2014·新课标全国卷Ⅱ(文科数学)
1．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知集合A＝{－202}B＝{x|x2－x－2＝0}A∩B＝( )
A．∅ B．{2}
C．{0} D．{－2}
1．B [解析] B＝{－12}A∩B＝{2}．
2．[2014·新课标全国卷Ⅱ] ＝( )
A．1＋2i B．－1＋2i
C．1－2i D．－1－2i
2．B [解析] ＝＝＝－1＋2i
3．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)x＝x0处导数存．p：f′(x0)＝0q：x＝x0f(x)极值点( )
A．pq充分必条件
B．pq充分条件q必条件
C．pq必条件q充分条件
D．pq充分条件q必条件
3．C [解析] 函数x＝x0处导数导数0x＝x0未必函数极值点函数点左右两边导数符号符号致极值点反x＝x0函数极值点函数x＝x0处导数定0 pq必充分条件．
4．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设量ab满足|a＋b|＝|a－b|＝a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．5
4．A [解析] 已知|a＋b|＝10|a－b|2＝b两式相减a·b＝1
5． [2014·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}公差2a2a4a8成等数列{an}前n项Sn＝( )
A．n(n＋1) B．n(n－1)
C D
5．A [解析] 题意a2a2＋4a2＋12成等数列(a2＋4)2＝a2(a2＋12)解a2＝4a1＝2Sn＝2n＋×2＝n(n＋1)．
6．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 图11网格纸正方形格边长1(表示1 cm)图中粗线画出某零件三视图该零件底面半径3 cm高6 cm圆柱体毛坯切削切削掉部分体积原毛坯体积值( )
图11
A B
C D
6．C [解析] 该零件两圆柱组成组合体体积V＝π×32×2＋π×22×4＝34π(cm3)原毛坯体积V毛坯＝π×32×6＝54π(cm3)切部分体积V切＝V毛坯－V＝54π－34π＝20π(cm3)＝＝
7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 正三棱柱ABC A1B1C1底面边长2侧棱长DBC中点三棱锥A B1DC1体积( )
A．3 B C．1 D
7．C [解析] DBC中点AD⊥BCAD⊥面BCC1B1AD＝V三棱锥A B1DC1＝S△B1DC1×AD＝×B1C1×BB1×AD＝××2××＝1
8．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 执行图12示程序框图果输入xt均2输出S＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7
图12
8．D [解析] x＝2t＝2时次：M＝1S＝3k＝1≤2M＝2S＝5k＝2≤2M＝2S＝7k＝3>2输出S＝7
9．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设xy满足约束条件z＝x＋2y值( )
A．8 B．7
C．2 D．1
9．B [解析] 作出约束条件表示行域(略)知该行域三角形区域目标函数通行域顶点(32)时目标函数取值zmax＝3＋2×2＝7
10．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F抛物线C：y2＝3x焦点F倾斜角30°直线交
CAB两点|AB|＝( )
A B．6
C．12 D．7
10．C [解析] 抛物线焦点坐标F直线AB斜率k＝tan 30°＝直线AB方程y＝x－x2－x＋＝0x1＋x2＝x1x2＝|AB|＝·|x1－x2|＝·＝12
11．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝kx－ln x区间(1＋∞)单调递增k取值范围( )
A．(－∞－2] B．(－∞－1]
C．[2＋∞) D．[1＋∞)
11．D [解析] f′(x)＝k－＝x>0题知f′(x)≥0kx－1≥0x≥(k<0时满足)函数f(x)区间(1＋∞)单调递增≤1解k≥1
12．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M(x01)圆O：x2＋y2＝1存点N∠OMN＝45°x0取值范围( )
A [－11] B
C [－] D
12．A [解析] 点M(x01)直线y＝1直线y＝1圆x2＋y2＝1相切．题意设点N(01)图需∠OMN≥45°时tan ∠OMN＝≥tan 45°0<|MN|≤|ON|＝10<|x0|≤1M位点(01)时显然圆存点N满足求综知－1≤x0≤1
13．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 甲乙两名运动员等红白蓝3种颜色运动服中选择1种选择相颜色运动服概率________．
13 [解析] 甲3种选法乙3种选法9种选法．选择种颜色3种选法应概率P＝＝
14． [2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x值________．
14．1 [解析] f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φcos x＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)值1
