨(┐Q∧Q))∧(┐P∨Q)
    ⇔ (P∨┐Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨Q)
    (2) 解:
    a) (┐P∧Q)→R
    ⇔┐(┐P∧Q)∨R
    ⇔ P∨┐Q∨R
    ⇔(P∧Q)∨(P∧┐Q) ∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(R∧P)∨(R∧┐P)
    b) P→((Q∧R)→S)
    ⇔┐P∨(┐(Q∧R)∨S)
    ⇔┐P∨┐Q∨┐R∨S
    ⇔(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q) ∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(┐R∧S)∨(┐R∧┐S)∨(S∧P)∨(S∧┐P)
    c) ┐(P∨┐Q)∧(S→T)
    ⇔(┐P∧Q)∧(┐S∨T)
    ⇔(┐P∧Q∧┐S)∨(┐P∧Q∧T)
    d) (P→Q)→R
    ⇔┐(┐P∨Q)∨R
    ⇔(P∧┐Q)∨R
    ⇔(P∨R)∧(┐Q∨R)
    e) ┐(P∧Q)∧(P∨Q)
    ⇔(┐P∨┐Q)∧(P∨Q)
    ⇔(┐P∧P)∨(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)∨(┐Q∧Q)
    ⇔ (┐P∧Q)∨(┐Q∧P)
    (3) 解:
    a) P∨(┐P∧Q∧R)
    ⇔(P∨┐P)∧(P∨Q)∧(P∨R)
    ⇔(P∨Q)∧(P∨R)
    b) ┐(P→Q)∨(P∨Q)
    ⇔┐(┐P∨Q)∨(P∨Q)
    ⇔(P∧┐Q)∨(P∨Q)
    ⇔(P∨P∨Q)∧(┐Q∨P∨Q)
    c) ┐(P→Q)
    ⇔┐(┐P∨Q)
    ⇔ P∧┐Q
    ⇔(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐Q∨┐P)
    d) (P→Q)→R
    ⇔┐(┐P∨Q)∨R
    ⇔ (P∧┐Q)∨R
    ⇔ (P∨R)∧(┐Q∨R)
    e) (┐P∧Q)∨(P∧┐Q)
    ⇔(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)∧(Q∨┐Q)dintin@gmailcom 12
    ⇔(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)
    (4) 解:
    a) (┐P∨┐Q)→(P↔┐Q)
    ⇔┐(┐P∨┐Q) ∨(P↔┐Q)
    ⇔ (P∧Q) ∨(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)
    ⇔∑123
    ⇔P∨QΠ 0
    b) Q∧(P∨┐Q)
    ⇔ (P∧Q)∨(Q∧┐Q)
    ⇔ P∧Q ∑3
    ⇔Π 012
    ⇔(P∨Q)∧(P∨┐Q) ∧(┐P∨Q)
    c) P∨(┐P→(Q∨(┐Q→R))
    ⇔P∨(P∨(Q∨(Q∨R))
    ⇔P∨Q∨RΠ 0
    ⇔∑1234567
    (┐P∧┐Q∧R) ∨(┐P∧Q∧┐R) ∨(┐P∧Q∧R) ∨(P∧┐Q∧┐R) ∨(P∧┐Q∧R) ∨(P∧Q∧┐R) ∨(P∧Q∧R)
    d) (P→(Q∧R))∧(┐P→(┐Q∧┐R))
    ⇔ (┐P∨(Q∧R)) ∧(P∨(┐Q∧┐R))
    ⇔ (P∧┐P) ∨(P∧(Q∧R)) ∨ ((┐Q∧┐R) ∧┐P) ∨((┐Q∧┐R) ∧(Q∧R))
    ⇔ (P∧Q∧R) ∨(┐P∧┐Q∧┐R) ∑07
    ⇔Π 123456
    ⇔ (P∨Q∨┐R) ∧(P∨┐Q∨R) ∧(P∨┐Q∨┐R) ∧(┐P∨Q∨R) ∧(┐P∨Q∨┐R) ∧(┐P∨┐Q∨R)
    e) P→(P∧(Q→P)
    ⇔┐P∨(P∧(┐Q∨P)
    ⇔(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q∨P)
    ⇔T∨(T∧┐Q) ⇔T
    ⇔∑0123 (┐P∧┐Q) ∨(┐P∧Q) ∨(P∧┐Q) ∨(P∧Q)
    f) (Q→P) ∧(┐P∧Q)
    ⇔ (┐Q∨P) ∧┐P∧Q
    ⇔ (┐Q∨P) ∧┐(P∨┐Q) ⇔F
    ⇔Π 0123 (P∨Q) ∧(P∨┐Q) ∧(┐P∨Q) ∧(┐P∨┐Q)
    (5) 证明:
    a)
    (A→B) ∧(A→C)
    ⇔ (┐A∨B) ∧(┐A∨C)
    A→(B∧C)
    ⇔┐A∨(B∧C)
    ⇔ (┐A∨B) ∧(┐A∨C)
    b)
    (A→B) →(A∧B)
    ⇔┐(┐A∨B) ∨(A∧B)
    ⇔ (A∧┐B) ∨(A∧B)
    ⇔A∧(B∨┐B)
    ⇔A∧T
    ⇔Adintin@gmailcom 13
    (┐A→B) ∧(B→A)
    ⇔ (A∨B) ∧(┐B∨A)
    ⇔A∨(B∧┐B)
    ⇔A∨F
    ⇔A
    c)
    A∧B∧(┐A∨┐B)
    ⇔ ((A∧┐A)∨(A∧┐B))∧B
    ⇔A∧B∧┐B
    ⇔F
    ┐A∧┐B∧(A∨B)
    ⇔ ((┐A∧A)∨(┐A∧B))∧┐B
    ⇔┐A∧┐B∧B
    ⇔F
    d)
    A∨(A→(A∧B)
    ⇔A∨┐A∨(A∧B)
    ⇔T
    ┐A∨┐B∨(A∧B)
    ⇔┐(A∧B) ∨(A∧B)
    ⇔T
    (6)解:A⇔R↑(Q∧┐(R↓P))A*⇔ R↓(Q∨┐(R↑P))
    A⇔R↑(Q∧┐(R↓P))
    ⇔┐(R∧(Q∧(R∨P)))
    ⇔┐R∨┐Q∨┐(R∨P)
    ⇔┐(R∧Q) ∨┐(R∨P)
    A*⇔R↓(Q∨┐(R↑P))
    ⇔┐(R∨(Q∨(R∧P))
    ⇔┐R∧┐Q∧┐(R∧P)
    ⇔┐(R∨Q) ∧┐(R∧P)
    (7) 解:设A:A出差B:B出差C:C出差D:D出差
    A CD中 A→(CVD)
    BC ┐(B∧C)
    C D留 C→┐D
    题意应:A→(CVD)┐(B∧C)C→┐D必须时成立
    CVD ⇔ (C∧┐D) ∨(D∧┐C)
    (A→(CV D))∧┐(B∧C) ∧(C→┐D)
    ⇔ (┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧┐(B∧C) ∧(┐C∨┐D)
    ⇔ (┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧(┐B∨┐C) ∧(┐C∨┐D)
    ⇔ (┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧((┐B∧┐C) ∨(┐B∧┐D) ∨(┐C∧┐D) ∨┐C)
    ⇔ (┐A∧┐B∧┐C) ∨(┐A∧┐B∧┐D) ∨(┐A∧┐C∧┐D) ∨(┐A∧┐C)
    ∨(┐B∧┐C∧D) ∨(┐C∧D∧┐B∧┐D) ∨(┐C∧D∧┐C∧┐D)dintin@gmailcom 14
    ∨(┐C∧D∧┐C) ∨(┐D∧C∧┐B∧┐C) ∨(┐D∧C∧┐B∧┐D)
    ∨(┐D∧C∧┐C∧┐D) ∨(┐D∧C∧┐C)
    述析取范式中(画线)符合题意舍弃
    (┐A∧┐C) ∨(┐B∧┐C∧D) ∨(┐C∧D)∨(┐D∧C∧┐B)
    分派方法:B∧D D∧A C∧A
    (8) 解:设P:A 第Q:B 第二R:C 第二S:D 第四E:A 第二
    题意 (PVQ) ∧(RVS) ∧(EVS)
