第十七章 勾股定理（应题篇）
知识梳理+九例题分析+典步练
知识梳理
方法提炼：解决实际问题关键根实际问题建立相应数学模型解决类型问题具体步骤致纳：
1．审题—分析实际问题
2．建模—建立相应数学模型
3．求解—运勾股定理计算
4．检验—否符合实际问题真实性．
题型总结：确定体短路线先立体图形展开成面图形注意展开方式构造直角三角形求解短距离
求高度长度距离宽度等量时首先结合题意画出符合求直角三角形实际问题转化数学问题利勾股定理进行求解
关键词：直角三角形（寻找直角三角形构造直角三角形）
典型例题
例题1．图高2m宽15m门框李师傳3块薄木板尺寸：①号木板长3m宽27m②号木板长28m宽28m③号木板长4m宽24m．扇门通木板（ ）
A．①号 B．②号 C．③号 D．均通
例题2．图梯子AB墙梯子顶端A墙根O距离24m梯子底端B墙根O距离7m心梯子顶端A滑4米C底端B滑动DBD长（ ）
A．2m B．4m C．6m D．8m
例题3．国古代数学著作九章算术中问题原文：池方丈葭生中央出水 尺引葭赴岸适岸齐问葭长．翻译成数学问题：图水池水面边长 10尺正方形水池正中央根芦苇高出水面 1 尺果根芦苇拉水池边顶端恰达池边水面根芦苇长度( )
A．10 尺 B．11 尺 C．12 尺 D．13 尺
例题4．图1国著名赵爽弦图四全等直角三角形围成．四直角三角形较短边()外延长1倍点连结图2已知正方形正方形面积分图2中阴影部分面积( )
A． B． C． D．
例题5．图示公路公路点处交汇点处中学点公路距离．假设拖拉机行驶时周围会受噪声影响拖拉机公路方行驶时学校否会受影响？请说明影响已知拖拉机速度学校受影响时间少秒？
例题6．图次夏令营活动中明营A出发北偏东60°方走m 达点B然北偏西30°方走50m达目C．
（1）求AC两点间距离
（2）确定目C营A北偏东少度方．
例题7．台风种然灾害台风中心圆心周围数十千米范围形气旋风暴极强破坏力时某台风中心海域 B 处海城市 A 正南方 240 千米中心风力12 级远离台风中心 25 千米台风会减弱级图示该台风中心正 20 千米时速度 BC 方移动．已知 AD⊥BC AD AB台风中心风力变城市受风力达超 4 级称受台风影响．试问：
（1）A 城市否会受台风影响？请说明理．
（2）会受台风影响台风影响该城市持续时间长？
（3）该城市受台风影响风力级？
例题8．种盛饮料圆柱形杯测部底面半径25cm高12cm吸放进杯里（图示）杯口外面少露出36cm节省材料长acm取值范围__．
例题9．图某欲点A处入水横渡条河水流影响实际岸点C偏离欲达点B200m结果水中实际游250m求该河流宽度________m
单选题
1．图测量池塘宽度池塘周围选择三点四点条直线已测池塘宽度（ ）
A． B． C． D．
2．图两棵树棵高8米棵高2米两树相聚8米鸟棵树树梢飞棵树树梢少飞（ ）米．
A． B． C． D．
3．图灯塔O东北方8海里处轮船A灯塔东南方6海里处渔船BAB间距离（ ）
A．9海里 B．10海里 C．11海里 D．12海里
4．图示场暴雨垂直面棵树距面5米C处折断树尖B恰碰面测量树尖B树桩A相距12米树折断前高（ ）
A．13米 B．17米 C．18米 D．22米
5．根细木棍放入长宽高分长方体盒子中细木棍露外面短长度（ ）．
A．8 B．7 C．6 D．5
6．赵爽弦图巧妙利面积关系证明勾股定理国古代数学骄傲．图示赵爽弦图四全等直角三角形正方形拼成正方形．设直角三角形较长直角边长较短直角边长正方形面积正方形边长（ ）
A． B． C． D．
7．图快艇出发距离10海里先北偏东70°方走8海里达然走6海里达时快艇位（ ）．
