中学高考——2014·湖南卷（文科数学） （1）

2014·湖南卷(文科数学)
1．[2014·湖南卷] 设命题p：∀x∈Rx2＋1＞0綈p(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　

A．∃x0∈Rx＋1＞0 B．∃x0∈Rx＋1≤0
C．∃x0∈Rx＋1＜0 D．∀x∈Rx2＋1≤0
1．B　[解析] 全称命题否定形式綈p：∃x0∈Rx＋1≤0
2．[2014·湖南卷] 已知集合A＝{x|x＞2}B＝{x|1＜x＜3}A∩B＝(　　)
A．{x|x＞2} B．{x|x＞1}
C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}
2．C　[解析] 集合运算知A∩B＝{x|2＜x＜3}．
3．[2014·湖南卷] 容量N总体抽取容量n样选取简单机抽样系统抽样分层抽样三种方法抽取样时总体中体抽中概率分p1p2p3(　　)
A．p1＝p2＜p3 B．p2＝p3＜p1
C．p1＝p3＜p2 D．p1＝p2＝p3
3．D　[解析] 简单机抽样系统抽样分层抽样等概率抽样体抽中概率均
4．[2014·湖南卷] 列函数中偶函数区间(－∞0)单调递增(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x
4．A　[解析] 偶函数定义排CD根单调性B．
5．[2014·湖南卷] 区间[－23]机选取数XX≤1概率(　　)
A B
C D
5．B　[解析] 概型概率计算公式P＝＝
6．[2014·湖南卷] 圆C1：x2＋y2＝1圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切m＝(　　)
A．21 B．19 C．9 D．－11
6．C　[解析] 题意C1(00)C2(34)|C1C2|＝＝5r1＝1r2＝r1＋r2＝＋1＝5解m＝9
7．[2014·湖南卷] 执行图1­1示程序框图果输入t∈[－22]输出S属(　　)


图1­1
A．[－6－2] B．[－5－1]
C．[－45] D．[－36]
7．D　[解析] (特值法)t＝－2时t＝2×(－2)2＋1＝9S＝9－3＝6排ABC
8．[2014·湖南卷] 块石材表示体三视图图1­2示该石材切削磨加工成球球半径等(　　)

图1­2
A．1 B．2 C．3 D．4
8．B　[解析] 三视图知石材三棱柱(相应长方体半)知球三棱柱切球．题意知正视图三角形切圆半径球半径R＝＝2
9．[2014·湖南卷] 0＜x1＜x2＜1(　　)
A．ex2－ex1＞ln x2－ln x1
B．ex2－ex1＜ln x2－ln x1
C．x2ex1＞x1ex2
D．x2ex1＜x1ex2
9．C　[解析] 题构造函数f(x)＝f′(x)＝＝x∈(01)时f′(x)＜0f(x)＝区间(01)递减0＜x1＜x2＜1时f(x1)＞f(x2)x2ex1＞x1ex2
10．[2014·湖南卷] 面直角坐标系中O原点A(－10)B(0)C(30)动点D满足||＝1|＋＋|取值范围(　　)
A．[46] B．[－1＋1]
C．[22] D．[－1＋1]
10．D　[解析] ||＝1动点D点C圆心半径1圆设D(3＋cos αsin α)
＋＋＝(2＋cos α＋sin α)|＋＋|2＝(2＋cos α)2＋(＋sin α)2＝8＋4cos α＋2sin α＝8＋2sin(α＋φ)
|＋＋|2∈[8－28＋2]|＋＋|∈[－1＋1]．
11．[2014·湖南卷] 复数(i虚数单位)实部等________．
11．－3　[解析] ＝＝－3－i实部－3
12．[2014·湖南卷] 面直角坐标系中曲线C：(t参数)普通方程
________．
12．x－y－1＝0　[解析] 题意消参数x－2＝y－1x－y－1＝0
13．[2014·湖南卷] 变量xy满足约束条件z＝2x＋y值________．
13．7　[解析] 题意画出行域图示．
点B坐标(31)z＝2x＋yB(31)处取值7

14．[2014·湖南卷] 面机器行进中始终保持点F(10)距离直线x＝－1距离相等．机器接触点P(－10)斜率k直线k取值范围________．
14．(－∞－1)∪(1＋∞)　[解析] 题意知机器运行轨迹方程y2＝4x设直线l：y＝k(x＋1)联立消yk2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0Δ＝(2k2－4)2－4k4＜0k2＞1解k＜－1k＞1
15．[2014·湖南卷] f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax偶函数a＝________．
15．－　[解析] 偶函数定义f(－x)＝f(x)ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax
∴2ax＝－ln e3x＝－3x∴a＝－
16．[2014·湖南卷] 已知数列{an}前n项Sn＝n∈N*
(1)求数列{an}通项公式
(2)设bn＝2an＋(－1)nan求数列{bn}前2n项．
16解：(1)n＝1时a1＝S1＝1
n≥2时an＝Sn－Sn－1＝－＝n
数列{an}通项公式an＝n
(2)(1)知bn＝2n＋(－1)nn记数列{bn}前2n项T2nT2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22nB＝－1＋2－3＋4－…＋2n
A＝＝22n＋1－2
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n
数列{bn}前2n项T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2
17．[2014·湖南卷] 某企业甲乙两研发组较研发水现机抽取两组年研发新产品结果：
(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)．
中aa分表示甲组研发成功失败bb分表示乙组研发成功失败．
(1)某组成功研发种新产品该组记1分否记0分．试计算甲乙两组研发新产品成绩均数方差较甲乙两组研发水．
(2)该企业安排甲乙两组研发种新产品试估计恰组研发成功概率．
17．解：(1)甲组研发新产品成绩
111001110101101
均数x甲＝＝
方差s＝＝
乙组研发新产品成绩
101101101001011
均数x乙＝＝
方差s＝＝
x甲＞x乙s＜s甲组研发水优乙组．
(2)记E＝{恰组研发成功}．
抽15结果中恰组研发成功结果(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)
7事件E发生频率
频率视概率求概率P(E)＝
18．[2014·湖南卷] 图1­3示已知二面角α­MN­β60°菱形ABCD面βAB两点棱MN∠BAD＝60°EAB中点DO⊥面α垂足O