    ⇔ ((P∧┐Q) ∨(┐P∧Q)) ∧((R∧┐S) ∨(┐R∧S)) ∧((E∧┐S) ∨(┐E∧S))
    ⇔ ((P∧┐Q∧R∧┐S) ∨(P∧┐Q∧┐R∧S) ∨(┐P∧Q∧R∧┐S) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S)∨(┐E∧S))
    (P∧┐Q∧┐R∧S)(┐P∧Q∧R∧┐S)合题意原式化
    ((P∧┐Q∧R∧┐S) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S) ∨(┐E∧S))
    ⇔ (P∧┐Q∧R∧┐S∧E∧┐S) ∨(P∧┐Q∧R∧┐S∧┐E∧S) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧E∧┐S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E∧S)
    ⇔ (P∧┐Q∧R∧┐S∧E) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E)
    RE矛盾┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E真
    A第B第二C第二D第四A第二
    : A 第三 B第二 C第 D 第四
    题 18
    (1)证明:
    a)┐(P∧┐Q)┐Q∨R┐R⇒┐P
    (1) ┐RP
    (2) ┐Q∨RP
    (3) ┐Q(1)(2)TI
    (4) ┐(P∧┐Q)P
    (5) ┐P∨Q(4)TE
    (6) ┐P(3)(5)TI
    b)J→(M∨N)(H∨G)→JH∨G⇒M∨N
    (1) (H∨G) →JP
    (2) (H∨G)P
    (3) J(1)(2)TI
    (4) J→(M∨N)P
    (5) M∨N(3)(4)TI
    c)B∧C(B↔C)→(H∨G) ⇒G∨H
    (1) B∧CP
    (2) B(1)TI
    (3) C(1)TI
    (4) B∨┐C(2)TI
    (5) C∨┐B(3)TI
    (6) C→B(4)TE
    (7) B→C(5)TE
    (8) B↔C(6)(7)TE
    (9) (B↔C) →(H∨G)P
    (10) H∨G(8)(9)TI
    d)P→Q(┐Q∨R)∧┐R┐(┐P∧S) ⇒┐S
    (1) (┐Q∨R) ∧┐Rdintin@gmailcom 15
    (2) ┐Q∨R(1)TI
    (3) ┐R(1)TI
    (4) ┐Q(2)(3)TI
    (5) P→QP
    (6) ┐P(4)(5)TI
    (7) ┐(┐P∧┐S)P
    (8) P∨┐S(7)TE
    (9) ┐S(6)(8)TI
    (2) 证明:
    a)┐A∨BC→┐B⇒A→┐C
    (1) ┐(A→┐C)P
    (2) A(1)TI
    (3) C(1)TI
    (4) ┐A∨BP
    (5) B(2)(4)TI
    (6) C→┐BP
    (7) ┐B(3)(6)TI
    (8) B∧┐B 矛盾(5)(7)
    b)A→(B→C)(C∧D)→E┐F→(D∧┐E) ⇒A→(B→F)
    (1) ┐(A→(B→F)) P
    (2) A(1)TI
    (3) ┐(B→F)(1)TI
    (4) B(3)TI
    (5) ┐F(3)T
    (6) A→(B→C)P
    (7) B→C(2)(6)TI
    (8) C(4)(7)TI
    (9) ┐F→(D∧┐E)P
    (10) D∧┐E(5)(9)TI
    (11) D(10)TI
    (12) C∧D(8)(11)TI
    (13) (C∧D) →EP
    (14) E(12)(13)TI
    (15) ┐E(10)TI
    (16) E∧┐E 矛盾(14)(15)
    c)A∨B→C∧DD∨E→F⇒A→F
    (1) ┐(A→F)P
    (2) A(1)TI
    (3) ┐F(1)TI
    (4) A∨B(2)TI
    (5) (A∨B) →C∧DP
    (6) C∧D(4)(5)TI
    (7) C(6)TI
    (8) D(6)TI
    (9) D∨E(8)TI
    (10) D∨E→FPdintin@gmailcom 16
    (11) F(9)(10)TI
    (12) F∧┐F 矛盾(3)(11)
    d)A→(B∧C)┐B∨D(E→┐F)→┐DB→(A∧┐E) ⇒B→E
    (1) ┐(B→E)P
    (2) B(1)TI
    (3) ┐E(1)TI
    (4) ┐B∨DP
    (5) D(2)(4)TI
    (6) (E→┐F) →┐DP
    (7) ┐(E→┐F)(5)(6)TI
    (8) E(7)TI
    (9) E∧┐E 矛盾
    e)(A→B)∧(C→D)(B→E)∧(D→F)┐(E∧F)A→C⇒┐A
    (1) (A→B) ∧(C→D)P
    (2) A→B(1)TI
    (3) (B→E) ∧(D→F)P
    (4) B→E(3)TI
    (5) A→E(2)(4)TI
    (6) ┐(E∧F)P
    (7) ┐E∨┐F(6)TE
    (8) E→┐F(7)TE
    (9) A→┐F(5)(8)TI
    (10) C→D(1)TI
    (11) D→F(3)TI
    (12) C→F(10)(10)TI
    (13) A→CP
    (14) A→F(13)(12)TI
    (15) ┐F→┐A(14)TE
    (16) A→┐A(9)(15)TI
    (17) ┐A∨┐A(16)TE
    (18) ┐A(17) TE
    (3) 证明:
    a)┐A∨BC→┐B⇒A→┐C
    (1) AP
    (2) ┐A∨BP
    (3) B(1)(2)TI
    (4) C→┐BP
    (5) ┐C(3)(4)TI
    (6) A→┐CCP
    b)A→(B→C)(C∧D)→E┐F→(D∧┐E) ⇒A→(B→F)
    (1) AP
    (2) A→(B→C)P
    (3) B→C(1)(2)TI
    (4) BP
    (5) C(3)(4)TI
    (6) (C∧D) →EPdintin@gmailcom 17
    (7) C→(D→E)(6)TE
    (8) D→E(5)(7)TI
    (9) ┐D∨E(8)TE
    (10) ┐(D∧┐E)(9)TE
    (11) ┐F→(D∧┐E)P
    (12) F(10)(11)TI
    (13) B→FCP
    (14) A→(B→F)CP
    c)A∨B→C∧DD∨E→F⇒A→F
    (1) AP
    (2) A∨B(1)TI
    (3) A∨B→C∨DP
    (4) C∧D(2)(3)TI
    (5) D(4)TI
    (6) D∨E(5)TI
    (7) D∨E→FP
    (8) F(6)(7)TI
    (9) A→FCP
    d)A→(B∧C)┐B∨D(E→┐F)→┐DB→(A∧┐E) ⇒B→E
    (1) BP(附加前提)
    (2) ┐B∨DP
    (3) D(1)(2)TI
    (4) (E→┐F)→┐DP
    (5) ┐(E→┐F)(3)(4)TI
    (6) E(5)TI
    (7)B→ECP
    (4)证明:
    a) R→┐QR∨SS→┐QP→Q⇒┐P
    (1) R→┐QP
    (2) R∨SP
    (3) S→┐QP
    (4) ┐Q(1)(2)(3)TI
    (5) P→QP
