2014·山东卷(文科数学)
1．[2014·山东卷] 已知ab∈Ri虚数单位a＋i＝2－bi(a＋bi)2＝( )
A．3－4i B．3＋4i
C．4－3i D．4＋3i
1．A [解析] a＋i＝2－bia＝2b＝－1(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i
2．[2014·山东卷] 设集合A＝{x|x2－2x<0}B＝{x|1≤x≤4}A∩B＝( )
A．(02] B．(12)
C．[12) D．(14)
2．C [解析] 集合A＝{x|0＜x＜2}B＝{x|1≤x≤4}A∩B＝{x|1≤x＜2}选C
3．[2014·山东卷] 函数f(x)＝定义域( )
A．(02) B．(02]
C．(2＋∞) D．[2＋∞)
3．C [解析] 函数f(x)意义log2x－1＞0∴log2x＞1∴x＞2
4．[2014·山东卷] 反证法证明命题设ab实数方程x2＋ax＋b＝0少实根时做假设( )
A．方程x2＋ax＋b＝0没实根
B．方程x2＋ax＋b＝0实根
C．方程x2＋ax＋b＝0两实根
D．方程x2＋ax＋b＝0恰两实根
4．A [解析] 方程x2＋ax＋b＝0少实根等价方程x2＋ax＋b＝0实根两实根该命题否定方程x2＋ax＋b＝0没实根．选A
5．[2014·山东卷] 已知实数xy满足axA．x3>y3
B．sin x>sin y
C．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
D>
5．A [解析] ax＜ay(0＜a＜1)x＞yx3>y3恒成立．选A
6．[2014·山东卷] 已知函数y＝loga(x＋c)(ac常数中a>0a≠1)图图11示列结成立( )
图11
A．a>1x>1 B．a>10C．01 D．06．D [解析] 该函数图通第二四象限该函数减函数∴0＜a＜
1∵图x轴交点区间(01)间∴该函数图函数y＝logax图左移1单位∴0＜c＜1
7．[2014·山东卷] 已知量a＝(1)b＝(3m)量ab夹角实数m＝( )
A．2 B
C．0 D．－
7．B [解析] 题意cos ＝＝＝解m＝
8．[2014·山东卷] 研究某药品疗效选取干名志愿者进行床试验志愿者舒张压数(单位：kPa)分组区间[1213)[1314)[1415)[1516)[1617]．左右序分编号第组第二组……第五组图12根试验数制成频率分布直方图已知第组第二组20第三组中没疗效6第三组中疗效数( )
图12
A．6 B．8 C．12 D．18
8．C [解析] 第组第二组20根图知第组第二组频率024∶016＝3∶2第组数20×＝12第组第三组频率024∶036＝2∶3 第三组 12÷＝18．第三组中没疗效数6第三组中疗效数18－6＝12
9．[2014·山东卷] 函数f(x)存常数a≠0x取定义域值f(x)＝f(2a－x)称f(x)准偶函数列函数中准偶函数( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2
C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)
9．D [解析] f(x)＝f(2a－x)函数f(x)图关x＝a称．A选项中函数f(x)＝没称性B选项中函数f(x)＝x2关y轴称a≠0矛盾C选项中函数f(x)＝tan x没称性D选项中函数f(x)＝cos(x＋1)图函数g(x)＝cos x图左移单位函数g(x)＝cos x图关x＝kπ(k∈Z)称函数f(x)＝cos(x＋1)图关x＝kπ－1(k∈Z)称．选D
10．[2014·山东卷] 已知xy满足约束条件 目标函数z＝ax＋by(a>0b>0)该约束条件取值2时a2＋b2值( )
A．5 B．4
C D．2
10．B [解析] 画出关xy等式组表示行域图阴影部分示．
显然目标函数z＝ax＋by点A(21)时目标函数z＝ax＋by取值2＝2a＋b2－2a＝ba2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝5a2－8a＋20构造函数m(a)＝5a2－8a＋20(011．[2014·山东卷] 执行图13示程序框图输入x值1输出n值________．
图13
11．3 [解析] x＝1满足等式执行循环x＝2n＝1x＝2满足等式执行循环x＝3n＝2x＝3满足等式执行循环x＝4n＝3x＝4满足等式结束循环输出n＝3
12．[2014·山东卷] 函数y＝sin 2x＋cos2x正周期________．
12．π [解析] y＝sin 2x＋＝
sin＋该函数正周期T＝＝π
13．[2014·山东卷] 六棱锥体积2底面边长2正六边形侧棱长相等该六棱锥侧面积________．