图1­3
(1)证明：AB⊥面ODE
(2)求异面直线BCOD成角余弦值．
18．解：(1)证明：图DO⊥αAB⊂αDO⊥AB
连接BD题设知△ABD 正三角形EAB中点DE⊥ABDO∩DE＝DAB⊥面ODE

(2)BC∥ADBCOD成角等ADOD成角∠ADOBCOD成角．
(1)知AB⊥面ODEAB⊥OEDE⊥AB∠DEO二面角α­MN­β面角∠DEO＝60°
妨设AB＝2AD＝2易知DE＝
Rt△DOE中DO＝DE·sin 60°＝
连接AORt△AOD中cos∠ADO＝＝
＝
异面直线BCOD成角余弦值
19．[2014·湖南卷] 图1­4示面四边形ABCD中DA⊥ABDE＝1EC＝EA＝2∠ADC＝∠BEC＝
(1)求sin∠CED值
(2)求BE长．


图1­4
19．解：设∠CED＝α
(1)△CDE中余弦定理
EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC
题设知7＝CD2＋1＋CDCD2＋CD－
6＝0解CD＝2(CD＝－3舍)．
△CDE中正弦定理＝
sin α＝＝＝
sin∠CED＝
(2)题设知0＜α＜(1)知
cos α＝＝＝
∠AEB＝－α
cos∠AEB＝cos＝coscos α＋sinsin α
＝－cos α＋sin α
＝－×＋×＝
Rt△EAB中cos∠AEB＝＝
BE＝＝＝4
20．[2014·湖南卷] 图1­5示O坐标原点双曲线C1：－＝1(a1＞0b1＞0)椭圆C2：＋＝1(a2＞b2＞0)均点PC1两顶点C2两焦点顶点四边形面积2正方形．
(1)求C1C2方程．
(2)否存直线llC1交AB两点C2公点|＋|＝|AB
| ？证明结

图1­5

20．解： (1)设C2焦距2c2题意知2c2＝22a1＝2a1＝1c2＝1点P双曲线x2－＝1－＝1b＝3
椭圆定义知
2a2＝＋＝2
a2＝b＝a－c＝2C1C2方程分x2－＝1＋＝1
(2)存符合题设条件直线．
(i)直线l垂直x轴lC2公点直线l方程x＝x＝－
x＝时易知A()B(－)
|＋|＝2||＝2
时|＋|≠||
x＝－时理知|＋|≠||
(ii)直线l垂直x轴设l方程y＝kx＋m
(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0
lC1相交AB两点时设A(x1y1)B(x2y2)x1x2述方程两实根
x1＋x2＝x1x2＝
y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝
(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0
直线lC2公点述方程判式Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0
化简2k2＝m2－3
·＝x1x2＋y1y2＝＋＝≠0
2＋2＋2·≠2＋2－2·|＋|2≠|－|2
|＋|≠||
综合(i)(ii)知存符合题设条件直线．
21．[2014·湖南卷] 已知函数f(x)＝xcos x－sin x＋1(x＞0)．
(1)求f(x)单调区间
(2)记xif(x)第i(i∈N*)零点证明：切n∈N*＋＋…＋＜
21．解： (1)f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x
令f′(x)＝0x＝kπ(k∈N*)．
x∈(2kπ(2k＋1)π)(k∈N)时sin x>0时f′(x)<0
x∈((2k＋1)π(2k＋2)π)(k∈N)时sin x<0时f′(x)>0
f(x)单调递减区间(2kπ(2k＋1)π)(k∈N)单调递增区间((2k＋1)π(2k＋2)π)(k∈N)．
(2)(1)知f(x)区间(0π)单调递减．f＝0x1＝
n∈N*时
f(nπ)f＝[(－1)nnπ＋1][(－1)n＋1(n＋1)π＋1]＜0
函数f(x)图连续断f(x)区间(nπ(n＋1)π)少存零点．f(x)区间(nπ(n＋1)π)单调
nπ＜xn＋1＜(n＋1)π
n＝1时＝＜
n＝2时＋＜(4＋1)＜
n≥3时
＋＋…＋<
＜＜
＝＜＜
综述切n∈N*＋＋…＋＜


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