2020届华南师范大学附属中学高三上学期月考(二)数学(理)试题 PDF版


    页 1 第
    华南师附中 2020 届高三年级月考(二)
    数 学(理科)
    试卷分选择题非选择题两部分 4 页满分 150 分考试时 120 分钟
    注意事项:
    1.试卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分答卷前考生务必姓名考生
    号试室号座位号等填写答题卡 2B 铅笔答题卡相应位置填涂考生号
    2.回答第Ⅰ卷时选出题答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
    橡皮擦干净选涂答案标号
    3.回答第Ⅱ卷时黑色钢笔签字笔答案写答卷
    第Ⅰ卷
    选择题:题 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合题目

    1.设i 虚数单位已知 2zi i复数 z 复面应点坐标(***)
    (A)( 1 2) (B)( 1 2) (C)(1 2) (D)(1 2)
    2.已知 3sin 2 4 
    42
    sin cos 值(***)
    (A) 1
    2
    (B) 1
    2 (C) 1
    4
    (D) 1
    4
    3.△ ABC 中角 ABC 边分 a b c 13a 3b 60A °边 c
    (***)
    (A)1 (B)2 (C)4 (D)6
    4.已知 nS 等差数列{}na 前 n 项 1 3 5 8 102( ) 3( ) 36a a a a a     11S  (***)
    (A)66 (B)55 (C)44 (D)33
    5.已知集合 { | 2 5}   A x x { | 1 2 1}    B x m x m UABA实数 m 取值范围
    (***)
    (A)[2 3] (B)(2 3] (C)( 3] (D)(2 )
    6.△ ABC 中 AD BC 边中线 E AD 中点 
    uuur
    EB (***)
    (A) 31
    44
    uuur uuur
    AB AC (B) 13
    44
    uuur uuur
    AB AC
    (C) 31
    44
    uuur uuur
    AB AC (D) 13
    44
    uuur uuur
    AB AC
    7.存正数 x 2 ( ) 1x xa 成立 a 取值范围(***)
    (A)()   (B)( 2 )   (C)(0 ) (D)( 1 )  
    8.已知函数 ()fx定义域 R. 0x 时 3( ) 1f x x 11  x 时 ()()  f x f x 1
    2x
    时 11
    22
               
    f x f x . (6) f (***)
    (A) 2 (B) 1 (C)0 (D)2 页 2 第
    9.设 1a 1b 1)(  baab (***)
    (A) ba  值 )12(2  (B) ba  值 322 
    (C) ab 值 12  (D) ab 值 12 
    10.已知
    r
    a
    r
    b
    r
    e 面量 单位量非零量
    r
    e 夹角
    3
     量
    r
    b 满足
    2
    4 3 0   
    r r r
    b e b ||
    rr
    ab值(***)
    (A) 31 (B) 31 (C)2 (D) 23
    11.已知函数
    1 3 ( 1 0]() 1
    (01]
    xfx x
    xx
        
     
    ()()g x f x mx m   ( 11] 仅两
    零点实数 m 取值范围(***)
    (A) 91 2 042
          
    U (B) 11 1 2 042
          
    U
    (C) 92 2 043
          
    U (D) 11 2 2 043
          
    U
    12.已知函数 23( ) 22f x x ax( 0a  ) 2( ) lng x a x b公点公点处切线方程相
    实数b 值(***)
    (A) 2
    1
    2e (B) 21
    2 e (C) 1
    e (D) 2
    3
    2e
    第Ⅱ卷
    二填空题(题 5 分满分 20 分)
    13. x y 满足等式组
    20
    10
    50
    
       
       
    y
    xy
    xy
    y
    x
    值__________.
    14.已知函数
    2 1 0()
    2 0
      
    xxfx
    xx
    ( ) 10fx x __________.
    15.已知函数 ( ) sin 3cosf x x x ( 0  )方程 ( ) 1fx (0 ) 四实数
    根实数 取值范围__________.
    16.已知数列{}na 中 1 1a  1 2 3 1nna a n    (*nN )前 n 项 nS  __________.
    三解答题: 70 分解答应写出文字说明证明程演算步骤第 1721 题必考题试题考生
    必须作答第 2223 题选考题考生根求作答
    ()必考题: 60 分
    17.已知数列{}na 前 n 项 nS满足 2 3 1nnSa(*nN).
    (1)求数列 通项公式 页 3 第
    (2)设 32log  n
    n
    n
    ab a
    nT 数列{}nb 前 n 项求证: 15
    4nT.
    18.已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中 120BAC ° 2AB AC 1 3AA E BC 中点
    F 1AE点 1 3A F FE .
    (1)证明: AF 面 1A BC
    (2)求二面角 11BAEB 余弦值.