15．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 偶函数y＝f(x)图关直线x＝2称f(3)＝3f(－1)＝________．
15．3 [解析] 函数图关直线x＝2称f(3)＝f(1)函数偶函数f(－1)＝f(1)f(－1)＝3
16．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 数列{an}满足an＋1＝a8＝2a1＝________．
16 [解析] 题易知a8＝＝2a7＝a7＝＝a6＝－1a6＝＝－1a5＝2知数列{an}具周期性周期3a1＝a7＝
17．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD角AC互补AB＝1BC＝3CD＝DA＝2
(1)求CBD
(2)求四边形ABCD面积．
17．解：(1)题设余弦定理
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C
＝13－12cos C①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcos A
＝5＋4cos C．②
①②cos C＝C＝60°BD＝
(2)四边形ABCD面积
S＝AB·DAsin A＋BC·CDsin C
＝sin 60°＝2
18．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 图13四棱锥P ABCD中底面ABCD矩形PA⊥面ABCDEPD中点．
(1)证明：PB∥面AEC
(2)设AP＝1AD＝三棱锥P ABD体积V＝求A面PBC距离．
图13
18．解：(1)证明：设BDAC交点O连接EO
ABCD矩形OBD中点．
EPD中点EO∥PB
EO⊂面AECPB⊄面AEC
PB∥面AEC
(2)V＝××PA×AB×AD＝AB
V＝AB＝
作AH⊥PB交PB点H
题设知BC⊥面PABBC⊥AH
PB∩BC＝BAH⊥面PBC
AH＝＝
点A面PBC距离
19．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 某市考核甲乙两部门工作情况机访问50位市民．根50位市民两部门评分(评分越高表明市民评价越高)绘制茎叶图：
甲部门
乙部门
3
5 9
4
4
0 4 4 8
9 7
5
1 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9
9 7 6 6 5 3 3 2 1 1 0
6
0 1 1 2 3 4 6 8 8
9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 0
7
0 0 1 1 3 4 4 9
6 6 5 5 2 0 0
8
1 2 3 3 4 5
6 3 2 2 2 0
9
0 1 1 4 5 6
10
0 0 0
图14
(1)分估计该市市民甲乙两部门评分中位数
(2)分估计该市市民甲乙两部门评分高90概率
(3)根茎叶图分析该市市民甲乙两部门评价．
19．解：(1)茎叶图知50位市民甲部门评分排序排第2526位7575样中位数75该市市民甲部门评分中位数估计值75
50位市民乙部门评分排序排第2526位6668样中位数＝67该市市民乙部门评分中位数估计值67
(2)茎叶图知50位市民甲乙部门评分高90率分＝01＝016该市市民甲乙部门评分高90概率估计值分01016
(3)茎叶图知市民甲部门评分中位数高乙部门评分中位数茎叶图致出甲部门评分标准差乙部门评分标准差说明该市市民甲部门评价较高评价较致乙部门评价较低评价差异较．(注：考生利统计量进行分析结合理样分．)
20． [2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F1F2分椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)左右焦点MC点MF2x轴垂直．直线MF1C交点N
(1)直线MN斜率求C离心率
(2)直线MNy轴截距2|MN|＝5|F1N|求ab
20．解：(1)根c＝题设知M2b2＝3ac
b2＝a2－c2代入2b2＝3ac
解＝＝－2(舍)．
C离心率
(2)题意知原点OF1F2中点MF2∥y轴直线MF1y轴交点D(02)线段MF1中点＝4b2＝4a①
|MN|＝5|F1N||DF1|＝2|F1N|
设N(x1y1)题意知y1<0
代入C方程＋＝1②
①c＝代入②＋＝1
解a＝7b2＝4a＝28a＝7b＝2
21．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2曲线y＝f(x)点(02)处切线x轴交点横坐标－2
(1)求a
(2)证明：k＜1时曲线y＝f(x)直线y＝kx－2交点．
21．解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋af′(0)＝a
曲线y＝f(x)点(02)处切线方程y＝ax＋2
题设－＝－2a＝1
(2)证明：(1)知f(x)＝x3－3x2＋x＋2
设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4
题设知1－k>0
x≤0时g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0
g(x)单调递增g(－1)＝k－1<0g(0)＝4
g(x)＝0(－∞0]唯实根．