    (6) ┐P(4)(5)TI
    b) S→┐QS∨R┐R┐P↔Q⇒P
    证法:
    (1) S∨RP
    (2) ┐RP
    (3) S(1)(2)TI
    (4) S→┐QP
    (5) ┐Q(3)(4)TI
    (6) ┐P↔QP
    (7)(┐P→Q)∧(Q→┐P)(6)TE
    (8) ┐P→Q(7)TI
    (9) P(5)(8)TI
    证法二:(反证法)dintin@gmailcom 18
    (1) ┐PP(附加前提)
    (2) ┐P↔QP
    (3)(┐P→Q)∧(Q→┐P)(2)TE
    (4) ┐P→Q(3)TI
    (5) Q(1)(4)TI
    (6) S→┐QP
    (7) ┐S(5)(6)TI
    (8) S∨RP
    (9) R(7)(8)TI
    (10) ┐RP
    (11) ┐R∧R 矛盾(9)(10)TI
    c)┐(P→Q)→┐(R∨S)((Q→P)∨┐R)R⇒P↔Q
    (1) RP
    (2) (Q→P) ∨┐RP
    (3) Q→P(1)(2)TI
    (4)┐(P→Q) →┐(R∨S)P
    (5) (R∨S) →(P→Q)(4)TE
    (6) R∨S(1)TI
    (7) P→Q(5)(6)
    (8) (P→Q) ∧(Q→P)(3)(7)TI
    (9) P↔Q(8)TE
    (5) 解:
    a) 设P:跑步Q:疲劳
    前提:P→Q┐Q
    (1) P→QP
    (2) ┐QP
    (3) ┐P(1)(2)TI
    结:┐P没跑步
    b) 设S:犯错误 R:神色慌张
    前提:S→RR
    (S→R)∧R⇔(┐S∨R)∧R⇔R题没确定结
    实际 S →R真R真S真S假效结
    c) 设P:程序通 Q:快乐
    R:阳光 S:天暖(晚十点理解阳光)
    前提:P→QQ→R┐R∧S
    (1) P→QP
    (2) Q→RP
    (3) P→R(1)(2)TI
    (4) ┐R∨SP
    (5) ┐R(4)TI
    (6) ┐P(3)(5)TI
    结: ┐P程序没通
    题 2122
    (1) 解:
    a) 设W(x):x工c:张dintin@gmailcom 19
    ¬W(c)
    b) 设S(x):x田径运动员B(x):x球类运动员h:
    S(h)∨B(h)
    c) 设C(x):x聪明B(x):x美丽l:莉
    C(l)∧ B(l)
    d)设 O(x):x奇数
    O(m)→¬ O(2m)
    e)设R(x):x实数Q(x):x理数
    (∀x)(Q(x)→R(x))
    f) 设R(x):x实数Q(x):x理数
    (∃x)(R(x)∧Q(x))
    g) 设R(x):x实数Q(x):x理数
    ¬(∀x)(R(x)→Q(x))
    h)设P(xy):直线 x行直线 y
    G(xy):直线 x相交直线 y
    P(AB)�¬G(AB)
    (2) 解:
    a) 设J(x):x教练员L(x):x运动员
    (∀x)(J(x)→L(x))
    b) 设S(x):x学生L(x):x运动员
    (∃x)(L(x)∧S(x))
    c) 设J(x):x教练员O(x):x年老V(x):x健壮
    (∃x)(J(x)∧O(x)∧V(x))
    d) 设O(x):x年老V(x):x健壮j:金教练
    ¬ O(j)∧¬V(j)
    e) 设L(x):x运动员J(x):x教练员
    ¬(∀x)(L(x)→J(x))
    题理解:某运动员教练
    (∃x)(L(x)∧¬J(x))
    f) 设S(x):x学生L(x):x运动员C(x):x国家选手
    (∃x)(S(x)∧L(x)∧C(x))
    g) 设C(x):x国家选手V(x):x健壮
    (∀x)(C(x)→V(x))¬(∃x)(C(x)∧¬V(x))
    h) 设C(x):x国家选手O(x):x老L(x):x 运动员
    (∀x)(O(x)∧C(x)→L(x))
    i) 设W(x):x女志H(x):x家庭妇女C(x):x国家选手
    ¬(∃x)(W(x)∧C(x)∧H(x))
    j)W(x):x女志J(x):x教练C(x):x国家选手
    (∃x)(W(x)∧J(x)∧C(x))
    k)L(x):x 运动员J(y):y教练A(xy):x钦佩 y
    (∀x)(L(x)→ (∃y)(J(y)∧A(xy)))
    l) 设S(x):x学生L(x):x 运动员A(xy):x钦佩 y
    (∃x)(S(x)∧(∀y)(L(y)→¬ A(xy)))
    题 23
    (1)解:dintin@gmailcom 20
    a)5 质数
    b)2偶数 2质数
    c) x x 2 x 偶数
    d)存 xx偶数 x 6(某偶数 6)
    e) x x 偶数 x 2
    f) x x偶数 y x y y偶数
    g) x x 质数存 yy偶数 x y(质数某偶数)
    h) x x 奇数 yy 质数 x y(奇数质数)
    (2)解:(∀x)(∀y)((P(x)∧P(y)∧┐E(xy)→(∃z)(L(z)∧R(xyz)))
    (∀x)(∀y)((P(x)∧P(y)∧┐E(xy)→(∃z)(L(z)∧R(xyz) ∧┐(∃u)(┐E(zu) ∧L(u)∧R(xyu))))
    (3)解:
    a) 设N(x)x 限数积 z(y)y 0
    P(x)x 积零 F(y)y 积中子
    (∀x)((N(x)∧P(x)→(∃y)(F(y)∧z(y)))
    b) 设R(x)x 实数Q(xy)y x (∀x)(R(x)→(∃y)(Q(xy)∧R(y)))
    c) R(x)x 实数G(xy)x y
    (∃x)(∃y)(∃z)(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+yx·z)
    (4)解:设 G(xy)x y (∀x)(∀y)(∀z)(G(yx) ∧G(0z)→G(x·zy·z))
    (5)解:设 N(x)x 数 S(xy)y x继数E(xy):xy
    a) (∀x)(N(x)→(∃y)(N(y)∧S(xy)))
    (∀x)(N(x)→(∃y)(N(y)∧S(xy) ∧┐(∃z)(┐E(yz) ∧N(z)∧S(xz))))
    b) ┐(∃x)(N(x)∧S(x1))
    c) (∀x)(N(x)∧┐S(x2)→(∃y)(N(y) ∧S(yx)))
    (∀x)(N(x)∧┐S(x2)→(∃y)(N(y) ∧S(yx) ∧┐(∃z)(┐E(yz) ∧N(z)∧S(zx))))
    (6)解:设 S(x)x 学生 E(x)x 戴眼睛
    F(x)x 功 R(xy)x y
    G(y)y K(y)y 厚 J(y)y 巨著 a b位
    E(b)∧F(b)∧S(b)∧R(ba)∧G(a)∧K(a)∧J(a)
    (7)解:设 P(xy)x y连续 Q(xy)x>y
    P(fa)�((∀ε)(∃δ)(∀x)(Q(ε0)→(Q(δ0)∧Q(δ|xa|)→Q(ε|f(x)f(a)|))))
    题 22224444
    (1) 解:a) x 约束变元y 变元
    b) x 约束变元P(x)∧Q(x)中 x受全称量词∀约束S(x)中 x 受存量词∃约束
    c) xy约束变元P(x)中 x受∃约束R(x)中 x受∀约束
    d) xy 约束变元z 变元
    (2) 解:a) P(a)∧P(b)∧P(c)
    b) R(a)∧R(b)∧R(c)∧S(a)∧S(b)∧S(c)
    c) (P(a)→Q(a))∧(P(b)→Q(b))∧(P(c)→Q(c)