    19.图椭圆
    22
    221xyC ab
    ( 0ab )离心率 3
    2e 椭圆C 短轴长 2.
    (1)求椭圆 方程
    (2)设直线 l 点 10 2
    
    D椭圆 相交 MN 两点点 P 椭圆 顶点求
    △ PMN 面积值.


    20.某中学解中学生课外阅读时间决定该中学 1200 名男生 800 名女生中分层抽样
    方法抽取 20 名学生课外阅读时间进行问卷调查.现课外阅读时间情况学生分成三类:
    A 类(参加课外阅读)B 类(参加课外阅读均周参加课外阅读时间超 3 时)C 类(参
    加课外阅读均周参加课外阅读时间超 3 时).调查结果表:
    类 B 类 C 类
    男生 x 5 3
    女生 y 3 3
    (1)求出表中 y 值
    (2)根表中统计数完成面列联表判断否 90握认参加课外阅读否
    性关
    男生 女生 总计
    参加课外阅读
    参加课外阅读
    总计

    (3)抽出女生中机抽取 3 进步解情况记 X 抽取 3 名女生中 类数 类
    数差绝值求 X 数学期.
    附:
    2
    2 ()
    ( )( )( )( )
        
    n ad bcK a b c d a c b d
    C1
    B1
    A1
    F
    E
    C
    B
    A页 4 第
    2
    0()P K k 010 005 001
    0k 2706 3841 6635

    21.已知函数 ( ) (3 2)xf x e x ( ) ( 2)g x a x 中 a xR.
    (1)求 ()y f x 点(1 )e 处切线方程
    (2)意 ()()f x g x 恒成立求 a 取值范围
    (3)存唯整数 0x 00()()f x g x 求 a 取值范围.

    (二)选考题: 10 分请考生第 2223 题中选题作答果做做第题计分
    22.面直角坐标系 xOy 中已知曲线 1C 参数方程
    5 10 cos
    10 sin


     
    
    x
    y
    ( )坐标原点O
    极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系曲线 2C 极坐标方程 4cos .
    (1)求曲线 曲线 2C 两交点直线极坐标方程
    (2)直线l 极坐标方程 sin 2 24
    
    直线l y 轴交点 M曲线 相交 A
    B 两点求| | | |MA MB 值.
    23.已知函数 ( ) | 1| | |   f x x x t ( tR).
    (1) 2t 时求等式 ( ) 2fx 解集
    (2)意 [1 2]t [ 1 3]x ()f x a x 恒成立求实数 a 取值范围 页 5 第
    数学(理科)参考答案

    选择题:
    1—4:AACD 5—8:CADD 9—12:AAAA

    二填空题
    13.2. 14. 3 .
    15. 7 2526
    
     
    . 16.
    2
    2 3724 2
    n nn  .

    三解答题:
    17.解答:(1) 1n 时 1 1a
    2n 时 2 3 1nnSa 112 3 1nnSa两式相减 13 nnaa
    {}na 3 公等数列 1 1a
    13  n
    na .
    (2)(1) 1
    1
    3 
    n n
    nb 错位相减法
    0 1 1
    1 1 12 3 ( 1)3 3 3       Ln nTn①
    11
    1 1 1 12 ( 1)3 3 3 3      Ln nnT n n ②
    两式相减 21
    2 1 1 1 1 5 2 523 3 3 3 3 2 2 3
           
    Ln n n n
    nnT
    1
    15 2 5
    4 4 3 
    n n
    nT
    15
    4nT.

