2010年全国统高考数学试卷（文科）（新课标）
选择题：题12题题5分题出四选项中项符合题目求．
1．（5分）已知集合A{x||x|≤2x∈R}B{x|≤4x∈Z}A∩B（ ）
A．（02） B．[02] C．{02} D．{012}
2．（5分）面量已知（43）（318）夹角余弦值等（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）已知复数Z|z|（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（5分）曲线yx3﹣2x+1点（10）处切线方程（ ）
A．yx﹣1 B．y﹣x+1 C．y2x﹣2 D．y﹣2x+2
5．（5分）中心原点焦点x轴双曲线条渐线点（42）离心率（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）图质点P半径2圆周逆时针运动初始位置P0（﹣）角速度1点Px轴距离d关时间t函数图象致（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）设长方体长宽高分2aaa顶点球面该球表面积（ ）
A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2
8．（5分）果执行图框图输入N5输出数等（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）2x﹣4（x≥0）{x|f（x﹣2）＞0}（ ）
A．{x|x＜﹣2x＞4} B．{x|x＜0x＞4} C．{x|x＜0x＞6} D．{x|x＜﹣2x＞2}
10．（5分）cos α﹣α第三象限角sin（α+）（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知▱ABCD三顶点A（﹣12）B（34）C（4﹣2）点（xy）▱ABCD部z2x﹣5y取值范围（ ）
A．（﹣1416） B．（﹣1420） C．（﹣1218） D．（﹣1220）
12．（5分）已知函数abc互相等f（a）f（b）f（c）abc取值范围（ ）
A．（110） B．（56） C．（1012） D．（2024）
二填空题：题4题题5分．
13．（5分）圆心原点直线x+y﹣20相切圆方程 ．
14．（5分）设函数yf（x）区间（01]图象连续断条曲线恒0≤f（x）≤1机模拟方法计算曲线yf（x）直线x0x1y0围成部分面积S先产生两组（组N）区间（01]均匀机数x1x2…xny1y2…ynN点（xy）（i﹣12…N）．数出中满足y1≤f（x）（i12…N）点数N1机模拟方法S似值 ．
15．（5分）体正视图三角形体列体中 （填入体前编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．
16．（5分）△ABC中DBC边点BC3BDAD∠ADB135°．ACABBD ．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17．（10分）设等差数列{an}满足a35a10﹣9．
（Ⅰ）求{an}通项公式
（Ⅱ）求{an}前n项SnSn序号n值．
18．（10分）图已知四棱锥P﹣ABCD底面等腰梯形AB∥CDAC⊥BD垂足HPH四棱锥高．
（Ⅰ）证明：面PAC⊥面PBD
（Ⅱ）AB∠APB∠ADB60°求四棱锥P﹣ABCD体积．
19．（10分）调查某区老年否需志愿者提供帮助简单机抽样方法该区调查500位老年结果表：
性
否需志愿者
男
女
需
40
30
需
160
270
（1）估计该区老年中需志愿者提供帮助例
（2）否99握认该区老年否需志愿者提供帮助性关？
（3）根（2）结否提出更调查方法估计该区老年中需志愿者提供帮助老年例？说明理．
P（K2≥k）
0050
0010
0001
3841
6635
10828
附：K2．
20．（10分）设F1F2分椭圆E：x2+1（0＜b＜1）左右焦点F1直线lE相交AB两点|AF2||AB||BF2|成等差数列．
（Ⅰ）求|AB|
（Ⅱ）直线l斜率1求b值．
21．设函数f（x）x（ex﹣1）﹣ax2
（Ⅰ）a求f（x）单调区间
（Ⅱ）x≥0时f（x）≥0求a取值范围．
22．（10分）图：已知圆弧C点圆切线BA延长线交E点证明：
（Ⅰ）∠ACE∠BCD．
（Ⅱ）BC2BE•CD．
23．（10分）已知直线C1（t参数）C2（θ参数）
（Ⅰ）α时求C1C2交点坐标
（Ⅱ）坐标原点O做C1垂线垂足APOA中点α变化时求P点轨迹参数方程指出什曲线．
24．（10分）设函数f（x）|2x﹣4|+1．
（Ⅰ）画出函数yf（x）图象：
（Ⅱ）等式f（x）≤ax解集非空求a取值范围．
2010年全国统高考数学试卷（文科）（新课标）
参考答案试题解析
选择题：题12题题5分题出四选项中项符合题目求．
1．（5分）已知集合A{x||x|≤2x∈R}B{x|≤4x∈Z}A∩B（ ）
A．（02） B．[02] C．{02} D．{012}
考点1E：交集运算．菁优网版权
专题11：计算题．
分析题意A{x|﹣2≤x≤2}B{012345678910111213141516}求
解答解：∵A{x||x|≤2}{x|﹣2≤x≤2}
B{x|≤4x∈Z}{012345678910111213141516}
A∩B{012}
选：D．
点评题考查集合交集求解解题关键准确求解AB属基础试题
2．（5分）面量已知（43）（318）夹角余弦值等（ ）