    d) (┐P(a)∧┐P(b)∧┐P(c))∨(P(z)∧P(b)∧P(c))
    e) (R(a)∧R(b)∧R(c))∧(S(a)∨S(b)∨S(c))
    (3) 解:
    a) (∀x)(P(x)∨Q(x))⇔(P(1)∨Q(1))∧(P(2)∨Q(2))
    P(1)TQ(1)FP(2)FQ(2)T
    (∀x)(P(x)∨Q(x))⇔(T∨F)∧(F∨T) ⇔T
    b) (∀x)(P→Q(x))∨R(a)⇔ ((P →Q(−2))∧(P→Q(3))∧(P→Q(6)))∨R(a)dintin@gmailcom 21
    P TQ(−2)TQ(3)TQ(6)FR(5)F
    (∀x)(P→Q(x))∨R(a)⇔ ((T→T)∧(T→T)∧(T→F))∨F⇔ F
    (4) 解:a) (∀u)(∃v)(P(uz)→Q(v))�S(x y)
    b) (∀u)(P(u)→ (R(u)∨Q(u))∧(∃v)R(v))→(∃z)S(xz)
    (5) 解:a) ((∃y)A(uy)→(∀x)B(xv))∧(∃x)(∀z)C(x tz)
    b) ((∀y)P(uy)∧(∃z)Q(uz))∨(∀x)R(xt)
    题 25252525
    (1)解: a) P(af(a))∧P(bf(b))⇔P(1f(1))∧P(2f(2))⇔P(12)∧P(21) ⇔T∧F⇔F
    b) (∀x)(∃y)P(yx)⇔ (∀x) (P(1x)∨P(2x))⇔ (P(11)∨P(21))∧(P(12)∨P(22))
    ⇔ (T∨F)∧(T∨F) ⇔ T
    c) (∀x)( ∀y)(P(xy)→P(f(x)f(y)))
    ⇔ (∀x) ((P(x1)→P(f(x)f(1)))∧(P(x2) →P(f(x)f(2))))
    ⇔ (P(11)→P(f(1)f(1)))∧(P(12)→P(f(1)f(2)))
    ∧(P(21)→P(f(2)f(1)))∧(P(22) →P(f(2)f(2)))
    ⇔ (P(11)→P(22))∧(P(12)→P(21))∧(P(21)→P(12))∧(P(22)→P(11))
    ⇔ (T→F∧(T→F)∧(F→T)∧(F→T)⇔F∧F∧T∧T⇔F
    (2)解:a) (∀x)(P(x)→Q(f(x)a))
    ⇔(P(1)→Q(f(1)1))∧(P(2)→Q(f(2)1))
    ⇔ (F→Q(21))∧(T→Q(11))
    ⇔ (F→F)∧(T→T) ⇔T
    b) (∃x)(P(f(x))∧Q(xf(a))
    ⇔ (P(f(1))∧Q(1f(1)))∨(P(f(2))∧Q(2f(1)) ⇔ (T∧T)∨(F∧F) ⇔T
    c) (∃x)(P(x)∧Q(xa))
    ⇔ (P(1)∧Q(1a))∨(P(2)∧Q(2a))
    ⇔ (P(1)∧Q(11))∨(P(2)∧Q(21))
    ⇔ (F∧T)∨(T∧F) ⇔F
    d) (∀x)( ∃y)(P(x)∧Q(xy))
    ⇔ (∀x) (P(x)∧(∃y)Q(xy))
    ⇔ (∀x) (P(x)∧(Q(x1)∨Q(x2)))
    ⇔ (P(1)∧(Q(11)∨Q(12)))∧(P(2)∧(Q(21)∨Q(22)))
    ⇔ (F∧(T∨T))∧(T∧(F∨F)) ⇔F
    (3) 举例说明列蕴含式
    a) ⎤((∃x)(P(x)∧Q(a))⇒ (∃x)P(x)→⎤Q(a)
    b) (∀x) (⎤ P(x) →Q(x))(∀x) ⎤Q(x)⇒P(a)
    c) (∀x) (P(x) →Q(x))(∀x) (Q(x) →R(x))⇒ (∀x) (P(x) →R(x))
    d) (∀x) (P(x) ∨Q(x))(∀x) ⎤P(x)⇒ (∃x)Q (x)
    e) (∀x) (P(x) ∨Q(x))(∀x) ⎤P(x)⇒ (∀x)Q (x)
    解:a)⎤((∃x)(P(x)∧Q(a)) ⇔⎤(∃x)P(x) ∨⎤Q(a)
    原式⎤(∃x)P(x)∨⎤Q(a) ⇒ (∃x)P(x) →⎤Q(a)
    设P(x):x学生Q(x):x运动员
    前提 者存 xx学生者 a 运动员
    结 果存 x学生必 a运动员
    b)设P(x):x研究生Q(x):x学生a:域中某
    前提:域中 x果 x研究生 x 学生
    域中 x x学生dintin@gmailcom 22
    结:域中 x研究生
    域中某 a必结 a研究生 P(a)成立
    c)设 P(x):x研究生Q(x):x 读学R(x):x读中学
    前提 x果 x研究生 x 读学
    x果 x读学 x读中学
    结: x果 x研究生 x 读中学
    d)设 P(x):x研究生Q(x):x运动员
    前提 x者 x研究生者 x运动员
    xx研究生
    结 必存 xx运动员
    e)设 P(x):x研究生Q(x):x 运动员
    前提 x者 x研究生者 x运动员
    xx研究生
    结 xx运动员
    (4)证明:(∃x)(A(x)→B(x))⇔ (∃x) (┐A(x)∨B(x)) ⇔ (∃x)┐A(x)∨ (∃x) B(x)
    ⇔ ┐(∀x)A(x)∨(∃x) B(x) ⇔ (∀x)A(x)→(∃x) B(x)
    (5) 设域 D{abc}求证(∀x)A(x)∨(∀x)B(x)⇒( ∀x)(A(x)∨B(x))
    证明:域 D{abc}
    (∀x)A(x)∨(∀x)B(x) ⇔(A(a) ∧A(b) ∧A(c)) ∨(B(a) ∧B(b) ∧B(c))
    ⇔(A(a) ∨B(a)) ∧(A(a) ∨B(b)) ∧(A(a) ∨B(c)) ∧(A(b) ∨B(a)) ∧(A(b) ∨B(b)) ∧(A(b)∨B(c)) ∧(A(c) ∨B(a)) ∧
    (A(c) ∨B(b)) ∧(A(c) ∨B(c))
    ⇒(A(a) ∨B(a)) ∧(A(b) ∨B(b))∧(A(c) ∨B(c))
    ⇔( ∀x)(A(x)∨B(x))
    (∀x)A(x)∨(∀x)B(x)⇒( ∀x)(A(x)∨B(x))
    (6)解:推证正确
    ┐(∃x)(A(x)∧┐B(x))⇔┐((∃x)A(x)∧(∃x)┐B(x))
    (7)求证(∀x)( ∀y)(P(x)→Q(y)) ⇔ ( ∃x)P(x)→(∀y)Q(y)
    证明:(∀x)( ∀y)(P(x)→Q(y))
    ⇔(∀x)( ∀y)( ┐P(x) ∨Q(y))
    ⇔(∀x) ┐P(x) ∨( ∀y)Q(y)
    ⇔┐(∃x)P(x) ∨( ∀y)Q(y)
    ⇔ ( ∃x)P(x)→(∀y)Q(y)
    题 26262626
    (1)解:a) (∀x)(P(x)→(∃y)Q(xy))
    ⇔(∀x)( ┐P(x) ∨(∃y)Q(xy))
    ⇔(∀x) (∃y) (┐P(x) ∨Q(xy))
    b) (∃x)(┐((∃y)P(xy))→((∃z)Q(z)→R(x)))
    ⇔(∃x)((∃y)P(xy)∨((∃z)Q(z)→R(x)))
    ⇔(∃x)((∃y)P(xy) ∨(┐(∃z)Q(z) ∨R(x)))
    ⇔(∃x)((∃y)P(xy) ∨((∀z)┐Q(z) ∨R(x)))
    ⇔(∃x) (∃y) (∀z) ( P(xy) ∨┐Q(z) ∨R(x))
    c)(∀x)( ∀y)(((∃zP(xyz)∧(∃u)Q(xu))→(∃v)Q(yv))
    ⇔(∀x)( ∀y)( ┐((∃z)P(xyz)∧(∃u)Q(xu))∨(∃v)Q(yv))
    ⇔(∀x)( ∀y)( (∀z)┐P(xyz) ∨(∀u)┐Q(xu)∨(∃v)Q(yv))
    ⇔(∀x)( ∀y)( (∀z)┐P(xyz) ∨(∀u)┐Q(xu)∨(∃v)Q(yv))dintin@gmailcom 23