    18.解答:(1)连接 AE AF △ ABC 中
    11sin12022  oAB AC BC AE
    1AE
    三棱柱 1 1 1ABC A B C 直三棱柱 1 AA 面 ABC 页 6 第
    1 AA AE
    直角三角形 1A AE 中 1 3AA 1AE
    1 2AE 1
    2EF
    1 AEAE
    EF AE
    AFE 直角 1 A E AF
    E BC 中点△ ABC 等腰三角形知 AE BC
    结合 1 AA BC 1 IAA AE A BC 面 1A AE BC AF
    综合 1 IBC A E E AF 面 1A BC
    (2) 图点 E 坐标原点 EC EA 1EE ( 1E 11BC 中点)直线
    x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系
    3tan 60o
    AEBE ( 3 0 0)B 1(01 3)A(0 0 0)E 1( 3 0 3)B
    ( 3 0 0)
    uuur
    EB 1 (01 3)
    uuur
    EA 1 ( 3 0 3)
    uuur
    EB
    设面 1BAE 法量 1 1 1 1()
    ur
    n x y z 面 11BAE 法量 2 2 2 2()
    uur
    n x y z
    1
    11
    0
    0
      
    ur uuur
    ur uuur
    n EB
    n EA
    1
    11
    30
    30
     
    x
    yz

    取 1 1z 1 (0 31)
    ur
    n
    理 2 (1 31)
    uur
    n

    12
    12
    12
    4 2 5cos 5| | | | 25
       
     
    ur uurur uur
    ur uurnnnn
    nn

    二面角 11BAEB 余弦值 25
    5 .
    19.解答:(1)已知
    2 2 2
    22
    3
    2
    
     

    
    b
    c
    a
    a b c

    2
    1
    3
     
     
     
    a
    b
    c

    C1
    B1
    A1
    F
    E
    C
    B
    A
    z
    y x
    A
    B
    C
    E
    F
    A1
    B1
    C1页 7 第
    椭圆C 方程
    2
    2 14 x y
    (2)已知知直线l 斜率定存设直线 方程 1
    2y kx 11()M x y 22()N x y

    2
    2 14
    1
    2
     
     
    x y
    y kx
    22(1 4 ) 4 3 0   k x kx 12 2
    4
    14
    kxx k
    12 2
    3
    14
     xx k


    2
    22
    1 2 1 2 1 2 22
    4(16 3)| | ( ) 4 (1 4 )
         
    kx x x x x x k
    3||2PD
    2
    12 2
    1 3 16 3| | | |2 2(1 4 )
        PMN
    kS PD x x k

    令 216 3 3  mk
    2
    2 3
    16
     mk
    2
    36
    132 1 4 16
      
    PMN
    mS
    m m m

    令 1()g m m m
    ( 3m ) 2
    1'( ) 1 0  gm m

    ()gm[ 3 ) 单调递增 3m 时时 0k 值 43
    3 时 PMNS
    值 33
    2





    20.解答:(1)设抽取 20 中男女生数分 1n 2n 1
    20 1200 122000
    n
    2
    20 800 82000
    n
    12 5 3 4   x 8 3 3 2   y
    (2)列联表: 页 8 第
    男生 女生 总计
    参加课外阅读 4 2 6
    参加课外阅读 8 6 14
    总计 12 8 20
    2K 观测值
    220(4 6 2 8) 10 0159 270612 8 14 6 63
           k
    没 90握认参加阅读否性关
    (3)X 取值 0123

    3 1 1 1
    3 2 3 3
    3
    8
    19( 0) 56
      CCCCPX C
    2 1 2 1 1 2 2 1
    3 3 3 2 2 3 2 3
    3
    8
    3( 1) 7
      CCCCCCCCPX C
    2 1 2 1
    2 3 3 3
    3
    8
    3( 2) 14
      CCCCPX C
    3
    3
    3
    8
    1( 3) 56  CPX C
    X 分布列:
    X 0 1 2 3
    P
    19
    56 3
    7 3
    14 1
    56
    数学期 19 3 3 1 51( ) 0 1 2 356 7 14 56 56        EX .