A． B． C． D．
考点9S：数量积表示两量夹角．菁优网版权
分析先设出坐标根a（43）2a+b（318）求出坐标根数量积坐标公式变形公式求出两量夹角余弦
解答解：设（xy）
∵a（43）2a+b（318）
∴
∴cosθ
选：C．
点评题数量积变形公式求量夹角余弦值数量积应：①求模长②求夹角③判垂直实际数量积公式中做知三求．
3．（5分）已知复数Z|z|（ ）
A． B． C．1 D．2
考点A5：复数运算．菁优网版权
专题11：计算题．
分析复数代数形式运算化简Z复数模长公式答案．
解答解：化简Z•
••
|z|
选：B．
点评题考查复数代数形式运算涉复数模长属基础题．
4．（5分）曲线yx3﹣2x+1点（10）处切线方程（ ）
A．yx﹣1 B．y﹣x+1 C．y2x﹣2 D．y﹣2x+2
考点6H：利导数研究曲线某点切线方程．菁优网版权
专题1：常规题型11：计算题．
分析欲求点（10）处切线方程须求出斜率值先利导数求出x1处导函数值结合导数意义求出切线斜率．问题解决．
解答解：验证知点（10）曲线
∵yx3﹣2x+1
y′3x2﹣2ky′|x﹣11切线斜率1k1
曲线yf（x）点（10）处切线方程：
y﹣01×（x﹣1）yx﹣1．
选：A．
点评题考查直线斜率导数意义利导数研究曲线某点切线方程等基础知识考查运算求解力．属基础题．
5．（5分）中心原点焦点x轴双曲线条渐线点（42）离心率（ ）
A． B． C． D．
考点KC：双曲线性质．菁优网版权
专题11：计算题．
分析先求渐线斜率c2a2+b2求离心率．
解答解：∵渐线方程y±x
∴2•4a2b
cae
离心率．
选：D．
点评题考查双曲线性质．
6．（5分）图质点P半径2圆周逆时针运动初始位置P0（﹣）角速度1点Px轴距离d关时间t函数图象致（ ）
A． B．
C． D．
考点3A：函数图象图象变换．菁优网版权
分析题求解利排法根某具体时刻点P位置x轴距离确定答案．
解答解：通分析知t0时点Px轴距离d排答案AD
根时知点Px轴时点Px轴距离d0排答案B
选：C．
点评题考查函数图象排法应数形结合思想属基础题．
7．（5分）设长方体长宽高分2aaa顶点球面该球表面积（ ）
A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2
考点LG：球体积表面积．菁优网版权
专题11：计算题．
分析题考查知识点球体积表面积公式长方体长宽高分2aaa顶点球面长方体角线球直径球半径R满足（2R）26a2代入球表面积公式S球4πR2答案．
解答解：根题意球半径R满足
（2R）26a2
S球4πR26πa2．
选：B．
点评长方体外接球直径等长方体角线长．
8．（5分）果执行图框图输入N5输出数等（ ）
A． B． C． D．
考点EF：程序框图．菁优网版权
专题28：操作型．
分析分析程序中变量语句作根流程图示序知：该程序作累加输出S值．
解答解：分析程序中变量语句作
根流程图示序知：
该程序作累加输出S值．
∵S1﹣
选：D．
点评根流程图（伪代码）写程序运行结果算法模块重题型处理方法：：①分析流程图（伪代码）流程图（伪代码）中分析出计算类型分析出参计算数（果参运算数较表格数进行分析理）⇒②建立数学模型根第步分析结果选择恰数学模型③解模．
9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）2x﹣4（x≥0）{x|f（x﹣2）＞0}（ ）
A．{x|x＜﹣2x＞4} B．{x|x＜0x＞4} C．{x|x＜0x＞6} D．{x|x＜﹣2x＞2}
考点3K：函数奇偶性性质判断．菁优网版权
专题11：计算题．
分析偶函数f（x）满足f（x）2x﹣4（x≥0）f（x）f（|x|）2|x|﹣4根偶函数性质函数转化绝值函数求解等式答案．
解答解：偶函数f（x）满足f（x）2x﹣4（x≥0）f（x）f（|x|）2|x|﹣4
f（x﹣2）f（|x﹣2|）2|x﹣2|﹣4f（|x﹣2|）＞0需2|x﹣2|﹣4＞0|x﹣2|＞2
解x＞4x＜0．
应选：B．
点评题考查偶函数性质等式解法相应运算力解答题关键利偶函数性质函数转化绝值函数简化计算．
10．（5分）cos α﹣α第三象限角sin（α+）（ ）
A． B． C． D．
考点GG：角三角函数间基关系GP：两角差三角函数．菁优网版权
专题11：计算题．
分析根α象限角三角函数基关系求sinα值进利两角差正弦函数求答案．
解答解：∵α第三象限角
∴sinα﹣﹣sin（α+）sinαcos+cosαsin﹣﹣．
选：A．
点评题考查两角差正弦函数角三角函数基关系应．根角象限判断三角函数值正负做题程中需注意．
11．（5分）已知▱ABCD三顶点A（﹣12）B（34）C（4﹣2）点（xy）▱ABCD部z2x﹣5y取值范围（ ）
A．（﹣1416） B．（﹣1420） C．（﹣1218） D．（﹣1220）
考点7C：简单线性规划．菁优网版权
专题11：计算题16：压轴题．
分析根点坐标量坐标间关系利量相等求出顶点D坐标解决问题关键．结合线性规划知识移直线求出目标函数取值范围．
解答解：已知条件⇒D（0﹣4）
z2x﹣5yy移直线直线点B（34）时﹣
z取﹣14直线点D（0﹣4）时﹣z取20
点（xy）四边形部z∈（﹣1420）．
图：选B．
点评题考查行四边形顶点间关系量坐标点坐标间关系体现量工具作考查学生线性规划理解认识考查学生数形结合思想．属基题型．
12．（5分）已知函数abc互相等f（a）f（b）f（c）abc取值范围（ ）
A．（110） B．（56） C．（1012） D．（2024）