    ⇔(∀x)( ∀y) (∀z)(∀u)(∃v) (┐P(xyz) ∨┐Q(xu)∨Q(yv))
    (2)解:a) ((∃x)P(x)∨(∃x)Q(x))→(∃x)(P(x)∨Q(x))
    ⇔┐((∃x)P(x)∨(∃x)Q(x)) ∨(∃x)(P(x)∨Q(x))
    ⇔┐(∃x) (P(x)∨Q(x)) ∨(∃x)(P(x)∨Q(x)) ⇔T
    b) (∀x)(P(x)→(∀y)((∀z)Q(xy)→┐(∀z)R(yx)))
    ⇔(∀x)( ┐P(x) ∨(∀y)( Q(xy)→┐R(yx)))
    ⇔(∀x) (∀y) ( ┐P(x) ∨┐Q(xy) ∨┐R(yx))
    前束合取范式
    ⇔(∀x) (∀y)((P(x) ∧Q(xy) ∧R(yx))
    ∨(P(x) ∧Q(xy) ∧┐R(yx))
    ∨ (P(x) ∧┐Q(xy) ∧R(yx))
    ∨(┐P(x) ∧Q(xy) ∧R(yx))
    ∨(┐P(x) ∧┐Q(xy) ∧R(yx))
    ∨((P(x) ∧┐Q(xy) ∧┐R(yx))
    ∨(┐P(x) ∧Q(xy) ∧┐R(yx)))
    前束析取范式
    c) (∀x)P(x)→(∃x)(( ∀z)Q(xz)∨(∀z)R(xyz))
    ⇔┐(∀x)P(x) ∨(∃x)(( ∀z)Q(xz)∨(∀z)R(xyz))
    ⇔(∃x)┐P(x) ∨(∃x)(( ∀z)Q(xz)∨(∀u)R(xyu))
    ⇔(∃x)(┐P(x) ∨(∀z)Q(xz)∨(∀u)R(xyu))
    ⇔(∃x) (∀z) (∀u)(┐P(x) ∨Q(xz)∨R(xyu))
    前束合取范式
    ⇔(∃x) (∀z) (∀u)(( P(x) ∧Q(xz) ∧R(xyu))
    ∨(P(x) ∧Q(xz) ∧┐R(xyu))
    ∨(P(x) ∧┐Q(xz) ∧R(xyu))
    ∨(P(x) ∧┐Q(xz) ∧┐R(xyu))
    ∨(┐P(x) ∧Q(xz) ∧┐R(xyu))
    ∨(┐P(x) ∧┐Q(xz) ∧R(xyu))
    ∨(┐P(x) ∧┐Q(xz) ∧┐R(xyu)))
    前束析取范式
    d)(∀x)(P(x)→Q(xy))→((∃y)P(y)∧(∃z)Q(yz))
    ⇔┐(∀x)( ┐P(x) ∨Q(xy)) ∨((∃y)P(y)∧(∃z)Q(yz))
    ⇔(∃x)( P(x) ∧┐Q(xy)) ∨((∃u)P(u)∧(∃z)Q(yz))
    ⇔(∃x) (∃u) (∃z) (( P(x) ∧┐Q(xy)) ∨(P(u)∧Q(yz)))
    前束析取范式
    ⇔(∃x) (∃u) (∃z) (( P(x)∨P(u)) ∧ (P(x)∨Q(yz)) ∧(┐Q(xy)∨P(u)) ∧ (┐Q(xy)∨Q(yz)))
    前束合取范式
    题 22227777
    (1) 证明:
    (2) a) ①(∀x)(┐A(x)→B(x)) P
    ②┐A(u)→B(u)US①
    ③( ∀x)┐B(x) P
    ④┐B(u)US③
    ⑤A(u)∨B(u)T②E
    ⑥A(u)T④⑤Idintin@gmailcom 24
    ⑦ ( ∃x)A(x) EG⑥
    b) ①┐( ∀x)(A(x)→B(x)) P(附加前提)
    ②( ∃x)┐(A(x)→B(x)) T①E
    ③┐(A(c)→B(c))ES②
    ④A(c)T③I
    ⑤┐B(c)T③I
    ⑥( ∃x)A(x) EG④
    ⑦ (∃x)A(x)→(∀x)B(x) P
    ⑧(∀x)B(x) T⑥⑦I
    ⑨B(c)US⑧
    ⑩B(c)∧ ┐B(c)T⑤⑨矛盾
    c)①(∀x)(A(x)→B(x)) P
    ②A(u)→B(u)US①
    ③( ∀x)(C(x)→┐B(x))P
    ④C(u)→┐B(u)US③
    ⑤┐B(u) →┐A(u)T②E
    ⑥C(u)→┐A(u)T④⑤I
    ⑦(∀x)(C(x)→┐A(x)) UG⑥
    d) (∀x)(A(x)∨B(x))( ∀x)(B(x)→┐C(x))( ∀x)C(x)⇒ (∀x)A(x)
    ①( ∀x)(B(x)→┐C(x)) P
    ②B(u)→┐C(u)US①
    ③( ∀x)C(x )P
    ④C(u)US③
    ⑤┐B(u)T②④I
    ⑥ (∀x)(A(x)∨B(x)) P
    ⑦A(u)∨B(u)US
    ⑧A(u)T⑤⑦I
    ⑨(∀x)A(x) UG⑧
    (2) 证明:
    a)①( ∀x)P(x) P(附加前提)
    ②P(u)US①
    ③(∀x)(P(x)→Q(x)) P
    ④P(u)→Q(u) US③
    ⑤Q(u) T②④I
    ⑥(∀x)Q(x) UG⑤
    ⑦( ∀x)P(x)→(∀x)Q(x) CP
    b)(∀x)P(x)∨(∃x)Q(x)⇔┐(∀x)P(x) →(∃x)Q(x)
    题推证(∀x)(P(x)∨Q(x)) ⇒ ┐(∀x)P(x) →(∃x)Q(x)
    ①┐(∀x)P(x) P(附加前提)
    ②( ∃x)┐P(x) T①E
    ③┐P(c)ES②
    ④(∀x)(P(x)∨Q(x)) P
    ⑤P(c)∨Q(c) ES④
    ⑥Q(c) T③⑤I
    ⑦( ∃x) Q(x) EG⑥
    ⑧┐(∀x)P(x) →(∃x)Q(x) CPdintin@gmailcom 25
    (3)
    解:a)设R(x):x实数Q(x):x 理数I(x):x 整数
    题符号化:
    (∀x)(Q(x) →R(x)) ∧(∃x)(Q(x) ∧I(x)) ⇒ (∃x)(R(x) ∧I(x ))
    ①(∃x)(Q(x) ∧I(x))P
    ②Q(c) ∧I(c) ES①
    ③(∀x)(Q(x) →R(x)) P
    ④Q(c) →R(c) US③
    ⑤Q(c) T②I
    ⑥ R(c) T④⑤I
    ⑦I(c) T②I
    ⑧R(c)∧I(c) T⑥⑦I
    ⑨(∃x)(R(x) ∧I(x ))EG⑧
    b)设P(x):x喜欢步行Q(x):x喜欢汽车R(x):x喜欢骑行车
    题符号化:
    (∀x)(P(x) →┐Q(x)) (∀x)(Q(x) ∨R(x)) (∃x) ┐R(x) ⇒ (∃x) ┐P(x )
    ①(∃x) ┐R(x) P
    ②┐R(c) ES①
    ③(∀x)(Q(x) ∨R(x)) P
    ④Q(c) ∨R(c) US③
    ⑤Q(c) T②④I
    ⑥ (∀x)(P(x) →┐Q(x)) P
    ⑦P(c) →┐Q(c) US⑥
    ⑧┐P(c) T⑤⑦I
    ⑨(∃x) ┐P(x)EG⑧
    c) 学生文科学生理工科学生学生优等生张理工科学生优等生果张学生
    文科学生
    设G(x):x 学生L(x):x 文科学生P(x):x 理工科学生
    S(x):x 优秀生c:张
    题符号化:
    (∀x)(G(x) →L(x)∨P(x))(∃x)(G(x) ∧ S(x)) ┐P(c) S(c) ⇒ G(c) →L(c)
    ①G(c) P(附加前提)
    ②(∀x)(G(x) →L(x)∨P(x))P
    ③G(c) →L(c)∨P(c)US②
    ④L(c)∨P(c)T①③I
    ⑤┐P(c) P
    ⑥ L(c)T④⑤I
    ⑦G(c) →L(c) CP
    注意:题推证程中未前提(∃x)(G(x) ∧ S(x)) S(c) S(x):x优秀生条件前提联系证
    明结没影响 S(x)前提矛盾题推证效dintin@gmailcom 26
    351 列出 X{abc} Y{s}
    关系

