中学高考——2014·四川（文科数学）

2014·四川卷(文科数学)
1．[2014·四川卷] 已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}集合B整数集A∩B＝(　　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　

A．{－10} B．{01}
C．{－2－101} D．{－1012}
1．D　[解析] 题意知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}A∩B＝{－1012}．选D
2．[2014·四川卷] 世界读书日前夕解某5000名居民某天阅读时间中抽取200名居民阅读时间进行统计分析．问题中5000名居民阅读时间全体(　　)
A．总体
B．体
C．样容量
D．总体中抽取样
2．A　[解析] 根抽样统计概念知统计分析象全体做总体．选A
3．[2014·四川卷] 函数y＝sin(x＋1)图需函数y＝sin x图点(　　)
A．左行移动1单位长度
B．右行移动1单位长度
C．左行移动π单位长度
D．右行移动π单位长度
3．A　[解析] 函数y＝sin x图变换函数y＝sin(x＋1)图应该函数y＝sin x图点左行移动1单位长度选A

图1­1
4．[2014·四川卷] 某三棱锥侧视图俯视图图1­1示该三棱锥体积(锥体体积公式：V＝Sh中S底面面积h高)(　　)
A．3 B．2 C D．1
4．D　[解析] 图知三棱锥底面边长2正三角形左侧面垂直底面边长2正三角形该三棱锥底面积S＝×2×高h＝体积V＝Sh＝××＝1选D
5．[2014·四川卷] a＞b＞0c＜d＜0定(　　)
A＞ B＜
C＞ D＜
5．B　[解析] c＜d＜0＜＜0－＞－＞0a＞b＞0应相－＞－＞0
<选B
6．[2014·四川卷] 执行图1­2程序框图果输入xy∈R输出S值
(　　)

图1­2
A．0 B．1 C．2 D．3
6．C　[解析] 题中程序输出条件S＝2x＋y值1中较数．结合图x＝1y＝0时S＝2x＋y取值22>1选C
7．[2014·四川卷] 已知b＞0log5b＝alg b＝c5d＝10列等式定成立(　　)
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
7．B　[解析] 5d＝10d＝log510cd＝lg b·log510＝log5b＝a选B
8．[2014·四川卷] 图1­3示气球A测正前方河流两岸BC俯角分75°30°时气球高度60 m河流宽度BC等(　　)