考点3A：函数图象图象变换3B：分段函数解析式求法图象作法4H：数运算性质4N：数函数图象性质．菁优网版权
专题13：作图题16：压轴题31：数形结合．
分析画出函数图象根f（a）f（b）f（c）妨a＜b＜c求出abc范围．
解答解：作出函数f（x）图象图
妨设a＜b＜c
ab1
abcc∈（1012）．
选：C．
点评题考查分段函数数运算性质利数形结合解决问题力．
二填空题：题4题题5分．
13．（5分）圆心原点直线x+y﹣20相切圆方程 x2+y22 ．
考点J1：圆标准方程J9：直线圆位置关系．菁优网版权
分析求圆圆心直线距离半径写出圆方程．
解答解：圆心直线距离：r求圆方程x2+y22．
答案：x2+y22
点评题考查圆标准方程直线圆位置关系基础题．
14．（5分）设函数yf（x）区间（01]图象连续断条曲线恒0≤f（x）≤1机模拟方法计算曲线yf（x）直线x0x1y0围成部分面积S先产生两组（组N）区间（01]均匀机数x1x2…xny1y2…ynN点（xy）（i﹣12…N）．数出中满足y1≤f（x）（i12…N）点数N1机模拟方法S似值 ．
考点CE：模拟方法估计概率CF：概型．菁优网版权
分析题意知题求∫01f（x）dx意义函数f（x）（中0≤f（x）≤1）图象x轴直线x0直线x1围成图形面积积分结果．
解答解：∵∫01f（x）dx意义函数f（x）（中0≤f（x）≤1）
图象x轴直线x0直线x1围成图形面积
∴根概型易知∫01f（x）dx≈．
答案：．
点评古典概型概型学两概型古典概型求够列举出事件发生事件数列举概型概型概率值通长度面积体积值．
15．（5分）体正视图三角形体列体中 ①②③⑤ （填入体前编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．
考点L7：简单空间图形三视图．菁优网版权
专题15：综合题16：压轴题．
分析体正视图三角形三视图正视图作法判断选项．
解答解：体正视图三角形显然①②⑤正确③三棱柱放倒时正确
④⑥样放置正视图会三角形
答案：①②③⑤
点评题考查简单体三视图考查空间想象力基础题．
16．（5分）△ABC中DBC边点BC3BDAD∠ADB135°．ACABBD 2+ ．
考点HR：余弦定理．菁优网版权
专题11：计算题16：压轴题．
分析先利余弦定理分表示出ABAC已知条件代入整理根BC3BD推断出CD2BD进整理 AC2CD2+2﹣2CD AC24BD2+2﹣4BDACAB代入整理联立方程消AB求BD方程求BD．
解答余弦定理求
AB2BD2+AD2﹣2AD•BDcos135°
AC2CD2+AD2﹣2AD•CDcos45°
AB2BD2+2+2BD ①AC2CD2+2﹣2CD ②
BC3BD
CD2BD
（2）AC24BD2+2﹣4BD（3）
ACAB
（3） 2AB24BD2+2﹣4BD （4）
（4）﹣2（1）
BD2﹣4BD﹣10
求 BD2+
答案：2+
点评题考查余弦定理应．考查学生创造性思维力基推理力．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17．（10分）设等差数列{an}满足a35a10﹣9．
（Ⅰ）求{an}通项公式
（Ⅱ）求{an}前n项SnSn序号n值．
考点84：等差数列通项公式85：等差数列前n项．菁优网版权
分析（1）设出首项公差根a35a10﹣9列出关首项公差二元次方程组解方程组首项公差写出通项．
（2）面首项公差写出数列{an}前n项整理成关n元二次函数二次项负数求出值．
解答解：（1）ana1+（n﹣1）da35a10﹣9
a1+9d﹣9a1+2d5
解d﹣2a19
数列{an}通项公式an11﹣2n
（2）（1）知Snna1+d10n﹣n2．
Sn﹣（n﹣5）2+25．
n5时Sn取值．
点评数列作定义域正整数集限子集函数变量次取值应列函数值具备函数特性．
18．（10分）图已知四棱锥P﹣ABCD底面等腰梯形AB∥CDAC⊥BD垂足HPH四棱锥高．
（Ⅰ）证明：面PAC⊥面PBD
（Ⅱ）AB∠APB∠ADB60°求四棱锥P﹣ABCD体积．
考点LF：棱柱棱锥棱台体积LY：面面垂直．菁优网版权
专题11：计算题14：证明题35：转化思想．
分析（Ⅰ）证面PAC⊥面PBD需证明面PAC直线AC垂直面PBD两条相交直线PHBD．
（Ⅱ）∠APB∠ADB60°计算等腰梯形ABCD面积PH棱锥高然求四棱锥P﹣ABCD体积．
解答解：
（1）PH四棱锥P﹣ABCD高．
AC⊥PHAC⊥BDPHBDPHDPH∩BDH．
AC⊥面PBD．
面PAC⊥面PBD（6分）
（2）ABCD等腰梯形AB∥CDAC⊥BDAB．
HAHB．
∠APB∠ADB60°
PAPBHDHC1．
PH．
等腰梯形ABCD面积SACxBD2+（9分）
四棱锥体积V×（2+）×．（12分）
点评题考查面面垂直判定棱柱棱锥棱台体积考查空间想象力计算力推理力中档题．
19．（10分）调查某区老年否需志愿者提供帮助简单机抽样方法该区调查500位老年结果表：
性
否需志愿者
男
女
需
40
30
需
160
270
（1）估计该区老年中需志愿者提供帮助例
（2）否99握认该区老年否需志愿者提供帮助性关？
（3）根（2）结否提出更调查方法估计该区老年中需志愿者提供帮助老年例？说明理．
P（K2≥k）
0050
0010
0001
3841
6635
10828
附：K2．
考点BL：独立性检验．菁优网版权
专题11：计算题5I：概率统计．
分析（1）样频率率估计总体概率
（2）求K2观测值查表结
