2019届市第一中学校高三下学期第三次月考数学(理)试题(解析版)


    2019届市第一中学校高三下学期第三次月考数学(理)试题 一、单选题 1.已知复数满足(是虚数单位),则( ) A.0 B. C.1 D. 【答案】C 【解析】先求出复数z,再求|z|得解. 【详解】 由题得 故选C 【点睛】 本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】先化简集合A,B,再求得解. 【详解】 由题得A={x|x<1},B={x|-1<x<3,x∈Z}={0,1,2}, 所以, 所以. 故选:C 【点睛】 本题主要考查集合的化简,考查集合的补集和交集的运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 3.若,,,则实数,,的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】先求出a,b,c的范围,再比较大小即得解. 【详解】 由题得 , , 所以a>b>c. 故选:A 【点睛】 本题主要考查对数函数和指数函数的单调性的应用,考查实数大小的比较,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4.下列说法正确的是( ) A.设m为实数,若方程表示双曲线,则m>2. B.“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件 C.命题“∃x∈R,使得x2+2x+3<0”的否定是:“∀x∈R,x2+2x+3>0” D.命题“若x0为y=f(x)的极值点,则f’(x)=0”的逆命题是真命题 【答案】B 【解析】根据双曲线的定义和方程判断A,复合命题真假关系以及充分条件和必要条件的定义判断B,特称命题的否定是全称命题判断C,逆命题的定义以及函数极值的性质和定义判断D. 【详解】 对于A:若方程表示双曲线,则,解得或,故A错误; 对于B:若为真命题,则,同时为真命题,则为真命题,当真假时,满足为真命题,但为假命题,即必要性不成立,则“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件,故B正确; 对于C:命题“,使得”的否定是:“,”,故C错误; 对于D:命题“若为的极值点,则”的逆命题是:“若,则为的极值点”,此逆命题为假命题,比如:在中,,其中,但不是极值点,故D错误. 故选:B. 【点睛】 本题主要考查命题的真假判断,涉及知识点较多,综合性较强,难度不大,属于基础题. 5.执行下面的程序框图,若输出的的值为63,则判断框中可以填入的关于的判断条件是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据程序框图,逐步执行,直到的值为63,结束循环,即可得出判断条件. 【详解】 执行框图如下: 初始值:, 第一步:,此时不能输出,继续循环; 第二步:,此时不能输出,继续循环; 第三步:,此时不能输出,继续循环; 第四步:,此时不能输出,继续循环; 第五步:,此时不能输出,继续循环; 第六步:,此时要输出,结束循环; 故,判断条件为. 故选B 【点睛】 本题主要考查完善程序框图,只需逐步执行框图,结合输出结果,即可确定判断条件,属于常考题型. 6.在数学兴趣课堂上,老师出了一道数学思考题,某小组的三人先独立思考完成,然后一起讨论.甲说:“我做错了!”乙对甲说:“你做对了!”丙说:“我也做错了!”老师看了他们三人的答案后说:“你们三人中有且只有一人做对了,有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是( ) A.乙做对了 B.甲说对了 C.乙说对了 D.甲做对了 【答案】B 【解析】分三种情况讨论:甲说法对、乙说法对、丙说法对,通过题意进行推理,可得出正确选项. 【详解】 分以下三种情况讨论: ①甲的说法正确,则甲做错了,乙的说法错误,则甲做错了,丙的说法错误,则丙做对了,那么乙做错了,合乎题意; ②乙的说法正确,则甲的说法错误,则甲做对了,丙的说法错误,则丙做对了,矛盾; ③丙的说法正确,则丙做错了,甲的说法错误,则甲做对了,乙的说法错误,则甲做错了,自相矛盾. 故选:B. 【点睛】 本题考查简单的合情推理,解题时可以采用分类讨论法进行假设,考查推理能力,属于中等题. 7.割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”,刘徽称之为“以盈补虚”,即以多余补不足,是数量的平均思想在几何上的体现.下图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法.在内任取一点,则该点落在标记“盈”的区域的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意可得该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一,即可得解. 【详解】 由题得. 所以“盈”的区域的面积等于“虚”的区域的面积. 而“虚”的区域占矩形区域的面积的四分之一, 所以该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一, 故该点落在标记“盈”的区域的概率为, 故选. 