x>0时令h(x)＝x3－3x2＋4
g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．
h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)h(x)(02)单调递减(2＋∞)单调递增
g(x)>h(x)≥h(2)＝0
g(x)＝0(0＋∞)没实根．
综g(x)＝0R唯实根
曲线y＝f(x)直线y＝kx－2交点．
22．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修41：证明选讲
图15P⊙O外点PA切线A切点割线PBC⊙O相交点BCPC＝2PADPC中点AD延长线交⊙O点E证明：
(1)BE＝EC
(2)AD·DE＝2PB2
图15
22．证明：(1)连接ABAC题设知PA＝PD
∠PAD＝∠PDA
∠PDA＝∠DAC＋∠DCA
∠PAD＝∠BAD＋∠PAB
∠DCA＝∠PAB
∠DAC＝∠BADBE＝EC
BE＝EC
(2)切割线定理PA2＝PB·PC
PA＝PD＝DCDC＝2PBBD＝PB
相交弦定理AD·DE＝BD·DC
AD·DE＝2PB2
23．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修44：坐标系参数方程
直角坐标系xOy中坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系半圆C极坐标方程ρ＝2cos θθ∈
(1)求C参数方程
(2)设点DCCD处切线直线l：y＝x＋2垂直根(1)中参数方程确定D坐标．
23．解：(1)C普通方程
(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
C参数方程
(t参数0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos tsin t)．(1)知CG(10)圆心1半径半圆．C点D处切线l垂直直线GDl斜率相tan t＝t＝
D直角坐标
24．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修45：等式选讲
设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)．
(1)证明：f(x)≥2
(2)f(3)＜5求a取值范围．
24．解：(1)证明：a>0 f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2
f(x)≥2
(2)f(3)＝＋|3－a|
a>3时f(3)＝a＋f(3)<530综a取值范围
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1．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知集合A＝{－202}B＝{x|x2－x－2＝0}A∩B＝( )
A．∅ B．{2}
C．{0} D．{－2}
1．B [解析] B＝{－12}A∩B＝{2}．
2．[2014·新课标全国卷Ⅱ] ＝( )
A．1＋2i B．－1＋2i
C．1－2i D．－1－2i
2．B [解析] ＝＝＝－1＋2i
3．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)x＝x0处导数存．p：f′(x0)＝0q：x＝x0f(x)极值点( )
A．pq充分必条件
B．pq充分条件q必条件
C．pq必条件q充分条件
D．pq充分条件q必条件
3．C [解析] 函数x＝x0处导数导数0x＝x0未必函数极值点函数点左右两边导数符号符号致极值点反x＝x0函数极值点函数x＝x0处导数定0 pq必充分条件．
4．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设量ab满足|a＋b|＝|a－b|＝a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．5
4．A [解析] 已知|a＋b|＝10|a－b|2＝b两式相减a·b＝1
5． [2014·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}公差2a2a4a8成等数列{an}前n项Sn＝( )
A．n(n＋1) B．n(n－1)
C D
5．A [解析] 题意a2a2＋4a2＋12成等数列(a2＋4)2＝a2(a2＋12)解a2＝4a1＝2Sn＝2n＋×2＝n(n＋1)．
6．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 图11网格纸正方形格边长1(表示1 cm)图中粗线画出某零件三视图该零件底面半径3 cm高6 cm圆柱体毛坯切削切削掉部分体积原毛坯体积值( )
图11
A B
C D
6．C [解析] 该零件两圆柱组成组合体体积V＝π×32×2＋π×22×4＝34π(cm3)原毛坯体积V毛坯＝π×32×6＝54π(cm3)切部分体积V切＝V毛坯－V＝54π－34π＝20π(cm3)＝＝
7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 正三棱柱ABC A1B1C1底面边长2侧棱长DBC中点三棱锥A B1DC1体积( )
A．3 B C．1 D
7．C [解析] DBC中点AD⊥BCAD⊥面BCC1B1AD＝V三棱锥A B1DC1＝S△B1DC1×AD＝×B1C1×BB1×AD＝××2××＝1