图1­3
A．240(－1)m B．180(－1)m
C．120(－1)m D．30(＋1)m
8．C　[解析] 题意知AC＝＝120
∠BAC＝75°－30°＝45°∠ABC＝180°－45°－30°＝105°sin∠ABC＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝
△ABC中正弦定理＝
BC＝＝＝120(－1)(m)．选C
9．[2014·四川卷] 设m∈R定点A动直线x＋my＝0定点B动直线mx－y－m＋3＝0交点P(xy)|PA|＋|PB|取值范围(　　)
A．[2 ] B．[2 ]
C．[4 ] D．[24 ]
9．B　[解析] 题意知定点A(00)B(13)两条直线互相垂直
交点P(xy)落AB直径圆周
|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10|PA|＋|PB|≥|AB|＝
|PA|＋|PB|＝＝
≤
＝2
|PA|＋|PB|∈[2 ]选B
10．[2014·四川卷] 已知F抛物线y2＝x焦点点AB该抛物线位x轴两侧·＝2(中O坐标原点)△ABO△AFO面积值(　　)
A．2 B．3 C D
10．B　[解析] 题意知F设A(yy1)B(yy2)∴·＝y1y2＋yy＝2
解y1y2＝1y1y2＝－2AB两点位x轴两侧y1y2＜0y1y2＝－2
y≠y时AB直线方程y－y1＝(x－y)＝ (x－y)
令y＝0x＝－y1y2＝2直线AB定点C(20)．
S△ABO＋S△AFO＝S△ACO＋S△BCO＋S△AFO＝×2|y1|＋×2|y2|＋×|y1|＝(9|y1|＋8|y2|)≥×2＝3仅9|y1|＝8|y2|y1y2＝－2时等号成立．y＝y时取y1＝y2＝－AB直线方程x＝2时求S△ABO＋S△AFO＝2××2×＋××＝>3选B
11．[2014·四川卷] 双曲线 －y2＝1离心率等________．
11　[解析] 已知双曲线概念知a＝2b＝1c＝＝
该双曲线离心率e＝＝
12．[2014·四川卷] 复数＝________．
12．－2i　[解析] ＝＝－2i
13．[2014·四川卷] 设f(x)定义R周期2函数x∈[－11)时f(x)＝f＝________．
13．1　[解析] 题意知f＝ff＝－4＋2＝1
14．[2014·四川卷] 面量a＝(12)b＝(42)c＝ma＋b(m∈R)ca夹角等cb夹角m＝________．
14．2　[解析] c＝ma＋b＝(m＋42m＋2)题意知＝＝5m＋8＝解m＝2
15．[2014·四川卷] A表示值域R函数组成集合B表示具性质函数φ(x)组成集合：函数φ(x)存正数M函数φ(x)值域包含区间[－MM]．例φ1(x)＝x3φ2(x)＝sin x时φ1(x)∈Aφ2(x)∈B现命题：
①设函数f(x)定义域Df(x)∈A充条件∀b∈R∃a∈Df(a)＝b
②函数f(x)∈Bf(x)值值
③函数f(x)g(x)定义域相f(x)∈Ag(x)∈Bf(x)＋g(x)∈B
④函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2a∈R)值f(x)∈B
中真命题________．(写出真命题序号)
15．①③④　[解析] f(x)∈A函数f(x)值域R意b∈R定存a∈Df(a)＝b①正确．
取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)值域(－11)存M＝1函数f(x)值域包含[－MM]＝[－11]时函数f(x)没值值②错误．
f(x)∈A时①知意b∈R存a∈Df(a)＝bg(x)∈B时函数f(x)＋g(x)果存正数Mf(x)＋g(x)值域包含[－MM]该区间外某b0∈R定存a0∈Df(x)＋f(a0)＝b0－g(a0)f(a0)＋g(a0)＝b0∉[－MM]③正确．
f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2)a＞0a＜0时函数f(x)没值．函数f(x)值a＝0时f(x)＝(x＞－2)．易知f(x)∈存正数M＝f(x)∈[－MM]④正确
16．[2014·四川卷] 盒子里装三张卡片分标记数字123三张卡片标记数字外完全相．机放回抽取3次次抽取1张抽取卡片数字次记abc
(1)求抽取卡片数字满足a＋b＝c概率
(2)求抽取卡片数字abc完全相概率．
16．解：(1)题意(abc)：
(111)(112)(113)(121)(122)(123)(131)(132)(133)(211)(212)(213)(221)(222)(223)(231)(232)(233)(311)(312)(313)(321)(322)(323)(331)(332)(333)27种．
设抽取卡片数字满足a＋b＝c事件A
事件A包括(112)(123)(213)3种
P(A)＝＝
抽取卡片数字满足a＋b＝c概率
(2)设抽取卡片数字abc完全相事件B
事件B包括(111)(222)(333)3种．
P(B)＝1－P(B)＝1－＝
抽取卡片数字abc完全相概率
17．[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝sin
(1)求f(x)单调递增区间
(2)α第二象限角f＝coscos 2α求cos α－sin α值．
17．解：(1)函数y＝sin x单调递增区间k∈Z
－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπk∈Z－＋≤x≤＋k∈Z
函数f(x)单调递增区间k∈Z
(2)已知sin＝cos(cos2α－sin2α)．
sin αcos＋cos αsin＝
(cos2α－sin2α)
sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
sin α＋cos α＝0时α第二象限α＝＋2kπk∈Z
时cos α－sin α＝－
sin α＋cos α≠0时(cos α－sin α)2＝
α第二象限角cos α－sin α＜0时cos α－sin α＝－
综述cos α－sin α＝－－
18．[2014·四川卷] 图1­4示面体中四边形ABB1A1ACC1A1矩形．
(1)AC⊥BC证明：直线BC⊥面ACC1A1
(2)设DE分线段BCCC1中点线段AB否存点M直线DE∥面A1MC？请证明结．

图1­4
18．解：(1)证明：四边形ABB1A1ACC1A1矩形
AA1⊥ABAA1⊥AC
ABAC面ABC两条相交直线
AA1⊥面ABC
直线BC⊂面ABCAA1⊥BC
已知AC⊥BCAA1AC面ACC1A1两条相交直线
BC⊥面ACC1A1
(2)取线段AB中点M连接A1MMCA1CAC1设OA1CAC1交点．