A．北偏东20°方 B．北偏西20°方
C．北偏西30°方 D．北偏西40°方
8．图示长2线段AB边作正方形ABCD取AB中点P连接PDBA延长线取点FPFPDAF边作正方形AMEF点MADAM长（ ）
A．﹣1 B． C．3﹣ D．6﹣2
9．图梯子斜竖直墙测米梯子顶端墙滑米时梯子底端恰外移米梯子长度 （ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．M 城气象中心测台风中心 M 城正北方 240km P 处时 45km 速度南偏东 30° PB 方移动距台风中心 150km 范围受台风影响区域 M 城 受台风影响时间（ ）时．
A．4 B．5 C．6 D．7
11．2019年10月1日中华民国70年华诞际王梓涵学校国旗护卫队学赶学校举行简朴降重升旗仪式．倾听着雄壮国歌声目送着五星红旗级缓升起禁心潮澎湃爱国情油然生．爱动脑筋王梓涵设计方案测量学校旗杆高度．升旗绳子拉直末端刚接触面测时绳子末端距旗杆底端2米然绳子末端拉直距离旗杆5m处测时绳子末端距离面高度1m根刚刚学勾股定理算出旗杆高度（ ）
A．10m B．11m C．12m D．13m
12．图1国著名赵爽弦图四全等直角三角形围成．四直角三角形较短边()外延长1倍点连结图2已知正方形正方形面积分图2中阴影部分面积( )
A． B． C． D．
二填空题
13．图正方形OABC边OC落数轴点C表示数1点P表示数﹣1P点圆心PB长半径作圆弧数轴交点D点D表示数___________．
14．图边长4cm正方体AB两相顶点蚂蚁点A表面爬点B爬行短距离________cm．
15．图铁路MN公路PQO点处交汇公路PQA处点距离O点240米距离MN 120米果火车行驶时周围两百米会受噪音影响火车铁路MNON方144千米时速度行驶时A处受噪音影响时间_______s
16．根24cm筷子置底面直径5cm高12cm圆柱体中图设筷子露出杯子外面长hcmh值__h值__．
17．图直角三角形纸片折叠点C落C′处折痕AD∠CDC′＝60°．∠ABC＝90°AB＝1AC＝CD＝_____．
18．九章算术国古代部著名数学专著中记载折竹抵问题：竹高丈未折抵三尺问折者高？意思：根面垂直高丈竹子（丈尺）现风折断成两截尖端落面竹尖竹根距离三尺问折断处离面距离__________．
19．图已知中点边中点直线翻折点落点处联结线段长________．
20．（2019高桥期中考）图折叠长方形边AD点D落BC边F点处AB8cmBC10cmEC长__________．
21．图东西海岸线两码头相距6千米灯塔码头距离千米．灯塔码头北偏东方灯塔直线距离______千米．
22．根长24cm筷子置底面直径5cm高12cm圆柱形水杯中图示设筷子露杯子外面长h cm h取值范围__________
23．中斜边作等腰直角连接长______．
24．锐角三角形ABC中．BC∠ABC45°BD分∠ABC．MN分边BDBC动点CM＋MN值____．
三解答题
25．图东升旗绳子拉旗杆底端绳子结然绳子拉离旗杆底端12米处发现时绳子底端距离结处约4米请算出旗杆高度．
26．图铁路MN铁路PQP点处交汇点A处重庆市第九十四中学AP＝160米点A铁路MN距离80米假火车行驶时周围100米会受噪音影响．
（1）火车铁路MNPN方行驶时学校否会受影响？请说明理．
（2）果受影响已知火车速度180千米时学校受影响时间久？
27．现代电视屏幕尺寸设计追求目标：更符合体工程学求（宽长接0618）二设计适长宽屏幕面积现行电视机屏幕宽屏普屏两种制式宽屏长宽普屏长宽．