8．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 执行图12示程序框图果输入xt均2输出S＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7
图12
8．D [解析] x＝2t＝2时次：M＝1S＝3k＝1≤2M＝2S＝5k＝2≤2M＝2S＝7k＝3>2输出S＝7
9．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设xy满足约束条件z＝x＋2y值( )
A．8 B．7
C．2 D．1
9．B [解析] 作出约束条件表示行域(略)知该行域三角形区域目标函数通行域顶点(32)时目标函数取值zmax＝3＋2×2＝7
10．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F抛物线C：y2＝3x焦点F倾斜角30°直线交
CAB两点|AB|＝( )
A B．6
C．12 D．7
10．C [解析] 抛物线焦点坐标F直线AB斜率k＝tan 30°＝直线AB方程y＝x－x2－x＋＝0x1＋x2＝x1x2＝|AB|＝·|x1－x2|＝·＝12
11．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝kx－ln x区间(1＋∞)单调递增k取值范围( )
A．(－∞－2] B．(－∞－1]
C．[2＋∞) D．[1＋∞)
11．D [解析] f′(x)＝k－＝x>0题知f′(x)≥0kx－1≥0x≥(k<0时满足)函数f(x)区间(1＋∞)单调递增≤1解k≥1
12．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M(x01)圆O：x2＋y2＝1存点N∠OMN＝45°x0取值范围( )
A [－11] B
C [－] D
12．A [解析] 点M(x01)直线y＝1直线y＝1圆x2＋y2＝1相切．题意设点N(01)图需∠OMN≥45°时tan ∠OMN＝≥tan 45°0<|MN|≤|ON|＝10<|x0|≤1M位点(01)时显然圆存点N满足求综知－1≤x0≤1
13．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 甲乙两名运动员等红白蓝3种颜色运动服中选择1种选择相颜色运动服概率________．
13 [解析] 甲3种选法乙3种选法9种选法．选择种颜色3种选法应概率P＝＝
14． [2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x值________．
14．1 [解析] f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φcos x＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)值1
15．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 偶函数y＝f(x)图关直线x＝2称f(3)＝3f(－1)＝________．
15．3 [解析] 函数图关直线x＝2称f(3)＝f(1)函数偶函数f(－1)＝f(1)f(－1)＝3
16．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 数列{an}满足an＋1＝a8＝2a1＝________．
16 [解析] 题易知a8＝＝2a7＝a7＝＝a6＝－1a6＝＝－1a5＝2知数列{an}具周期性周期3a1＝a7＝
17．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD角AC互补AB＝1BC＝3CD＝DA＝2
(1)求CBD
(2)求四边形ABCD面积．
17．解：(1)题设余弦定理
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C
＝13－12cos C①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcos A
＝5＋4cos C．②
①②cos C＝C＝60°BD＝
(2)四边形ABCD面积
S＝AB·DAsin A＋BC·CDsin C
＝sin 60°＝2
18．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 图13四棱锥P ABCD中底面ABCD矩形PA⊥面ABCDEPD中点．
(1)证明：PB∥面AEC
(2)设AP＝1AD＝三棱锥P ABD体积V＝求A面PBC距离．
图13
18．解：(1)证明：设BDAC交点O连接EO
ABCD矩形OBD中点．
EPD中点EO∥PB
EO⊂面AECPB⊄面AEC
PB∥面AEC
(2)V＝××PA×AB×AD＝AB
V＝AB＝
作AH⊥PB交PB点H
题设知BC⊥面PABBC⊥AH
PB∩BC＝BAH⊥面PBC
AH＝＝
点A面PBC距离
19．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 某市考核甲乙两部门工作情况机访问50位市民．根50位市民两部门评分(评分越高表明市民评价越高)绘制茎叶图：
甲部门
乙部门
3
5 9
4
4
0 4 4 8
9 7
5
1 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9
9 7 6 6 5 3 3 2 1 1 0
6
0 1 1 2 3 4 6 8 8
