绝密★科目考试启前
2019年普通高等学校招生全国统考试（北京卷）
文科数学
试卷5页150分考试时长120分钟考生务必答案答答题卡试卷作答效考试结束试卷答题卡交回
第部分（选择题 40分）
选择题8题题5分40分题列出四选项中选出符合题目求项
1已知集合A{x|–11}A∪B
A （–11） B （12） C （–1+∞） D （1+∞）
答案C
解析
分析
根集求法直接求出结果
详解∵
∴
选C
点睛考查集求法属基础题
2已知复数z2+i
A B C 3 D 5
答案D
解析
分析
题先求然根复数法运算法
详解∵ 选D
点睛容易题注重基础知识基计算力考查
3列函数中区间（0+）单调递增
A B y C D
答案A
解析
分析
根函数图性质出结果
详解函数
区间 单调递减
函数 区间单调递增选A
点睛题考查简单指数函数数函数幂函数单调性注重重知识基础知识考查蕴含数形结合思想属容易题
4执行图示程序框图输出s值
A 1 B 2 C 3 D 4
答案B
解析
分析
根程序框图中条件逐次运算
详解运行第次
运行第二次
运行第三次
结束循环输出 选B
点睛题考查程序框图属容易题注重基础知识基运算力考查
5已知双曲线（a＞0）离心率 a
A B 4 C 2 D
答案D
解析
分析
题根根双曲线离心率定义列关A方程求解
详解分析：详解： ∵双曲线离心率
∴
解
选D
点睛双曲线基础知识基计算力考查
6设函数f（x）cosx+bsinx（b常数）b0f（x）偶函数
A 充分必条件 B 必充分条件
C 充分必条件 D 充分必条件
答案C
解析
分析
根定义域R函数偶函数等价进行判断
详解 时 偶函数
偶函数时意恒成立
意恒成立偶函数充分必条件选C
点睛题较易注重重知识基础知识逻辑推理力考查
7天文学中天体明暗程度星等亮度描述两颗星星等亮度满足中星等m1星亮度E2（k12）已知太阳星等–267天狼星星等–145太阳天狼星亮度值
A 10101 B 101 C lg101 D
答案D
解析
分析
先求出然数式换指数式求求
详解两颗星星等亮度满足
令
选D
点睛考查考生数学应意识信息处理力阅读理解力指数数运算
8图AB半径2圆周定点P圆周动点锐角β图中阴影区域面积值
A 4β+4cosβ B 4β+4sinβ C 2β+2cosβ D 2β+2sinβ
答案B
解析
分析
阴影部分面积SS△PAB+ S1 S△OAB中S1 S△OAB值定值仅S△PAB取值时阴影部分面积S取值
详解观察图象知P弧AB中点时阴影部分面积S取值
时∠BOP∠AOPπβ 面积S值βr2+S△POB+ S△POA4β+|OP||OB|sin（πβ）+|OP||OA|Sin（πβ）4β+2Sinβ+2Sinβ4β+4 Sinβ选B
点睛题考查阅读理解力数学应意识数形结合思想数学式子变形运算求解力定难度关键观察分析区域面积时状态面积边角等表示
第二部分（非选择题 110分）
二填空题6题题5分30分
9已知量（－43）（6m）m__________
答案8
解析
分析
利转化加计算
详解量
点睛题考查面量坐标运算面量数量积面量垂直转化化思想应属容易题
10xy满足 值__________值__________
答案 (1) (2) 1
解析
分析
作出行域移动目标函数表示直线利图解法求解
详解作出行域图阴影部分示
设zyxyx+z直线l0：yx+z点A（21）时z取值3点B（23）时z取值1
点睛题简单线性规划问题基题型根画移解等步骤解题目难度题注重基础知识基技考查
11设抛物线y24x焦点F准线lF圆心l相切圆方程__________．
答案(x1)2+y24
解析
分析
抛物线方程焦点坐标圆心焦点准线距离半径进求结果
详解抛物线y24x中2P4P2
焦点F（10）准线l方程x1
F圆心
l相切圆方程 (x1)2+y222(x1)2+y24
点睛题采数形结合法画出图形容易求出结果
12某体正方体掉四棱柱三视图图示．果网格纸正方形边长1该体体积__________．
答案40
解析
分析
画出三视图应体应割补法求体体积
详解正方体中原该体图示