【点睛】 本题考查了几何概型的概率公式,考查了数学文化知识,属于基础题 8.将函数的图像向左平移个单位长度后,所得图像关于轴对称,则的值可能为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】先化简函数的解析式,再平移得到函数,再根据函数的对称性得解. 【详解】 由题得, 将函数的图像向左平移个单位长度后得到, 由题得, 当k=0时,. 故选D 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换和图像的变换,考查函数奇偶性的应用,考查三角函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9.已知空间中不同直线m、n和不同平面α、β,下面四个结论: ①若m、n互为异面直线,m∥α,n∥α,m∥β,n∥β,则α∥β; ②若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β; ③若n⊥α,m∥α,则n⊥m; ④若α⊥β,m⊥α,n∥m,则n∥β. 其中正确的是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理即可得解. 【详解】 对于①,由面面平行的判定定理可得,若m、n互为异面直线,m∥α,n∥β,则α∥β或相交, 又因为m∥β,n∥α,则α∥β,故①正确; 对于②,若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β或α∥β或α,β相交,故②错误, 对于③,若n⊥α,m∥α,则n⊥m;故③正确, 对于④,若α⊥β,m⊥α,n∥m,则n∥β或n⊂β,故④错误, 综上可得:正确的是①③, 故选D. 【点睛】 本题考查了线面、面面的位置关系,考查了线面垂直、平行的判定及性质定理的应用,属中档题. 10.在中,三内角、、对应的边分别为、、,且,,边上的高为,则的最大值为( ) A. B.1 C. D.2 【答案】C 【解析】先化简已知得,再求出,再利用三角函数求h最大值得解. 【详解】 因为, 所以 所以. 所以 所以, 所以当B=时,h取最大值. 故选C 【点睛】 本题主要考查正弦定理解三角形,考查三角函数和三角恒等变换,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 11.若一个四位数的各位数字相加和为10,则称该数为“完美四位数”,如数字“2017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有( )个. A.71 B.66 C.59 D.53 【答案】A 【解析】根据题意,分析可得四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6,②0、1、4、5,③0、1、 2、7,④0、2、3、5,⑤1、2、3、4;共5种情况,据此分5种情况讨论,依次求出每种情 况下大于2017的“完美四位数”的个数,将其相加即可得答案. 【详解】 根据题意,四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6,②0、1、4、5,③0、1、2、7, ④0、2、3、5,⑤1、2、3、4;共5种情况, 则分5种情况讨论: ①、四个数字为0、1、3、6时, 千位数字可以为3或6,有2种情况,将其余3个数字全排列,安排在百位、十位、个位, 有种情况,此时有个“完美四位数”, ②、四个数字为0、1、4、5时, 千位数字可以为4或5,有2种情况,将其余3个数字全排列,安排在百位、十位、个位, 有种情况,此时有个“完美四位数”, ③、四个数字为0、1、2、7时, 千位数字为7时,将其余3个数字全排列,安排在百位、十位、个位,有种情况, 千位数字为2时,有2071、2107、2170、2701、2710,共5种情况,此时有个“完 美四位数”, ④、四个数字为0、2、3、5时, 千位数字可以为2或3或5,有3种情况,将其余3个数字全排列,安排在百位、十位、个 位,有种情况,此时有个“完美四位数”, ⑤、四个数字为1、2、3、4时, 千位数字可以为3或4或2,有3种情况,将其余3个数字全排列,安排在百位、十位、个 位,有种情况,此时有个“完美四位数”, 则一共有个“完美四位数”, 故选:. 【点睛】 本题考查排列、组合的应用,涉及分类计数原理的运用,分类讨论注意做到不重不漏. 12.设表示不大于实数的最大整数,函数,若关于的方程有且只有5个解,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据分段函数的解析式,先讨论当x>0时,函数零点的个数为三个,再讨论当x≤0时,函数的零点的个数为2个,利用导数结合数形结合分析得解. 【详解】 首先,确定在x>0上,方程f(x)=1的解. 时,在, , 所以由取整意义有[lnx]=-(n+1), 又 即在上,恒有 取n=0,, 令此时有一根, 当n≥1时,恒有f(x)-1>1, 此时在上无根. 