    解:Z1{}
    Z2{}
    Z3{}
    Z4{}
    Z5{}
    Z6{}
    Z7{}

    352 n 元 素 集 合
    少种关系

    解 X中二元关系 X
    ×X子集 X×XX2中 n2
    元素取 0n2元素组

    2
    2n
    子集
    2
    2|)(| nXX ×℘

    353 设A={6:006:307 :30…
    9:3010 :30}表示晚隔半时
    九时刻集合设 B{3121517}
    表示四电视频道集合 设R1
    R2 AB两二元关系
    二关系 R1R2R1∪R2R1∩R2
    R1

    R2R1R2分出样解


    解 :A×B表示晚九时刻四
    电视频道 组成电视节目表
    R1R2分 A×B两子集
    例R1表示音乐节目播出时间表
    R2戏曲节日播出时间表 R1∪
    R2表示音乐戏曲节目播出时间
    表R1∩R2表示音乐戏曲起播出
    时间表 R1

    R2表示音乐节目表
    戏曲节目表音乐戏曲
    起节日表 R1R2表示戏曲时间
    音乐节目时间麦

    354 设L表示关系等 D
    表示整关系 LD刀均定义
    {1236} 分写出 LD元
    素求出 L∩D

    解 :L{<12><13><16><23><26>
    <36><11><22><33><66>}
    D{<12><13><16><26><36><1
    1><22><33><66>}
    L∩D
    {<12><13><16><26><36><11>
    <22><33><66>}

    355 列 式 出 A二元
    关系试出关系图:
    a){< xy>|0 ≤x∧y≤3}里
    A{1234}
    b){< x y>|2 ≤xy≤7x y
    里A={n|n ∈N∧n≤10}
    c) {< xy>|0 ≤xy<3} 里
    A{01234}
    d){< xy>|xy 互质 }里
    A{23456}

    解:
    a) R {<00><01><02><03>
    <10><11><12><13>
    <20><21><22><23>
    <30><31><32><33>}
    关系图

    b) R {<20><22><24><26>
    <30><33><36>
    <40><44>
    <50><55>
    <60><66>
    <70><77>} dintin@gmailcom 27
    361 分析集合 A{1 23} 述
    五关系:
    (1)R{ <11>< 12><1
    3>< 33>}
    (2)S{ <11>< 12><2
    1>< 22><33>}
    (3)T{ <11>< 12><2
    2>< 23>}
    (4)Ø空关系
    (5)A×A全域关系
    判断A中述关系否 a)反
    b)称 c)传递 d)反称


    解(1)R传递反称
    (2)S反称传递
    (3)T反称
    (4)空关系称传递反称

    (5)全域关系反称传递


    362 定A{1 234} 考虑 a
    关系 R R{ <13><14>
    <23>< 24><34>}
    a) A×A坐标图标出 R绘出
    关系图
    b) Rⅰ)反ⅱ)称ⅲ )传
    递iv) 反称?

    a)













    R传递反称
    反称

    363 举出A{1 23}关系 R
    例子具述性质:
    a)称反称
    b)R称反称
    c)R传递


    a)R{ <11><22><33
    >}
    b)R{ <12><21><23
    >}
    c) R{ <12><21><11
    >< 22><33>}