13．12 [解析] 设该六棱锥高h根体积公式V＝××2××6×h解h＝1侧面三角形高＝2侧面积S＝×2×2×6＝12
14．[2014·山东卷] 圆心直线x－2y＝0圆Cy轴正半轴相切圆C截x轴弦长2圆C标准方程________．
14．(x－2)2＋(y－1)2＝4 [解析] 圆心直线x－2y＝0设圆心坐标(2bb)．圆Cy轴正半轴相切b>0圆半径2b勾股定理b2＋()2＝4b2解b＝±1b>0b＝1圆C圆心坐标(21)半径2圆C标准方程(x－2)2＋(y－1)2＝4
15．[2014·山东卷] 已知双曲线－＝1(a>0b>0)焦距2c右顶点A抛物线x2＝2py(p>0)焦点F双曲线截抛物线准线线段长2c|FA|＝c双曲线渐线方程________．
15．y＝±x [解析] 题意知抛物线焦点F准线方程y＝－|FA|＝c＋a2＝c2＝b2联立消yx＝±x＝±a双曲线截抛物线准线线段长2c2a＝2ca＝cb＝a双曲线渐线方程y＝±x
16．[2014·山东卷] 海关时ABC三区进口某种商品进行抽样检测区进口种商品数量(单位：件)表示．工作员分层抽样方法商品中抽取6件样品进行检测．
区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求6件样品中ABC区商品数量
(2)6件样品中机抽取2件送甲机构进行进步检测求2件商品相区概率．
16．解：(1)样容量总体中体数
＝样中包含三区体数量分：50×＝1150×＝3100×＝2
ABC三区商品选取件数分132
(2)设6件ABC三区样品分：AB1B2B3C1C2抽取2件商品构成基事件：
{AB1}{AB2}{AB3}{AC1}{AC2}{B1B2}{B1B3}{B1C1}{B1C2}{B2B3}{B2C1}{B2C2}{B3C1}{B3C2}{C1C2}15．
样品抽机会均等基事件出现等．
记事件D抽取2件商品相区
事件D包含基事件{B1B2}{B1B3}{B2B3}{C1C2}4．
P(D)＝2件商品相区概率
17．[2014·山东卷] △ABC中角ABC边分abc已知a＝3cos A＝B＝A＋
(1)求b值
(2)求△ABC面积．
17．解：(1)△ABC中
题意知sin A＝＝
B＝A＋
sin B＝sin＝cos A＝
正弦定理b＝＝＝3
(2)B＝A＋cos B＝cos＝－sin A＝－
A＋B＋C＝πC＝π－(A＋B)
sin C＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×
＝
△ABC面积S＝absin C＝×3×3×＝
18．[2014·山东卷] 图14示四棱锥PABCD中AP⊥面PCDAD∥BCAB＝BC＝ADEF分线段ADPC中点．
图14
(1)求证：AP∥面BEF
(2)求证：BE⊥面PAC
18．证明：(1)设AC∩BE＝O连接OFECEAD中点
AB＝BC＝ADAD∥BC
AE∥BCAE＝AB＝BC
OAC中点．
△PAC中FPC中点AP∥OF
OF⊂面BEFAP⊄面BEF
AP∥面BEF
(2)题意知ED∥BCED＝BC
四边形BCDE行四边形
BE∥CD
AP⊥面PCD
AP⊥CDAP⊥BE
四边形ABCE菱形
BE⊥AC
AP∩AC＝AAPAC⊂面PAC
BE⊥面PAC
19．[2014·山东卷] 等差数列{an}中已知公差d＝2a2a1a4等中项．
(1)求数列{an}通项公式
(2)设bn＝a记Tm＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn求Tn
19．解：(1)题意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)
(a1＋2)2＝a1(a1＋6)解a1＝2
数列{an}通项公式an＝2n
(2)题意知bn＝a＝n(n＋1)
Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn×(n＋1)．
bn＋1－bn＝2(n＋1)
n偶数时
Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1＋bn)
＝4＋8＋12＋…＋2n
＝
＝
n奇数时
Tn＝Tn－1＋(－bn)
＝－n(n＋1)
＝－
Tn＝
20．[2014·山东卷] 设函数f(x)＝aln x＋中a常数．
(1)a＝0求曲线y＝f(x)点(1f(1))处切线方程
(2)讨函数f(x)单调性．
20．解：(1)题意知a＝0时f(x)＝x∈(0＋∞)．
时f′(x)＝f′(1)＝
f(1)＝0曲线y＝f(x)(1f(1))处切线方程x－2y－1＝0
(2)函数f(x)定义域(0＋∞)．
f′(x)＝＋＝
a≥0时f′(x)＞0函数f(x)(0＋∞)单调递增．