在上,, , 又 所以在上,恒有, . n=1时,在上, 有 n=2时,在 有 即 所以此时有两根, 这样在 有三根, 在 显然有一根 所以在有且仅有一根, 由“洛必达法则” 是先增后减, 得 或a>0. 单调递增, 即 故选:A 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力,难度较大. 二、填空题 13.若实数,满足约束条件,则的最大值是________. 【答案】 【解析】作出不等式组表示的平面区域,平移目标函数所表示的直线,可得出目标函数的最大值. 【详解】 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示: 可变形为,表示斜率为的直线, 平移该直线,当直线经过点时,取得最大值,. 【点睛】 本题考查简单的线性规划问题. 14.已知平面向量,的夹角为,且,,则________. 【答案】 【解析】先由题意求出,得到,进而可求出结果. 【详解】 因为,所以, 又向量,的夹角为,且, 则, 所以. 故答案为 【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积运算,熟记概念与运算法则即可,属于常考题型. 15.在的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,且所有项的系数和为256,则含的项的系数为_________. 【答案】8. 【解析】根据已知求出n=8和a=1,再求含的项的系数. 【详解】 因为只有第5项的二项式系数最大, 所以n=8. 因为所有项的系数和为256, 所以. 设的通项为, 令8-2r=6,所以r=1. 所以含的项的系数为. 故答案为:8 【点睛】 本题主要考查二项式的展开式的系数的求法,考查二项式系数问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 16.已知抛物线:与直线交于、两点(、两点分别在轴的上、下方),且弦长,则过,两点、圆心在第一象限且与直线相切的圆的方程为____________. 【答案】. 【解析】先求出圆的半径为,再求出圆心为(1,4),即得圆的方程. 【详解】 联立直线和抛物线的方程得 由题得|AB|=8=, 所以m=1. 所以 解之得A(, 所以AB的垂直平分线方程为y=-x+5, 因为圆心在AB的垂直平分线上, 所以设圆心(t,-t+5), 因为AB的垂直平分线和直线平行, 因为两平行线间的距离为, 所以圆的半径为. 因为点A在圆上, 所以, 所以t=1. 所以圆心为(1,4), 所以圆的方程为. 故答案为: 【点睛】 本题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查圆的标准方程的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 三、解答题 17.已知数列满足:,数列中,,且成等比数列; (1)求证:是等差数列; (2)是数列的前n项和,求数列{}的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【解析】(1)根据递推式构造出,即,可得证; (2)先根据等差数列的前n项和公式,求出,可得,再运用裂项求和的方法可得解. 【详解】 (1)证明:,可得, 所以,因为,所以得, 所以是公差为1的等差数列; (2)成等比数列,可得, 可得,解得, 即, 可得, 则前n项和. 所以. 【点睛】 本题考查根据递推式证明数列是等差数列,等差数列的前项和,以及运用裂项相消法求数列的和的方法,在证明数列是等差数列时,需构造等差数列的定义式,属于中档题. 18.某蛋糕店制作并销售一款蛋糕,制作一个蛋糕成本3元,且以8元的价格出售,若当天卖不完,剩下的则无偿捐献给饲料加工厂。根据以往100天的资料统计,得到如下需求量表。该蛋糕店一天制作了这款蛋糕个,以(单位:个,,)表示当天的市场需求量,(单位:元)表示当天出售这款蛋糕获得的利润. 需求量/个 天数 15 25 30 20 10 (1)当时,若时获得的利润为,时获得的利润为,试比较和的大小; (2)当时,根据上表,从利润不少于570元的天数中,按需求量分层抽样抽取6天. (i)求此时利润关于市场需求量的函数解析式,并求这6天中利润为650元的天数; (ii)再从这6天中抽取3天做进一步分析,设这3天中利润为650元的天数为,求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】(1) .(2) (i)3; (ii)见解析. 【解析】(1)求出,再比较和的大小;(2)(i)先求出利润,再求出需求量,所以利润不少于570元时共有60天,再利用分层抽样求出 这6天中利润为650元的天数;(ii)由题意可知,再求出随机变量的分布列及数学期望. 【详解】 (1)时,元;时,元, ∴; (2)(i)当时,利润, 当时,即,即, 又,所以利润不少于570元时,需求量,共有60天, 按分层抽样抽取,则这6天中利润为650元的天数为. (ii)由题意可知, 其中,, ,. 故的分布列为 0 1 2 3 ∴. 【点睛】 本题主要考查函数解析式的求法,考查分层抽样,考查随机变量的分布列和期望,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 19.