    21.解答:(1)题意 '( ) (3 1)xf x e x '(1) 4k f e
    ()y f x 点(1 )e 处切线方程 4 ( 1)  y e e x 43y ex e
    (2)题意意 xR (3 2) ( 2)  xe x a x 恒成立
    ① ( 2) x 时 (3 2)
    2
     
    xexa x
    恒成立
    max
    (3 2)
    2
     
    xexa x
    令 (3 2)() 2
     
    xexFx x

    2
    2
    (3 8 )'( ) ( 2)
     
    xe x xFx x
    令 '( ) 0Fx 0x
    ( 0) x 时 '( ) 0Fx (0 2)x 时 '( ) 0Fx ()y F x ( 0) 单调递增(0 2)
    单调递减 0x 处取极值值 (0) 1F时 1a
    ② 2x 时恒成立时 aR 页 9 第
    ③ (2 )  x 时 (3 2)
    2
     
    xexa x
    恒成立
    min
    (3 2)
    2
     
    xexa x
    令 (3 2)() 2
     
    xexFx x

    2
    2
    (3 8 )'( ) ( 2)
     
    xe x xFx x
    令 '( ) 0Fx 8
    3x
    82 3
    
    x 时 '( ) 0Fx 8 3
      
    x 时 '( ) 0Fx ()y F x 82 3
    
    
    单调递减
    8 3
    
    单调递增 8
    3x 处取极值值
    8
    38 93
    
    Fe时
    8
    39ae

    8
    319ae
    (3) ()()f x g x (3 2) ( 2)  xe x a x
    (2)知
    8
    3( 1) 9    
    
    Uae
    令 表:
    x ( 0) 0 (0 2) 82 3
    
    
    8
    3
    8 3
    

    '( )Fx + 0 0 +
    ()Fx 单调递增 极 单调递减 单调递减 极 单调递增
    ( 2) x 存唯整数 0x 00()()f x g x 等价 (3 2)
    2
     
    xexa x
    存唯整数 成

    (0) 1F 5( 1) 3F e
    1(1) F e
    5
    3a e
    时少两整数成立
    5 13
     
    a e
    存唯整数 等价 (3 2)
    2
     
    xexa x
    存唯整数 成
    立 页 10 第

    8
    38 93
    
    Fe 3(3) 7Fe 4(4) 5Fe 45ae时少两整数成立
    37ae时没整数成立 34(7 5 ]ee
    综 345 1 (7 5 ]3
    
    
    U eee


    (二)选考题: 10 分请考生第 2223 题中选题作答果做做第题计分
    22.解答:(1) 曲线 1C 普通方程 22( 5) 10  xy
    曲线 2C 普通方程 224x y x 22( 2) 4  xy
    两圆心距离 3 ( 10 2 10 2)   d 两圆相交
    两方程相减交线方程 6 21 5  x 5
    2x
    直线极坐标方程 5cos 2
    (2)直线l 直角坐标方程 4xy y 轴交点 (0 4)M
    直线 参数方程
    2
    2
    24 2
     
     
    xt
    yt
    (t 参数)
    代入曲线 2 9 2 31 0  tt
    设 AB 两点应参数分 1t 2t
    12 92  tt 12 31tt 号
    1 2 1 2| || |||||| |92     MA MB t t t t .

    23.解答:(1) 2t 时 ( ) | 1| | 2 |   f x x x
    1x ( ) 3 2f x x ( ) 2fx 解 1
    2x 综合
    12x ( ) 1fx 显然 成立 页 11 第
    2x ( ) 2 3f x x ( ) 2fx 解 5
    2x 综合
    等式 解集 15|22
    
    x x x .
    (2)()f x a x 等价 ()a f x x 令 ()()g x f x x
    11  x 时 ( ) 1 3  g x t x 显然 min( ) (1) 2  g x g t
    1xt时 ( ) 1  g x t x 时 min( ) ( ) 1  g x g t
    3tx 时 ( ) 1  g x x t min( ) ( ) 1  g x g t
    综知 [ 1 3]x 时 min( ) min{ 2 1}  g x t
    [1 2]t 2 [ 1 0]  t
    min( ) 1gx 1a
    综 a 取值范围( 1] 


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