（1）种屏幕更适合体工程学求？请说明理．
（2）般电视屏幕寸指屏幕长方形角线长少英寸1英寸明家想买80寸宽屏电视机（边框宽）嵌入墙中．需预留长方形位置长宽少？（结果保留整数）
（3）相尺寸电视机屏幕中宽屏屏幕面积普屏屏幕面积？请说明理．
28．图离水面高度5米岸绳子拉船岸开始时绳子BC长13米05米秒速度收绳10秒船移动点D位置问船岸边移动少米？（假设绳子直结果保留根号）
29．图示AB两块试验田相距200mC水源AC＝160mBC＝120m方便灌溉现两种方案修筑水渠．
甲方案：水源C直接修筑两条水渠分AB
乙方案点C作AB垂线垂足H先水源C修筑条水渠AB直线H处H分AB进行修筑．
（1）请判断△ABC形状（求写出推理程）
（2）两种方案中种方案修水渠较短？请通计算说明．
30．（问题探究）
(1)图①点E正△ABC高AD定点请AB找点FEFAE说明理
(2)图②点M边长2正△ABC高AD动点求AM+MC值
（问题解决）
(3)图③AB两相距600kmAC笔直东西方两边延伸条铁路点BAC短距离360km．计划铁路线AC修中转站MBM间修条笔直公路果样物资千米公路运费铁路两倍通铁路AM通公路MB总运费达值请确定中转站M位置求出AM长．(结果保留根号)
31．著名赵爽弦图（图①中四直角三角形较直角边长较直角边长斜边长）正方形面积表示表示推导出重勾股定理：果直角三角形两条直角边长斜边长．
（1）图②美国第二十总统伽菲尔德总统证法请利图②推导勾股定理．
（2）图③条东西走河流侧村庄河边原两取水点中某种原路现已通该村方便村民取水决定河边新建取水点（条直线）新修条路测千米千米求新路原路少少千米？
（3）第（2）问中时设求值．
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知识梳理+九例题分析+典步练
知识梳理
方法提炼：解决实际问题关键根实际问题建立相应数学模型解决类型问题具体步骤致纳：
1．审题—分析实际问题
2．建模—建立相应数学模型
3．求解—运勾股定理计算
4．检验—否符合实际问题真实性．
题型总结：确定体短路线先立体图形展开成面图形注意展开方式构造直角三角形求解短距离
求高度长度距离宽度等量时首先结合题意画出符合求直角三角形实际问题转化数学问题利勾股定理进行求解
关键词：直角三角形（寻找直角三角形构造直角三角形）
典型例题
例题1．图高2m宽15m门框李师傳3块薄木板尺寸：①号木板长3m宽27m②号木板长28m宽28m③号木板长4m宽24m．扇门通木板（ ）
A．①号 B．②号 C．③号 D．均通
例题2．图梯子AB墙梯子顶端A墙根O距离24m梯子底端B墙根O距离7m心梯子顶端A滑4米C底端B滑动DBD长（ ）
A．2m B．4m C．6m D．8m
例题3．国古代数学著作九章算术中问题原文：池方丈葭生中央出水 尺引葭赴岸适岸齐问葭长．翻译成数学问题：图水池水面边长 10尺正方形水池正中央根芦苇高出水面 1 尺果根芦苇拉水池边顶端恰达池边水面根芦苇长度( )
A．10 尺 B．11 尺 C．12 尺 D．13 尺
例题4．图1国著名赵爽弦图四全等直角三角形围成．四直角三角形较短边()外延长1倍点连结图2已知正方形正方形面积分图2中阴影部分面积( )
A． B． C． D．
例题5．图示公路公路点处交汇点处中学点公路距离．假设拖拉机行驶时周围会受噪声影响拖拉机公路方行驶时学校否会受影响？请说明影响已知拖拉机速度学校受影响时间少秒？
例题6．图次夏令营活动中明营A出发北偏东60°方走m 达点B然北偏西30°方走50m达目C．
（1）求AC两点间距离