如图,已知四棱锥,底面为菱形,,,,,,为的中点. (1)求证:平面平面; (2)若点在线段上,当直线与平面所成角的正弦值为时,求线段的长. 【答案】(1)见解析.(2)2. 【解析】(1)先证明面,再证明平面平面;(2)以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量法求出,解方程即得解. 【详解】 (1)证明:由题意易得,且, 在中,, ∴,∴, 在中,, ∴,又, ∴面,又∴面, ∴平面平面. (2)由(1)可知面,所以以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,, 设平面的一个法向量为, 由,则令,,,所以, ∴, 解得或(舍),故BN=2. 【点睛】 本题主要考查空间垂直关系的证明,考查线面角的求法和计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 20.已知点,过点作抛物线:的切线,切点在第二象限. (1)求切点的纵坐标; (2)有一离心率为的椭圆:恰好经过切点,设切线与椭圆的另一交点为点,记切线、、的斜率分别为、、,若,求椭圆的方程. 【答案】(1) .(2) . 【解析】(1)设切点,求出的方程为,再把点D的坐标代入即得解;(2)先根据已知设椭圆方程为,再根据求出b的值得解. 【详解】 (1)设切点则有, 由切线的斜率为,得的方程为, 又点在上,所以,即,所以点的纵坐标. 由(1)得,切线斜率, 设,切线方程为, 由得,又,所以, 所以椭圆方程为, 由得, ∴,, 又因为,即 , 解得,所以,所以椭圆方程为. 【点睛】 本题主要考查椭圆标准方程的求法,考查抛物线的切线的求法,考查直线和椭圆的位置关系问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 21.已知函数,其中为自然对数的底数. (1)设函数(其中为的导函数),判断在上的单调性; (2)若函数在定义域内无零点,试确定正数的取值范围. 【答案】(1) 在上单调递增.(2). 【解析】(1)先分析得到,即得函数在上的单调性;(2)先利用导数求出 ,再对a分三种情况讨论,讨论每一种情况下的零点情况得解. 【详解】 (1)因为,则, , ∴, ∴在上单调递增. (2)由知, 由(1)知在上单调递增,且,可知当时,, 则有唯一零点,设此零点为, 易知时,,单调递增;时,,单调递减, 故,其中. 令, 则, 易知在上恒成立,所以,在上单调递增,且. ①当时,,由在上单调递增知, 则,由在上单调递增,,所以,故在上有零点,不符合题意; ②当时,,由的单调性知,则,此时有一个零点,不符合题意; ③当时,,由的单调性知,则,此时没有零点. 综上所述,当无零点时,正数的取值范围是. 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数研究函数的最值和零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为,(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C1:ρ=2cosθ,. (1)求C1与C2交点的直角坐标; (2)若直线l与曲线C1,C2分别相交于异于原点的点M,N,求|MN|的最大值. 【答案】(1)(0,0),;(2)2. 【解析】(1)由两曲线的极坐标方程结合极坐标与直角坐标的互化公式可得C1与C2的直角坐标方程,再联立求解即可; (2)不妨设,设点,,作差后取绝对值,再由三角函数求最值. 【详解】 (1)由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ, 则曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=2x, 由,得, 则曲线C2的直角坐标方程为. 由,解得或, 故C1与C2交点的直角坐标为(0,0),; (2)不妨设0≤α<π,点M,N的极坐标分别为(ρ1,α),(ρ2,α). ∴ . ∴当时,|MN|取得最大值2. 【点睛】 本题考查简单曲线的极坐标方程,考查计算能力,属于中档题. 23.设函数 (1)若存在,使得,求实数m的取值范围; (2)若m是(1)中的最大值,且正数a,b满足,证明:. 【答案】(1);(2)见解析 【解析】(1)存在,使得,只需,求出的最小值即可; (2)求出代入中,然后由 ,即可证明不等式. 【详解】 (1), 存在,使得,,, (2)由(1)知:m的最大值为1,, ,,当且仅当时取“=”. 【点睛】 本题考查了绝对值三角不等式最值的求法和基本不等式,考查了转化思想,属中档题. 本文档由香当网(https://www.xiangdang.net)用户上传

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    文档贡献者

    橘***小

    贡献于2020-10-17

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