a＜0时令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a
Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)
①a＝－时Δ＝0
f′(x)＝≤0函数f(x)(0＋∞)单调递减．
②a＜－时Δ＜0g(x)＜0
f′(x)＜0函数f(x)(0＋∞)单调递减．
③－＜a＜0时Δ＞0
设x1x2(x1＜x2)函数g(x)两零点
x1＝
x2＝
x1＝
＝＞0
x∈(0x1)时g(x)＜0f′(x)＜0函数f(x)单调递减
x∈(x1x2)时g(x)＞0f′(x)＞0函数f(x)单调递增
x∈(x2＋∞)时g(x)＜0f′(x)＜0函数f(x)单调递减．
综a≥0时函数f(x)(0＋∞)单调递增a≤－时函数f(x)(0＋∞)单调递减－＜a<0时f(x)单调递减
单调递增．
21．[2014·山东卷] 面直角坐标系xOy中椭圆C：＋＝1(a>b>0)离心率
直线y＝x椭圆C截线段长
(1)求椭圆C方程．
(2)原点直线椭圆C交AB两点(AB椭圆C顶点)．点D椭圆CAD⊥AB直线BDx轴y轴分交MN两点．
(i)设直线BDAM斜率分k1k2证明存常数λk1＝λk2求出λ值
(ii)求△OMN面积值．
21．解：(1)题意知＝a2＝4b2
椭圆C方程简化x2＋4y2＝a2
y＝x代入x＝±
×＝a＝2b＝1
椭圆C方程＋y2＝1
(2)(i)设A(x1y1)(x1y1≠0)D(x2y2)B(－x1－y1)．
直线AB斜率kAB＝AB⊥AD
直线AD斜率k＝－
设直线AD方程y＝kx＋m
题意知k≠0m≠0
消y(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0
x1＋x2＝－
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝
题意知x1≠－x2
k1＝＝－＝
直线BD方程y＋y1＝(x＋x1)．
令y＝0x＝3x1M(3x10)．
k2＝－
k1＝－k2λ＝－
存常数λ＝－结成立．
(ii)直线BD方程y＋y1＝(x＋x1)
令x＝0y＝－y1N
(i)知M(3x10)
△OMN面积S＝×3|x1|×|y1|＝
|x1||y1|
|x1||y1|≤＋y＝1仅＝|y1|＝时等号成立
时S取值
△OMN面积值
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1．[2014·山东卷] 已知ab∈Ri虚数单位a＋i＝2－bi(a＋bi)2＝( )
A．3－4i B．3＋4i
C．4－3i D．4＋3i
1．A [解析] a＋i＝2－bia＝2b＝－1(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i
2．[2014·山东卷] 设集合A＝{x|x2－2x<0}B＝{x|1≤x≤4}A∩B＝( )
A．(02] B．(12)
C．[12) D．(14)
2．C [解析] 集合A＝{x|0＜x＜2}B＝{x|1≤x≤4}A∩B＝{x|1≤x＜2}选C
3．[2014·山东卷] 函数f(x)＝定义域( )
A．(02) B．(02]
C．(2＋∞) D．[2＋∞)
3．C [解析] 函数f(x)意义log2x－1＞0∴log2x＞1∴x＞2
4．[2014·山东卷] 反证法证明命题设ab实数方程x2＋ax＋b＝0少实根时做假设( )
A．方程x2＋ax＋b＝0没实根
B．方程x2＋ax＋b＝0实根
C．方程x2＋ax＋b＝0两实根
D．方程x2＋ax＋b＝0恰两实根
4．A [解析] 方程x2＋ax＋b＝0少实根等价方程x2＋ax＋b＝0实根两实根该命题否定方程x2＋ax＋b＝0没实根．选A
5．[2014·山东卷] 已知实数xy满足ax
B．sin x>sin y
C．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
D>
5．A [解析] ax＜ay(0＜a＜1)x＞yx3>y3恒成立．选A
6．[2014·山东卷] 已知函数y＝loga(x＋c)(ac常数中a>0a≠1)图图11示列结成立( )
图11
A．a>1x>1 B．a>10
1∵图x轴交点区间(01)间∴该函数图函数y＝logax图左移1单位∴0＜c＜1
7．[2014·山东卷] 已知量a＝(1)b＝(3m)量ab夹角实数m＝( )
A．2 B
C．0 D．－
7．B [解析] 题意cos ＝＝＝解m＝
8．[2014·山东卷] 研究某药品疗效选取干名志愿者进行床试验志愿者舒张压数(单位：kPa)分组区间[1213)[1314)[1415)[1516)[1617]．左右序分编号第组第二组……第五组图12根试验数制成频率分布直方图已知第组第二组20第三组中没疗效6第三组中疗效数( )