（2）确定目C营A北偏东少度方．
例题7．台风种然灾害台风中心圆心周围数十千米范围形气旋风暴极强破坏力时某台风中心海域 B 处海城市 A 正南方 240 千米中心风力12 级远离台风中心 25 千米台风会减弱级图示该台风中心正 20 千米时速度 BC 方移动．已知 AD⊥BC AD AB台风中心风力变城市受风力达超 4 级称受台风影响．试问：
（1）A 城市否会受台风影响？请说明理．
（2）会受台风影响台风影响该城市持续时间长？
（3）该城市受台风影响风力级？
例题8．种盛饮料圆柱形杯测部底面半径25cm高12cm吸放进杯里（图示）杯口外面少露出36cm节省材料长acm取值范围__．
例题9．图某欲点A处入水横渡条河水流影响实际岸点C偏离欲达点B200m结果水中实际游250m求该河流宽度________m
单选题
1．图测量池塘宽度池塘周围选择三点四点条直线已测池塘宽度（ ）
A． B． C． D．
2．图两棵树棵高8米棵高2米两树相聚8米鸟棵树树梢飞棵树树梢少飞（ ）米．
A． B． C． D．
3．图灯塔O东北方8海里处轮船A灯塔东南方6海里处渔船BAB间距离（ ）
A．9海里 B．10海里 C．11海里 D．12海里
4．图示场暴雨垂直面棵树距面5米C处折断树尖B恰碰面测量树尖B树桩A相距12米树折断前高（ ）
A．13米 B．17米 C．18米 D．22米
5．根细木棍放入长宽高分长方体盒子中细木棍露外面短长度（ ）．
A．8 B．7 C．6 D．5
6．赵爽弦图巧妙利面积关系证明勾股定理国古代数学骄傲．图示赵爽弦图四全等直角三角形正方形拼成正方形．设直角三角形较长直角边长较短直角边长正方形面积正方形边长（ ）
A． B． C． D．
7．图快艇出发距离10海里先北偏东70°方走8海里达然走6海里达时快艇位（ ）．
A．北偏东20°方 B．北偏西20°方
C．北偏西30°方 D．北偏西40°方
8．图示长2线段AB边作正方形ABCD取AB中点P连接PDBA延长线取点FPFPDAF边作正方形AMEF点MADAM长（ ）
A．﹣1 B． C．3﹣ D．6﹣2
9．图梯子斜竖直墙测米梯子顶端墙滑米时梯子底端恰外移米梯子长度 （ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．M 城气象中心测台风中心 M 城正北方 240km P 处时 45km 速度南偏东 30° PB 方移动距台风中心 150km 范围受台风影响区域 M 城 受台风影响时间（ ）时．
A．4 B．5 C．6 D．7
11．2019年10月1日中华民国70年华诞际王梓涵学校国旗护卫队学赶学校举行简朴降重升旗仪式．倾听着雄壮国歌声目送着五星红旗级缓升起禁心潮澎湃爱国情油然生．爱动脑筋王梓涵设计方案测量学校旗杆高度．升旗绳子拉直末端刚接触面测时绳子末端距旗杆底端2米然绳子末端拉直距离旗杆5m处测时绳子末端距离面高度1m根刚刚学勾股定理算出旗杆高度（ ）
A．10m B．11m C．12m D．13m
12．图1国著名赵爽弦图四全等直角三角形围成．四直角三角形较短边()外延长1倍点连结图2已知正方形正方形面积分图2中阴影部分面积( )
A． B． C． D．
二填空题
13．图正方形OABC边OC落数轴点C表示数1点P表示数﹣1P点圆心PB长半径作圆弧数轴交点D点D表示数___________．
14．图边长4cm正方体AB两相顶点蚂蚁点A表面爬点B爬行短距离________cm．
15．图铁路MN公路PQO点处交汇公路PQA处点距离O点240米距离MN 120米果火车行驶时周围两百米会受噪音影响火车铁路MNON方144千米时速度行驶时A处受噪音影响时间_______s