体体积V43（2+4）×2×440
点睛易错点二正确原体二计算体积误避免出错应注重观察细心算
13已知lm面外两条直线．出列三断：
①l⊥m②m∥③l⊥．
中两断作条件余断作结写出正确命题：__________．
答案果l⊥αm∥αl⊥m
解析
分析
断分作条件结加分析
详解断分作条件结三命题：
（1）果l⊥αm∥αl⊥m 正确
（2）果l⊥αl⊥mm∥α正确m面α
（3）果l⊥mm∥αl⊥α正确lα斜交l∥α
点睛题考查空间线面位置关系命题逻辑推理力空间想象力
14李明创业网营家水果店销售水果中草莓京白梨西瓜桃价格次60元盒65元盒80元盒90元盒．增加销量李明四种水果进行促销：次购买水果总价达120元顾客少付x元．笔订单顾客网支付成功李明会支付款80．
①x10时顾客次购买草莓西瓜1盒需支付__________元
②促销活动中保证李明笔订单金额均低促销前总价七折x值__________．
答案 (1) 130 (2) 15
解析
分析
（1）购买草莓西瓜加钱120进行较根促销规结果
（2）根分探究
详解（1）x10顾客次购买草莓西瓜盒
需支付（60+80）10130元
（2）设顾客次购买水果促销前总价y元
元时李明金额y×80符合求
元时（yx）×80≥y×70成立
8（yx）≥7yx≤x≤（）min15元
x值15
点睛题考查等式概念性质数学应意识数学式子变形运算求解力定难度
三解答题6题80分解答应写出文字说明演算步骤证明程
15△ABC中a3cosB．
（Ⅰ）求bc值
（Ⅱ）求sin（B+C）值．
答案（Ⅰ）
（Ⅱ）
解析
分析
(Ⅰ)题意列出关abc方程组求解方程组确定bc值
(Ⅱ)题意结合余弦定理角三角函数基关系诱导公式值
详解（Ⅰ）余弦定理
解
（Ⅱ）（Ⅰ）知
角
点睛题考查余弦定理应角三角函数基关系诱导公式应等知识意考查学生转化力计算求解力
16设{an}等差数列a1–10a2+10a3+8a4+6成等数列．
（Ⅰ）求{an}通项公式
（Ⅱ）记{an}前n项Sn求Sn值．
答案（Ⅰ）
（Ⅱ）者时取值
解析
分析
(Ⅰ)题意首先求数列公差然利等差数列通项公式通项公式
(Ⅱ)首先求表达式然结合二次函数性质值
详解（Ⅰ）设等差数列公差
成等数列
解
（Ⅱ）（Ⅰ）知
者时取值
点睛等差数列基量求解等差数列中类基问题解决类问题关键熟练掌握等差数列关公式灵活运
17改革开放支付方式发生巨转变．年移动支付已成支付方式．解某校学生月AB两种移动支付方式情况全校1000名学生中机抽取100发现样中AB两种支付方式5样中仅A仅B学生支付金额分布情况：
支付金额
支付方式
2000元
2000元
仅A
27
3
仅B
24
1
（Ⅰ）估计该校学生中月AB两种支付方式数
（Ⅱ）样仅B学生中机抽取1求该学生月支付金额2000元概率
（Ⅲ）已知月样学生支付方式月没变化．现样仅B学生中机抽查1发现月支付金额2000元．结合（Ⅱ）结果否认样仅B学生中月支付金额2000元数变化？说明理．
答案（Ⅰ）400
（Ⅱ）
（Ⅲ）见解析
解析
分析
(Ⅰ)题意利频率似概率满足题意数
(Ⅱ)利古典概型计算公式月支付金额2000元概率
(Ⅲ)结合概率统计相关定义出结
详解（Ⅰ）图表知仅A数30仅B数25
题意知AB两种支付方式5
样中两种支付方式
全校学生中两种支付方式（）
（Ⅱ）样中仅B学生251支付金额2000元
该学生月支付金额2000元概率
（Ⅲ）（Ⅱ）知支付金额2000元概率
仅B学生中机调查1发现月支付金额2000元
概率事件次试验中发生认仅B学生中月支付金额2000元数变化月
点睛题考查古典概型概率公式应概率定义应等知识意考查学生转化力计算求解力
18图四棱锥中面ABCD底部ABCD菱形ECD中点
（Ⅰ）求证：BD⊥面PAC
（Ⅱ）∠ABC60°求证：面PAB⊥面PAE
（Ⅲ）棱PB否存点FCF∥面PAE？说明理
答案（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）见解析
（Ⅲ）见解析
解析
分析
(Ⅰ)题意利线面垂直判定定理证题中结