    364 果关系 RS反
    称传递证明 R∩S反
    称传递

    证明 设RSX反称
    传递关系
    1)意 x∈X< xx>∈R<
    xx>∈S< xx>∈R∩S
    R∩SX反
    2)意< xy>∈R∩S< x
    y>∈R∧<xy>∈S RS
    称必< yx>∈R∧
    <yx>∈S<yx>∈R∩S
    R∩SX称
    3)意< xy>∈R∩S∧<yz
    >∈R∩S
    <xy>∈R∧<xy>∈S∧<y
    z>∈R∧<yz>∈S
    RS传递< xz>
    ∈R∧<xz>∈S< xz>∈R∩
    S R∩SX传递

    365 定 S{1 234} S关
    系:R{ <12>< 43><22
    >< 21><31>}
    说明 R传递找出关系 R 1 ⊇R
    R 1 传递找 出







    1 2


    4
    3 dintin@gmailcom 28
    371 设R 1R 2A意关系
    说明命题真假予证明
    a)R1 R 2反 R 1○R 2

    b)R1 R 2反反 R 1○R 2
    反反
    c)R1 R 2称 R 1○R 2

    d)R1 R 2传递 R 1○R 2
    传递

    证明 a )意 a∈A设R 1R 2
    反< aa>∈R 1< aa>∈R 2
    < aa>∈R 1 ○R 2 R 1 ○R 2


    b)假例:设 A{a b} R 1{ <
    ab>}R 2{ <ba>}
    R1 R 2反反 R 1○R 2{ <aa
    >} R 1○R 2A反反

    c)假例:设 A{a bc}
    R1 { <ab>< ba><cc>}
    R2 { <bc>< cb>}
    R1 R 2称 R 1 ○R 2{ <ac>
    <cb>}
    R 1 ○R 2 称

    d)假例:设 A{a bc}
    R1 { <ab>< bc><ac>}
    R2 { <bc>< ca>< ba>}
    R 1R 2传递 R 1 ○R 2{ <a
    c>< aa>< ba>}
    R 1 ○R 2 传递

    372 证明 S集合 X二元关
    系:
    a)S传递仅( S○S)⊆S
    b)S反仅 IX ⊆S
    c)证明定理 373 (b)( S反
    称仅 S∩S c ⊆IX)

    证明 a )设 S传递< xz>
    ∈S○S存某 y∈X< xy
    >∈S< yz>∈S
    S传递< x z>∈S( S○S)
    ⊆S

    反设( S○S)⊆S 假定< xy>
    ∈S< yz>∈S< xz>∈S○S
    ( S○S)⊆S< xz>∈S
    S传递

    b)设 S反令< xy>∈IX
    xy < xx>∈S< xy
    ><xx>∈SIX ⊆S

    反令 IX⊆S设意 x∈X<xx
    >∈IX< xx>∈S S


    c)设S反称假定< xy>∈
    S∩S c
    <xy>∈S∧< xy>∈S c ⇒<xy
    >∈S∧< yx>∈S
    S反称 x=y
    < xy>=< xx>∈IXS∩
    S c⊆IX

    反 S∩S c⊆IX设< xy>∈S
    <yx>∈S
    <xy>∈S∧< xy>∈S c
    ⇔<xy>∈S∩S c
    ⇒<xy>∈IX
    x=yS反称

    373 设SX关系证明 S
    反传递 S○SS 逆真


    证明 SX传递关系题
    372a )知( S○S)⊆S
    令<xy>∈S根反性必<
    xx>∈S< xy>∈S○S
    S⊆S○S SS ○S

    定理逆真例 X{1 23}
    S{ <12>< 22>< 11>}dintin@gmailcom 29
    381 根图 381 中图写出邻接矩阵关系 R求出 R反闭包称闭包


    MR


    R{ <aa>< ab>< bc>< cb>=
    r(R) R ∪IX { <aa>< bb>< cc>< ab>< bc>< cb>=
    s(R) R ∪RC{<aa>< ab>< ba>< bc>< cb>}

    382 设集合 A{a bcd}A 关系
    R{ <ab>< ba>< bc>< cd>}
    a) 矩 阵运算作图方法求出 R反称传递闭包
    b) Warshall 算法求出 R传递闭包
    解 a)

    MR



    R关系图图示





    MR +MIA



    r(R) R ∪IA
    {<aa>< ab><ba>< bb>< bc>< cc>< cd><
    dd>}(图( a))






    MR +MRc


    1 1 0
    0 0 1
    0 1 0
    0 1 0 0 1 0 0 0
    1 0 1 0 0 1 0 0
    0 0 0 1 0 0 1 0
    0 0 0 0


    +
    0 0 0 1
    0 1 0 0 0 1 0 0
    1 0 1 0 1 0 0 0
    0 0 0 1 0 1 0 0
    0 0 0 0


    +
    0 0 1 0
    a

    b c
    图381


    a b

    d c



    a b

    d c

    图( a)
    0 1 0 0
    1 0 1 0
    0 0 0 1
    0 0 0 0

    1 1 0 0
    1 1 1 0
    0 0 1 1
    0 0 0 1


    0 1 0 0
    1 0 1 0
    0 1 0 1
    0 0 1 0

    dintin@gmailcom 30
    391 4 元素集合少划分
    解 整数4划分: 41+31+1+2 2+2 1+1+1+1
    1+C 4
    1+C 4
    2+1
    2 C 4
    2+115 (种)
    392 设{A 1A 2… A k}集合 A划分定义 A二元关系 R< ab
    >∈R仅 ab划分块中证明 R反称传递
    证明 设意 a∈A必存 Aia∈Aiaa必作块中< aa>
    ∈RR反
    设ab ∈A< ab >∈Rab必块 ba块< b a >
    ∈RR称
    意 abc ∈A
    <ab>∈R∧<bc >∈R
    ⇒(∃i)(a∈Ai∧b∈Ai)∧( ∃j)( b∈A j∧c∈A j)
    ⇒(∃i)(∃j)(a∈Ai∧c∈Aj∧b∈A i∩A j)
    ⇒(∃i)(∃j)(a∈Ai∧c∈Aj∧A i∩Aj≠Ø)
    ⇒(∃i)(∃j)(a∈Ai∧c∈Aj∧ij)(∵ i≠j⇒A i∩A j Ø)
    ⇒ac 块
    ⇒<ac >∈R
    ∴R传递 dintin@gmailcom 31
    3101 设RR′集合 A等价关系例子说明: R∪R′定等价关系
    证明 设 A{123}SR∪R′
    R{<11><22><33>< 31>< 13>}
    R′{<11>< 22>< 33>< 32>< 23>}
    R∪R′{<11>< 22>< 33>< 31>< 13>< 32>< 23>}
    < 23>∈S∧<31>∈S< 21>∉S R∪R′传递 R∪R′
    A等价关系

    3102 试问 4元素组成 限集等价关系数少?
    解 集合 X等价关系 X划分应 4元素限集等价关系
    数目 4元素集合进行划分数目相题 391知 15 等
    价关系

    3103 定集合 S{12345}找出 S等价关系 R关系 R产生划分 {{1
    2}{3}{45}}画出关系图
    解 方法产生等价关系:
    R1{12}×{12}{ <11><12><21>< 22>}
    R2{3} ×{3}{ <33>}
    R3{45}×{45}{ <44><45><54>< 55>}
    R R 1 ∪R 2∪R3 {<11>< 12>< 21>< 22>< 33><44><45
    ><54><55>}
    关系图图