（3）99握认该区老年否需志愿者提供帮助性关性分层抽样．
解答解：（1）调查500位老年中70位需志愿者提供帮助该区老年中需帮助老年例估计值
（2）K2观测值
9967＞6635P（K2≥6635）001
99握认该区老年否需志愿者提供帮助性关．
（3）根（2）结知该区老年否需志愿者提供帮助性关样数够出该区男性老年女性老年中需帮助例明显差异调查时先确定该区老年中男女例老年分成男女两层采取分层抽样方法简单机抽样方法更．
点评题考查抽样目独立性检验方法抽样方法选取属基础题．
20．（10分）设F1F2分椭圆E：x2+1（0＜b＜1）左右焦点F1直线lE相交AB两点|AF2||AB||BF2|成等差数列．
（Ⅰ）求|AB|
（Ⅱ）直线l斜率1求b值．
考点K4：椭圆性质．菁优网版权
专题15：综合题．
分析（1）椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|4|AF2||AB||BF2|成等差数列够求出|AB|值．
（2）L方程式yx+c中设A（x1y1）B（x1y1）AB两点坐标满足方程组化简（1+b2）x2+2cx+1﹣2b20．然结合题设条件根系数关系够求出b．
解答解：（1）椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|4
2|AB||AF2|+|BF2|
（2）L方程式yx+c中
设A（x1y1）B（x2y2）AB两点坐标满足方程组．
化简（1+b2）x2+2cx+1﹣2b20．
．
直线AB斜率1
．
．
解．
点评题综合考查椭圆性质运直线椭圆位置关系解题时注意公式灵活运．
21．设函数f（x）x（ex﹣1）﹣ax2
（Ⅰ）a求f（x）单调区间
（Ⅱ）x≥0时f（x）≥0求a取值范围．
考点6B：利导数研究函数单调性．菁优网版权
专题15：综合题53：导数综合应．
分析（I）求导函数导数正负函数单调区间
（II）f（x）x（ex﹣1﹣ax）令g（x）ex﹣1﹣ax分类讨确定g（x）正负求a取值范围．
解答解：（I）a时f（x）x（ex﹣1）﹣x2（ex﹣1）（x+1）
令f′（x）＞0x＜﹣1x＞0令f′（x）＜0﹣1＜x＜0
∴函数单调增区间（﹣∞﹣1）（0+∞）单调减区间（﹣10）
（II）f（x）x（ex﹣1﹣ax）．
令g（x）ex﹣1﹣axg＇（x）ex﹣a．
a≤1x∈（0+∞）时g＇（x）＞0g（x）增函数
g（0）0x≥0时g（x）≥0f（x）≥0．
a＞1x∈（0lna）时g＇（x）＜0g（x）减函数
g（0）0x∈（0lna）时g（x）＜0f（x）＜0．
综合a取值范围（﹣∞1]．
解：x0时f（x）0成立
x＞0ex﹣1﹣ax≥0a≤值
yex﹣x﹣1导数y′ex﹣1
x＞0时函数y递增x＜0时函数递减
函数y取值0ex﹣x﹣1≥0
x＞0时≥1
a≤1．
点评题考查导数知识运考查函数单调性考查分类讨数学思想属中档题．
22．（10分）图：已知圆弧C点圆切线BA延长线交E点证明：
（Ⅰ）∠ACE∠BCD．
（Ⅱ）BC2BE•CD．
考点N9：圆切线判定定理证明NB：弦切角．菁优网版权
专题14：证明题．
分析（I）先根题中条件：∠BCD∠ABC．根EC圆切线∠ACE∠ABC出结．
（II）欲证BC2BE x CD．证．须证明△BDC～△ECB．
解答解：（Ⅰ）
∠BCD∠ABC．
EC圆相切点C
∠ACE∠ABC
∠ACE∠BCD．（5分）
（Ⅱ）∠ECB∠CDB∠EBC∠BCD
△BDC～△ECB
．
BC2BE×CD．（10分）
点评题考查圆切线判定定理证明弦切角应三角形相似等基础知识考查运化转化思想．属基础题．
23．（10分）已知直线C1（t参数）C2（θ参数）
（Ⅰ）α时求C1C2交点坐标
（Ⅱ）坐标原点O做C1垂线垂足APOA中点α变化时求P点轨迹参数方程指出什曲线．
考点J3：轨迹方程JE：直线圆方程应Q4：简单曲线极坐标方程QJ：直线参数方程QK：圆参数方程．菁优网版权
专题15：综合题16：压轴题．
分析（I）先消参数曲线C1C2参数方程化成普通方程联立方程组求出交点坐标
（II）设P（xy）利中点坐标公式P点轨迹参数方程消参数普通方程普通方程出什类型曲线．
解答解：（Ⅰ）α时C1普通方程C2普通方程x2+y21．
联立方程组
解C1C2交点（10）．
（Ⅱ）C1普通方程xsinα﹣ycosα﹣sinα0①．
OA方程xcosα+ysinα0②
联立①②xsin2αy﹣cosαsinα
A点坐标（sin2α﹣cosαsinα）
α变化时P点轨迹参数方程：
P点轨迹普通方程．
P点轨迹圆心半径圆．
点评题考查直线圆参数方程参数方程普通方程互化利参数方程研究轨迹问题力．
24．（10分）设函数f（x）|2x﹣4|+1．
（Ⅰ）画出函数yf（x）图象：
（Ⅱ）等式f（x）≤ax解集非空求a取值范围．
考点3A：函数图象图象变换7E：等式解法R5：绝值等式解法．菁优网版权
专题11：计算题13：作图题16：压轴题．
分析（I）先讨x范围函数f（x）写成分段函数然根分段函数分段画出函数图象
（II）根函数yf（x）函数yax图象知先寻找满足f（x）≤ax零界情况求出a范围．
解答解：（Ⅰ）f（x）
函数yf（x）图象图示．
（Ⅱ）函数yf（x）函数yax图象知极值点（21）
仅a＜﹣2a≥时函数yf（x）函数yax图象交点．
等式f（x）≤ax解集非空时
a取值范围（﹣∞﹣2）∪[+∞）．
点评题考查函数图象利函数图象解等式时考查数形结合数学思想属基础题．
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选择题：题12题题5分题出四选项中项符合题目求．