图12
A．6 B．8 C．12 D．18
8．C [解析] 第组第二组20根图知第组第二组频率024∶016＝3∶2第组数20×＝12第组第三组频率024∶036＝2∶3 第三组 12÷＝18．第三组中没疗效数6第三组中疗效数18－6＝12
9．[2014·山东卷] 函数f(x)存常数a≠0x取定义域值f(x)＝f(2a－x)称f(x)准偶函数列函数中准偶函数( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2
C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)
9．D [解析] f(x)＝f(2a－x)函数f(x)图关x＝a称．A选项中函数f(x)＝没称性B选项中函数f(x)＝x2关y轴称a≠0矛盾C选项中函数f(x)＝tan x没称性D选项中函数f(x)＝cos(x＋1)图函数g(x)＝cos x图左移单位函数g(x)＝cos x图关x＝kπ(k∈Z)称函数f(x)＝cos(x＋1)图关x＝kπ－1(k∈Z)称．选D
10．[2014·山东卷] 已知xy满足约束条件 目标函数z＝ax＋by(a>0b>0)该约束条件取值2时a2＋b2值( )
A．5 B．4
C D．2
10．B [解析] 画出关xy等式组表示行域图阴影部分示．
显然目标函数z＝ax＋by点A(21)时目标函数z＝ax＋by取值2＝2a＋b2－2a＝ba2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝5a2－8a＋20构造函数m(a)＝5a2－8a＋20(0
图13
11．3 [解析] x＝1满足等式执行循环x＝2n＝1x＝2满足等式执行循环x＝3n＝2x＝3满足等式执行循环x＝4n＝3x＝4满足等式结束循环输出n＝3
12．[2014·山东卷] 函数y＝sin 2x＋cos2x正周期________．
12．π [解析] y＝sin 2x＋＝
sin＋该函数正周期T＝＝π
13．[2014·山东卷] 六棱锥体积2底面边长2正六边形侧棱长相等该六棱锥侧面积________．
13．12 [解析] 设该六棱锥高h根体积公式V＝××2××6×h解h＝1侧面三角形高＝2侧面积S＝×2×2×6＝12
14．[2014·山东卷] 圆心直线x－2y＝0圆Cy轴正半轴相切圆C截x轴弦长2圆C标准方程________．
14．(x－2)2＋(y－1)2＝4 [解析] 圆心直线x－2y＝0设圆心坐标(2bb)．圆Cy轴正半轴相切b>0圆半径2b勾股定理b2＋()2＝4b2解b＝±1b>0b＝1圆C圆心坐标(21)半径2圆C标准方程(x－2)2＋(y－1)2＝4
15．[2014·山东卷] 已知双曲线－＝1(a>0b>0)焦距2c右顶点A抛物线x2＝2py(p>0)焦点F双曲线截抛物线准线线段长2c|FA|＝c双曲线渐线方程________．
15．y＝±x [解析] 题意知抛物线焦点F准线方程y＝－|FA|＝c＋a2＝c2＝b2联立消yx＝±x＝±a双曲线截抛物线准线线段长2c2a＝2ca＝cb＝a双曲线渐线方程y＝±x
16．[2014·山东卷] 海关时ABC三区进口某种商品进行抽样检测区进口种商品数量(单位：件)表示．工作员分层抽样方法商品中抽取6件样品进行检测．
区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求6件样品中ABC区商品数量
(2)6件样品中机抽取2件送甲机构进行进步检测求2件商品相区概率．
16．解：(1)样容量总体中体数
＝样中包含三区体数量分：50×＝1150×＝3100×＝2
ABC三区商品选取件数分132
(2)设6件ABC三区样品分：AB1B2B3C1C2抽取2件商品构成基事件：
{AB1}{AB2}{AB3}{AC1}{AC2}{B1B2}{B1B3}{B1C1}{B1C2}{B2B3}{B2C1}{B2C2}{B3C1}{B3C2}{C1C2}15．
样品抽机会均等基事件出现等．
记事件D抽取2件商品相区
事件D包含基事件{B1B2}{B1B3}{B2B3}{C1C2}4．
P(D)＝2件商品相区概率
17．[2014·山东卷] △ABC中角ABC边分abc已知a＝3cos A＝B＝A＋
(1)求b值
(2)求△ABC面积．
17．解：(1)△ABC中
题意知sin A＝＝
B＝A＋
sin B＝sin＝cos A＝
正弦定理b＝＝＝3
(2)B＝A＋cos B＝cos＝－sin A＝－
A＋B＋C＝πC＝π－(A＋B)
sin C＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×