(Ⅱ)体空间结构特征首先证线面垂直然利面面垂直判断定理面面垂直
(Ⅲ)题意利行四边形性质线面行判定定理找满足题意点
详解（Ⅰ）证明：面
底面菱形
面
面
（Ⅱ）证明：底面菱形正三角形
面面
面
面面面
（Ⅲ）存点中点时满足面理
分取中点连接
三角形中
菱形中中点四边形行四边形
面面面
点睛题考查线面垂直判定定理面面垂直判定定理立体中探索问题等知识意考查学生转化力计算求解力
19已知椭圆右焦点点
（Ⅰ）求椭圆C方程
（Ⅱ）设O原点直线椭圆C交两点PQ直线APx轴交点M直线AQx轴交点N|OM|·|ON|2求证：直线l定点
答案（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析
解析
分析
(Ⅰ)题意确定ab值确定椭圆方程
(Ⅱ)设出直线方程联立直线方程椭圆方程确定OMON表达式结合韦达定理确定t值证明直线恒定点
详解（Ⅰ）椭圆右焦点
椭圆点椭圆方程
（Ⅱ）设
联立
直线令
理
解直线方程直线恒定点
点睛解决直线椭圆综合问题时注意：
(1)注意观察应题设中条件明确确定直线椭圆条件
(2)强化关直线椭圆联立出元二次方程运算力重视根系数间关系弦长斜率三角形面积等问题．
20已知函数
（Ⅰ）求曲线斜率1切线方程
（Ⅱ）时求证：
（Ⅲ）设记区间值M（a）M（a）时求a值．
答案（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析
（Ⅲ）
解析
分析
(Ⅰ)首先求解导函数然利导函数求切点横坐标求切点坐标确定切线方程
(Ⅱ)题意分证证题中结
(Ⅲ)题意结合(Ⅱ)中结分类讨求a值
详解（Ⅰ）令者
时时切线方程
时时切线方程
综求切线方程
（Ⅱ）设令者时增函数时减函数时增函数
理令求值综
（Ⅲ）（Ⅱ）知
中较者
时
时
时时
点睛题考查利导函数研究函数切线方程利导函数证明等式方法分类讨数学思想等知识意考查学生转化力计算求解力
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2019年普通高等学校招生全国统考试（北京卷）
文科数学
试卷5页150分考试时长120分钟考生务必答案答答题卡试卷作答效考试结束试卷答题卡交回
第部分（选择题 40分）
选择题8题题5分40分题列出四选项中选出符合题目求项
1已知集合A{x|–1
A （–11） B （12） C （–1+∞） D （1+∞）
答案C
解析
分析
根集求法直接求出结果
详解∵
∴
选C
点睛考查集求法属基础题
2已知复数z2+i
A B C 3 D 5
答案D
解析
分析
题先求然根复数法运算法
详解∵ 选D
点睛容易题注重基础知识基计算力考查
3列函数中区间（0+）单调递增
A B y C D
答案A
解析
分析
根函数图性质出结果
详解函数
区间 单调递减
函数 区间单调递增选A
点睛题考查简单指数函数数函数幂函数单调性注重重知识基础知识考查蕴含数形结合思想属容易题
4执行图示程序框图输出s值
A 1 B 2 C 3 D 4
答案B
解析
分析
根程序框图中条件逐次运算
详解运行第次
运行第二次
运行第三次
结束循环输出 选B
点睛题考查程序框图属容易题注重基础知识基运算力考查
5已知双曲线（a＞0）离心率 a
A B 4 C 2 D
答案D
解析
分析
题根根双曲线离心率定义列关A方程求解
详解分析：详解： ∵双曲线离心率
∴
解
选D
点睛双曲线基础知识基计算力考查
6设函数f（x）cosx+bsinx（b常数）b0f（x）偶函数
A 充分必条件 B 必充分条件
C 充分必条件 D 充分必条件
答案C
解析
分析
根定义域R函数偶函数等价进行判断
详解 时 偶函数
偶函数时意恒成立
意恒成立偶函数充分必条件选C
点睛题较易注重重知识基础知识逻辑推理力考查
7天文学中天体明暗程度星等亮度描述两颗星星等亮度满足中星等m1星亮度E2（k12）已知太阳星等–267天狼星星等–145太阳天狼星亮度值
A 10101 B 101 C lg101 D
答案D
解析
分析
先求出然数式换指数式求求