1．（5分）已知集合A{x||x|≤2x∈R}B{x|≤4x∈Z}A∩B（ ）
A．（02） B．[02] C．{02} D．{012}
2．（5分）面量已知（43）（318）夹角余弦值等（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）已知复数Z|z|（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（5分）曲线yx3﹣2x+1点（10）处切线方程（ ）
A．yx﹣1 B．y﹣x+1 C．y2x﹣2 D．y﹣2x+2
5．（5分）中心原点焦点x轴双曲线条渐线点（42）离心率（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）图质点P半径2圆周逆时针运动初始位置P0（﹣）角速度1点Px轴距离d关时间t函数图象致（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）设长方体长宽高分2aaa顶点球面该球表面积（ ）
A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2
8．（5分）果执行图框图输入N5输出数等（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）2x﹣4（x≥0）{x|f（x﹣2）＞0}（ ）
A．{x|x＜﹣2x＞4} B．{x|x＜0x＞4} C．{x|x＜0x＞6} D．{x|x＜﹣2x＞2}
10．（5分）cos α﹣α第三象限角sin（α+）（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知▱ABCD三顶点A（﹣12）B（34）C（4﹣2）点（xy）▱ABCD部z2x﹣5y取值范围（ ）
A．（﹣1416） B．（﹣1420） C．（﹣1218） D．（﹣1220）
12．（5分）已知函数abc互相等f（a）f（b）f（c）abc取值范围（ ）
A．（110） B．（56） C．（1012） D．（2024）
二填空题：题4题题5分．
13．（5分）圆心原点直线x+y﹣20相切圆方程 ．
14．（5分）设函数yf（x）区间（01]图象连续断条曲线恒0≤f（x）≤1机模拟方法计算曲线yf（x）直线x0x1y0围成部分面积S先产生两组（组N）区间（01]均匀机数x1x2…xny1y2…ynN点（xy）（i﹣12…N）．数出中满足y1≤f（x）（i12…N）点数N1机模拟方法S似值 ．
15．（5分）体正视图三角形体列体中 （填入体前编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．
16．（5分）△ABC中DBC边点BC3BDAD∠ADB135°．ACABBD ．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17．（10分）设等差数列{an}满足a35a10﹣9．
（Ⅰ）求{an}通项公式
（Ⅱ）求{an}前n项SnSn序号n值．
18．（10分）图已知四棱锥P﹣ABCD底面等腰梯形AB∥CDAC⊥BD垂足HPH四棱锥高．
（Ⅰ）证明：面PAC⊥面PBD
（Ⅱ）AB∠APB∠ADB60°求四棱锥P﹣ABCD体积．
19．（10分）调查某区老年否需志愿者提供帮助简单机抽样方法该区调查500位老年结果表：
性
否需志愿者
男
女
需
40
30
需
160
270
（1）估计该区老年中需志愿者提供帮助例
（2）否99握认该区老年否需志愿者提供帮助性关？
（3）根（2）结否提出更调查方法估计该区老年中需志愿者提供帮助老年例？说明理．
P（K2≥k）
0050
0010
0001
3841
6635
10828
附：K2．
20．（10分）设F1F2分椭圆E：x2+1（0＜b＜1）左右焦点F1直线lE相交AB两点|AF2||AB||BF2|成等差数列．
（Ⅰ）求|AB|
（Ⅱ）直线l斜率1求b值．
21．设函数f（x）x（ex﹣1）﹣ax2
（Ⅰ）a求f（x）单调区间
（Ⅱ）x≥0时f（x）≥0求a取值范围．
22．（10分）图：已知圆弧C点圆切线BA延长线交E点证明：
（Ⅰ）∠ACE∠BCD．
（Ⅱ）BC2BE•CD．
23．（10分）已知直线C1（t参数）C2（θ参数）
（Ⅰ）α时求C1C2交点坐标
（Ⅱ）坐标原点O做C1垂线垂足APOA中点α变化时求P点轨迹参数方程指出什曲线．
24．（10分）设函数f（x）|2x﹣4|+1．
（Ⅰ）画出函数yf（x）图象：
（Ⅱ）等式f（x）≤ax解集非空求a取值范围．
2010年全国统高考数学试卷（文科）（新课标）
参考答案试题解析
选择题：题12题题5分题出四选项中项符合题目求．
1．（5分）已知集合A{x||x|≤2x∈R}B{x|≤4x∈Z}A∩B（ ）
A．（02） B．[02] C．{02} D．{012}
考点1E：交集运算．菁优网版权
专题11：计算题．
分析题意A{x|﹣2≤x≤2}B{012345678910111213141516}求
解答解：∵A{x||x|≤2}{x|﹣2≤x≤2}
B{x|≤4x∈Z}{012345678910111213141516}
A∩B{012}
选：D．
点评题考查集合交集求解解题关键准确求解AB属基础试题
2．（5分）面量已知（43）（318）夹角余弦值等（ ）
A． B． C． D．