    3104 设R二元关系 S{<ab>∣某 c< ac>∈R∧<cb>∈R}
    证明 R等价关系 S等价关系
    证明 设RA等价关系:
    (1) x∈ARA反 <xx>∈R S定义 <xx>∈S
    S反
    (2) 意 xy∈A <xy>∈S存某 c< xc>∈R∧<cy>
    ∈R R称:< yc>∈R∧< cx>∈R S定义知<
    yx>∈S S称
    (3) 意 xyz ∈A< xy>∈S<yz>∈S必存某 c1< x
    c1 >∈R< c1 y>∈R R传递性知< xy>∈R理存 c2 <
    yc2 >∈R∧<c2 z>∈R R传递知< yz>∈R S定义< x
    z>∈S S传递

    3105 设正整数序偶 集合 A A定义二元关系 R:<< xy> <uv>>∈R
    仅 xvyu证明 R等价关系
    证明 设A定义二元关系 R:
    <<xy> <uv>>∈R⇔x
    y u
    v
    1 意<xy>∈Ax
    y x
    y
    <<xy> <xy>>∈R
    R反
    2 设<xy>∈A<uv>∈A
    <<xy> <uv>>∈R⇒x
    y u
    v ⇒u
    v x
    y ⇒<<uv><xy>>∈R
    R称
    3 设意<xy>∈A<uv>∈A<ws>∈A
    <<xy> <uv>>∈R∧<<uv> <ws>>∈Rdintin@gmailcom 32
    ⇒(x
    y u
    v )∧(u
    v w
    s )⇒x
    y w
    s
    ⇒<<xy> <ws>>∈R
    R传递 RA等价关系
    3106 设R集合 A 称传递关系证明果 A中元素 aA中时存 bR中 R
    等价关系
    证明 意 a∈A必存 b∈A<ab>∈R
    R传递称:
    <ab>∈R∧<b c>∈R⇒<a c>∈R⇒<ca>∈R
    <ac>∈R∧<c a>∈R⇒<aa>∈R
    RA反 RA等价关系
    3107 设R1R2 非空集合 A等价关系试确定述式 A等价关系式子提供反例证明
    a)(A×A)R1
    b)R1R2
    c)R1
    2
    d) r(R1R2)( R1R2反闭包)
    解 a)(A×A)R1 A等价关系例:
    A{ab}R1{<aa><bb>}
    A×A{<aa><ab><ba><bb>}
    (A×A)R1{<ab><ba>}
    (A×A)R1 A等价关系
    b)设 A{abc}
    R1{<ab><ba><bc><cb><ac><ca><aa><bb><cc>}
    R2{<aa><bb><cc><bc><cb>}
    R1R2{<ab><ba><ac><ca>}
    R1R2 A等价关系 R1R2 A等价关系
    c) R1A等价关系
    <aa>∈R1⇒<aa>∈R1○R1
    R1
    2A反
    <ab>∈R1
    2存 c<a c>∈R1∧<cb>∈R1 R1 称
    <b c>∈R1∧<ca>∈R1⇒<b a>∈R1
    2
    R1
    2称
    <ab>∈R1
    2∧<b c>∈R1
    2
    <ab>∈R1○R1∧<b c>∈R1○R1
    ⇒(∃e1)(<a e1>∈R1∧<e1 b>∈R1) ∧(∃e2)(<b e2>∈R1∧<e2 c>∈R1)
    ⇒<ab>∈R1∧<b c>∈R1(∵R1传递)
    ⇒<ac>∈R1
    2
    R1
    2传递
    R1
    2A等价关系
    d) b)设R1R2 A等价关系
    r(R1R2)(R1R2)∪IA
    {<ab> <ba> <ac><ca><aa><bb> <cc>}
    A等价关系dintin@gmailcom 33
    3108 设C*实数部分非零全体复数组成集合C*关系 R定义:(a+bi)R(c+di)⇔ac>0证明 R等价关系出关系 R
    等价类说明
    证明:(1)意非零实数 a a2>0⇔(a+bi)R(a+bi)
    RC*反
    (2) 意(a+bi)R(c+di)⇔ac>0
    caac>0⇔(c+di)R(a+bi)
    RC*称
    (3)设(a+bi)R(c+di) (c+di)R(u+vi) ac>0∧cu>0
    c>0 a>0∧u>0⇒ au>0
    c<0 a<0∧u<0⇒ au>0
    (a+bi)R(u+vi) RC*传递
    关系 R等价类复数面第四象限点第二三象限点两种情况意两点 (ab)(cd)
    横坐标积 ac>0
    3109 设ΠΠ′非空集合 A 划分设 R R′分ΠΠ′诱导等价关系Π′细分Π充条件 R′ ⊆ R
    证明:Π′细分Π假设 aR′bΠ′中某块 S′ ab∈S′Π′细分ΠΠ中必某块 S S′⊆ S ab
    ∈S aRbR′ ⊆ R
    反 R′ ⊆ R令 S′H′分块 a∈S′ S′[a]R′{x|xR′a}
    x xR′a R′ ⊆ R xRa{x|xR′a} ⊆{x|xRa}[a]R′ ⊆[a]R
    设S[a]RS′⊆ S
    证明Π′细分Π
    31010 设Rj表示 I模 j等价关系Rk 表示 I模 k等价关系证明 IRk细分 IRj 仅 kj整数倍
    证明:题设 Rj{|x≡y(modj)}
    Rk{|x≡y(modk)}
    ∈Rj⇔xyc⋅j (某 c∈I)
    ∈Rk⇔xyd⋅k (某 d∈I)
    a)假设 IRk细分 IRj Rk ⊆ Rj
    ∈Rk⇒∈Rj
    k01⋅kc⋅j (某 c∈I)
    kj整数倍
    b)某 r∈I krj :
    ∈Rk⇔xyck (某 c∈I)
    ⇒ xycrj (某 cr∈I)
    ∈Rj
    Rk ⊆ Rj IRk细分 IRj34
    5 1 代 数 系 统 引 入
    511 设 集 合 A{1 2 3… 10} 问面定义二元运算 *关 集 合 A 否 封 闭 ?
    a) x*ymax(xy)
    b) x*ymin(xy)
    c) x*yGCD(xy) ( 公 约 数 )
    d) x*yLCM(xy) ( 公 倍 数 )
    e) x*y 质 数 p 数 中 x≤ p≤ y
    解 : a ) 封 闭 b) 封 闭 c ) 封 闭 d) 封 闭 e) 封 闭
    512 表列出集合运算中请根运算否相应集合封闭相应位置填
    写否中 I 表 示 整 数 集 N 表 示 然 数 集 合
    运 算 否 封 闭
    集 合 + ∣ xy ∣ max min ∣ x∣
    I
    N
    {x∣ 0≤ x ≤ 10}
    {x ∣ 10 ≤ x≤ 10}
    {2x ∣ x∈ I}
    解 :
    运 算 否 封 闭
    集 合 + ∣ xy ∣ max min ∣ x∣
    I
    N 否
    {x∣ 0≤ x ≤ 10} 否 否
    {x ∣ 10 ≤ x≤ 10} 否 否 否
    {2x ∣ x∈ I}
    5 2 运 算 性 质
    521 实 数 集 合 R表列二元运算否具左边列中性质请相应位置
    填写否
    + × max min ∣ x y∣
    结 合 律
    交 换 律
    单 位 元
    零 元
    解 :
    + × max min ∣ x y∣
    结 合 律 否 否
    交 换 律 否
    单 位 元 否 否 否 否
    零 元 否 否 否 否 否

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