9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 0
7
0 0 1 1 3 4 4 9
6 6 5 5 2 0 0
8
1 2 3 3 4 5
6 3 2 2 2 0
9
0 1 1 4 5 6
10
0 0 0
图14
(1)分估计该市市民甲乙两部门评分中位数
(2)分估计该市市民甲乙两部门评分高90概率
(3)根茎叶图分析该市市民甲乙两部门评价．
19．解：(1)茎叶图知50位市民甲部门评分排序排第2526位7575样中位数75该市市民甲部门评分中位数估计值75
50位市民乙部门评分排序排第2526位6668样中位数＝67该市市民乙部门评分中位数估计值67
(2)茎叶图知50位市民甲乙部门评分高90率分＝01＝016该市市民甲乙部门评分高90概率估计值分01016
(3)茎叶图知市民甲部门评分中位数高乙部门评分中位数茎叶图致出甲部门评分标准差乙部门评分标准差说明该市市民甲部门评价较高评价较致乙部门评价较低评价差异较．(注：考生利统计量进行分析结合理样分．)
20． [2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F1F2分椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)左右焦点MC点MF2x轴垂直．直线MF1C交点N
(1)直线MN斜率求C离心率
(2)直线MNy轴截距2|MN|＝5|F1N|求ab
20．解：(1)根c＝题设知M2b2＝3ac
b2＝a2－c2代入2b2＝3ac
解＝＝－2(舍)．
C离心率
(2)题意知原点OF1F2中点MF2∥y轴直线MF1y轴交点D(02)线段MF1中点＝4b2＝4a①
|MN|＝5|F1N||DF1|＝2|F1N|
设N(x1y1)题意知y1<0
代入C方程＋＝1②
①c＝代入②＋＝1
解a＝7b2＝4a＝28a＝7b＝2
21．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2曲线y＝f(x)点(02)处切线x轴交点横坐标－2
(1)求a
(2)证明：k＜1时曲线y＝f(x)直线y＝kx－2交点．
21．解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋af′(0)＝a
曲线y＝f(x)点(02)处切线方程y＝ax＋2
题设－＝－2a＝1
(2)证明：(1)知f(x)＝x3－3x2＋x＋2
设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4
题设知1－k>0
x≤0时g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0
g(x)单调递增g(－1)＝k－1<0g(0)＝4
g(x)＝0(－∞0]唯实根．
x>0时令h(x)＝x3－3x2＋4
g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．
h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)h(x)(02)单调递减(2＋∞)单调递增
g(x)>h(x)≥h(2)＝0
g(x)＝0(0＋∞)没实根．
综g(x)＝0R唯实根
曲线y＝f(x)直线y＝kx－2交点．
22．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修41：证明选讲
图15P⊙O外点PA切线A切点割线PBC⊙O相交点BCPC＝2PADPC中点AD延长线交⊙O点E证明：
(1)BE＝EC
(2)AD·DE＝2PB2
图15
22．证明：(1)连接ABAC题设知PA＝PD
∠PAD＝∠PDA
∠PDA＝∠DAC＋∠DCA
∠PAD＝∠BAD＋∠PAB
∠DCA＝∠PAB
∠DAC＝∠BADBE＝EC
BE＝EC
(2)切割线定理PA2＝PB·PC
PA＝PD＝DCDC＝2PBBD＝PB
相交弦定理AD·DE＝BD·DC
AD·DE＝2PB2
23．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修44：坐标系参数方程
直角坐标系xOy中坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系半圆C极坐标方程ρ＝2cos θθ∈
(1)求C参数方程
(2)设点DCCD处切线直线l：y＝x＋2垂直根(1)中参数方程确定D坐标．
23．解：(1)C普通方程
(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
C参数方程
(t参数0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos tsin t)．(1)知CG(10)圆心1半径半圆．C点D处切线l垂直直线GDl斜率相tan t＝t＝
D直角坐标
24．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修45：等式选讲
设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)．
(1)证明：f(x)≥2
(2)f(3)＜5求a取值范围．
24．解：(1)证明：a>0 f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2
f(x)≥2
(2)f(3)＝＋|3－a|
a>3时f(3)＝a＋f(3)<53
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