详解两颗星星等亮度满足
令
选D
点睛考查考生数学应意识信息处理力阅读理解力指数数运算
8图AB半径2圆周定点P圆周动点锐角β图中阴影区域面积值
A 4β+4cosβ B 4β+4sinβ C 2β+2cosβ D 2β+2sinβ
答案B
解析
分析
阴影部分面积SS△PAB+ S1 S△OAB中S1 S△OAB值定值仅S△PAB取值时阴影部分面积S取值
详解观察图象知P弧AB中点时阴影部分面积S取值
时∠BOP∠AOPπβ 面积S值βr2+S△POB+ S△POA4β+|OP||OB|sin（πβ）+|OP||OA|Sin（πβ）4β+2Sinβ+2Sinβ4β+4 Sinβ选B
点睛题考查阅读理解力数学应意识数形结合思想数学式子变形运算求解力定难度关键观察分析区域面积时状态面积边角等表示
第二部分（非选择题 110分）
二填空题6题题5分30分
9已知量（－43）（6m）m__________
答案8
解析
分析
利转化加计算
详解量
点睛题考查面量坐标运算面量数量积面量垂直转化化思想应属容易题
10xy满足 值__________值__________
答案 (1) (2) 1
解析
分析
作出行域移动目标函数表示直线利图解法求解
详解作出行域图阴影部分示
设zyxyx+z直线l0：yx+z点A（21）时z取值3点B（23）时z取值1
点睛题简单线性规划问题基题型根画移解等步骤解题目难度题注重基础知识基技考查
11设抛物线y24x焦点F准线lF圆心l相切圆方程__________．
答案(x1)2+y24
解析
分析
抛物线方程焦点坐标圆心焦点准线距离半径进求结果
详解抛物线y24x中2P4P2
焦点F（10）准线l方程x1
F圆心
l相切圆方程 (x1)2+y222(x1)2+y24
点睛题采数形结合法画出图形容易求出结果
12某体正方体掉四棱柱三视图图示．果网格纸正方形边长1该体体积__________．
答案40
解析
分析
画出三视图应体应割补法求体体积
详解正方体中原该体图示
体体积V43（2+4）×2×440
点睛易错点二正确原体二计算体积误避免出错应注重观察细心算
13已知lm面外两条直线．出列三断：
①l⊥m②m∥③l⊥．
中两断作条件余断作结写出正确命题：__________．
答案果l⊥αm∥αl⊥m
解析
分析
断分作条件结加分析
详解断分作条件结三命题：
（1）果l⊥αm∥αl⊥m 正确
（2）果l⊥αl⊥mm∥α正确m面α
（3）果l⊥mm∥αl⊥α正确lα斜交l∥α
点睛题考查空间线面位置关系命题逻辑推理力空间想象力
14李明创业网营家水果店销售水果中草莓京白梨西瓜桃价格次60元盒65元盒80元盒90元盒．增加销量李明四种水果进行促销：次购买水果总价达120元顾客少付x元．笔订单顾客网支付成功李明会支付款80．
①x10时顾客次购买草莓西瓜1盒需支付__________元
②促销活动中保证李明笔订单金额均低促销前总价七折x值__________．
答案 (1) 130 (2) 15
解析
分析
（1）购买草莓西瓜加钱120进行较根促销规结果
（2）根分探究
详解（1）x10顾客次购买草莓西瓜盒
需支付（60+80）10130元
（2）设顾客次购买水果促销前总价y元
元时李明金额y×80符合求
元时（yx）×80≥y×70成立
8（yx）≥7yx≤x≤（）min15元
x值15
点睛题考查等式概念性质数学应意识数学式子变形运算求解力定难度
三解答题6题80分解答应写出文字说明演算步骤证明程
15△ABC中a3cosB．
（Ⅰ）求bc值
（Ⅱ）求sin（B+C）值．
答案（Ⅰ）
（Ⅱ）
解析
分析
(Ⅰ)题意列出关abc方程组求解方程组确定bc值
(Ⅱ)题意结合余弦定理角三角函数基关系诱导公式值
详解（Ⅰ）余弦定理
解
（Ⅱ）（Ⅰ）知
角
点睛题考查余弦定理应角三角函数基关系诱导公式应等知识意考查学生转化力计算求解力
16设{an}等差数列a1–10a2+10a3+8a4+6成等数列．
（Ⅰ）求{an}通项公式
（Ⅱ）记{an}前n项Sn求Sn值．
答案（Ⅰ）
（Ⅱ）者时取值