考点9S：数量积表示两量夹角．菁优网版权
分析先设出坐标根a（43）2a+b（318）求出坐标根数量积坐标公式变形公式求出两量夹角余弦
解答解：设（xy）
∵a（43）2a+b（318）
∴
∴cosθ
选：C．
点评题数量积变形公式求量夹角余弦值数量积应：①求模长②求夹角③判垂直实际数量积公式中做知三求．
3．（5分）已知复数Z|z|（ ）
A． B． C．1 D．2
考点A5：复数运算．菁优网版权
专题11：计算题．
分析复数代数形式运算化简Z复数模长公式答案．
解答解：化简Z•
••
|z|
选：B．
点评题考查复数代数形式运算涉复数模长属基础题．
4．（5分）曲线yx3﹣2x+1点（10）处切线方程（ ）
A．yx﹣1 B．y﹣x+1 C．y2x﹣2 D．y﹣2x+2
考点6H：利导数研究曲线某点切线方程．菁优网版权
专题1：常规题型11：计算题．
分析欲求点（10）处切线方程须求出斜率值先利导数求出x1处导函数值结合导数意义求出切线斜率．问题解决．
解答解：验证知点（10）曲线
∵yx3﹣2x+1
y′3x2﹣2ky′|x﹣11切线斜率1k1
曲线yf（x）点（10）处切线方程：
y﹣01×（x﹣1）yx﹣1．
选：A．
点评题考查直线斜率导数意义利导数研究曲线某点切线方程等基础知识考查运算求解力．属基础题．
5．（5分）中心原点焦点x轴双曲线条渐线点（42）离心率（ ）
A． B． C． D．
考点KC：双曲线性质．菁优网版权
专题11：计算题．
分析先求渐线斜率c2a2+b2求离心率．
解答解：∵渐线方程y±x
∴2•4a2b
cae
离心率．
选：D．
点评题考查双曲线性质．
6．（5分）图质点P半径2圆周逆时针运动初始位置P0（﹣）角速度1点Px轴距离d关时间t函数图象致（ ）
A． B．
C． D．
考点3A：函数图象图象变换．菁优网版权
分析题求解利排法根某具体时刻点P位置x轴距离确定答案．
解答解：通分析知t0时点Px轴距离d排答案AD
根时知点Px轴时点Px轴距离d0排答案B
选：C．
点评题考查函数图象排法应数形结合思想属基础题．
7．（5分）设长方体长宽高分2aaa顶点球面该球表面积（ ）
A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2
考点LG：球体积表面积．菁优网版权
专题11：计算题．
分析题考查知识点球体积表面积公式长方体长宽高分2aaa顶点球面长方体角线球直径球半径R满足（2R）26a2代入球表面积公式S球4πR2答案．
解答解：根题意球半径R满足
（2R）26a2
S球4πR26πa2．
选：B．
点评长方体外接球直径等长方体角线长．
8．（5分）果执行图框图输入N5输出数等（ ）
A． B． C． D．
考点EF：程序框图．菁优网版权
专题28：操作型．
分析分析程序中变量语句作根流程图示序知：该程序作累加输出S值．
解答解：分析程序中变量语句作
根流程图示序知：
该程序作累加输出S值．
∵S1﹣
选：D．
点评根流程图（伪代码）写程序运行结果算法模块重题型处理方法：：①分析流程图（伪代码）流程图（伪代码）中分析出计算类型分析出参计算数（果参运算数较表格数进行分析理）⇒②建立数学模型根第步分析结果选择恰数学模型③解模．
9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）2x﹣4（x≥0）{x|f（x﹣2）＞0}（ ）
A．{x|x＜﹣2x＞4} B．{x|x＜0x＞4} C．{x|x＜0x＞6} D．{x|x＜﹣2x＞2}
考点3K：函数奇偶性性质判断．菁优网版权
专题11：计算题．
分析偶函数f（x）满足f（x）2x﹣4（x≥0）f（x）f（|x|）2|x|﹣4根偶函数性质函数转化绝值函数求解等式答案．
解答解：偶函数f（x）满足f（x）2x﹣4（x≥0）f（x）f（|x|）2|x|﹣4
f（x﹣2）f（|x﹣2|）2|x﹣2|﹣4f（|x﹣2|）＞0需2|x﹣2|﹣4＞0|x﹣2|＞2
解x＞4x＜0．
应选：B．
点评题考查偶函数性质等式解法相应运算力解答题关键利偶函数性质函数转化绝值函数简化计算．
10．（5分）cos α﹣α第三象限角sin（α+）（ ）
A． B． C． D．
考点GG：角三角函数间基关系GP：两角差三角函数．菁优网版权
专题11：计算题．
分析根α象限角三角函数基关系求sinα值进利两角差正弦函数求答案．
解答解：∵α第三象限角
∴sinα﹣﹣sin（α+）sinαcos+cosαsin﹣﹣．
选：A．
点评题考查两角差正弦函数角三角函数基关系应．根角象限判断三角函数值正负做题程中需注意．
11．（5分）已知▱ABCD三顶点A（﹣12）B（34）C（4﹣2）点（xy）▱ABCD部z2x﹣5y取值范围（ ）
A．（﹣1416） B．（﹣1420） C．（﹣1218） D．（﹣1220）
考点7C：简单线性规划．菁优网版权
专题11：计算题16：压轴题．
分析根点坐标量坐标间关系利量相等求出顶点D坐标解决问题关键．结合线性规划知识移直线求出目标函数取值范围．
解答解：已知条件⇒D（0﹣4）
z2x﹣5yy移直线直线点B（34）时﹣
z取﹣14直线点D（0﹣4）时﹣z取20
点（xy）四边形部z∈（﹣1420）．
图：选B．
点评题考查行四边形顶点间关系量坐标点坐标间关系体现量工具作考查学生线性规划理解认识考查学生数形结合思想．属基题型．
12．（5分）已知函数abc互相等f（a）f（b）f（c）abc取值范围（ ）
A．（110） B．（56） C．（1012） D．（2024）