＝
△ABC面积S＝absin C＝×3×3×＝
18．[2014·山东卷] 图14示四棱锥PABCD中AP⊥面PCDAD∥BCAB＝BC＝ADEF分线段ADPC中点．
图14
(1)求证：AP∥面BEF
(2)求证：BE⊥面PAC
18．证明：(1)设AC∩BE＝O连接OFECEAD中点
AB＝BC＝ADAD∥BC
AE∥BCAE＝AB＝BC
OAC中点．
△PAC中FPC中点AP∥OF
OF⊂面BEFAP⊄面BEF
AP∥面BEF
(2)题意知ED∥BCED＝BC
四边形BCDE行四边形
BE∥CD
AP⊥面PCD
AP⊥CDAP⊥BE
四边形ABCE菱形
BE⊥AC
AP∩AC＝AAPAC⊂面PAC
BE⊥面PAC
19．[2014·山东卷] 等差数列{an}中已知公差d＝2a2a1a4等中项．
(1)求数列{an}通项公式
(2)设bn＝a记Tm＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn求Tn
19．解：(1)题意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)
(a1＋2)2＝a1(a1＋6)解a1＝2
数列{an}通项公式an＝2n
(2)题意知bn＝a＝n(n＋1)
Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn×(n＋1)．
bn＋1－bn＝2(n＋1)
n偶数时
Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1＋bn)
＝4＋8＋12＋…＋2n
＝
＝
n奇数时
Tn＝Tn－1＋(－bn)
＝－n(n＋1)
＝－
Tn＝
20．[2014·山东卷] 设函数f(x)＝aln x＋中a常数．
(1)a＝0求曲线y＝f(x)点(1f(1))处切线方程
(2)讨函数f(x)单调性．
20．解：(1)题意知a＝0时f(x)＝x∈(0＋∞)．
时f′(x)＝f′(1)＝
f(1)＝0曲线y＝f(x)(1f(1))处切线方程x－2y－1＝0
(2)函数f(x)定义域(0＋∞)．
f′(x)＝＋＝
a≥0时f′(x)＞0函数f(x)(0＋∞)单调递增．
a＜0时令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a
Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)
①a＝－时Δ＝0
f′(x)＝≤0函数f(x)(0＋∞)单调递减．
②a＜－时Δ＜0g(x)＜0
f′(x)＜0函数f(x)(0＋∞)单调递减．
③－＜a＜0时Δ＞0
设x1x2(x1＜x2)函数g(x)两零点
x1＝
x2＝
x1＝
＝＞0
x∈(0x1)时g(x)＜0f′(x)＜0函数f(x)单调递减
x∈(x1x2)时g(x)＞0f′(x)＞0函数f(x)单调递增
x∈(x2＋∞)时g(x)＜0f′(x)＜0函数f(x)单调递减．
综a≥0时函数f(x)(0＋∞)单调递增a≤－时函数f(x)(0＋∞)单调递减－＜a<0时f(x)单调递减
单调递增．
21．[2014·山东卷] 面直角坐标系xOy中椭圆C：＋＝1(a>b>0)离心率
直线y＝x椭圆C截线段长
(1)求椭圆C方程．
(2)原点直线椭圆C交AB两点(AB椭圆C顶点)．点D椭圆CAD⊥AB直线BDx轴y轴分交MN两点．
(i)设直线BDAM斜率分k1k2证明存常数λk1＝λk2求出λ值
(ii)求△OMN面积值．
21．解：(1)题意知＝a2＝4b2
椭圆C方程简化x2＋4y2＝a2
y＝x代入x＝±
×＝a＝2b＝1
椭圆C方程＋y2＝1
(2)(i)设A(x1y1)(x1y1≠0)D(x2y2)B(－x1－y1)．
直线AB斜率kAB＝AB⊥AD
直线AD斜率k＝－
设直线AD方程y＝kx＋m
题意知k≠0m≠0
消y(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0
x1＋x2＝－
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝
题意知x1≠－x2
k1＝＝－＝
直线BD方程y＋y1＝(x＋x1)．
令y＝0x＝3x1M(3x10)．
k2＝－
k1＝－k2λ＝－
存常数λ＝－结成立．
(ii)直线BD方程y＋y1＝(x＋x1)
令x＝0y＝－y1N
(i)知M(3x10)
△OMN面积S＝×3|x1|×|y1|＝
|x1||y1|
|x1||y1|≤＋y＝1仅＝|y1|＝时等号成立
时S取值
△OMN面积值
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