解析
分析
(Ⅰ)题意首先求数列公差然利等差数列通项公式通项公式
(Ⅱ)首先求表达式然结合二次函数性质值
详解（Ⅰ）设等差数列公差
成等数列
解
（Ⅱ）（Ⅰ）知
者时取值
点睛等差数列基量求解等差数列中类基问题解决类问题关键熟练掌握等差数列关公式灵活运
17改革开放支付方式发生巨转变．年移动支付已成支付方式．解某校学生月AB两种移动支付方式情况全校1000名学生中机抽取100发现样中AB两种支付方式5样中仅A仅B学生支付金额分布情况：
支付金额
支付方式
2000元
2000元
仅A
27
3
仅B
24
1
（Ⅰ）估计该校学生中月AB两种支付方式数
（Ⅱ）样仅B学生中机抽取1求该学生月支付金额2000元概率
（Ⅲ）已知月样学生支付方式月没变化．现样仅B学生中机抽查1发现月支付金额2000元．结合（Ⅱ）结果否认样仅B学生中月支付金额2000元数变化？说明理．
答案（Ⅰ）400
（Ⅱ）
（Ⅲ）见解析
解析
分析
(Ⅰ)题意利频率似概率满足题意数
(Ⅱ)利古典概型计算公式月支付金额2000元概率
(Ⅲ)结合概率统计相关定义出结
详解（Ⅰ）图表知仅A数30仅B数25
题意知AB两种支付方式5
样中两种支付方式
全校学生中两种支付方式（）
（Ⅱ）样中仅B学生251支付金额2000元
该学生月支付金额2000元概率
（Ⅲ）（Ⅱ）知支付金额2000元概率
仅B学生中机调查1发现月支付金额2000元
概率事件次试验中发生认仅B学生中月支付金额2000元数变化月
点睛题考查古典概型概率公式应概率定义应等知识意考查学生转化力计算求解力
18图四棱锥中面ABCD底部ABCD菱形ECD中点
（Ⅰ）求证：BD⊥面PAC
（Ⅱ）∠ABC60°求证：面PAB⊥面PAE
（Ⅲ）棱PB否存点FCF∥面PAE？说明理
答案（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）见解析
（Ⅲ）见解析
解析
分析
(Ⅰ)题意利线面垂直判定定理证题中结
(Ⅱ)体空间结构特征首先证线面垂直然利面面垂直判断定理面面垂直
(Ⅲ)题意利行四边形性质线面行判定定理找满足题意点
详解（Ⅰ）证明：面
底面菱形
面
面
（Ⅱ）证明：底面菱形正三角形
面面
面
面面面
（Ⅲ）存点中点时满足面理
分取中点连接
三角形中
菱形中中点四边形行四边形
面面面
点睛题考查线面垂直判定定理面面垂直判定定理立体中探索问题等知识意考查学生转化力计算求解力
19已知椭圆右焦点点
（Ⅰ）求椭圆C方程
（Ⅱ）设O原点直线椭圆C交两点PQ直线APx轴交点M直线AQx轴交点N|OM|·|ON|2求证：直线l定点
答案（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析
解析
分析
(Ⅰ)题意确定ab值确定椭圆方程
(Ⅱ)设出直线方程联立直线方程椭圆方程确定OMON表达式结合韦达定理确定t值证明直线恒定点
详解（Ⅰ）椭圆右焦点
椭圆点椭圆方程
（Ⅱ）设
联立
直线令
理
解直线方程直线恒定点
点睛解决直线椭圆综合问题时注意：
(1)注意观察应题设中条件明确确定直线椭圆条件
(2)强化关直线椭圆联立出元二次方程运算力重视根系数间关系弦长斜率三角形面积等问题．
20已知函数
（Ⅰ）求曲线斜率1切线方程
（Ⅱ）时求证：
（Ⅲ）设记区间值M（a）M（a）时求a值．
答案（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析
（Ⅲ）
解析
分析
(Ⅰ)首先求解导函数然利导函数求切点横坐标求切点坐标确定切线方程
(Ⅱ)题意分证证题中结
(Ⅲ)题意结合(Ⅱ)中结分类讨求a值
详解（Ⅰ）令者
时时切线方程
时时切线方程
综求切线方程
（Ⅱ）设令者时增函数时减函数时增函数
理令求值综
（Ⅲ）（Ⅱ）知
中较者
时
时
时时
点睛题考查利导函数研究函数切线方程利导函数证明等式方法分类讨数学思想等知识意考查学生转化力计算求解力
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