考点3A：函数图象图象变换3B：分段函数解析式求法图象作法4H：数运算性质4N：数函数图象性质．菁优网版权
专题13：作图题16：压轴题31：数形结合．
分析画出函数图象根f（a）f（b）f（c）妨a＜b＜c求出abc范围．
解答解：作出函数f（x）图象图
妨设a＜b＜c
ab1
abcc∈（1012）．
选：C．
点评题考查分段函数数运算性质利数形结合解决问题力．
二填空题：题4题题5分．
13．（5分）圆心原点直线x+y﹣20相切圆方程 x2+y22 ．
考点J1：圆标准方程J9：直线圆位置关系．菁优网版权
分析求圆圆心直线距离半径写出圆方程．
解答解：圆心直线距离：r求圆方程x2+y22．
答案：x2+y22
点评题考查圆标准方程直线圆位置关系基础题．
14．（5分）设函数yf（x）区间（01]图象连续断条曲线恒0≤f（x）≤1机模拟方法计算曲线yf（x）直线x0x1y0围成部分面积S先产生两组（组N）区间（01]均匀机数x1x2…xny1y2…ynN点（xy）（i﹣12…N）．数出中满足y1≤f（x）（i12…N）点数N1机模拟方法S似值 ．
考点CE：模拟方法估计概率CF：概型．菁优网版权
分析题意知题求∫01f（x）dx意义函数f（x）（中0≤f（x）≤1）图象x轴直线x0直线x1围成图形面积积分结果．
解答解：∵∫01f（x）dx意义函数f（x）（中0≤f（x）≤1）
图象x轴直线x0直线x1围成图形面积
∴根概型易知∫01f（x）dx≈．
答案：．
点评古典概型概型学两概型古典概型求够列举出事件发生事件数列举概型概型概率值通长度面积体积值．
15．（5分）体正视图三角形体列体中 ①②③⑤ （填入体前编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．
考点L7：简单空间图形三视图．菁优网版权
专题15：综合题16：压轴题．
分析体正视图三角形三视图正视图作法判断选项．
解答解：体正视图三角形显然①②⑤正确③三棱柱放倒时正确
④⑥样放置正视图会三角形
答案：①②③⑤
点评题考查简单体三视图考查空间想象力基础题．
16．（5分）△ABC中DBC边点BC3BDAD∠ADB135°．ACABBD 2+ ．
考点HR：余弦定理．菁优网版权
专题11：计算题16：压轴题．
分析先利余弦定理分表示出ABAC已知条件代入整理根BC3BD推断出CD2BD进整理 AC2CD2+2﹣2CD AC24BD2+2﹣4BDACAB代入整理联立方程消AB求BD方程求BD．
解答余弦定理求
AB2BD2+AD2﹣2AD•BDcos135°
AC2CD2+AD2﹣2AD•CDcos45°
AB2BD2+2+2BD ①AC2CD2+2﹣2CD ②
BC3BD
CD2BD
（2）AC24BD2+2﹣4BD（3）
ACAB
（3） 2AB24BD2+2﹣4BD （4）
（4）﹣2（1）
BD2﹣4BD﹣10
求 BD2+
答案：2+
点评题考查余弦定理应．考查学生创造性思维力基推理力．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17．（10分）设等差数列{an}满足a35a10﹣9．
（Ⅰ）求{an}通项公式
（Ⅱ）求{an}前n项SnSn序号n值．
考点84：等差数列通项公式85：等差数列前n项．菁优网版权
分析（1）设出首项公差根a35a10﹣9列出关首项公差二元次方程组解方程组首项公差写出通项．
（2）面首项公差写出数列{an}前n项整理成关n元二次函数二次项负数求出值．
解答解：（1）ana1+（n﹣1）da35a10﹣9
a1+9d﹣9a1+2d5
解d﹣2a19
数列{an}通项公式an11﹣2n
（2）（1）知Snna1+d10n﹣n2．
Sn﹣（n﹣5）2+25．
n5时Sn取值．
点评数列作定义域正整数集限子集函数变量次取值应列函数值具备函数特性．
18．（10分）图已知四棱锥P﹣ABCD底面等腰梯形AB∥CDAC⊥BD垂足HPH四棱锥高．
（Ⅰ）证明：面PAC⊥面PBD
（Ⅱ）AB∠APB∠ADB60°求四棱锥P﹣ABCD体积．
考点LF：棱柱棱锥棱台体积LY：面面垂直．菁优网版权
专题11：计算题14：证明题35：转化思想．
分析（Ⅰ）证面PAC⊥面PBD需证明面PAC直线AC垂直面PBD两条相交直线PHBD．
（Ⅱ）∠APB∠ADB60°计算等腰梯形ABCD面积PH棱锥高然求四棱锥P﹣ABCD体积．
解答解：
（1）PH四棱锥P﹣ABCD高．
AC⊥PHAC⊥BDPHBDPHDPH∩BDH．
AC⊥面PBD．
面PAC⊥面PBD（6分）
（2）ABCD等腰梯形AB∥CDAC⊥BDAB．
HAHB．
∠APB∠ADB60°
PAPBHDHC1．
PH．
等腰梯形ABCD面积SACxBD2+（9分）
四棱锥体积V×（2+）×．（12分）
点评题考查面面垂直判定棱柱棱锥棱台体积考查空间想象力计算力推理力中档题．
19．（10分）调查某区老年否需志愿者提供帮助简单机抽样方法该区调查500位老年结果表：
性
否需志愿者
男
女
需
40
30
需
160
270
（1）估计该区老年中需志愿者提供帮助例
（2）否99握认该区老年否需志愿者提供帮助性关？
（3）根（2）结否提出更调查方法估计该区老年中需志愿者提供帮助老年例？说明理．
P（K2≥k）
0050
0010
0001
3841
6635
10828
附：K2．
考点BL：独立性检验．菁优网版权
专题11：计算题5I：概率统计．
分析（1）样频率率估计总体概率
（2）求K2观测值查表结
（3）99握认该区老年否需志愿者提供帮助性关性分层抽样．