16．根24cm筷子置底面直径5cm高12cm圆柱体中图设筷子露出杯子外面长hcmh值__h值__．
17．图直角三角形纸片折叠点C落C′处折痕AD∠CDC′＝60°．∠ABC＝90°AB＝1AC＝CD＝_____．
18．九章算术国古代部著名数学专著中记载折竹抵问题：竹高丈未折抵三尺问折者高？意思：根面垂直高丈竹子（丈尺）现风折断成两截尖端落面竹尖竹根距离三尺问折断处离面距离__________．
19．图已知中点边中点直线翻折点落点处联结线段长________．
20．（2019高桥期中考）图折叠长方形边AD点D落BC边F点处AB8cmBC10cmEC长__________．
21．图东西海岸线两码头相距6千米灯塔码头距离千米．灯塔码头北偏东方灯塔直线距离______千米．
22．根长24cm筷子置底面直径5cm高12cm圆柱形水杯中图示设筷子露杯子外面长h cm h取值范围__________
23．中斜边作等腰直角连接长______．
24．锐角三角形ABC中．BC∠ABC45°BD分∠ABC．MN分边BDBC动点CM＋MN值____．
三解答题
25．图东升旗绳子拉旗杆底端绳子结然绳子拉离旗杆底端12米处发现时绳子底端距离结处约4米请算出旗杆高度．
26．图铁路MN铁路PQP点处交汇点A处重庆市第九十四中学AP＝160米点A铁路MN距离80米假火车行驶时周围100米会受噪音影响．
（1）火车铁路MNPN方行驶时学校否会受影响？请说明理．
（2）果受影响已知火车速度180千米时学校受影响时间久？
27．现代电视屏幕尺寸设计追求目标：更符合体工程学求（宽长接0618）二设计适长宽屏幕面积现行电视机屏幕宽屏普屏两种制式宽屏长宽普屏长宽．
（1）种屏幕更适合体工程学求？请说明理．
（2）般电视屏幕寸指屏幕长方形角线长少英寸1英寸明家想买80寸宽屏电视机（边框宽）嵌入墙中．需预留长方形位置长宽少？（结果保留整数）
（3）相尺寸电视机屏幕中宽屏屏幕面积普屏屏幕面积？请说明理．
28．图离水面高度5米岸绳子拉船岸开始时绳子BC长13米05米秒速度收绳10秒船移动点D位置问船岸边移动少米？（假设绳子直结果保留根号）
29．图示AB两块试验田相距200mC水源AC＝160mBC＝120m方便灌溉现两种方案修筑水渠．
甲方案：水源C直接修筑两条水渠分AB
乙方案点C作AB垂线垂足H先水源C修筑条水渠AB直线H处H分AB进行修筑．
（1）请判断△ABC形状（求写出推理程）
（2）两种方案中种方案修水渠较短？请通计算说明．
30．（问题探究）
(1)图①点E正△ABC高AD定点请AB找点FEFAE说明理
(2)图②点M边长2正△ABC高AD动点求AM+MC值
（问题解决）
(3)图③AB两相距600kmAC笔直东西方两边延伸条铁路点BAC短距离360km．计划铁路线AC修中转站MBM间修条笔直公路果样物资千米公路运费铁路两倍通铁路AM通公路MB总运费达值请确定中转站M位置求出AM长．(结果保留根号)
31．著名赵爽弦图（图①中四直角三角形较直角边长较直角边长斜边长）正方形面积表示表示推导出重勾股定理：果直角三角形两条直角边长斜边长．
（1）图②美国第二十总统伽菲尔德总统证法请利图②推导勾股定理．
（2）图③条东西走河流侧村庄河边原两取水点中某种原路现已通该村方便村民取水决定河边新建取水点（条直线）新修条路测千米千米求新路原路少少千米？
（3）第（2）问中时设求值．
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