图1­4
已知OAC1中点．
连接MDOEMDOE分△ABC△ACC1中位线
MD綊ACOE綊AC
MD綊OE
连接OM四边形MDEO行四边形DE∥MO
直线DE⊄面A1MCMO⊂面A1MC
直线DE∥面A1MC
线段AB存点M(线段AB中点)直线DE∥面A1MC
19．[2014·四川卷] 设等差数列{an}公差d点(anbn)函数f(x)＝2x图(n∈N*)．
(1)证明：数列{bn}等数列
(2)a1＝1函数f(x)图点(a2b2)处切线x轴截距2－求数列{anb}前n项Sn
19．解：(1)证明：已知bn＝2an＞0
n≥1时＝2an＋1－an＝2d
数列{bn}首项2a1公2d等数列．
(2)函数f(x)＝2x点(a2b2)处切线方程y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)
x轴截距a2－
题意知a2－＝2－
解a2＝2
d＝a2－a1＝1an＝nbn＝2nanb＝n·4n
Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)×4n－1＋n×4n
4Sn＝1×42＋2×43＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1
Sn－4Sn＝4＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝－n·4n＋1＝
Sn＝
20．[2014·四川卷] 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)左焦点F(－20)离心率
(1)求椭圆C标准方程
(2)设O坐标原点T直线x＝－3点F作TF垂线交椭圆PQ四边形OPTQ行四边形时求四边形OPTQ面积．
20．解：(1)已知＝c＝2a＝
a2＝b2＋c2解b＝椭圆C标准方程＋＝1
(2)设T点坐标(－3m)直线TF斜率kTF＝＝－m
m≠0时直线PQ斜率kPQ＝直线PQ方程x＝my－2
m＝0时直线PQ方程x＝－2符合x＝my－2形式．
设P(x1y1)Q(x2y2)直线PQ方程椭圆C方程联立
消x(m2＋3)y2－4my－2＝0
判式Δ＝16m2＋8(m2＋3)＞0
y1＋y2＝y1y2＝
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝
四边形OPTQ行四边形＝(x1y1)＝(－3－x2m－y2)．

解m＝±1
时四边形OPTQ面积
S四边形OPTQ＝2S△OPQ＝2×·|OF|·|y1－y2|＝
2 ＝2
21．[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1中ab∈Re＝2718 28…然数底数．
(1)设g(x)函数f(x)导函数求函数g(x)区间[01]值
(2)f(1)＝0函数f(x)区间(01)零点证明：e－2＜a＜1
21．解：(1)f(x)＝ex－ax2－bx－1g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－bg′(x)＝ex－2a
x∈[01]时g′(x)∈[1－2ae－2a]．
a≤时g′(x)≥0g(x)[01]单调递增
g(x)[01]值g(0)＝1－b
a≥时g′(x)≤0g(x)[01]单调递减
g(x)[01]值g(1)＝e－2a－b
＜a＜时令g′(x)＝0x＝ln(2a)∈(01)
函数g(x)区间[0ln(2a)]单调递减区间(ln(2a)1]单调递增
g(x)[01]值g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b
综述a≤时g(x)[01]值g(0)＝1－b
＜a＜时g(x)[01]值g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b
a≥时g(x)[01]值g(1)＝e－2a－b
(2)证明：设x0f(x)区间(01)零点f(0)＝f(x0)＝0知
f(x)区间(0x0)单调递增单调递减．
g(x)恒正恒负．
g(x)区间(0x0)存零点x1
理g(x)区间(x01)存零点x2g(x)区间(01)少两零点．
(1)知a≤时g(x)[01]单调递增g(x)(01)零点
a≥时g(x)[01]单调递减g(x)(01)零点合题意．
＜a＜
时g(x)区间[0ln(2a)]单调递减区间(ln(2a)1]单调递增．
x1∈(0ln(2a))x2∈(ln(2a)1)必
g(0)＝1－b＞0g(1)＝e－2a－b＞0
f(1)＝0a＋b＝e－1<2
g(0)＝a－e＋2>0g(1)＝1－a>0
解e－2＜a＜1
函数f(x)区间(01)零点时e－2＜a＜1

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