解答解：（1）调查500位老年中70位需志愿者提供帮助该区老年中需帮助老年例估计值
（2）K2观测值
9967＞6635P（K2≥6635）001
99握认该区老年否需志愿者提供帮助性关．
（3）根（2）结知该区老年否需志愿者提供帮助性关样数够出该区男性老年女性老年中需帮助例明显差异调查时先确定该区老年中男女例老年分成男女两层采取分层抽样方法简单机抽样方法更．
点评题考查抽样目独立性检验方法抽样方法选取属基础题．
20．（10分）设F1F2分椭圆E：x2+1（0＜b＜1）左右焦点F1直线lE相交AB两点|AF2||AB||BF2|成等差数列．
（Ⅰ）求|AB|
（Ⅱ）直线l斜率1求b值．
考点K4：椭圆性质．菁优网版权
专题15：综合题．
分析（1）椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|4|AF2||AB||BF2|成等差数列够求出|AB|值．
（2）L方程式yx+c中设A（x1y1）B（x1y1）AB两点坐标满足方程组化简（1+b2）x2+2cx+1﹣2b20．然结合题设条件根系数关系够求出b．
解答解：（1）椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|4
2|AB||AF2|+|BF2|
（2）L方程式yx+c中
设A（x1y1）B（x2y2）AB两点坐标满足方程组．
化简（1+b2）x2+2cx+1﹣2b20．
．
直线AB斜率1
．
．
解．
点评题综合考查椭圆性质运直线椭圆位置关系解题时注意公式灵活运．
21．设函数f（x）x（ex﹣1）﹣ax2
（Ⅰ）a求f（x）单调区间
（Ⅱ）x≥0时f（x）≥0求a取值范围．
考点6B：利导数研究函数单调性．菁优网版权
专题15：综合题53：导数综合应．
分析（I）求导函数导数正负函数单调区间
（II）f（x）x（ex﹣1﹣ax）令g（x）ex﹣1﹣ax分类讨确定g（x）正负求a取值范围．
解答解：（I）a时f（x）x（ex﹣1）﹣x2（ex﹣1）（x+1）
令f′（x）＞0x＜﹣1x＞0令f′（x）＜0﹣1＜x＜0
∴函数单调增区间（﹣∞﹣1）（0+∞）单调减区间（﹣10）
（II）f（x）x（ex﹣1﹣ax）．
令g（x）ex﹣1﹣axg＇（x）ex﹣a．
a≤1x∈（0+∞）时g＇（x）＞0g（x）增函数
g（0）0x≥0时g（x）≥0f（x）≥0．
a＞1x∈（0lna）时g＇（x）＜0g（x）减函数
g（0）0x∈（0lna）时g（x）＜0f（x）＜0．
综合a取值范围（﹣∞1]．
解：x0时f（x）0成立
x＞0ex﹣1﹣ax≥0a≤值
yex﹣x﹣1导数y′ex﹣1
x＞0时函数y递增x＜0时函数递减
函数y取值0ex﹣x﹣1≥0
x＞0时≥1
a≤1．
点评题考查导数知识运考查函数单调性考查分类讨数学思想属中档题．
22．（10分）图：已知圆弧C点圆切线BA延长线交E点证明：
（Ⅰ）∠ACE∠BCD．
（Ⅱ）BC2BE•CD．
考点N9：圆切线判定定理证明NB：弦切角．菁优网版权
专题14：证明题．
分析（I）先根题中条件：∠BCD∠ABC．根EC圆切线∠ACE∠ABC出结．
（II）欲证BC2BE x CD．证．须证明△BDC～△ECB．
解答解：（Ⅰ）
∠BCD∠ABC．
EC圆相切点C
∠ACE∠ABC
∠ACE∠BCD．（5分）
（Ⅱ）∠ECB∠CDB∠EBC∠BCD
△BDC～△ECB
．
BC2BE×CD．（10分）
点评题考查圆切线判定定理证明弦切角应三角形相似等基础知识考查运化转化思想．属基础题．
23．（10分）已知直线C1（t参数）C2（θ参数）
（Ⅰ）α时求C1C2交点坐标
（Ⅱ）坐标原点O做C1垂线垂足APOA中点α变化时求P点轨迹参数方程指出什曲线．
考点J3：轨迹方程JE：直线圆方程应Q4：简单曲线极坐标方程QJ：直线参数方程QK：圆参数方程．菁优网版权
专题15：综合题16：压轴题．
分析（I）先消参数曲线C1C2参数方程化成普通方程联立方程组求出交点坐标
（II）设P（xy）利中点坐标公式P点轨迹参数方程消参数普通方程普通方程出什类型曲线．
解答解：（Ⅰ）α时C1普通方程C2普通方程x2+y21．
联立方程组
解C1C2交点（10）．
（Ⅱ）C1普通方程xsinα﹣ycosα﹣sinα0①．
OA方程xcosα+ysinα0②
联立①②xsin2αy﹣cosαsinα
A点坐标（sin2α﹣cosαsinα）
α变化时P点轨迹参数方程：
P点轨迹普通方程．
P点轨迹圆心半径圆．
点评题考查直线圆参数方程参数方程普通方程互化利参数方程研究轨迹问题力．
24．（10分）设函数f（x）|2x﹣4|+1．
（Ⅰ）画出函数yf（x）图象：
（Ⅱ）等式f（x）≤ax解集非空求a取值范围．
考点3A：函数图象图象变换7E：等式解法R5：绝值等式解法．菁优网版权
专题11：计算题13：作图题16：压轴题．
分析（I）先讨x范围函数f（x）写成分段函数然根分段函数分段画出函数图象
（II）根函数yf（x）函数yax图象知先寻找满足f（x）≤ax零界情况求出a范围．
解答解：（Ⅰ）f（x）
函数yf（x）图象图示．
（Ⅱ）函数yf（x）函数yax图象知极值点（21）
仅a＜﹣2a≥时函数yf（x）函数yax图象交点．
等式f（x）≤ax解集非空时
a取值范围（﹣∞﹣2）∪[+∞）．
点评题考查函数图象利函数图象解等式时考查数形结合数学思想属基础题．
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